不定积分毕业论文

本科生毕业论文设计

不定积分的计算方法及拓展

作者姓名： 指导教师：

所在学院： 数学与信息科学学院 专业（系）： 数学与应用数学 班级（届）： 201X届数学X班

二〇一五年 四月二十四日

1

目 录

中文摘要、关键字 ???????????????????????? 1 1 不定积分的计算方法

???????????????????? 2

1.1 分部积分法 ???????????????????????? 2 1.1.1 分部积分法得基本认识 ????????????????? 2 1.1.2 函数u、v的优选判别 ????????????????? 3 1.2 第一换元积分法

???????????????????? 4

1.2.1 第一换元积分法概念 ????????????????? 4 1.2.2 常用凑微分公式 1.3 第二换元积分法

?????????????????? 4

???????????????????? 5

1.3.1 第二换元积分法概念 ????????????????? 5 1.3.2 第二换元法的常用代换 ???????????????? 2 几种特殊类型函数的积分

5

?????????????????? 8

2.1 计算有理函数的不定积分 ????????????????? 8 2.1.1 有理函数的基本认识 ????????????????? 9 2.1.2 有理真分式分解及部分分式法 ????????????? 9 2.2 计算三角函数有理式的不定积分

????????????? 11

2.3 计算某些无理根式的不定积分 ??????????????? 14 2.4 计算分段函数的不定积分 ????????????????? 16 参考文献 ??????????????????????????? 17 英文摘要、关键字 ???????????????????????? 18

2

不定积分的计算方法及拓展

数学与信息科学学院 数学与应用数学

指导教师 作者

摘要:不定积分在数学分析学科中的占据着重要地位.不定积分是计算微分的逆运算,是计算函数定积分运算的基本前提,是一种处理具体应用如,物理学运动、液体流速等,经济学函数数量统计,以及几何学上曲线、曲面等问题的重要途径.本文主要阐述了三种常用的计算方法和四类特殊函数的不定积分计算方法.

关键字:原函数 不定积分 变量代换 有理式 有理化 三角函数有理式 无理根式

1

引 言

不定积分的计算方法的研究不仅仅是某些经验方法的积累它存在着更多哲学的思辨.它依靠一定的逻辑规则为微积分学科的应用与思辩开拓了新途径,是定积分计算的基础.

针对有理式、三角函数有理式及无理根式三种特殊函数的不定积分在思想及具体方法进行的探究联系与总结.最终,归纳分类形成合理的统一的公式解法.

1 不定积分的计算方法

应用基本积分公式表、积分性质以及某些复合运算的技巧可解得一些函数的原函数.而一些不符合基本积分公式的函数计算不定积分经转化最终也可归为基本不定积分.对于如lnx,tanx,cotx,secx,cscx,arcsinx,arctanx等这类无法直接应用基本积分公式的初等函数求其原函数,我们需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则,扩充不定积分公式.

1.1 分部积分法

1.1.1 分部积分法得基本认识

定理1 假设有u(x)、v(x)可导,且?u?(x)v(x)存在,于是有不定积分?u(x)v?(x)也存在,并有?u(x)v?(x)dx?u(x)v(x)??u?(x)v(x).常简写作?udv?uv??vdu[1].

一般地,被积函数中若含有某些幂函数,无理根式,对数函数,反三角函数等因式时可应用分部积分法计算不定积分,可将这类因式作为u;对于容易看出v,且v的原函数易解得的情况下也可以应用分部积分法[3].

例1 计算?xcosxdx.

解:令,u?x,v??cosx则有u??1,v?sinx.由分部积分公式得

?xcosxdx?xsinx??sinxdx?xsinx?cosx?C.

例2 计算?arctanxdx. 解:令u?arctanx,v??1,则u??1,v?x,由分部积分公式得 1?x2x12arctanxdx?xarctanx?dx?xarctanx?ln(1?x)?C. ??1?x22有些情况下,可能需多次应用分部积分法,若循环出现某个积分,可应用解方

2

程的思想求解.

例3 计算I??x2?adx.

分析:x2?a应用分部积分法;同时,需作适当的代换求解.

解:I?xx?a??22x2x?a2dx,由于?dx,x2x?adx2dx?I?a??dt; tdxx?a2,

可设t?x?x?a,dt?x?x2?ax2?ax2?a整理得I?1xx2?a?2alnx?x2?a2?C1.

1.1.2 函数u、v的优选判别

分部积分的难点不仅在于积分方法的正确应用还在于函数u、v的正确选择[8].

函数u、v的选择原则:

(1)由v?计算v要容易求得(应用分部积分公式的前提); (2)?vdu需比?udv更容易导出(应用分部积分公式的目的)[4].

kxⅠ.?P,n(x)sinkxdx类型积分.Pn(x)是关于x的n次多项式,a?0;其中n(x)adx?Pakx,sinkx所表示的是指其代表的一类函数,k是常数.取u?Pn(x).

例4 计算I??(x2?1)3xdx.

分析:令u?x2?1,v??3x,需重复应用分部积分公式;

3x(x2+1)23x22x1xI??x?3dx?(x+1-?)?C. :解2?ln3ln3ln3ln3ln3Ⅱ.?Pn(x)lnxdx,?Pn(x)arcsinxdx类型积分.其中lnx,arcsinx等表示的是其所属的一类函数.取v??Pn(x).

例5 计算?xarccosxdx.

分析:依据上述说明u?arccosx,v??x,应用适当的根式代换求解即可;

3

x2x2dx解:?xarccosxdx?arccosx??, 2221?xx21x2xarccosxdx?arccosx?arcsinx?1?x?C. ?242Ⅲ.?akxsinnxdx,?akxcosnxdx类型不定积分.需重复应用分部积分公式或应用公式

?uv??dx?uv??u?v??u??vdx.

e?t特别的,①?esin?tdt?2?sin?t??cos?t??C; 2?????te?t②?ecos?tdt?2(?sin??sin?t??cos?t??cos??sin?t??cos?t)?C.

???2?t例6 计算I??eaxcosbxdx,ab?0.

axeaxe2解:设u?cosbx,v?2则u???bsinbx,u????bcosbx;v??,v???eax;

aa整理,得I?acosbx?bsinbxaxe?C. 22a?b1.2 第一换元积分法

1.2.1 第一换元积分法的概念

定理2 若被积函数f(x)?g(u(x))u?(x),且?g(u)du?G(u)?C,则有

?f(x)dx??g(u)du?G(u)?C[2].

第一积分换元积分法也称“凑”微分积分法,它常常由基础积分公式转化而来通过凑微分的方法引出新的积分变量.

1.2.2 常用凑微分公式 Ⅰ.凑常数:?f(ax?b)dx??1F(ax?b)?C. a?f(x)??1?C Ⅱ.凑幂函数:?[f(x)]f?(x)dx??[f(x)]df(x)???1Ⅲ.凑三角函数:

?

f(sinx)cosxdx??f(sinx)dcosx;?f(tanx)dx??f(tanx)dtanx; 2cosx4

?f(arcsinx)dx1?x2??f(arcsinx)darcsinx;?f(arctanx)dx??f(arctanx)darctanx.

1?x2Ⅳ.凑倒数:?f?(x)df(x)dx???lnf(x)?C,(其中f(x)?0). f(x)f(x)cosxdxesinx?1例7 计算?;2）?arcsinxdx. 21?x解:1）令t?sinx,则有I??tcosxdxesinx?1??dte?1t, det?1det?1因de?1?,故,I?2? ?2tt2te1?(e-1)2e?1etdtt ?2arctaen?C-1?xn2arescitan?C. -12）令t?arcsinx,由于,因此dt?dx1?x2

I??3arcsinx2dx??tdt?(arcsinx)2. 21?x31.3 第二换元积分法(代换法)

1.3.1 第二换元积分法概念

定理3 若被积函数f(x)?g(?(x))??(x),u??(x)?0且存在F?(x)?f(x),则有

?1?g(u)du?g(?(x))?(x)dx?f(x)dx?F(?(u))?C[2]. ???第二换元积分法并不是单纯的复合函数求导的逆过程,也涉及到反函数求导定理.第二积分换元法,主要应用于计算无理根式的不定积分.针对此类含根式的不定积分,该方法可设法消去根号,将其转化为简单函数的不定积分.

1.3.2 第二换元法的常用代换

代换变形去将被积函数化成容易计算的形式.常见的积分的代换有根式代换、三角函数代换、倒置代换[5]. Ⅰ.根式代换

当被积函数中为根式如,nax?b、na1x?b1,可设M(x)?t.

a2x?b2 5

例8 计算1）?11?xdx;2)?xxdx. 37?5x?1332dx3t2t?7?5x解:1）设,则dx??t,于是?3???dt,

5t?157?5x?1?2) 令t?dx3(7?5x)3363???7?5x?ln7?5x?1?C. 310557?5x?1231?x1?2t,则t?1x?2,dx?2dt;于是 2xt?1(t?1),

11?x?2t1?x2dx?(t?1)?t?dt??2?ln(1?2x?2x(x?1))?C. 22?xx?(t?1)xⅡ.三角函数变换

① 被积函数含因式a2?x2,可设x?asint或x?acost进行转化; ② 被积函数含因式x2?a2,可设x?atant或x?acott进行转化; ③ 被积函数含因式x2?a2,可设x?asect或x?acsct进行转化. 例9 计算1)?a2?x2dx;2)?dxx?a22;.

解:1) 设x?asint,则有dx?acostdt.

x??于是t?arcsin,?a?x?a,??t?;则有

a22?a?xdx??22a2a?asint?acostdt?a?costdt??(1?cos2t)dt

222222整理得

?a21a2xx2a?xdx?(t?sin2t)?C?arcsin?a?x2?C.

222a2222) 设x?atanx,dx?数,由此?a??2;当时,x?atanx存在反函dt?asectdt??t?2cost222dxx?a22??asec2tdtatant?1??sectdt?lnsect?tant?C;

x2?a2, ax（方法引入）根据tant?构造参考直角三角形,则有sect?a 6

?dxx?a22?lnx2?a2x??C?lnaax2?a2?x?C1.

x2?a2?x?C

a ?ln例10 (区分变形)计算K=?x2?a2dx.

分析:利用分部积分法K=?x2?a2dx?xx2?a2??xdx2?a2, 其中,I??xdx?a??22x2?a2?a2x?a22dx??x2?a2dx?a2?dxx?a22, x2a22x?a?lnx?x2?a2?C. 整理得K?22Ⅲ.倒置代换

若被积函数的分母中含因子ax2?bx?c或分母次数较高时,可令x?. 例11 计算?dxx3x?2x?121t. 分析:被积函数分母中含根式3x2?2x?1,可应用倒置代换;另外,分母中存在

a?t2形式根式可令u?t?a?t2进行二次代换.

解:令t?11,则有x?,dx??t?2dt,于是 xt?t?2dtdt?=-?x3x2?2x?1?132?2?(t?1)2;

??1tt2tdx令u?(t?1)?2?(t?1)2,于是

1?x3x2?2x?1?C. ?x3x2?2x?1???lnx?xdx例12 计算?1x(x7?1)dx.

11解:若x?,则dx??2dt,于是

ttt61?7dx????ln2x?1?C. ?x(x7?1)?1?t7141

7

Ⅳ.指数代换

当被积函数含有因子ex时,可令t?ex以简化被积函数. 例13 计算?dx.

ex(1?e2x)解:令t?ex,则t?0,dex?dt;

dxdexdt于是?x, ??2x2x2x22??e(1?e)e(1?e)t(1?t)11 ???arctant?C??x?arctanex?C.

teⅤ.反三角函数代换

被积函数中存在反三角函数时某些情况下利用分部积分法即可,而对于较复杂的被积函数如复合函数中存在反三角函数则可考虑代换法.

例14 计算?tan(arcsinx)dx.

解:若令t?arcsinx,则x?sint,dx?costdt.

于是?tan(arcsinx)dx??tantcostdt??sintdt??cost ??1?x2.

2 几种特殊类型函数的积分

在掌握了一些最基本的积分运算方法之后,我们将面临一些特殊类型函数的不定积分,本节内容将针对有理函数,三角函数有理式以及某些无理根式的不定积分进行研究与讨论.然而,无论这些不定积分多么复杂,在原则上我们都可以通过求不定积分的方法与技巧按一定步骤求解得出.

2.1 计算有理函数的不定积分

2.1.1 有理函数的基本认识

有理函数,指由两个多项式的商表示的函数.其具体形式为:

P(x)a0xn?a1xn?1???an?1x?an,其中m,n都是非负整数;a0,a1,?,an及R(x)??Q(x)b0xm?b1xm?1???bm?1x?bmb0,b1,?,bm都是实数,同时a0b0?0,P(x)、Q(x)为互素的多项式[1].

8

有理函数分有真分式和假分式两种类型:若n

n?m,称此有理函数是假分式.利用多项式除法,假分式可以化为一个多项式和一

个真分式之和(称为部分分式分解),因此讨论有理函数的积分只需考虑真分式的积分方法即可[1].

如果Q(x)在实数范围内可分解成一次因式与二次质因式(??0)的乘积形式,即Q(x)?b0(x?a)?…(x?b)?(x2?px?q)?…(x2?rx?s)?,其中

p2?4q?0,?,r2?4s?0,则真分式

P(x)可以分解为如下部分分式之和形式: Q(x)B?A?A1A2B1B2P(x) ???…??…???…?Q(x)(x?a)?(x?a)??1x?a(x?b)?(x?b)??1x?b?M?x?N?M1x?N1M2x?N2??…??…

(x2?px?q)?(x2?px?q)??1x2?px?q?R?x?S?R1x?S1R2x?S2其中,A1,A2,…,A?;B1,B2,…,B?; ??…?2?2??12(x?rx?s)(x?rx?s)x?rx?s.

M1,M2…,M?;N1,N2,…,N?;R1,R2,…,R?;S1,S2…,S?都是常数[6].

最简真分式只有如下四种: ①

ABx?CBx?CA2,②,;③,④,(m?1)(k?1,p?4q?0). m22k(x?a)x?px?q(x?px?q)x?a2.1.2 有理真分式分解及部分分式法

依据以上理论,求有理函数的不定积分只需要由分解部分分式分别求其不定积分,应用待定系数法分解部分分式步骤简述如下:

①对Q(x)在实系数内进行标准的因式分解:

Q(x)?b0(x?a)?…(x?b)?(x2?px?q)?…(x2?rx?s)?;

②根据Q(x)所含各个因子,列出与之对应的部分分式: 如,分母Q(x)含因式(x?a)k,与之对应的部分分式是对于所有与因式(x2?px?q)k对应的部分分式为

AkA1A2; ??…?2kx?a(x?a)(x?a) 9

Bkx?CkB1x?C1B2x?C2.所有部分分式之和为R(x). ??…?2222kx?px?q(x?px?q)(x?px?q)③确定待定系数:

一般,所有部分分式经过通分相加,所得分式分母即为Q(x),同时,分子必然与原分子P(x)恒等.因此,各同幂项系数分别相等,于是我们可得出一个待定系数的线性方程组,方程组的解即为各项所需确定的系数.

注:分母Q(x)中如果含有因子Mk(M为关于x的一次因式或二次质因式),则

R(x)分解后为k个部分分式之和

AA1A2?2?…?kk. MMM计算有理函数积分的步骤:

先用待定系数法或赋值法将有理分式转化为部分分式之和的形式,再对各部分分式分别求不定积分.

x2?1dx. 例15 计算?(1?x)100分析:被积函数是有理真分式,若逐步确定A1,A2,?,A100比较困难,因此,可令分子应用赋值法转换成与分母的组成因子相关联的形式.

方法一 令分子x2?1?A(1?x)2?B(1?x)?C,解得A?1,B??2,C?2,于是

x2?1122dx?[???(1?x)100?(1?x)98(1?x)99(1?x)100]dx ?118(1?x?)97?(?1x?9)?9749299?(1x. )99方法二 令1?x?t,那么x?1?t,则dx??dt,于是

x2?1(1?t)2?11?971?98299dx??dt?t?t?t ?(1?x)100?t100974999 ?118(1?x?)97?(?1x?9)?9749299?(1x. )99当有理真分式的分母次数较大(大于等于4)时,常规的待定系数法显然比较麻烦,此时可以选择采用凑微分法或变量代换的方法;特别地,当被积函数的分母中含有因子xn(n?2,n?Z)时,一般采用倒置代换可将被积函数的分母中所含变量

10

因子xn消去.

x5dx例16 计算?6.

x?2x3?3分析:此题中被积函数的分母次数较大,根据其特点使t?x3,采用凑微分法可将

x6,x3,x5消去.

x5dx1tdt解:令t?x,则有dt?3x,于是?6 ?3?x?2x?33(t?1)(t?3)32x5dx1133?lnx?3?lnx?1?C. 整理得,?63x?2x?3412经过以上探索,我们会发现:有理函数的不定积分一定可以通过初等函数,如对数函数、有理函数及反正切函数等表达出来.那么,求一个函数的原函数就可以予以适当的换元,使被积函数转化为有理函数,于是这个函数的不定积分总能被”积”出——这样的方法称为”有理化法”[6].

2.2 计算三角函数有理式的不定积分

三角函数有理式是指三角函数、常数经过有限次的四则运算构成的函数,记为R(sinx,cosx);所谓计算三角函数有理式的不定积分,即计算?R(sinx,cosx)dx;求三角函数有理式的不定积分,其基本思想为:通过适当的变换,从而将三角函数的积分化成有理函数的积分,转化的过程通常利用到三角函数的”万能公式”[3].

x2求?R(sinx,cosx)dx,通常通过变换使t?tan,则有dx?dt, 221?txx2t1?t2x2xsinx?2sincos?cosx?cos?sin?;. 221?t2221?t2t1?t22,)dt. 所以,?R(sinx,cosx)dx??R(1?t21?t21?t2三角有理式的积分分类:

Ⅰ.若R(sinx,cosx)是关于cosx的奇函数,即R(sinx,?cosx)??R(sinx,cosx),令

t?sinx即可;

tanxcos4xdx. 例17 计算?sin2x

11

tanxcos4xcos3x?分析:是关于cosx的奇函数,可利用t?sinx代换求解.

sin2xsinxtanxcos4x1dx?(?t)dt, 解:令t?sinx,则dt?cosxdx,于是?2?sinxttanxcos4x12整理得?dx?lnsinx?sinx?C. 2sinx2Ⅱ.若R(sinx,cosx)是关于sinx的奇函数,即R(?sinx,cosx)??R(sinx,cosx),令

t?cosx即可;

sin3xdx. 例18 计算?cos4xsin3x分析:是关于sinx的奇函数,使用代换t?cosx求解. 4cosxsin3xt2?111dx?dt???3?C, 解:令t?cosx,则dt??sinxdx,于是?44?cosxtt3tsin3x11dx????C. 整理得?cos4xcosx3cos3xⅢ.若R(sinx,cosx)?R(?sinx,?cosx),令t?tanx即可;

cos2x?1dx. 例19 计算?sin4xcos2x?12cos4x?sin4x2?tan4x???(tanx)?可令t?tanx进行代换. 分析:4424sinxsinxcosxtanxcos2x?12?t42?31dx?dt?t?t?C, 解::令t?tanx,dt?,于是dx442??sinxt3cosxcos2x?12dx???tanx?C. 整理得?sin4x3tan?3xⅣ.被积函数形如sinmxcosnx,其原函数的计算具体情形分为两种:

①若m、n至少存在一个为奇数,假如有n?2k?1(k?N*),则可设t?sinx. 如,?sinmxcosnxdx??sinmxcos2kxcosxdx

12

??sinmx(1?sin2x)kd(sinx)??tm(1?t2)kdt. ②若m、n均为偶数,可借用三角函数的二倍角公式:

111sin2x?(1?cos2x),cos2x?(1?cos2x),sinxcosx?sin2x将被积函数化简,所

222得结果为含sin2x或cos2x奇数次幂时可借情形①求解;另外,若同时含sin2x、

cos2x的偶数次幂则需继续应用公式化简,化为含sin4x或cos4x的幂函数形式,以下情形类推.

例20 计算?sin4xcos2xdx.

分析:被积函数三角函数次数均为偶数,可利用公式”降次升倍”代换化简.

1?cos2xsin22x?dx, 解:?sinxcosxdx??2442整理得?sin4xcos2xdx?xsin4x1??sin32x?C. 166448Ⅴ.形如sinmxsinnx,sinmxcosnx,cosmxcosnx可应用积化和差公式进行代换:

1sinmxsinnx?[cos(m?n)x?cos(m?n)x];

21sinmxcosnx?[sin(m?n)x?sin(m?n)x];

21cosmxcosnx?[cos(m?n)x?cos(m?n)x].

2例21 求?sin(3x?2)cos(2x?3)dx.

1解:?sin(3x?2)cos(2x?3)dx?[sin(5x?1)?sin(x?5)]dx

21x5??1)xc?os(?C. 5) ??cos(102.3 计算某些无理根式的不定积分

Ⅰ.?R(x,nax?b)dx型根式不定积分(ad?bc?0). cx?dax?b可化为有理函数的积分.其中a,b,c,d均为常数,正整数n?2; cx?d令t?nndt?bax?b??(t),dx???(t)dt, 由t?n得x?a?ctncx?d 13

n?1n(ad?bc)tax?b于是?R(x,n). )dx??R[?(t),t]??(t)dt(其中,??(t)?(a?ctn)2cx?d有理函数所求导数仍是有理函数,即?R[?(t),t]??(t)dt为关于t的有理函数. 例22 计算?dx.

x?ab?xdx1x?a??dx,可应用上述代换. x?ab?xx?ab?x分析:将x?a有理化,于是有?解:令t?x?aa?bt22(b?a)t,于是x?,dx?dt; 222b?x1?t(1?t)1x?a1?t22(b?a)tdx??t??x?ab?x?(b?a)t2(1?t2)2dt

?2arctta?nC?拓展1 对于?R(x,(x?a2arctan?C.

b?xax?bp1ax?bpn),?,())dx(其中,n?N*,p1,?,pn?Q, cx?dcx?da,b,c,d为常数且ad?bc?0,R为n?1元有理函数.)型根式不定积分的.对此,设

tm?ax?b,m为p1,?,pn的公分母,即可将此无理根式的不定积分转化为有理函cx?d数的积分.

例23 计算?dx. 3x(1?x)11,p2?,于是m?6, 23分析:这里,n?2,p1?6t解:令?x,则?dxt5t2?1?1?6?3dt?6?dt?6t?6arctant?C, 223t(1?t)1?tx(1?x)整理得?dx66?6x?6arctanx?C. 3x(1?x)Ⅱ.?R(x,ax2?bx?c)dx型根式的不定积分(a?0时b2?4ac?0;a?0时

b2?4ac?0).

14

2??b?4ac?b2?b24ac?b2由于,ax?bx?c?a??x???于?,若取u?x?,k?22a?4a?4a2a????2是,f(x)?g(a,u2,k2),函数g有三种表示au2?k2;au2?k2;ak2?u2.于是可转化为?Ru,u2?k2dx;?Ru,u2?k2dx;?Ru,k2?u2dx类型的积分计算[1].

例24 计算?解:?1dx

x(9?x)????????????1dx dx??2x(9?x)9?(x?3)x?3)x?33?arcsin?C 3x?321?()3.d(??拓展2 对?R(x,a2?x2);?R(x,x2?a2);?R(x,x2?a2)型无理根式的不定积分.采用三角换元法代换求解,具体代换如下:

?②?R?x,③?R?x,①?Rx,a2?x2dx,可使x?asint或x?acost;

22?x?a?dx,可使x?asect; x?a?dx,可使x?atant.

22Ⅲ.二项微分式的积分,形如?xm(axn?b)pdx,(a,b?R,m,n,p?Q,且均不为0),此类积分在三种情况下可转化为有理函数的积分:

①p为整数;②

m?1m?1是整数;③?p是整数[3]. nn①可使x?tN,N为m,n的公分母;

情况②、③可使axn?b?tr或a?bx?n?ts,r为p的分母. 例25 计算?x4x?2dx.

m?11分析:?xx?2dx??x(x?2)dx,其中m?1,n?1,p?,于是?2符合上述②.

4n414 15

解:设x?2?t4,则x?t4?2,dx?4t3dt,于是

4985434xx?2dx?(t?2)?t?4tdt?t?t?C, ??959548整理得?x4x?2dx?(x?2)4?(x?2)4?C.

952.4 计算分段函数的不定积分

若分段函数连续,则原函数连续.在分别计算得到各区间的函数的原函数后,需由原函数在分界点的连续性确定得出各积分常数的关系[7].

?1?,0?x?1,例26 已知f?(lnx)???x且f(0)?0,求f(x).

??x,x?1,分析:由于y1?1与y2?x在(0,0)处连续,则该函数的原函数也连续. xt??e?x?C1,x?0,?e?t,t?0,解:令t?lnx,则x?e,f?(t)???t ?f(x)???xe?C,x?0.?e,t?0?2又有f(0)?0,得C1?1;

?xx?e)?lim(e?C2)?0, 因f(x)在x?0处连续,于是lim(1??x?0x?0??e?x?1,x?0,因此,C2??1,f(x)???x

e?1,x?0.?

16

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].-3版.北京:高等教育出版社,2001 [2]毕志伟.经济数学——微积分题解[M].武汉:华中科技大学出版社,2003.10 [3]张伟,汪赛,朱金艳.微积分（经济管理）学习辅导[M].北京:机械工程出版社 [4]朱孝春.不定积分分部积分中渗透逻辑推理与辩证法则的教学研究[J].浙江同济科技职业学院.高师理科学刊,2013,9.第33卷,第5期.97 [5]刘玉琏.数学分析讲义(上册)[M].第五版,高等教育出版社. [6]刘正荣.数学分析:全2册[M].北京:科学出版社,2012.

[7]孙明岩,冯明军.微积分学习指导[M].沈阳:东北大学出版社,2011.9

[8]孙振绮,(乌克兰)O.Φ.包依丘克.工科数学分析教程[M].-2版.北京:机械工业出版社,2007.5

17

The calculation methods of indefinite integral and expand

Abstract: The indefinite integral in mathematical analysis course occupies an important position.

The indefinite integral is the inverse operation of calculating differential, the basic premise is the calculation of definite integral function operation, Is an important way to deal with the specific application problems, such as, the problem of motion , the velocity of the liquid in Physics, the curve, and the surface geometry. This paper mainly expounds the indefinite integral of three kinds of commonly used calculation method and calculation method of four kinds of special functions.

Key: The original function; The indefinite integral; Variable substitution; The rational formula;

The rational; The rational formula of trigonometric function; Irrational root

18

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j28x.html