一个比较精细的正项级数判别法
更新时间:2023-09-17 12:36:01 阅读量: 幼儿教育 文档下载
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一个比较精细的正项级数判别法
?摘要:本文用级数?n?31nlnpn做比较标准,得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的
判别法,笔者称之为“对数判别法”。
关键词:比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法
目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法,然而此判别法有时精确度仍
?然不够。以下本文就以级数?1pn?3nlnn做比较标准,得到一个比拉阿比判别法更为精细又应
用方便的判别法——“对数判别法”。
?我们先看级数?n?31nlnpn的敛散性:当p?1时级数收敛;当p?1时级数发散。这
个结论可用柯西积分判别法证明(具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》),本文不再细述。
先考虑发散的情况。由比较判别法有:设数列{un}是正项数列,若n足够大时,有
unun?1?(n?1)ln(n?1)nlnn
?成立,则?un发散。
n?1为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”:
unun?1?(n?1)ln(n?1)nlnn?nun(n?1)un?1?1?ln(n?1)?lnnlnn,
由拉格朗日中值定理知,对任意n,存在?n?(n,n?1),使得 ln(n?1)?lnn?1?n,
故
unun?1?(n?1)ln(n?1)nlnnnun(n?1)un?1??nlnn[nun(n?1)un?1?1]?1,
要使n足够大时有?nlnn[
?1]?1成立,只需
1
lim?nlnn[n??nun(n?1)un?1nun?1]?1,
而显然 limn???nn??1,故当 limnlnn[n??(n?1)un?1?1]?1时,?un发散。
n?1
收敛的情况可类似讨论:设数列{un}是正项数列,若存在p?1使得n足够大时,有
unn?1)]pu?(n?1)[ln(
n?1n(lnn)p?成立,则?un收敛。
n?1 因为
upppnnnu?(n?1)[ln(n?1)]n?1n(lnn)p?nu(n?1)u?1?ln(n?1)?lnn?1lnpn,
由拉格朗日中值定理知,对任意n,存在?n?(n,n?1),使得 ln(n?1)p?lnnp?p[ln?n]p?1?,
npp?1故
unu?(n?1)[ln(n?1)]n?p?1n?1n(lnn)p?nlnn[nu(n?1)u?1]?pn[ln?n]n?1n[lnn],p?1要使n足够大时有 nlnn[nun(n?1)u?1]?pn[ln?n]p?1n?1?n[lnn] 成立,只需
limnlnn[nun?limpn[ln?n]p?1n??(n?1)u?1]n?1n???]p?1?p,
n[lnn若 limnlnn[nun1?sn??(n?1)u?1]?s?1,取p?2?1,就有
n?1 limnlnn[nun?1]?limpn[ln?pn]n??(n?1)un?1n???p
n[lnn]?p,?故当limnlnn[nunn??(n?1)u?1]?s?1时,?un收敛。
n?1n?1 综合上述,得到下面的定理
2
?定理(“对数判别法”):设正项级数?un满足:
n?1limnlnn[nun?1]?s,
n??(n?1)un?1?则(1)当s>1时,?un收敛
n?1? (2)当s<1时,?un发散
n?1
参考文献:
《数学分析简明教程》,邓东皋、尹小玲编著,高等教育出版社,1999年6月 3
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