24.1.3垂径定理及推论的应用 11月19日

24.1.2垂径定理及推论的应用

垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧。C

∵ CD是直径，CD⊥ABO · A

∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.B

⌒

⌒

⌒

⌒

E D

垂径定理推论平分弦(不是直径)的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。C

∵ CD是直径， AE=BEO · A

∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.B

⌒

⌒

⌒

⌒

E D

一、利用垂径定理及推论的有关 计算问题

例1:如图，圆 O 的弦AB=8 ㎝ , DC=2㎝,直径 CE⊥AB 于D, 求半径OC的长。

EE

AA

O DD

O

B

B

CC

C

rA

O

反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、半弦长1/2a中， 任意知道两个量，可根据 定 理求出第三个量：D

d 1/2a

B

练习1:在圆O中，直径CE⊥AB于 D,OD=4 ㎝,弦AC= 10 ㎝ , 求圆O的半径。 EE

O AA

O

DD

BB

CC

2.如图，AB是⊙O的弦,∠OCA=300 OB=5cm,OC=8cm,AB= ;

O

8530°

A

┌D

B

C

3、如图，⊙O的直径为10,弦AB=8, P为AB上的一个动点，那么OP长的取值 范围 是 3cm≤OP≤5cm 。

O

A

C

P

B

4、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一 点，且OP=3cm, 则过P点的弦中， (1)最长的弦= cm (2)最短的弦= cm (3)弦的长度为整数的共有( ) A、2条 B、3条 C、4条 D、5条

C5

A

4

O 3O P

D

B P

5、某圆直径是 10, 内有两条 平行弦,长度分别为 6 和 8 求这两条平行弦间的距离.

1或5

例2如图,一条公路的转变处是一段圆弧( 即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其 中CD=600m,E为弧CD上的一点,且 OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯 路的半径. C

二、垂径定理解决实际问题

E

545m

●

F

O

D

练习1.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水 面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有 一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出 水面2米的货船要经过这里,此货船能顺 利通过这座拱桥吗？

大册69页第9题

三、利用垂径定理及推论作图

例3

C

⌒ 已知：AB. ⌒ 求作：AB的中点.

E

A作法：

B

1. 连结AB. 2. 作AB的垂直 ⌒ 平分线 CD,交 AB于点E.

⌒ 点E就是所求AB的中点.

D

⌒ 已知：AB. ⌒ 求作：AB的四等分点.作法： 1. 连结AB. 2. 作AB的垂直 ⌒ 平分线 ，交AB 于点C. 3. 连结AC. 4. 作AC的垂直 ⌒ 平分线 ，交AC 于点D. 5. 点E同理.

C DA

E B

⌒ 点D、C、E就是AB的四等分点.

作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线 A

×

C

B

等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线.

⌒ 你能确定AB的圆心吗？C 作法： 1. 连结AB. 2. 作AB的垂直 A ⌒ 平分线 ，交AB 于点C. 3. 作AC、BC的 垂直平分线. 4. 三条垂直平分 线交于一点O.

B

⌒ 点O就是AB的圆心.

O

你 能 破 镜 重

m

nA

C

圆

B O

吗 ？ 作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n, 交于O点；以O

为圆心，OA为半径作圆. 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧.

判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧

课堂练习 1、在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C,D两点. 求证：AC=BD.O .

A C

E

D

B

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