全球定位系统(GPS)中的广义相对论效应及其对系统静态绝对定位方程的修正

全球定位系统(GPS)中的广义相对论效应及其对系统静态绝对定位方程的修正

重庆大学

硕士学位论文

全球定位系统（GPS）中的广义相对论效应及其对系统静态绝对

定位方程的修正

姓名：宁王师

申请学位级别：硕士

专业：理论物理

指导教师：李芳昱

20060501

全球定位系统(GPS)中的广义相对论效应及其对系统静态绝对定位方程的修正

摘要

根据爱因斯坦广义相对论，引力将导致时空弯曲，描述地球引力场弯曲时空

效应的是广义相对论中球对称引力场的史瓦西解。

全球定位系统（GPS）中的相对论效应主要有：1）卫星高速运行的时钟延缓

效应（狭义相对论）；2）卫星上的引力势与用户接收机的引力势不同而造成的卫星钟与接收机钟走时不一致的广义相对论引力势效应。3）地球弯曲时空结构对卫星定位信号传播的影响。4）地球自转引起的惯性系拖曳效应。5）太阳、月球和其它天体的引力引起的地球周围时空的弯曲。

GPS系统静态绝对定位原理是GPS系统最基本的定位原理，它是通过测量定位

信号从卫星到用户接收机的传输时间，依据GPS卫星和用户接收机天线之间的距离（或距离差）观测量，并根据已知的卫星瞬时坐标，从而确定出用户接收机天线所对应的坐标点位，由于卫星钟和接收机钟走时存在误差，因此对所依据的距离观测量，采用卫星和用户接收机之间的伪距。现有的GPS系统仅考虑了由于卫星高速运行时的狭义相对论时间延缓效应和卫星与地面引力势不同，而造成的卫星钟和接收机钟走时不一致的影响，然而对定位信号从GPS卫星到用户接收机天线之间的传输，则认为处在牛顿平直时空中，并没有考虑由史瓦西解所描述的地球弯曲时空结构对信号传播的影响而造成的距离观测量的改变。

由于效应4）和5）太弱，本文给予忽略，因此在原有的GPS静态绝对定位方

程的基础上，运用广义相对论，在认为地球周围的引力场为静态球对称分布、卫星质量忽略不计且作圆周运动、其他天体对时空结构的影响忽略不计的情况下，把地球引力场对定位信号传播的影响加以考虑，即把体现定位信号在地球弯曲时空中传播的施瓦西度规的g00和g11分量考虑进来，经过严格的分析、证明和计算，

得到了更加严格的GPS静态绝对定位修正方程。

由于最终的修正方程为非线性方程，求解析解比较困难，故把假定的四颗卫星

位置坐标和地面接收机坐标代入到方程的修正项，运用mathematics进行计算，得到四颗卫星的修正量分别为：卫星1：0.00138367米；卫星2：0.000713467米；卫星3：0.00137875米；卫星4：0.000517142米，修正量仅有毫米的量级。

关键词：广义相对论，时空弯曲，局域观测量理论，史瓦西度规,全球定位系统

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ABSTRACT

AccordingtoEinstein’sgeneralrelativity,space-timeiscurvedbecauseof

gravitation.Theeffectofcurvedspace-timearoundearthischaracterizedbySchwarzschildsolution.

TherelativisticeffectstoGlobalPositionSystem(GPS)asfollows:1)theeffectof

timedelayofthespecialrelativity;2)theeffectofthegravitationalpotentialofthegeneralrelativity;3)theeffectofcurvedspace-timearoundearthonthesignaltransmission;4)theframe-draggingeffectfortherotationofearth.5）theeffectofcurvedspace-timeofsun,moonandcelestialbodieselse.

ThestaticabsolutepositionprincipleofGlobalPositionSystem(GPS)isthemost

radicalpositionprinciple.Bymeasuringthetraveltime,accordingastheobservedquantityofdistancefromtheGPSsatellitestogroundreceiver,andbasedontheknowninstantaneoussatellites’coordinates,finallygroundreceiver’scoordinatesareobtained.Butthereisclockbiasbetweensatellites’clocksandreceiver’s.SothedistanceobservationquantityofGPSisadoptedasthepseudo-rangebetweensatellitesandreceiver.

Nowadays，itisthoroughlyconsideredthattheeffectoftimedelayofthespecial

relativityandtheeffectofthegravitationalpotentialofthegeneralrelativity.Butthedistancebetweenthesatellitesandreceiveriscalculatedintheflatspace-time.Theeffectofthetransitionofpositionsignalincurvedspace-timeisnotconsidered.

Because4)and5)areveryweak,theyareignored.Soapplyingthegeneral

relativity,giventhattheearthgravityisregardedstaticandsphericallysymmetric,thatthemassofsatellitesisneglectedandthesatellitesmoveincircularorbits,andthatthecelestialbodiesotherthanearthmakenoaffectionstothespace-time,afteraseriousofcomplicatedcalculationandproof,themorestrictequationsareobtainedfortheGPSstaticabsolutepositionbyconsideringtheeffectofthetransmissionofsignalincurvedspace-time(thatis,g00andg11componentoftheSchwarzschildmetricisthoroughly

considered)onthebasisofpreviousstaticabsolutepositionequation.

Becausethefinalcorrectedequationisnon-linear,itisdifficulttogainthesolution.

Sotheequation’scorrectedtermsarecalculatedbythesoftwareofmathematics.Afterthesupposedfoursatellites’coordinatesandreceiver’scoordinatearetakenintoaccount,thecorrectionasfollows:satelliteone(0.00138367m);satellitetwo(0.000713467m);

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satellitethree(0.00137875m);satellitefour(0.000517142m),ofmagnitudeofmillimeter.

Keywords：GeneralRelativity,Curvedspace-time,Observedquantitytheory,Schwarzschild

metric,GPS

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1引言

卫星导航定位系统是一种利用空间卫星在任何时间向全球或区域任何地方提

供三维位置、速度和时间的信息系统。目前世界上正式投入运行的卫星导航系统有美国的GPS全球定位系统、欧洲的GALILEO全球卫星定位系统，俄罗斯的GLONASS和中国的“北斗一号”双星定位四大系统，但真正达到产业化水平的只有GPS系统，它被认为是20世纪影响人类社会的重大技术之一。

卫星定位技术是一项军民两用技术，具有精度高、实时性强、全天候等特点。

在民用领域它已得到大量应用，或已显示出巨大的应用潜力；在军事方面，它已经成为精确打击、军事力量调动部署和指挥等方面不可缺少的工具和手段，在现代战争中发挥无法替代的作用。

正是由于卫星定位系统的巨大作用，目前各大国都在积极研究和完善自己的

卫星导航定位系统：欧洲“伽利略”全球卫星定位系统首颗实验卫星顺利升空，标志着欧洲迈出了赶超美国全球卫星定位系统的关键一步，同时也显示了欧盟在太空探索和卫星导航定位领域已经处于世界领先水平，保证了欧盟在工业和科技领域的独立性；俄罗斯也计划发射3颗“GLONASS-M”卫星。预计，该系统将于2007年至少部署18颗卫星。当卫星总数达24颗时，其导航范围可覆盖整个地球表面和近地空间；印度也正在开发卫星导航系统，计划2007年投入使用，届时印度的导航系统将与GPS、GLONASS和“伽利略”系统相连接；日本则计划投入2000亿日元，建成由3颗卫星组成的“准天顶卫星系统”，该系统可以和GPS系统并用，定位精度高达十几厘米，预计在2008年投入使用；随着2003年5月25日我国第三颗“北斗一号”导航定位卫星的成功发射，标志着我国已建立了完善的第一代卫星导航定位系统，我国自行研制的卫星导航系统，投入经费少，研制周期短，能够全天候、全天时提供卫星导航信息，对我国国民经济发展具有重要意义。

毫无疑问，定位精度是卫星导航定位系统的核心，由于它的运行处于地球、

太阳、月球和其他天体的引力场中，因此，广义相对论效应必然会对它的定位精度产生影响,但有哪些效应？对定位精度的影响如何？是需要关心的问题。

由于全球定位系统（GPS）是目前国际上最为完善和成熟的卫星导航定位系统，

故对其进行了重点考虑，另外又由于太阳、月亮和其他天体的引力以及地球自转引起的惯性系拖曳效应非常弱，本文没有考虑，通过对GPS系统最基本的定位原理――静态绝对定位原理进行分析后，发现在对相对论效应的考虑上，仅考虑了由于卫星高速运行时的狭义相对论时间延缓效应和卫星与地面引力势不同，而造成的卫星钟和接收机钟走时不一致的影响，对由于地球弯曲时空对定位信号传播

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造成的影响没有考虑，在原理所依据的GPS卫星和用户接收机天线之间的距离观测量（伪距）的处理上，仅采用平直时空中两点间几何距离。时空的弯曲对定位信号的影响有多大?对定位方程的影响形式又是什么？就是需要解决的问题。

在对问题的分析过程中，我们又发现现有的GPS定位原理在考虑卫星高速运

行时的狭义相对论时间延缓效应和卫星与地面引力势不同造成时钟走时不一致的引力势效应对卫星钟的修正时，仅仅把二者简单相加，而这在理论上与严格按照广义相对论观测量理论所得的结果（见论文）有出入。

本文一共分为七章，第一章是引言；第二章是爱因斯坦广义相对论，主要内

容有相对论原理的历史、引力几何化、爱因斯坦场方程的提出、史瓦西外部解以及爱因斯坦理论的实验验证；第三章为全球定位系统，主要内容有GPS系统的组成、GPS系统的应用、GPS系统的技术特点以及GPS系统中的广义相对论效应；第四章为全球定位系统的定位原理及存在的问题；第五章GPS系统的静态绝对定位方程的广义相对论修正，本章是全文的重点，运用广义相对论原理，把时空的弯曲结构对信号传播的影响考虑进来，通过严格的运算、分析和证明，最终得到了更加严格的GPS系统静态绝对定位修正方程；第六章GPS系统静态绝对定位修正方程的修正量估算；第七章是全文的总结。

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2爱因斯坦广义相对论

狭义相对论所反映的物理规律是对惯性系而言的，即基本的物理规律应在一

切惯性系中取相同的形式，惯性系之间的变换为洛仑兹变换，这是狭义相对性原理。但是，现实的参考系显然并不限于惯性系这样一种特殊的参考系，自然界中是否存在完全理想的惯性系也还有问题。这自然就提出了这样一个很根本的问题：基本物理规律在一般参考系（包括非惯性系）中的形式是什么？一般参考系之间物理的变换形式又是什么？这正是爱因斯坦把建立在惯性系基础上的狭义相对论推广到建立在任一参考系上的广义相对论所要讨论的问题。

2.1相对性原理的历史

Newton力学定义了一类参考系，叫做惯性系，其中自然规律采取《自然哲学的数学原理》一书所给出的形式。例如，引力相互作用的质点系的运动方程是：

mimj(Xj-Xi)d2Ximi=Gådt2Xj-Xij（2.1）

式中mi是第i个质点的质量，Xi是它在时刻t的Descarts坐标。若以一组新

的时空坐标：

X'=RX+Vt+d,

t=t+t.'（2.2）

来表达，这些方程将具有同样的形式，式中V，d和t是任意实常量，R是任意实正交矩阵。(若O与O¢分别表示不带撇和带撇的坐标系，于是O¢看到O坐标轴被R旋转，并以速度V运动，且当t=0时为d所代替，而且O¢看到O钟比自己的钟落后一段时间t。)变换错误，未找到引用源。形成10个参数的群（R有三个Euler角，加上V和d各有三个分量，再加一个t），叫做Galileo群，而运动定律在这种变换下的不变性叫做Galileo不变性，或Galileo相对性原理。

使得Newton对这一点印象极深的原因是这样一个事实，即还有许许多多的变

换不能使运动方程不变。例如，如果变换到加速坐标系或者旋转坐标系中，也就是如果我们令V或R依赖于时间t，那么错误，未找到引用源。就不能保持它的形式。只有在一种特定的坐标系称为惯性系中，运动方程才可以保持它的通常形式。那么，是什么性质确定哪些参考系是惯性系呢？Newton认为，一定存在一个绝对空间，而惯性系就是在绝对空间中静止，或相对于绝对空间作匀速直线运动的那

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些参考系。Newton还描述了一些实验，用来论证它所解释的相对于绝对空间的旋转效应，其中最著名的就是水桶实验：

“如果把一个桶吊在一根长绳上，将桶旋转多次而使绳拧紧，然后盛之以水，

并使桶与水一道静止不动，接着在另一力的突然作用下，水桶朝反方向旋转；因而当长绳松开时，水桶将继续这种运动若干时间；水面最初会与桶开始旋转以前一样是平的；但此后桶逐渐把它的运动传递给水，使它明显地旋转起来，并逐渐离开中心而向桶的边缘升起，形成一个凹面，起初当水在桶中的相对运动最大时，这种相对运动并没有使水产生离开轴心的任何倾向，水没有显示出向四周运动并沿桶壁上升的趋势，而保持着水平。所以它的真正圆运动尚未开始。但是后来水的相对运动减小，水就因此趋向桶的边缘而在那里上升，这证明它是在努力离开转轴；这种努力说明水的真正圆运动在不断增大，一直到水在桶内处在相对静止时达到其最大数量为止……”

Newton关于绝对空间的概念，曾被他的劲敌GottfriedWilhelmvonLeibniz

(1646---1716)所拒绝。Leibniz争辩说，与物质客体相分离的任何空间概念都没有哲学上的必要。对于Newton绝对空间的第一次建设性批评是1880年由奥地利哲学家ErnstMach(1836--1916)发动的。他在《力学发展史》[1]中评论道：

“……旋转水桶实验仅仅告诉我们，水对于桶壁的相对旋转不产生任何显著

的离心力，而它对于地球及其它天体质量的相对转动才产生这种力。没有一个人能断言，如果桶壁的厚度和质量都增加，直到厚达几英里时，这个实验会有什么结果。”

这其中已经包含了Mach原理：认为“地球与其它天体的质量”对于决定惯性

系有若干影响。每个人都可以在星夜进行一个简单的实验，来弄清楚Mach原理所提出的问题。首先站着不动，让你的手臂放松下垂，观测恒星几乎是不动的，而你的手臂几乎垂直向下。然后你旋转身体，恒星看起来就围绕天顶旋转，而同时你的手臂由于离心力而上升。如果你的手背在其中自由下垂的惯性系，恰好就是典型恒星在其中静止的参考系，这样的巧合就实在太惊人了，除非在恒星和你之间有某种相互作用决定着你的惯性系。这个讨论可以作得更准确些。地球表面并不是严格的惯性系，而且地球的自转和公转当然使恒星产生视运动，但是只要用整个太阳系来定义惯性系，就可以消去这些效应。在这个惯性参考系中，观测到星系相对于通过太阳的任一轴的旋转平均小于每百年1 ！

这样，我们面临着不可回避的选择：或是承认存在着Newton绝对时空，它定

义了惯性系，并且典型星系对于它恰好是静止的；或是我们必须相信Mach的主张，即惯性归因于同宇宙平均质量的相互作用。如果Mach是对的，那么由一定的力给予一粒子的加速度应当不仅依赖于恒星的存在，而且也略微地依赖于粒子邻近的

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物质分布。

Einstein的等效原理对于惯性问题给了一个解答，既不同于Newton的绝对空

间，也不完全与Mach的结论一致。Einstein的等效原理必须用狭义相对论的语言来陈述，下面就简单谈谈狭义相对论的历史。

1864年，JamesClarkMaxwell(1831--1897)提出电动力学理论，但是显然

不满足Galileo相对性原理。例如Maxwell方程预言，真空中的光速是一个普适常数c，但如果它在一个坐标系(xi,t)中是正确的，那么它在由Galileo变换所定义的运动坐标系(xi¢,t¢)中将是不正确的。Maxwell本人设想电磁波由媒质（光学以太）运载着[2]，所以他的方程只成立于一种限定的Galileo惯性系，也就是相对于以太静止的坐标系中。

尽管地球相对于太阳有30公里/秒的速度，相对于银河系中心有大约200公

里/秒的速度，然而测量地球相对于以太的速度的所有尝试都失败了[3]。最重要的实验是由AlbertAbrahamMichelson(1852--1931)与E.W.Morley所做的[4]，他们在1887年证明，沿着地球轨道运动运动的方向和与之垂直的方向传播的光速是相同的，误差小于5公里/秒。这个结果改后来善到约[5]为1公里/秒。

实验家们探测地球穿过以太运动效应的不断失败，引导理论家们，包括George

FrancisFitzgerald，HendrikAntoonLorentz与JulesHenriPoincaré[6]提出为什么这种“以太漂移”效应在原则上不可能观察到的理由。看来特别是Poincaré和Lorentz已经看见这将给力学带来一场革命。但是对于力学和电动力学中相对性问题的广泛解答，是1905年由AlbertEinstein[7](1879--1955)第一次详细提出的。

Einstein建议,用另一种10个参数的时空变换,叫做Lorentz变换,来代替

Galileo变换,可以保持Maxwell方程和光速不变。Newton力学的方程，在Lorentz变换下是不变的；所以，这就引导Einstein修改运动定律使之成为Lorentz不变的。由Maxwell的电动力学与Einstein的力学所组成的新物理学，就满足了新的相对性原理，即狭义相对性原理。这个原理说，一切物理方程在Lorentz变换下不变。

Lorentz变换群并不大于Galileo群。所以，相对性原理并不是起源于狭义相

对论，而宁可说是由于它而得以恢复。在Maxwell以前，可以假设全部物理学在Galileo群下具有不变性。但Maxwell方程在Galileo群下没有不变性。因此在半个世纪之中，似乎只有力学才遵守相对性原理，而电动力学则不然。在Einstein之后，弄清了力学与电动力学的方程都具有不变性，然而是对于Lorentz变换不变，而不是对于Galileo变换不变。由Maxwell和Einstein定形的物理学规律仍然只能在限定的一类惯性参考系中成立，至于是什么决定这些惯性系的问题，在

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1905年以后还是如在1686年一样是个未解之谜。

余下的任务是建立引力的相对性理论。朝着这个目标的决定性的一步是在

1907年迈出的，那一年Einstein提出了引力与惯性等效原理[8]，而且用它计算了光在引力场中的红移。这个原理确定了引力对任意物理系统的影响，但是它不能确定引力本身的场方程。1911年，Einstein试图应用等效原理计算光在太阳引力场中的偏折，然而当时场的结构尚未确知，而Einstein的解答只是广义相对论结果的一半。为了建立对于单个标量引力场的相对性场方程，在1911—1912年间由Einstein,Abraham和Nordström作了许多努力，但是Einstein主要基于美学的观点很快就对所有这些理论不满意了.与数学家MarcelGrossman的合作使Einstein在1913年得到一种观点[9]:引力场必须等同于伪Riemann时空几何的度规张量的10个分量.等效原理是通过物理方程在一般坐标变换下保持不变性的要求而纳入这种表述的.以后两年间,Einstein向普鲁士科学院提出了一系列论文

[11],在其中他创立了度规张量表示的场方程,并且计算了光线的引力偏折和水星近日点的进动.这些辉煌的成就最后被Einstein总结在他1916年发表的论文“广义相对论基础”中.下面就将Einstein创立广义相对论的背景、过程作一个比较详细的陈述。

2.2引力几何化

1906年，法国数学家Poincaré在所发表的一篇论文中，以实现洛仑兹群协变

的要求为前提，构造了第一个相对论引力理论。他认为洛仑兹变换下的协变性不仅应体现在麦克斯韦电磁场方程的数学结构中，对于一切非电磁起源的力，包括引力，也应具有类似的协变特征。与此同时，Poincaré还指出，引力作用也像电磁作用一样具有光速的传播速度。以后，俄国-德国数学家Minkowski和德国物理学家Sommerfeld又把这一理论表述为四维矢量分析形式。尽管Poincaré、Minkowski等人的引力协变理论尚存在着一些缺陷，但是他们毕竟找到了第一个协变性的引力理论，由这一理论得出的计算结果与观测值相比较，比牛顿理论的精确度要高，它还成功地给出了引力质量与惯性质量的等同性解释，更注意满足了场论的要求。他们的工作，不仅为以后的物理理论几何化研究奠定了基础，而且这一理论的尝试与缺陷都已成为爱因斯坦建立更为成功的引力理论的借鉴。

虽然Lorentz与Poincaré对洛仑兹变换都有着浓厚的兴趣，但是真正能够理

解它，并赋予它物理实在意义的却是爱因斯坦。在这方面，他们之间的主要差异就在于对时间，即同时性的理解。只有认识到，时间与空间不可分割，它们统一在同一个变换方式之中，才能真正地把洛仑兹变换当成一种物理实在，而不仅仅是一种数学手段。

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1905年，爱因斯坦发表了《论动体的电动力学》[12][13]，“爱因斯坦用他的相

对论发动了物理科学中的一次思想革命”，在这篇论文中，爱因斯坦是这样总结的，“狭义相对论导致了空间和时间物理概念的清楚解释，并且由此认识到运动着的量杆和时钟的行为。它在原则上取消了绝对同时性概念，从而也取消了牛顿所理解的那个即时超距作用概念。它指出在处理同光速相比不是小到可忽略的运动时，运动定律必须加以修改。它导致了麦克斯韦电磁方程形式上的澄清，特别是导致了对电场和磁场本质上同一性的解释。它把动量守恒和能量守恒这两条定律统一成一条定律，并且指出了质量与能量的等效性。”1907年，爱因斯坦又在《关于相对论原理和由此得出的结论》论文中，进一步阐明E mc2[14]的意义。1906年，相对论的最早支持者Plank证明，运动方程可以借助引入拉格朗日函数:

v2 L m0c 1 2 c 2

利用最小作用量原理推出。1907年，担任Plank助教的德国物理学家Laue(1879～1960)运用相对论运动学导出了菲涅耳曳引系数，并解释了菲索实验。1909年美国物理学家Lewis和托尔曼对具有绝对时空观的牛顿力学进行了改造，引入了相对论动量，使动量守恒与能量守恒定律具有了协变形式，为相对论动力学研究奠定了坚实的基础。在这些成果中，最引人瞩目的、也是对广义相对论的建立最具有影响的是Minkowski四维时空的提出。1908年9月21日在科隆举行的第八届德国自然科学家和医生大会上，Minkowski作了《空间和时间》的著名讲演。Minkowski不仅是爱因斯坦以外第一个明确了时空观念的变化，同时还利用他的四维时空给予了相对论理论一个非常优美和简洁的数学形式。他的四维理论在简化了相对论理论体系的同时，也成为狭义相对论向广义相对论过渡的纽带，自然为广义相对论的建立奠定了基础。

但是,狭义相对论有两个明显的缺陷:（1）它依赖于惯性系，并承认它的特殊

地位；（2）它不能包容引力理论。最初，爱因斯坦试图在狭义相对论的理论框架之中，建立一个新的相对论理论，以包容引力。“最简单的作法是当然保留拉普拉斯的引力标量势，并用一个关于时间微分项，以明显的方式来补足泊松方程，使狭义相对论得到满足。”但是，很快地他就察觉到了其中的困难，而且意识到“虽然惯性和能量之间的关系已经如此美妙地从狭义相对论中推导了出来，但是惯性和引力之间的关系却没能得以说明，我猜想，这个关系是不能依靠狭义相对论来说明的。”

在建立相对性引力理论过程中，爱因斯坦、庞加莱及闵科夫斯基最初的尝试

都未能成功，其关键都在于与理论相关的时空结构。

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在迈向成功的道路上，爱因斯坦获得飞跃性的认识来源于对刚体转动圆盘的

研究。在他1912年2月所发表的《光速和引力场的静力学》一文中，他认为，由于洛仑兹收缩，圆周与半径之比不再为2 ，这表明，惯性系的观察者得出沿圆周运动方向运动的尺有尺缩效应，而相对非惯性旋转系的观察者根据等效原理，会认为所在系是静止不动的，却存在着一个“离心的引力场”，由于圆周与半径之比不再为2 ，他自然会解释为，由于这一引力的存在，使欧几里德几何不再成立。将这一结论扩展到一切真实引力场，有引力的空间都将不再是欧几里德的。这就是爱因斯坦所解释的“把等效原理和狭义相对论结合起来，很自然地得出，引力与非欧几何联系在一起”的结论。当时爱因斯坦对非欧几何所知甚少，仅在大学读书时从Geiser教授那里学到一点微分几何的知识，正是其中有关高斯曲面理论使爱因斯坦受到启发。他曾回忆道，“直到1912年，当我偶然想到高斯的曲面理论可能就是解开这个奥秘的关键时，这个问题才获得了解释。我发现，高斯曲面坐标对于理解这个问题是十分有意义的。”

德国数学家高斯(Gauss)从大地测量中受到启发，创立了二维曲面的微分几何

理论。他在曲面上引入曲线坐标u和v，并证明曲面上任意线元具有如下普遍形式：

ds2 g11du2 g12dudv g21dvdu g22dv2（2.3）

其中g11,g12,g21,g22均为变量u和v的函数，称之为度规，它们由曲面的物质所决定。根据高斯的曲线坐标和度规，不仅可以确定曲面上的测地线（即弯曲空间的“直线”），还可以找到曲面的曲率，并进一步证明曲面所在空间的非欧几里德性质。高斯曲面即为一种弯曲的二维空间结构，然而在其中一点的任意一个小的邻域上，它应近似为平面，在这个局域，欧氏几何仍将成立，并与局域的笛卡尔系相对应。

爱因斯坦把引力空间与高斯曲面理论做了类比思考，他发现，引力所在的空

间具有类似高斯曲面的几何性质，特别是当他把闵可夫斯基对狭义相对论所做的解释与引力问题联系起来以后，就更认识到其中的重要含意，这些观念成为了广义相对论理论形成的重要因素。他曾说“没有这个观念，广义相对论恐怕无法成长”，因为闵可夫斯基的四维世界“与高斯曲面理论相结合，向人们展示，存在引力场时，空间是弯曲的，欧氏几何不再成立，这表明引力场中不存在全局性的或大范围的惯性系，但对每一时空点附近的一个小的区域而言，却是闵可夫斯基平直的，欧氏几何仍成立，同时也存在与之对应的‘局域惯性系’。”这实际就是“爱因斯坦升降机”的思想。爱因斯坦明确地指出，“高斯的曲面理论与广义相对论间最重要的接触点就在于度规的性质，这些性质是建立两种理论概念的重要基础。”在1912年3月，爱因斯坦在《静引力场理论》中又指出，“等效原理

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只能在局域中成立”，这一系列思想表明，爱因斯坦看到了引力与时空几何结构间的联系，这就是引力场影响着时空结构，决定着它的度规的规律。

在广义相对论建立过程中，更具有重要意义的事情就是爱因斯坦与他的老同

学格罗斯曼（Crossmann）的合作。在格罗斯曼的帮助下，他学习了黎曼几何、里奇与列维-契维塔的张量分析，这一理论体系是以高斯-黎曼及克利斯托菲尔关于非欧几何流形的研究为基础发展起来的，它很快地被用到了广义相对论的引力理论之中。从1912年8月开始，爱因斯坦与格罗斯曼合作，先后发表了三篇论文，它们标志着广义相对论正在成功建立。1913年，在爱因斯坦与格罗斯曼联合发表的重要论文《广义相对论纲要和引力理论》[15]中，他们提出了引力的度规场理论，用来描述引力场的不再是标量势，而是10个引力势函数的度规张量，引力与度规的结合，使黎曼几何获得了实在的物理意义，物理研究向着几何化迈进了决定性的一步。

2.3爱因斯坦场方程的提出

在格罗斯曼的帮助下，爱因斯坦找到了适用于广义相对论理论所需要的数学

工具─绝对微分学。但是，在一开始所得到的引力场方程只对线性变换才是协变的，还不具有广义相对性原理所要求的在任意坐标变换下所具有的协变性，这是因为在当时，爱因斯坦还不太熟悉张量运算，他只保留了守恒定律而放弃了广义协变关系。尽管这一尝试还不算成功，以研究复变函数、特殊函数，并于1902年得到拉普拉斯方程普遍解而闻名于世的英国数学家Whittacker却给予它很高的评

g价。他认为用十个引力势函数 确定引力场是一个巨大的创新，因为它意味着抛

弃一个由来已久的信条，即引力场能被一个单一的标量势所描述。在爱因斯坦重新回到普遍协变要求并对黎曼-克里斯托菲尔曲率张量有了新的认识以后，相对论引力理论的研究有了真正的进展。此时，引力问题与度规张量、曲率张量和能量动量张量联系在了一起。顾及到协变性要求，爱因斯坦得到了引力场方程

18 GR g R 4T g .（2.4）2c

通常形式的爱因斯坦场方程不包含宇宙项：

R 18 Gg R 4T .2c（2.5）

在自由空间中，Einstein场方程变为

1R g R 0.（2.6）2

其中：R 是里奇张量，R为标量曲率，T 为能动张量， 为宇宙学常数。

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广义相对论理论依赖于两个彼此独立的假定。第一个假定是，引力场对物质

的影响可以利用弯曲时空度规g 代替平直时空度规(闵可夫斯基度规)描述。其实，这就是等效原理的数学表述，这一假定已被厄阜扭秤实验，以及以后的迪克、Belinsky等人的实验所证实。第二个假定包含在爱因斯坦的引力场方程之中。这个方程假定了描述时空弯曲的度规与物质及能量分布间的联系，又因为能动张量还与其它非引力性质的力有关，这一方程又反映了引力场与其它力的关系。广义相对论的核心内容是：物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动[16]。

引力场方程是高度非线形的，由于缺乏寻找严格解的普遍方法，只能找到特

殊情况下的近似解。例如，史瓦西所得到的解就是静态球对称引力场的特殊解，它已经被著名的三大实验所验证[17]。在得到史瓦西解的同时，一个棘手的问题出现了：这就是在史瓦西半径上的度规分量奇点的出现。尽管后来爱丁顿与奥本海默分别找到了消除奇点的坐标系，但是直到40多年以后，即1959年，Fronskel、Finkelstein及Kruskal引入了新坐标系，才不仅消除了奇点，而且在r 2M处还能以“咽喉”将两个渐近平直区域连通起来。（2.5）式的建立，标志着Einstein引力理论即广义相对论的形成。

2.4史瓦西外部解

2.4.1解的形式

史瓦西场是指球对称分布、相对静止的物质球外部的引力场。这是一种最基

本的引力场。

球对称分布、半径为r0的静止质量体产生球对称引力场，在坐标(ct,r, , )下解爱因斯坦引力场方程得到物质外部真空区域的史瓦西外部解为：

2GM 1 c2r 0 0 0 0 0 r2sin2 00 2GM 1 2 cr 00 100 r20g （2.7）时空线元为：

2GM22dr2

ds (1 2)cdt r2(d 2 sin2 d 2)（2.8）2GMcr(1 2)cr

此解适用于r r0区域，与球体物质具体的质量分布无关。其中：M为物质总质量。2

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2.4.2解的讨论

因为goi 0(i 1,2,3)且g 与t无关,所以可以在整个史瓦西场中统一坐标钟,

同时事件就是坐标时相等的事件。

当r 时，g00 1，g11 1，即距M无限远处,黎曼空间近似为平直的

闵氏空间,引力趋于零。

由固有时与坐标时普遍关系及史瓦西解得到：

d (r) 。（2.9）由此得到：d ( ) dt，即坐标钟相当于无限远处标准钟。用r处标准钟测d ( )，

( ) d ( )，即引力场中标准钟比无限远处标准钟走得慢,引力越强钟走得越慢。结果为d (r) 2.5爱因斯坦理论的实验验证

爱因斯坦引力理论自建立以来，经受了各种实验的检验，其中最著名的四大

经典验证为：①谱线的引力红移；②水星近日点的进动；③光线的引力偏折；④雷达回波的延迟。

2.5.1谱线的引力红移

在牛顿理论中，只有光源与观察者相对运动所引起的多普勒红移。引力红移是广义相对论的独特结果，引力红移量定义为：

Vn（2.10）n

其中，Vn表示光源发生光波的固有频率n1和观察者测得的频率n2之差，n1和zº-

n2有如下关系[18]：

æ1/2ç1+(1)öçn2æg00÷÷==(2)÷÷n1çg00øçè1+ççè

移公式为2x1ö÷2÷÷2÷÷2øc÷1/2（2.11）上式中，x1，x2分别表示光源和观察者的坐标。在弱场近似条件下，引力红zº-VnVx=2nc（2.12）利用上式计算出太阳谱线的引力红移的理论值为zº-Vn=2.12´10-6。n

1961年，J.E.Blamont,E.Roddier,1963年，J.Branlt测得的观测值为

z=(2.12´10-6)´(1.05±0.05)[19]

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因此，观测值以5%的精度验证了理论值。

1958年发现的Mössbauer效应给地面实验直接验证引力红移提供了可能性，

红移公式为[20]

Vng=2Hnc

1964年，Pound,Rebka取VH=22.5m，得到理论值

测值（2.13）Vn=(0.997±0.008)´4.92´10-15。因此，观测值以不超过1%的精度验证了n

理论值。Vn=4.92´10-15；观n

2.5.2水星近日点的进动

在以太阳为原点的Schwarzschild坐标中，广义相对论算出相邻二次近日点的角位移为

æ11ö÷÷eºVj-2p=3pm+÷÷r1r2øè（2.14）

式中r1为远日点距离，r2为近日点距离。这个式子很好地解释了水星近日点的

¢剩余进动——43¢/百年。爱因斯坦在给埃伦菲斯特的信中曾这样写道：“……方

程给出了水星近日点的正确数字，你可以想象我有多高兴！有好几天，我高兴得不知怎样才好。”

2.5.3光线的引力偏折

等效原理认为，光子具有引力质量，光子能产生引力场，也必会受其它物体

的引力场的作用。因此，掠过太阳表面的星光将发生偏折。计算表明[21]，

4GMe 1.75 .（2.15）Re

1919年5月29日发生日全食时，两个观测队第一次实测了通过太阳表面的星

¢光的偏折。Dyson得到的观测值为(1.98±0.16)¢，Eddington得到的观测值为

¢(1.61±0.40)¢。这与相对论的结果相符。在以后的各次日食中，对四百多颗恒星

¢作了这种观测，平均值为1.89¢，与广义相对论符合得很好。

2.5.4雷达回波的延迟

1964年，美国物理学家I.I.Shapiro[22]首先提出，可利用行星的雷达回波延迟

效应验证引力场方程。夏皮罗从地球上利用雷达发射一束电磁波脉冲，这些电磁波到达其它行星之后，将发生反射，然后再回到地球，被雷达接收到。我们可以测出来回一次的时间，并对比两种不同的情况，一种是电波来回的路程远离太阳。这时太阳的影响可以不计；一种是电波来回的路程要经过太阳附近，受到引力场的作用。后一种情况的回波要比前者延迟一些，这就是太阳引力场感应的传播时间的加长，或叫做雷达回波的延迟。它被许多人称作继前述的三大经典检验以后

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对广义相对论的第四大检验[23]。雷达回波的延迟是一种时间效应。

如图2.1

所示:

如果空间是平直的，则地球E发出的雷达信号经行星P反射回来，此雷达往返时间显然为：

2PE2(a b) 。cct0

但由于太阳引力场的作用，使时空是弯曲的，故雷达信号实际上是在太阳引

力场的弯曲时空中传播的，时间会有延长。太阳可以看作静态球对称质量，故其解为史瓦西度规，即：

2GM22dr2

2ds (1 2)cdt r2(d 2 sin2 d 2)cr(1 2)cr

由于光子路径为零短程线，即ds2 c2d 2 0，把太阳S、地球E、和行星P

所绝定的平面作为XZ平面，则d 0

可得：

2GM2dr2r2

2d (1 2dt 2d 02GMcrc2(1

2)ccr2

经过理论推导，最终可得出有太阳引力场存在时雷达信号的往返时间：

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(rp b)(re a)ba2(a b)2GMt 3[2ln ( )]2ccRrpre

第二项是广义相对论修正项。(2.16)由上式可见，第一项显然是平直时空中光走过的时间（即欧氏几何的结果），

在地球上观测到经水星反射的雷达回波总延迟量理论值为2.4´10-4s，1968

年，I.I.Shaprio得到的观测值为(2.4´10-4s)´(0.9±0.02)；1977年，J.D.Anderson等对水手VI,VII号人造卫星测得Dt实=Dt理´(1.00±0.04)。

观测值与理论值符合得很好。

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3全球定位系统（GPS）

1973年12月，美国国防部批准陆、海、空三军联合研制一种新的卫星导航系

统——卫星测时测距导航/全球定位系统（NavigationbySatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem）[24]。我们称之为全球定位系统（GPS）。简称GPS系统。它是美国国防部的第二代卫星导航系统。由三大部分构成：GPS卫星星座（空间部分），地面监控系统（控制部分）和GPS信号接收机（接收部分）。三者关系如图3.1

所示。

图3.1三部分构成的GPS系统示意图

Fig3.1Sketchillustratingofglobalpositionsystemmadeofthreeparts.

它是以卫星为基础的无线电导航系统，具有全能性（陆地、海洋、航空、航

天）、全球性、全天候、连续性、实时性的导航、定位和定时等多种功能。能为各类静止或高速运动的用户迅速提供精密的瞬间三维空间坐标、速度矢量和精确授时等多种服务。

GPS计划经历了方案论证（1974～1978年），系统论证（1979～1987年），试

验生产（1988～1993年）三个阶段，总投资300亿美元。整个系统分为卫星星座、地面监测控制系统和用户设备三大部分。论证阶段发射了11颗BlockⅠ型GPS实验卫星（设计使用寿命为5年）；在试验生产阶段发射了28颗BlockⅡ型和BlockⅡA型GPS工作卫星（第二代卫星的设计使用寿命为7.5年）；第三代改善型GPS卫星BlockⅡR和BlockⅢ型GPS工作卫星从90年代末开始发射计划发射33颗，以逐步取代第二代GPS工作卫星，改善全球定位系统[25]。

在GPS系统设计之处，美国国防部的主要目的是：GPS系统能够在陆海空3

个领域内提供实时、全天候和全球性的导航服务，并用于情报收集、核爆监测和

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应急通信等一些军事目的。但是，对GPS实验卫星的应用开发表明，GPS系统不仅能够达到上述目的，而且用GPS卫星发送的导航定位信号能够进行厘米级精度的静态定位，米级甚至亚米级精度的动态定位，亚米级甚至厘米级精度的速度测量和豪微秒级精度的时间测量，因此，GPS系统展现了极其广阔的应用前景[26]。

3.1GPS系统的组成

GPS系统由三大部分组成[27]：空间部分—GPS卫星星座；地面控制部分—运行

控制系统；用户部分—GPS信号接收机。

1．卫星星座：如图3.2所示，全球定位系统的空间卫星星座，由分布在六个

独立轨道的24颗GPS卫星组成（21颗工作卫星和3颗在轨热备份卫星），卫星分布在6个等间隔的、倾角为55°的近圆轨道上，卫星运行周期718min；卫星高度H=20200km；卫星分布如图2所示。卫星通过天顶附近时可观测时间为5小时，在地球表面任何地方任何时刻高度角15度以上的可观测卫星至少有4颗，平均有6颗，最多达11

颗。

GPS卫星上主要由具有长期稳定度原子钟（其误差为1s/300万年）、L波段双

频发射机、S波段接收机、伴随机码发生器及导航电文存储器。卫星的主要任务是播发导航信号。卫星采用3种频率工作：f1(1575.42MHz)和f2(1227.6MHz)用于导

航定位，f3(1381.05MHz)是GPS卫星的附加信号，发射能探测到大气中核爆炸的

星载传感器信息。在卫星飞越地面控制部分上空时，接收由地面控制部分用S波段发送到卫星的导航电文和其他信息，并用L波段发送给地面用户；同时接收地

面控制部分发送的卫星调度和控制命令，适时地改正运行偏差或启用备用时钟等。

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卫星采用两种伪随机码对发射信号进行调制，一种是保密的精密码（P）码，它同时调制调制在f1和f2两个频率上，主要是向美国及其盟国的军事用户提供精密定

位服务，另一种是粗捕获码（C/A）码，仅调制在f1上，向全世界民用用户提供标

准定位服务。卫星发播的导航电文包括：卫星星历、时钟偏差校正参数、信号传播延迟参数、卫星状态信息、时间同步信息和全部卫星的概略星历。导航电文通过两种伪随机码的扩频调制后发射给用户。用户通过对导航电文的解码，可以得到以上各参数，用于定位计算。

2．地面控制系统：GPS系统的地面控制系统是整个系统的神经中枢，是保证

整个系统运行的核心，由美国国防部监管。它由1个主控站；3个信息注入站和5个卫星监测跟踪站（分布情况如图3所示）组成。

主控站设在美国科罗拉多州的一个军事基地的山洞里。主控站主要负责协调

和管理地面监控系统，根据各监测站资料，推算预报各卫星的星历、钟差和大气修正参数编制导航电文；对监测站的钟差、偏轨或失效卫星实行调控和调配。并将导航电文、指令传送到注入站。

3个注入站分别位于阿松森、迭哥伽西亚、卡瓦加兰——赤道带附近的美国

海外空军基地。注入站主要任务是：将主控站推算和编制的卫星星历、导航电文、控制指令注入相应的卫星的存储系统，并监测GPS卫星注入信息的正确性。

5个监测站分别位于夏威夷、科罗拉多、阿松森、迭哥伽西亚、卡瓦加兰，

主要负责监测卫星的轨道数据、大气数据以及卫星工作状态。通过主控站的遥控指令监测站自动采集各种数据：对可见GPS卫星每6分钟进行一次伪距测量和多普勒积分观测、采集气象要素等数据，每15分钟平滑一次观测数据。所有观测资料经计算机初处理后储存和传送到主控站，用以确定卫星的精确轨道。

3．用户部分

用户部分主要是各种类型的GPS接收机。接收机的主要功能是：接收卫星发

播的信号并利用本机产生的伪随机码取得距离观测值和导航电文；根据导航电文提供的卫星位置和钟差改正信息、计算接收机的位置。

用户设备主要由GPS接收机硬件和数据处理软件，以及微处理机及其终端设

备组成；GPS接收机硬件一般包括主机，天线和电源。软件部分是指各种后处理软件包，其主要作用是对观测数据进行精加工，以便获得精密定位结果。

3.2GPS系统的应用

GPS卫星所发送的导航定位信号，是一种可供无数用户共享的空间信息资源

[28]。陆地、海洋和空间的广大用户，只要持有一种能够接收、跟踪、变换和测量的GPS信号接收机，就可以全天候和全球性地测量运动载体的七维状态参数和三

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