浙江省杭州十四中10-11学年高一下学期期中试题数学

杭十四中二〇一〇学年第二学期阶段性测试

高一年级数学试卷

考试说明：

1．考试时间：2011年04月26日8时至9时30分。

2．本卷不得使用计算器。

3．本卷分试题卷和答题卷，本卷满分100分，附加题满分20分。共2页。

4．答题前，请在答题卡指定区域内填涂好相关信息。所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

（1）设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3

b α=，且//a b ，则锐角α为 （A ）030 （B ）060 （C ）075 （D ）0

45 （2）若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是

（A ）6π （B ）3π （C ）32π （D ）6

5π （3）已知下列命题中：

A.若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =

B.若0a b ?=，则0a =或0b =

C.若不平行的两个非零向量,a b ，满足a b =，则()()0a b a b +?-=

D.若a 与b 平行，则a b a b ?=?其中真命题的个数是

（A ）0

（B ）1 （C ）2 （D ）3

（4）设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，2c =

，则,,a b c 大小关系 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）a c b << （5）若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=

（A ）917 （B ） （C ） （D ）3

17 （6）已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为 （A ）1925 （B ）1625 （C ）1425 （D ）725

（7）若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有

（A ）3,5a b ==- （B ）10a b -+= （C ）23a b -= （D ）20a b -=

（8）在△ABC 中，若2

2

tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是

（A ）直角三角形 （B ）等腰或直角三角形（C ）等腰三角形 （D ）不能确定

（9）已知数列1

（A ）第10项 （B ）第11项 （C ）第12项 （D ）第21项

（10）定义运算??????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如??

????=?????????????1514543021.已知πβα=+，2πβα=-， 则=???????????

??ββααααsin cos sin cos cos sin （A ）00??

???? （B ）01??

???? （C ）10?????? （D ）11??

????

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

（11）函数)(2cos 2

1cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ． （12）已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=___________．

（13）已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,

45612131477a a a a a a ++++++=，且13k a =,则k =_________．

（14）若a =)3,2(，b =)7,4(-，则a 在b 上的投影为_____________．

（15）已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=，则|2|-的最大值，

最小值分别是_________．

（16）给出下列命题：①存在实数x ，使3sin cos 2

x x +=； ②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<； ③函数2

sin()32y x π=+是偶函数；

④函数sin 2y x =的图象向左平移4

π个单位，得到函数sin(2)4y x π=+的图象． 其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共4小题，共42分。

（17）（本小题10分）在△ABC

中，0120,,ABC A c b a S ?=>==c b ,.

（18）（本小题10分）已知等差数列{a n }中，a 3 + a 4 = 15，a 2a 5 = 54，公差d < 0.

（1）求数列{a n }的通项公式a n ；

（2）求数列的前n 项和S n 的最大值及相应的n 的值.

（19）（本小题10分）已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++.

(1)当0a >时，求()f x 的单调递增区间；

(2)当0a <且[0,]2x π

∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值.

（20）已知向量, 33cos ,sin ,cos ,sin ,2222x x a x x b ?

???==- ? ?????

且()0,

,22x f x a b a b πλ??

∈=?-+????

（λ为常数）. (1) 求a b ?及a b +; (2)若()f x 的最小值是3

2

-

,求实数λ的值.

四、附加题：本大题共2小题，21，22题各10分，共20分。 （21）（本小题10分）

（I ）A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是________ . （II ）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o

. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.

若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________. （22）已知ABC ?中，||1AC =，0120ABC ∠=，BAC θ∠=， 记()f AB BC θ=?.

(1)求()f θ关于θ的表达式； (2)求()f θ的值域.

命题：徐剑 校对：马茂年

Ａ

Ｂ Ｃ

120°

θ

高一数学卷参考答案及评分细则

1.D 0031sin cos ,sin 21,290,4523

ααααα?==== 2.B 22222211220,20,,,cos 2a a b a a b b a b a b a b a b a

θ?-?=-?====== 3. C （1）是对的；（2）得a b ⊥；（3）2222()()0a b a b a b a b +?-=-=

-=

（4）平行时分00和0180

两种，cos a b a b a b θ=?=±?

4.D 0

59a =

，061b =，060c =

5. A 214

(cos sin ),sin cos sin 0,cos 099αααααα+==-><，而

cos sin 3αα-==-

221cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )(3ααααααα=-=+-=-?

6.D 2

7sin 2cos(2)cos 2()12sin ()24425x x x x πππ=-=-=--=

7.C (1,3),(2,3),//326,23AB a AC b AB AC b a a b =-=-?-=--=

8.B 22sin cos sin cos sin ,,sin cos sin cos cos sin sin cos sin A B A B A

A A

B B A B B A B ?===

s i n 2s i n 2,2222A B A B A B π==+=或

9.B

10.A

11. 34 2m a x 11

3

()c o s c o s ,c o s ,()224f x x x x f x =-++==当时

12. 100 22

8910111212712121(771)100a a a a a S S ++++=-=++-++=

13. 18 7799917

2

317

,,1177,7,,(9)

33k a a a a d a a k d =====-=- 2

137(9),183k k -=-?= 14. cos 65a b

a b θ==

15. 最大值为4，最小值为0 2(2cos 3,2sin 1),|2|(2cos a b a b θθθ-=-+-=-

==4，最小值为0

16. ③ 对于①，3sin cos )42

x x x π+=+≤<； 对于②，反例为0030,330αβ==-，虽然αβ>，但是cos cos αβ=

对于④，sin 2sin 2()sin(2)42y x y x x ππ=→=+

=+

17. 解：1sin 4,2ABC S bc A bc ?=

==(4分) 2222cos ,5a b c bc A b c =+-+=，（8分）

而c b >，所以4,1==c b （10分）

18. 解：（1）}{n a 为等差数列，4352a a a a +=+∴

???=?=+∴54155

252a a a a 解得???==9652a a （因d<0，舍去）???==6952a a ???=-=?1011a d .11n a n -=∴ （5分）

（2）n a a n -==11,101

.221212)(21n n a a n S n n +-=+=

∴ 又021<-，对称轴为2

21，故当n = 10或11时，S n 取得最大值，其最大值为55.（10分）

19. 解：1cos 21()sin 2sin(2)22242x a f x a a x b x b π+=?

+?+=+++（3分） （1）3222,,24288

k x k k x k π

π

π

ππππππ-≤+≤+-≤≤+ 3[,],88

k k k Z ππππ-+∈为所求（6分）

（2）50,2,sin(2)1244424

x x x ππ

π

ππ≤≤≤+≤-≤+≤，

min max 1()3,()4,2

f x a b f x b +=+===

2,4a b ∴=-=（10分）

20. 解：⑴x x x x x 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos =?-?=? （2分）

2

2)2s i n 23(s i n )2c o s 23(c o s ||x x x x b a -++=+ x x 2cos 22cos 22=+=

x x x c o s 2||,0c o s ],2,0[=+∴>∴∈π

（6分）

⑵x x x f cos 42cos )(λ-=2221)(cos 2λλ---=x .1cos 0],2,0[≤≤∴∈x x π

①当0<λ时，当且仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾；

②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，)(x f 取得最小值221λ--，

由已知得:

21,23212=-=--λλ解得； ③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ时，)(x f 取得最小值λ41-， 由已知得2341-=-λ， 解得85=λ，这与1>λ相矛盾， 综上所述，21=

λ为所求. （12分）

21.(1) ]2,1(-；

(2) 解 设AOC α∠=

,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ??=?+????=?+???，即01cos 21cos(120)2

x y x y αα?=-????-=-+??

∴02[cos cos(120)]cos 2sin()26x y πααααα+=+-==+≤ 22.

解：(1)由正弦定理有：00||1||sin sin120sin(60)BC AB θθ==-； ∴01||sin sin120BC θ=，00sin(60)||sin120AB θ-=.（3分） Ａ Ｂ Ｃ

120° θ

∴()f AB BC θ=?041sin sin(60)32θθ=?-?21sin )sin 32θθθ=- 11sin(2)(0)3

663

π

πθθ=+-<<（7分） (2)由5023666

ππππθθ<

∈.（10分）

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