人教版初一数学上册全册优化教案（广东）教案

七年级数学（上）全册教案

第一章

有理数

1.1 正数和负数（1）

【教学目标】

1、整理前两个学段学过的整数、分数（包括小数）的知识，掌握正数和负数的概念；

2、能区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数； 3、体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。 【教学难点】

正确区分两种不同意义的量。 【知识重点】

两种相反意义的量

【探索1】

上课开始时，教师应通过具体的例子，简要说明在以前我们已经学过的数，并由此请学生思考：生活中仅有这些“以前学过的数”够用了吗？

请同学们看书（观察本节前面的几幅图中用到了什么数，让学生感受引入负数的必要性）并思考讨论，然后进行交流。（也可以出示气象预报中的气温图，地图中表示地形高低地形图，工资卡中存取钱的记录页面等）

学生交流后，教师归纳：以前学过的数已经不够用了，有时候需要一种前面带有“－”的新数。 【探索2】

前面带有“一”号的新数我们应怎样命名它呢？为什么要引人负数呢？通常在日常生活中我们用正数和负数分别表示怎样的量呢？

这些问题都必须要求学生理解，教师可以用多媒体出示这些问题，让学生带着这些问题看书自学，然后师生交流。然后总结：大于0的数叫做正数，而在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

这阶段主要是让学生学会正数和负数的表示。

强调：用正，负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，如向东与向西，收人与支出；二是它们都是数量，而且是同类的量。 【探索3】

经过上面的讨论交流，学生对为什么要引人负数，对怎样用正数和负数表示两

种相反意义的量有了初步的理解，教师可以要求学生举出实际生活中类似的例子，以加深对正数和负数概念的理解，并开拓思维．

提出问题：请同学们举出用正数和负数表示的例子。你是怎样理解“正整数”“负整数，，’’正分数”和“负分数”的呢？请举例说明。 【练习】P3练习1，2，3，4 【小结】

围绕下面两点，以师生共同交流的方式进行：

1、0由于实际问题中存在着相反意义的量，所以要引人负数，这样数的范围就扩大了；

2、正数就是以前学过的0以外的数（或在其前面加“＋”），负数就是在以前学过的0以外的数前面加“－”。

3、0既不是正数也不是负数。

1.1 正数和负数（2）

【教学目标】

1、 通过对数“零”的意义的探讨，进一步理解正数和负数的概念； 2、利用正负数正确表示相反意义的量（规定了指定方向变化的量） 3、 进一步体验正负数在生产生活实际中的广泛应用，提高解决实际问题的能力，激发学习数学的兴趣。 【教学难点】

深化对正负数概念的理解 【知识重点】

正确理解和表示向指定方向变化的量

【知识回顾与深化】

回顾：上一节课我们知道了在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量，为了区分这两种量，我们用正数表示其中一种意义的量，那么另一种意义的量就用负数来表示．这就是说：数的范围扩大了（数有正数和负数之分）．那么，有没有一种既不是正数又不是负数的数呢？ 【探索1】

有没有一种既不是正数又不是负数的数呢？ 学生思考并讨论．

（数0既不是正数又不是负数，是正数和负数的分界，是基准。这个道理学生并不容易理解，可视学生的讨论情况作些启发和引导）

例如：在温度的表示中，零上温度和零下温度是两种不同意义的量，通常规定零上温度用正数来表示，零下温度用负数来表示。那么某一天某地的最高温度是 零上7℃，最低温度是零下5℃时，就应该表示为＋7℃

1

和－5℃，这里＋7℃和－5℃就分别称为正数和负数.

那么当温度是零度时，我们应该怎样表示呢？（表示为0℃），它是正数还是负数呢？由于零度既不是零上温度也不是零下温度，所以，0既不是正数也不是负数。 【探索2】

引入负数后，数按照“两种相反意义的量”来分，可以分成几类？ 例题：（1）一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值。 （2）2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增长7.5%。写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率。 说明：这是一个用正负数描述向指定方向变化情况的例子， 通常向指定方向变化用正数表示；向指定方向的相反方向变化用负数表示。这种描述在实际生活中有广泛的应用，应予以重视。教学中，应让学生体验“增长”和“减少”是两种相反意义的量，要求写出“体重的增长值”和“进出口额的增长率”，就暗示着用正数来表示增长的量。

归纳：在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义。 类似的例子很多，如：

水位上升－3m，实际表示什么意思呢？

收人增加－10%，实际表示什么意思呢？等等。可视教学中的实际情况进行补充． 【练习】P4练习 【小结】

以问题的形式，要求学生思考交流：

1、引人负数后，你是怎样认识数0的，数0的意义有哪些变化？ 2、怎样用正负数表示具有相反意义的量？

（用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．）

1.2.1 有理数

【教学目标】

1、 掌握有理数的概念，会对有理数按照一定的标准进行分类，培养分类能力； 2、了解分类的标准与分类结果的相关性，初步了解“集合”的含义； 3、体验分类是数学上的常用处理问题的方法。 【教学难点】

正确理解正负数分类的标准和按照一定的标准进行分类。 【知识难点】

2

正确理解有理数的概念。

【探索1】

在以前的学习中，我们已经学习了很多不同类型的数，通过上两节课的学习，又知道了现在的数包括了负数，现在请同学们在草稿纸上任意写出3个数（同时请3个同学在黑板上写出）．

观察黑板上的9个数，并给它们进行分类。学生思考讨论和交流分类的情况．

学生可能只给出很粗略的分类，如只分为“正数”和“负数”或“零”三类，此时，教师应给予引导和鼓励．

例如，

对于数5，可这样问：5和5. 1有相同的类型吗？5可以表示5个人，而5. 1可以表示人数吗？（不可以）所以它们是不同类型的数，数5是正数中整个的数，我们就称它为“正整数”，而5. 1不是整个的数，称为“正分数，．··?（由于小数可化为分数，以后把小数和分数都称为分数）

通过教师的引导、鼓励和不断完善，以及学生自己的概括，最后归纳出我们已经学过的5类不同的数，它们分别是“正整数，零，负整数，正分数，负分数”，然后得出“整数”“分数”和“有理数”的概念。 【探索2】

试一试：按照以上的分类，你能画出一张有理数的分类表吗？你能说出以上有理数的分类是以什么为标准的吗？（是按照整数和分数来划分的）

1、任意写出三个有理数，并说出是什么类型的数，与同伴进行交流． 2、P8练习．

此练习中出现了集合的概念，可向学生作如下的说明． 把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称“数集”，所有有理数组成的数集叫做有理数集．类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有负数组成的数集叫做负数集??；

数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的，而本题中只填了所给的几个数，所以应该加上省略号．

思考：上面练习中的四个集合合并在一起就是全体有理数的集合吗？

有理数可分为正数和负数两大类，对吗？为什么？

教学时，要让学生总结已经学过的数，鼓励学生概括，通过交流和讨论，教师作适当的指导，逐步得到如下的分类表。

【小结】

正整数

正有理数 有理数

零

正分数 负整数

3

负有理数

负分数

到现在为止我们学过的数都是有理数（圆周率除外），有理数可以按不同的标准进行分类，标准不同，分类的结果也不同。

1.2.2 数轴

【教学目标】

1、掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系；

2、会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数，会根据数轴上的点读出所表示的有理数；

3、感受在特定的条件下数与形是可以相互转化的，体验生活中的数学。 【教学难点】&【知识重点】

数轴的概念和用数轴上的点表示有理数

【探索1】

教师通过实例演示得到温度计读数．

问题1:温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？请你尝试读出图中三个温度计所表示的温度？

问题2：在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3 m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3 m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．

（小组讨论，交流合作，动手操作）

教师：由上述两问题我们得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗？

让学生在讨论的基础上动手操作，在操作的基础上归纳出：可以表示有理数的直线必须满足什么条件？

从而得出数轴的概念以及数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

数轴：一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”。通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴三要素：

（1） 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。

（2） 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为

负方向。

（3） 选取适当的长度为单位长度。 【探索2】

1、你能举出一些在现实生活中用直线表示数的实际例子吗？ 2、如果给你一些数，你能相应地在数轴上找出它们的准确位置吗？如果给你数轴上的点，你能读出它所表示的数吗？

4

3、哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你会发现什么规律？ 4、每个数到原点的距离是多少？由此你会发现了什么规律？ （小组讨论，交流归纳）

归纳出一般结论，教科书第9页的归纳。

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数—a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 【练习】P10练习 【小结】

1、数轴的三个要素；

2、数轴的做法以及数与点的转化方法。

1.2.3 相反数

【教学目标】

1、 掌握相反数的概念，进一步理解数轴上的点与数的对应关系； 2、 通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养归纳能力； 3、 体验数形结合的思想。 【教学难点】

归纳相反数在数轴上表示的点的特征 【知识重点】

相反数的概念

【探索1】

请将下列4个数分成两类，并说出为什么要这样分类。 4， －2，－5，＋2

允许学生有不同的分法，只要能说出道理，都要给予鼓励，但教师要做适当的引导，逐渐得出5和－5，＋2和－2分别归类是具有较特征的分法。（引导学生观察与原点的距离）

思考结论：P 10的思考:数轴上与原点的距离是2的点有几个？这些点表示的数是什么？与原点的距离是5的点有几个？这些点表示的数是什么？

再换2个类似的数试一试。

归纳：一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a，我们说这两点关于原点对称。

给出相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 【探索2】

你怎样理解相反数定义中的“只有符号不同”和“互为”一词的含义？零的相反数是什么？为什么？

学生思考讨论交流，教师归纳总结。

5

规律：一般地，数a的相反数可以表示为－a。0的相反数是0.

思考：数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？（关于原点对称。） 【练习】P11练习1 【探索3】

－（＋5）和－（－5）分别表示什么意思？你能化简它们吗？ 学生交流。

分别表示＋5和－5的相反数是－5和＋5 【练习】P11页练习2、3。 【小结】

1、相反数的定义

2、互为相反数的数在数轴上表示的点的特征

3、怎样求一个数的相反数？怎样表示一个数的相反数？

1.2.4 绝对值

【教学目标】

1、掌握绝对值的概念，有理数大小比较法则．

2、学会绝对值的计算，会比较两个或多个有理数的大小．

3、体验数学的概念、法则来自于实际生活，渗透数形结合和分类思想． 【教学难点】

两个负数大小的比较 【知识难点】

绝对值的概念

【探索1】

两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处（A在原点右边，B在原点左边），它们的行驶路线相同马？它们行驶路程的远近（线段OA、OB的长度）相同吗？

学生回答后，教师说明如下：

数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离开原点的长度有关，而与它所表示的数的正负性无关；

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做|a| 例如，上面的问题中|10|=10，|－10|=10显然，|0|=0

由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；1的绝对值是0。 （1） 当a是正数时，|a|=a （2） 当a是负数时，|a|=-a （3） 当a=0时，|a|=0

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【练习】P12练习1，2题 【探索2】

引导学生看教科书第12页的图，并回答相关问题： 把14个气温从低到高排列；

把这14个数用数轴上的点表示出来；

观察并思考：观察这些点在数轴上的位置，并思考它们与温度的高低之间的关系，由此你觉得两个有理数可以比较大小吗？

应怎样比较两个数的大小呢？ 学生交流后，教师总结：

14个数从左到右的顺序就是温度从低到高的顺序：

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．

在上面14个数中，选两个数比较，再选两个数试试，通过比较，归纳得出有理数大小比较法则

想象练习：想象头脑中有一条数轴，其上有两个点，分别表示数一100和一90，体会这两个点到原点的距离（即它们的绝对值）以及这两个数的大小之间的关系．要求学生在头脑中有清晰的图形。 结论：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

（2）两个负数，绝对值大的反而小。 例题：P13例题：比较各数的大小

831（1）-（-1）和-（+2）（2）?和? （3）-（-0.3）和|-|

2137比较大小的过程要紧扣法则进行。

结论：异号两数比较大小，要考虑它们的正负，同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。

【练习】注意书写格式练习：P14页练习

【小结】

怎样求一个数的绝对值，怎样比较有理数的大小？

1.3.1 有理数的加法(1)

【教学目标】

1、理解有理数加法的实际意义。 2、会作简单的加法计算。

3、感受到原来用减法算的问题现在也可以用加法算。

【探索1】

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(1)某仓库第一天运进300吨化肥,第二天又运进200吨化肥,两天一共运进多少吨?

(2)某仓库第一天运进300吨化肥,第二天运出200吨化肥,两天总的结果一共运进多少吨?

(3)某仓库第一天运进300吨化肥,第二天又运进-200吨化肥, 两天一共运进多少吨?

(4)把第(3)题的算式列为300+(-200),有道理吗?

(5)某仓库第一天运进a吨化肥,第二天又运进b吨化肥,两天一共运进多少吨?

【探索2】

在足球比赛中，把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球。如果红队进4个球，失2个球，篮球进1个球，失一个球，那么红队的净胜球为多少？蓝队呢？（思考） 【小游戏】

(请一位同学到黑板前)前进5步,又前进-3步, 那么两次运动后总的结果是什么?若是后退-1步,又后退3步呢? 【探索3】

借助数轴讨论有理数的加法。（思考）

一个物体做左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正。向右运动5m记作5m，向左运动5m记作-5m。（直接把向左运动记作负数） （1） 如果物体先向右运动5m，再向右运动3m，那么两次运动后总的结果是什么？ （2） 如果物体先向左运动5m，再向左运动3m，那么两次运动后总的结果是什么？ （3） 如果物体先向右运动5m，再向左运动3m，那么两次运动后总的结果是什么？ 利用数轴，求以下情况时物体两次运动的结果：

（1） 先向右运动3m，再向左运动5m，物体从起点向左运动了2m。 （2） 先向右运动5m，再向左运动5m，物体从起点向左或右运动了0m。 （3） 先向左运动5m，再向右运动5m，物体从起点向左或右运动了0m。 结论：考虑有理数的运算时，既要考虑它的符号，又要考虑它的绝对值。 【练习】P18练习1。 补充练习：

1.分别用加法和减法的算式表示下面每小题的结果(能求出得数最好): (1)仓库原有化肥200t,又运进-120t;

(2)第一天盈利-300元, 第二天盈利100元. 2.借助数轴用加法计算:

(1)前进5米，又前进-3米， 那么两次运动后总的结果是什么?

(2)上午8时的气温是-4℃,下午5时的气温比上午8时下降8℃, 下午5时的气温是多少? 【小结】

考虑有理数的运算结果时，既要考虑它的符号，又要考虑它的绝对值。

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1.3.1 有理数的加法(2)

【教学目标】

1.进一步理解有理数加法的实际意义;

2.经历探索有理数加法法则的过程,理解有理数加法法则; 3.感受数学模型的思想; 4.养成认真计算的习惯.

【探索1】

1.第一天赢利200元，第二天还赢利-300元，这两天合起来算,是赢利还是亏本?

2.第一天亏本400元，第二天还是亏本-500元。这两天合起来算,是赢利还是亏本?

3.一个物体作左右方向的运动,规定向右为正.如果物体先向左运动5米,再向左运动-6米, 那么两次运动后总的结果是什么?

假设原点为运动起点,用数轴检验你的答案. 法则理解：

有理数加法法则：同号两数相加,取___________,并把绝对值_________. 这条法则包括两种情况:

(1)两个正数相加,显然取正号,并把绝对值相加,例(+3)+(+5)=+8;

(2)两个负数相加,取_____号,并把______相加.例如(-3)+(-5) = -(3+5) = -8.答案\之所以取\号,是因为______________,\是由_____的绝对值和______的绝对值相______而得. 练习：

1.上午6时的气温是-4℃,下午5时的气温比上午6时下降6℃, 下午5时的气温是多少?

2.第一场比赛红队胜黄队5:2,第二场比赛蓝队胜黄队3:1, 两场比赛黄队净胜几个球?

3.第一天向北走5km,第二天又向北走-10km,两天一共向北走多少km? 4.仿照(-3)+(-5) = -(3+5)= -8的格式解答: (1)-10+(-30)=

(2)(-100)+(-200) = (3)(-188)+(-309)= 【探索2】

1.第一天营业赢利90元,第二天亏本80元,两天一共赢利多少元?如果第二天亏本120元呢?

2正数和负数相加,结果是正数还是负数? 法则理解：

有理数加法法则第2条的前半部分是:绝对值不相等的异号两数相加,取

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_________________的符号,并用_______________减去_________________.

例如(+6)+(-2) = +(6-2) = +4.答案\之所以取\号,是因为两个加数(+6与-2)中________的绝对值较大;答案\的绝对值4是由加数中较大的绝对值______减去较小的绝对值____得到.

又例,计算(-8)+(+3)时,先取______号,这是因为两个加数中,______的绝对值较大.然后再用较大的绝对值____减去较小的绝对值____,得_____,于是最后得到答案是______.计算的过程可以写成(-8)+(+3) = -(8-3) = -5. 【议一议】

有人说,正数和负数相加时,实质就是把加法运算转化为”小学”的减法运算.他说的对不对? 练习：

1.第一场比赛红队胜黄队5:2,第二场比赛黄队胜蓝队3:1, 两场比赛黄队净胜几个球?

2.如果物体先向右运动3米，再向右运动-3米，那么两次运动后总的结果是什么?

3. 检查3包洗衣粉的重量(单位:克), 把其中超过标准重量的数量记为正数,不足的数量记作负数,结果如下:

-3.5,+1.2,-2.7.

这3包洗衣粉的重量一共超过标准重量多少? 【法则理解】

有理数加法法则第2条的后半部分是:互为相反数的两个数相加得_____. 例如(+3)+(-3) = ______,(-108)+(+108) = ______. 例题：P18.例1 （1）（-3）+（-9） （2）（-4.7）+3.9 例2

足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队1：0，蓝队胜红队1：0，计算各队的净胜球数。9

【练习】P18.练习2(按例1格式算.) 补充练习：

（1）若m、n互为相反数，则m+n=_____。

1（2）|a-3|+|2b+4|+|c-2|=0，求a+b+c的值。

2（3）若a是最小正整数,b为a的相反数，c是绝对值最小的数，求代数式2004（a+b）+2005c的值。 【小结】

有理数加法法则：

1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

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3、一个数同0相加，仍得这个数。

1.3.1 有理数的加法(3)

【教学目标】

1.理解有理数加法的运算律;

2.能用运算律简化有理数加法的运算.

【复习导入】

1.小学时已学过的加法运算律有哪几条?

2.猜一猜:在有理数的加法中,这两条运算律仍然适用吗?

3.(1)计算30+(-20)=__________=______,-20+30=___________=_____; (2)[8+(-5)]+(-4)=_______=______, 8+[(-5)+(-4)]=_______=______. 你猜对了吗?换几个数试试。 【试一试】

你会用文字表述加法的两条运算律吗? 你会用字母表示加法的这两条运算律吗? 归纳：两个数相加，交换加数的位置，和不变。【加法交换律：a+b=b+a】 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。【加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)】 例题：P19.例3

计算16+（-25）+24+（-35）

利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 P19.例4.

10袋小麦称后记录如图所示（单位：千克）。10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？（两种解法。） 比较两种解法，解法2使用了哪些运算律？（加法交换律和结合律。） 【练习】P20.练习1，2 补充练习：

小钱上周五以收盘价买进股票1000股,每股20元.下表为本周每日股票的涨跌情况(按收盘价即交易结束时的价格计算): 星期 一 二 三 四 五 每股涨价(元) +0.6 -1.3 +1 +0.7 -2 (1)到本周三收盘时,小钱所持股票每股多少元? (2)本周内,股票最高价出现在星期几?是多少元?

(3)已知小钱买进股票时付了4?的手续费,卖出时又付成交额4?的手续费和3?的交易税,如果小钱在本周末以收盘价卖出全部股票,他的收益如何? 【小结】

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1、两个数相加，交换加数的位置，和不变。

2、三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

1.3.2 有理数的减法（1）

【教学目标】

1、经历探索有理数减法法则的过程；

2、理解有理数减法法则，渗透化归思想； 3、能较为熟练地进行两个有理数减法的运算；

4、能解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系

【探索1】

某地一天的气温是-3～4℃，求这天的温差。

思考：如何解决问题？展示温度计，让学生观察并回答问题。 【探索2】

如何计算4-(-3)呢?

计算4-3就是求一个数“x”，使它加上3等于4，同样的，要计算4-（-3）就是求一个数“x”,使x与-3相加等于4．

即x+（-3）=4，因为7+（-3）=4，所以4-（-3）=7． 再提出 4+?＝7？

从而得出4-(-3)＝4+(+3)。

计算9-8，9+(-8)，15-7，15+(-7)，你发现了什么? 归纳：有理数的减法可以转化为加法来进行。

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 【探索3】

你能够用字母把法则表示出来吗?[a-b＝a+(-b)] 例题：P22例5． （1）（-3）-（-5） （2）0-7

11（3）7.2-（-4.8） （4）（-3）-5

24【练习】P23练习1，2 补充练习：

世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约是8848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是-155米，两处高度相差多少米？ 【小结】

1、有理数的减法可以转化为加法。

2、减正数即加负数，减负数即加正数。

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1.3.2 有理数的减法（2）

【教学目标】

1、了解代数和的概念,理解有理数加减法可以互相转化,会进行加减混合运算； 2.、通过学习一切加减法运算，都可以统一成加法运算，继续渗透数学的转化思想；

3、通过加法运算练习，培养学生的运算能力。

【探索1】

思考：以前只有在a大于或等于b时，我们会做减法a-b（例如2-1，1-1）。现在你会在a小于b时做减法a-b（例如1-2，-1-0）吗？小数减大数所得的差事什么数？

先研究例题再回答。 例题：P23例6

计算（-20）+（+3）+（+5）-（+7）（分析：这个式子中有加法，也有减法，可以根据有理数减法法则，把它改写为几个有理数的加法。） 归纳：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。 a+b-c=a+b+(-c) 【探索2】

式子（-20）+（+3）+（+5）+（-7）有没有更简便的书写方法呢？ 提出可以省略式中的括号和加号，把它写成：-20+3+5-7

读法是什么呢？有两种。（负20正3正5负7的和或者负20加3加5减7） 注意：符号不要搞错。

【练习】P24练习1 P25习题1.3第5题 补充练习：

1531

(1)2.75?(?)?(?)?(?)?426832111(2)?12?(?5)?3?2323411(3)?0.5?3?2.6?5?1.15423712(4)??(?)?(?)?14263【小结】

引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。 a+b-c=a+b+(-c)

13

1.4.1 有理数的乘法(1)

【教学目标】

1.经历探索有理数乘法法则的过程,发展归纳、猜测等能力; 2.能运用法则进行有理数乘法运算; 3.能用乘法解决简单的实际问题.

【探索1】

一只蜗牛沿直线l爬行，它现在的位置恰在l上的点O。（用数轴表示。为区分方向，向左为负，向右为正，为区分时间，现在前为正，现在后为负）

（1）如果蜗牛一只以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？ （2）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？ （3）如果蜗牛一只以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？ （4）如果蜗牛一只以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？ 思考：

正数乘正数积为_____数：负数乘正数积为_____数； 正数乘负数积为_____数；负数乘负数积为_____数。 乘积的绝对值等于各乘数绝对值的______。 【法则归纳】

两数相乘,同号得______,异号得_______,并把________相乘. 任何数同0相乘,都得______. 【旧课复习】

21.满足什么条件的两个数互为倒数?0.2的倒数是多少?7.29的倒数呢?1的倒

5数呢?

72.满足什么条件的两个数互为相反数? 0.2的相反数是多少?呢?

8【探索2】

在有理数范围内,我们仍然规定:乘积是1的两个数互为倒数.

4 -0.2的倒数是多少?-7.29的倒数呢? -的倒数是______;0的倒数________.

5_____________的两个数互为相反数。_______的两个数互为倒数。 若a+b=0,则a、b互为_____数,若ab=1,则 a、b互为_____数。 例题：P30例1计算

1（1）（-3）?9 （2）（-）?（-2）

2（有理数仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。）【数a（a≠0）的倒数是什么？】 例2

用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高

14

1km气温的变化量为-6℃，攀登3km后，气温有什么变化？ 【练习】P30 练习1，2，3 【小结】

有理数的乘方法则：

1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2、任何数同0相乘，都得0。 3、乘积是1的两个数互为倒数。

1.4.1 有理数的乘法(2)

【教学目标】

1.巩固有理数乘法法则;

2.探索多个有理数相乘时,积的符号的确定方法.

【探索1】

1、下列各式的积为什么是负的? (1)-2×3×4×5×6;

(2)2×(-3)×4×(-5)×6×7×8×9×(-10). 2、下列各式的积为什么是正的? (1)(-2)×(-3)×4×5×6×7;

(2)-2×3×4×5×(-6)×7×8×(-9)×(-10).

思考：几个不是0的数相乘,积的符号与负因数的个数之间有什么关系? 归纳：与两个有理数相乘一样,几个不等于0的有理数相乘,要先确定积的符号,再确定积的绝对值

例题P31.例3计算

591(1)(?3)??(?)?(?)654

41(2)(?5)?6?(?)?54多个不是0的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？ 【探索2】

思考：7.8×(-8.1) ×0×(-19.6)

归纳：几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于0。 【练习】P32练习 补充练习：

1.(1)若a = 3,a与2a哪个大?若 a= 0 呢? 又若 a=-3呢? (2)a与2a哪个大?

(3)判断:9a一定大于2a;

15

(4)判断:9a一定不小于2a. (5)判断:9a有可能小于2a.

2.\几个数相乘,积的符号由负因数的个数决定\这句话错在哪里? 3.若a>b,则ac>bc吗?为什么?请举例说明. 4.若mn=0,那么一定有( )

(A)m=n=0.(B)m=0,n≠0.(C)m≠0,n=0.(D)m、n中至少有一个为0. 【小结】

1、几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积食正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

2、几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于0。

1.4.1 有理数的乘法(3)

【教学目标】

1.熟练有理数乘法法则;

2.探索运用乘法运算律简化运算.

【探索1】

你知道乘法的交换律和结合律吗?你会用字母表示它们吗?在有理数范围内,它们仍然成立吗?

例如：5×（-6）=（-6）×5（结论：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，ab=ba） [3×(-4)]=3×[(-4) ×(-5)](结论：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，（ab）c=a(bc)) 5×[3+(-7)]=5×3+5×(-7)(结论：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，a(b+c)=ab+bc)

例题：P33例4（用两种方法计算，比较哪种比较简便） 111(??)?12 462思考：比较 上面两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法运算量小？ 【探索2】

下列计算若按顺序依次相乘怎样算? 用运算律为什么能简化运算? (1)25×2004×4; (2) 1999×125×8; 【练习】P33练习 【小结】

1、两个数相乘，交换因数的位置，积相等，ab=ba；

2、三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，（ab）c=a(bc)；

16

3、一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，a(b+c)=ab+bc；

1.4.2 有理数的除法（1）

【教学目标】

1．理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算；

2．了解倒数概念，会求给定有理数的倒数；

3．通过将除法运算转化为乘法运算，培养学生的转化的思想；通过有理数的除法运算，培养学生的运算能力。

【探索1】

怎样计算8?(?4)呢？根据除法的意义，这就是要求一个数，使它与-4相乘得8。

1思考并得出结论：8?(?4)?8?(?)

41） b有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 例题：P34例5计算

归纳：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。（a?b?a?(1)(?36)?9123 (2)(?)?(?)255【练习】P35练习 【探索2】

分数可以理解分子除以分母吗？ 例题：P35例6化简下列分数。 ?12?45(1) (2)

3?12归纳：因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【探索3】

有理数的除法有时候能否用简便方法运算？ 例题：P35例7计算

17

551(1)(?125)?(?5) (2)?2.5??(?)

784【练习】P36练习1，2 【小结】

有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

1（a?b?a?）

b

1.4.2 有理数的除法（2）

【教学目标】

1、了解加减乘除四则运算的顺序。 2、理解有理数的各种运算法则。 3、掌握有理数的加减乘除混合运算。

【探索1】

回顾：小学里，加减乘除四则运算的顺序是怎么样呢？

引导：首先计算小括号里的减法，然后再按照从左到右的顺序进行乘除运算，这样运算的步骤基本清楚了．另外带分数进行乘除运算时，必须化成假分数。 例题：P36例8计算

(1)?8?4?(?2)

(2)(?7)?(?5)?90?(?15)归纳：有理数的加减乘除混合运算，如无括号则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。

【练习】P36练习 【探索2】

学习计算器的使用方法。 例题：P36例9

某公司去年1-3月平均每月亏损1.5万元，4-6月平均每月盈利2万元，7-10月平均每月盈利1.7万元，11-12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈亏情况如何？

【练习】P37练习 补充练习：

18

241?(?)2551112221(2)(?3)?(3?7)??773722

444(3)(?3.59)?(?)?2.41?(?)?6?(?)77718(4)99?(?12)19(1)49【小结】

有理数的加减乘除混合运算，如无括号则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。

1.5.1 有理数的乘方（1）

【教学目标】

1、在现实背景中，理解有理数乘方的意义。

2、能进行有理数的乘方运算，并会用计算器进行乘方运算。 3、掌握幂的符号法则。

【探索1】

回顾：边长为a的正方形的面积是a?a，棱长为a的正方体的体积是a?a?a。 引导：如何简写a?a和a?a?a？那么n个a相乘呢？

归纳：一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作a的n次幂。

概念：求n个相同因数的积得运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数。 例题：P41例1计算

2(1)(?4)3 (2)(?2)4 (3)(?)3

3【探索2】

22（-2）和-2，（-）2和-之间的区别。它们的读法分别是什么？

33332（-2）3读作-2的三次方，-23读作2的三次方的相反数。

222（-）2是-的平方，而-仅仅是2平方了而已，3并没有平方。

3332归纳：当指数是奇数时，负数的幂为负数。当指数是偶数时，负数的幂是正数。

19

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. 【练习】P42练习1 【探索3】

学会用计算器计算乘方。 例题：P42例2

用计算器计算(?8)5和(?3)6

【练习】P42练习2 【小结】

负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂是正数；0的任何次幂是0。

1.5.1 有理数的乘方（2）

【教学目标】

1、能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序； 2、会进行有理数的混合运算； 3、培养学生正确迅速的运算能力。

【探索1】

在2+32×（－6）这个式子中，存在着哪几种运算？

思考并归纳做有理数的混合运算时，应注意哪些运算顺序？ （1） 先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2） 同级运算，从左到右进行；

（3） 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 例题：P43例3

(1)2?(?3)3?4?(?3)?15(2)(?2)?(?3)?[(?4)?2]?(?3)?(?2)322

【练习】P44练习 补充练习：

1313（1）?22?(?)4?(?1)8?(1?2?3)?24

28341（2）?14?(1?0.5)??[2?(?3)2]

32（3）0.25?(?2)3?[4?(?)2?1]

3

20

【探索2】

乘方的特殊应用。 例题：P43例4 观察下面三行数：

-2，4，-8，16，-32，64，? ① 0，6，-6，18，-30，66，? ② -1，2，-4，8，-16，32，? ③ （1）第①行数按什么规律排列？

（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和。 【小结】

做有理数的混合运算时要注意先后顺序。

1.5.2 科学记数法

【教学目标】

1、利用10的乘方，进行科学记数，会用科学记数法表示大于10的数。 2、体会科学记数法的好处，化繁为简的方法。 3、会解决与科学记数法有关的实际问题。

【探索1】

目前世界人口约为65亿，光速约300000000米/秒，太阳半径约696000千米等，这些数字这么大，怎么表示才比较方便呢？

引入科学记数法：可以用一种简单的方法来表示这些读和写都比较困难的大数，那就是科学记数法。 【探索2】

你知道102,103,104,105分别等于多少吗？10n的意义和规律是什么？ 如：567000000=5.67?100000000=5.67?108

归纳：把一个大于10的数表示成a?10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是整数），使用的是科学记数法。

例题：P45例5用科学记数法表示下列各数： 1000000，57000000，123000000000 思考：上面的式子中，等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系？用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1。 【练习】P45练习1，2 【小结】

21

把一个大于10的数表示成a?10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是整数），使用的是科学记数法。

1.5.3 近似数

【教学目标】

1、了解近似数和有效数字的概念；

2、能按要求取近似数和保留有效数字； 3、体会近似数的意义及在生活中的作用。

【探索1】

1、据自己已有的生活经验，观察身边熟悉的事物，收集一些数据。 （1）我班有 名学生， 名男生， 女生。 （2）我班教室约为 平方米。 （3）中国大约有 亿人口。

2、在这些数据中，哪些数是与实际相接近的？哪些数与实际完合符合的？ 与实际接近的数就是我们今天要学的近似数。 1、教师提出问题：生活中哪些地方用到近似数？ 学生纷纷举例：

（1）2000年第一次人口普查表明，我国的人口总数为12.9533亿。 （2）某词典共1234页。

上面的数据，哪些是精确的，哪些是近似的？

举例说明生活中哪些数据是精确的，哪些数据是近似的。 【探索2】

1、对于参加同一个会议的人数，有两个报道。一个报道说：“会议秘书处宣布，参加今天会议的有513人。”这里数字513确切地反映了实际人数，它是一个准确数。另一个报道说：“约有五百人参加了今天的会议。”五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它只是一个近似数。 2、按四舍五入法对圆周率?取近似数。 π≈3（精确到个位），

π≈3.1（精确到0.1，或叫做精确到十分位）， π≈3.14（精确到0.01，或叫做精确到百分位）， π≈3.142（精确到0.001，或叫做精确到千分位），

22

π≈3.1416（精确到0.0001，或叫做精确到万分位）?

通过填空，引出有效数字的概念，强调对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有数字都叫这个数的有效数字，举例说明零“是”还是“不是”有效数字，让学生辩别。

例题：P46例6按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数。 （1）0.0158（精确到0.001） （2）304.35（精确到个位） （3）1.804（精确到0.1） （4）1.804（精确到0.01）

并思考：近似数1.8和1.80一样吗？为什么？【（1）精确度不同；（2）有效数字不同。】

【练习】P46练习 补充练习：

按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数。

（1）0.649（精确到0.1）

（2）0.8999（保留两个有效数字） （3）3.1546（精确到百分位） （4）836720（保留3个有效数字） （5）28736（精确到千位） 【小结】

1、了解近似数，并会求各个数的近似数。

2、从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字

第二章

2.1 整式（1）

【教学目标】：

1．理解单项式及单项式系数、次数的概念。 2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。

23

3．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。

4．通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流能力。 【教学重点和难点】：

重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。

难点：单项式概念的建立。

【回顾复习】 1、列代数式

(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是 ；

(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为 ； (3)若x表示正方形棱长，则正方形的体积是 ； (4)若m表示一个有理数，则它的相反数是 ；

(5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款 元。 2、请学生说出所列代数式的意义。

3、请学生观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征。 【探索1】（第二章前言部分） 青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时，请根据这些数据回答下列问题。

（1）列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？3小时呢？t小时呢？（路程=速度×时间）

（2）思考：用含有字母的式子填空，看看列出的式子有什么特点。 ①边长为a的正方体的表面积为（ ），体积为（ ）。

②铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的单价的2.5倍，圆珠笔的单价是（ ）元。

③一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的路程为（ ）。 ④数n的相反数是（ ）。 （特点：都是数与字母的积。）

通过练习，引导学生概括单项式的概念，从而引入课题：单项式，并归纳得出的单项式的概念：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5。

补充练习：判断下列各代数式哪些是单项式？

x?1(1)； (2)abc； (3)b2； (4)－5ab2； (5)y； (6)－xy2； (7)－5。

2(加强学生对不同形式的单项式的直观认识，同时利用练习中的单项式转入单项式的系数和次数的教学) 【探索2】

24

引导学生进一步观察单项式结构，总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组

1成的。以四个单项式a2h，2πr，abc，－m为例，让学生说出它们的数字因数是什

3么，从而引入单项式系数的概念，（单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，通常把数字写在前面。）接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么，各字母指数分别是多少，从而引入单项式次数的概念。（一个单项式中，所有字母的指数的和焦作这个单项式的次数。）

注意：①单项式的系数包含它前面的符号。②当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。③单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。④圆周率π是常数。⑤单项式次数只与字母指数有关。

例题：P55例1用单项式填空，并指出它们的系数和次数。 （1）每包书有12册，n包书有（ ）册。

（2）底边长为a，高为h的三角形的面积是（ ）。

（3）一个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是（ ）。

（4）一台电视机原价a元，现按原价的九折出售，这台电视机现在的售价是（ ）

元。

（5）一个长方形的长是0.9，宽是a，这个长方形的面积是（ ）。 用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义。 【练习】P56练习1，2 补充练习：

1、判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。

232

①x＋1； ②1； ③πr； ④－ab。 2x2、下面各题的判断是否正确？

①－7xy2的系数是7； ②－x2y3与x3没有系数； ③－ab3c2的次数是0＋3＋2； 【小结】

1、单项式及单项式的系数、次数。

2、根据教学过程反馈的信息对出现的问题有针对性地进行小结。

3、通过判断一个单项式的系数、次数，培养学生理解运用新知识的能力，已达到本节课的教学目的。

2．1 整式（2）

【教学目标】

1．通过本节课的学习，使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。 2．通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力。由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新。

25

3．初步体会类比和逆向思维的数学思想。 【教学重点和难点】

重点：掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念。

难点：多项式的次数。

【探索1】

思考：先填空，再看看列出的式子有什么特点。 （1）一个数比数x的两倍小3，这个数是（ ）。

（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，买三个篮球、5个排球、2个足球共需要（ ）元。 （3）如图所示，三角尺的面积是（ ）。

（4）如图所示是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是（ ）。

观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别。引出多项式的概念。（几个单项式的和叫做多项式。） 【探索2】

由多项式引出多项式的项、常数项以及多项式的次数的概念。（每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式例次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。）

注意：①多项式的次数不是所有项的次数之和。②多项式的每一项都包含它前面的符号。③多项式的某一项在变换位置时，应连同这一项的符号一起移项。④(1)多项式的次数不是所有项的次数之和。

一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式3x2?2x?5是一个二次三项式。 例题：P57例2用多项式填空，并指出它们的项和次数。 （1） 温度由t℃下降5℃后事（ ）℃。

11（2） 甲数x的与乙数y的的差可以表示为（ ）。

32（3） 如图所示，圆环的面积为（ ）。 （4） 如图所示，钢管的体积是（ ）。 【练习】P59练习1，2 补充练习

1、指出下列多项式的项和次数：

(1)3x－1＋3x2； (2)4x3＋2x－2y2。 2、指出下列多项式是几次几项式。

(1)x3－x＋1； (2)x3－2x2y2＋3y2。

3、已知?6xmy为四次单项式，x2n?3xny?1为五次多项式，求mn的值。

26

【小结】

1、理解多项式的定义，能说出一个多项式是几次几项式，最高次数是几，分别由哪几项组成，各项的系数分别为多少，常数项为几。

2、这堂课学习了多项式，与前一节所学单项式合起来统称为整式，使知识形成了系统。

2.1 整式（3）

【教学目标】

1、理解多项式的升(降)幂排列的概念，会进行多项式的升(降)幂排列。 2、通过尝试和交流，让学生体会到多项式升(降)幂排列的可行性和必要性。 3、初步体验排列组合思想与数学美感，培养学生的审美观。 【教学重点和难点】

重点：会进行多项式的升(降)幂排列，体验其中蕴含的数学美。 难点：会进行多项式的升(降)幂排列，体验其中蕴含的数学美。

【探索1】

应用题如何列出多项式。 例题：P58例3

一条河流的水流速度为2.5千米/时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲、乙两条船在静水中的速度分别是20千米/小时和35千米/小时，则它们在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？

（此题要注意：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速） 引出单项式和多项式统称整式。 【探索2】

多项式的排列（升幂排列与降幂排列）

这两种排列有一个共同点，那就是x的指数是逐渐变小(或变大)的。我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。(板书课题：升幂排列与降幂排列。)

例如：把多项式5x2＋3x－2x3－1按x的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x3＋5x2＋3x－1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。

若按x的指数从小到大的顺序排列，则写成－1＋3x＋5x2－2x3，这叫做这个多项式按字母x的升幂排列。 【练习】

1、把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列。

说明：π是数字，不是字母，题目中一次项、二次项、三次项系数分别为2π、－π2、3π。

2、把多项式a3－b3－3a2b＋3ab2重新排列。

(1)按a升幂排列； (2)按a降幂排列。

27

注意：

(1)重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；

(2)含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。 【小结】

对一个多项式进行排列，这样的写法除了美观之外，还会为今后的计算带来方便。在排列时我们要注意：

1、重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动，原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；

2、含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升(降)幂排列。

2.2 整式的加减（1）

【教学目标】

1、理解同类项的概念，在具体情景中，认识同类项。

2、通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流的能力。

3、初步体会数学与人类生活的密切联系。 【教学重点和难点】

重点：理解同类项的概念。 难点：根据同类项的概念在多项式中找同类项。

【探索1】

第二章引言中的问题（2）。

在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是t小时，那么它通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍，如果通过冻土地段需要t小时，能用含t的式子表示这段铁路的全长吗？ 探究1：

（1） 运用有理数的运算律计算 ：

100×2+252×2=（100+252）×2

100×（-2）+252×（-2）=（100+252）×（-2）

（2） 根据（1）中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：

100t+252t=(100+252)t

探究2：填空

（1）100t-252t=-152t （2）3x2?2x2?5x2 （3）3ab2?4ab2??ab2

28

上面运算有什么特点，你能从中得出什么规律？ 补充练习：

观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类。

xy2358xy， －mn， 5a， －xy， 7mn， ， 9a， －， 0， 0.4mn2， ，

8932

2

2

2

2xy2。

我们常常把具有相同特征的事物归为一类。8x2y与－x2y可以归为一类，2xy2

与－

xy23可以归为一类，－mn2、7mn2与0.4mn2可以归为一类，5a与9a可以归为一

223类，还有8、0与5也可以归为一类。8xy与－xy只有系数不同，各自所含的字母9都是x、y，并且x的指数都是2，y的指数都是1；同样地，2xy2与－xy也只有系

32数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是1，y的指数都是2。

由练习引出同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项所有的常数项都是同类项。

【练习】补充练习：

1、判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。

(1)3x与3mx是同类项。 ( ) (2)2ab与－5ab是同类项。 ( )

222

(3)3x2y与－1yx是同类项。 ( ) (4)5ab与－2abc是同类项。 ( ) 3(5)23与32是同类项。 ( ) 2、指出下列多项式中的同类项：

223(1)3x－2y＋1＋3y－2x－5； (2)3x2y－2xy2＋1xy－yx。 233、k取何值时，3xky与－x2y是同类项？ 【小结】

1、理解同类项的概念，会在多项式中找出同类项，会写出一个单项式的同类项，会判断同类项。

2、这堂课运用到分类思想和整体思想等数学思想方法。

3、学习同类项的用途是为了简化多项式，为下一课的合并同类项打下基础。

2.2 整式的加减（2）

【教学目标】

1．理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则。

2．经历概念的形成过程和法则的探究过程，培养观察、归纳、概括能力，发展

29

应用意识。

3．渗透分类和类比的思想方法。

4．在独立思考的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点，从交流中获益。 【教学重点和难点】

重点：正确合并同类项。 难点：找出同类项并正确的合并。

【探索1】

为了搞好班会活动，李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品。他们首先购买了15本软面抄和20支水笔，经过预算，发现这么多奖品不够用，然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔。问：

①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔？

②若设软面抄的单价为每本x元，水笔的单价为每支y元，则这次活动他们支出的总金额是多少元？ 【探索2】

因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并。例如：4x2?2x?7?3x?8x2?2

由此可得：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。（合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母不变。） 例题：P65例1合并下列各式的同类项。

1(1)xy2?xy25(2)?3x2y?2x2y?3xy2?2xy2 (3)4a2?3b2?2ab?4a2?4b2（初学合并同类项，要求学生按照例题的格式，熟悉利用分配律计算的过程，以养成良好的学习习惯。） 【练习】P66练习1 补充练习：

1、合并下列多项式中的同类项：

①2a2b－3a2b＋0.5a2b； ②a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3；③5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(y－x)4。 例题：P66例2

1

（1） 求多项式2x2?5x?x2?4x?3x2?2的值，其中x?；

2

111（2） 求多项式3a?abc?c2?3a?c2的值，其中a??,b?2,c??3。

336（分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化运算。）

30

补充练习：

1、求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值，其中x=－3。 2、求多项式的4a2?4a?1?4?12a?9a2值，其中a=1。 例题：P67例3

（1）水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降2cm；第二天连续上升了a小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？

（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？ 【练习】P66练习2，3。 【小结】

1、要牢记法则，熟练正确的合并同类项，以防止2x2＋3x2=5x4的错误。

2、从实际问题中类比概括得出合并同类项法则，并能运用法则，正确的合并同类项。

2.2 整式的加减(3)

【教学目标】

1．知识与技能

能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简． 2．过程与方法

经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力． 3．情感态度与价值观

培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度． 【重、难点与关键】

1．重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简．

2．难点：括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误． 3．关键：准确理解去括号法则．

【探索1】

利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？

现在我们来看本章引言中的问题（3）：

在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，?那么它通过非冻土地段的时间为（t－0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，?非冻土地段的路程为120（t－0.5）千米，

因此，这段铁路全长为100t+120（t－0.5）千米 ①

冻土地段与非冻土地段相差100t－120（t－0.5）千米 ② 上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？

31

利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：

100t+120（t－0.5）=100t+120t+120×（－0.5）=220t－60 100t－120（t－0.5）=100t－120t－120×（－0.5）=－20t+60 我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号． 上面两式去括号部分变形分别为：

+120（t－0.5）=+120t－60 ③ －120（t－0.5）=－120t+60 ④ 比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 特别地，+（x－3）与－（x－3）可以分别看作1与－1分别乘（x－3）． 利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得：

+（x－3）=x－3 （括号没了，括号内的每一项都没有变号） －（x－3）=－x+3 （括号没了，括号内的每一项都改变了符号）

去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予考虑，做到要变都变；要不变，则谁也不变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项。 例题：P67例4．化简下列各式：

（1）8a+2b+（5a－b）； （2）（5a－3b）－3（a2－2b）． 【练习】P68练习1 【探索2】 例题：P67例5

两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，?两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时． （1）2小时后两船相距多远？

（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？

思路点拨：根据船顺水航行的速度=船在静水中的速度+水流速度，?船逆水航行速度=船在静水中行驶速度－水流速度．因此，甲船速度为（50+a）千米/时，乙船速度为（50－a）千米/时，2小时后，甲船行程为2（50+a）千米，乙船行程为（50－a）千米．?两船从同一洪口同时出发反向而行，所以两船相距等于甲、乙两船行程之和．

【练习】P68练习2 补充练习：

(1)2(x?3x2?1)?3(2x2?x?2)(2)(4a?3b)?[2(a?1)?2b?3]2222

【小结】

去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项．

32

学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则，并能根据法则进行去括号运算。法则顺口溜：去括号，看符号：是“+”号，不变号；是“―”号，全变号。

2.2 整式的加减(4)

【教学目标】

1．使学生初步掌握添括号法则。

2．会运用添括号法则进行多项式变项。

3．理解“去括号”与“添括号”的辩证关系。 【教学重点和难点】

重点：添括号法则；法则的应用。

难点：添上“―”号和括号，括到括号里的各项全变号。 【探索1】 练习：

(1)(2x―3y)+(5x+4y)； (2)(8a―7b)―(4a―5b)； (3)a―(2a+b)+2(a―2b)； (4)3(5x+4)―(3x―5)；

1(5)(8x―3y)―(4x+3y―z)+2z； (6)―5x2+(5x―8x2)―(―12x2+4x)+；

5222222

(7)2―(1+x)+(1+x+x―x)； (8)3a+a―(2a―2a)+(3a―a)； (9)2a―3b+［4a―(3a―b)］； (10)3b―2c―［―4a+(c+3b)］+c。

①观察：分别把前面去括号的(1)、(2)两个等式中等号的两边对调，并观察对调后两个等式中括号和各项符号的变化，你能得出什么结论？ 随着括号的添 加，括号内各项 的符号有什么变 化规律？ ②通过观察与分析，可以得到添括号法则：

所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号； 所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。 补充练习：

1、做一做：在括号内填入适当的项：

(1)x2―x+1= x2―(__________)； (2) 2x2―3x―1= 2x2+(__________)；

(3)(a－b)―(c―d)=a－(________________)。 (4)(a+b―c)(a―b+c)=［a+( )］［a―( )］

2、用简便方法计算：

(1)214a＋47a＋53a； (2)214a－39a－61a．

3、按下列要求，将多项式x3―5x2―4x+9的后两项用( )括起来：

33

(1)括号前面带有“+”号； (2)括号前面带有“―”号 【小结】

1、这两节课我们学习了去括号法则和添括号法则，这两个法则在整式变形中经常用到，而利用它们进行整式变形的前提是原来整式的值不变。

2、去、添括号时，一定要注意括号前的符号，这里括号里各项变不变号的依据。法则顺口溜：添括号，看符号：是“+”号，不变号；是“―”号，全变号。

2.2 整式的加减(5)

【教学目标】

1．让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性，并能灵活运用整式的加减的步骤进行运算。

2．培养学生的观察、分析、归纳、总结以及概括能力。 3．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。 【教学重点和难点】

重点：整式的加减。

难点：总结出整式的加减的一般步骤。

【探索1】 1．做一做。

某学生合唱团出场时第一排站了ｎ名，从第二排起每一排都比前一排多一人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名学生参加？

①学生写出答案：ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋（ｎ＋３）

②提问：以上答案进一步化简吗？如何化简？我们进行了哪些运算？ 例题：P68例6计算

(1)(2x?3y)?(5x?4y)

(2)(8a?7b)?(4a)?5b)【练习】P70练习1，2 补充练习： 化简：

（1）(x+y)—(2x－3y) (2)2a2?2b?2?让学生自然地认识到整式的化简实质上就是整式?3(2a2?b2) 的加减。 提问:以上化简实际上进行了哪些运算?怎样进行整式的加减运算?

不难发现，去括号和合并同类项是整式加减的基础。因此，整式加减的一般步骤可以总结为：

（１）如果有括号，那么先去括号。（２）如果有同类项，再合并同类项。

34

例题P69例7

一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元。小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支。买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？（可用两种解法。）

例8：做大小两个长方体纸盒，尺寸如下：小纸盒（长a，宽b，高c）,大纸盒（长1.5a，宽2b，高1.5c）。

（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？

（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？

通过上面的学习，我们可以得到整式加减的运算法则：

一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项。 例题：P70例9 11312求x?2(x?y2)?(?x?y2)的值，其中x?2,y?。 23233【练习】P70练习3 补充练习：

1(1)2x3?4x?x2?(x?3x2?2x3),x?33

12(2)ab?5ac?(3a2c?a2b)?(3ac?4a2c),a??1,b?2,c??22【小结】

1．整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合。 2．整式的加减的一般步骤：

①如果有括号，那么先算括号。②如果有同类项，则合并同类项。

3．求多项式的值，一般先将多项式化简再代入求值，这样使计算简便。 4．数学是解决实际问题的重要工具。

第二章 复习课

【教学目标】

1．使学生对本章内容的认识更全面、更系统化。

2．进一步加深学生对本章基础知识的理解以及基本技能(主要是计算)的掌握。 3．通过复习，培养学生主动分析问题的习惯。 【教学重点和难点】

重点：本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算。 难点：本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算。

【回顾复习】

1．主要概念：

35

(1)关于单项式，你都知道什么? (2)关于多项式，你又知道什么?

引导学生积极回答所提问题，通过几名同学的回答，复习单项式的定义、单项式的系数、次数的定义，多项式的定义以及多项式的项、同类项、次数、升降幂排列等定义。

(3)什么叫整式?

让学生回顾总结，在学生回答的基础上，进行归纳、总结，用投影演示：

单项式（定义系数次数）?整式?

多项式（项同类项次数升降幂排列）?形成知识体系。

2．主要法则：

①提问：在本章中，我们学习了哪几个重要的法则?分别如何叙述? ②在学生回答的基础上，进行归纳总结：

?去（添）括号。整式的加减?合并同类项。

?【练习】P76复习题2

1、找出下列代数式中的单项式、多项式和整式。

11m2n1x?y?z，4xy，，，x2+x+，0，2，m，―2.01×105

xax?2x2335?x3y5z2、指出下列单项式的系数、次数：ab，―x，xy，。

532

3、指出多项式a3―a2b―ab2+b3―1是几次几项式，最高次项、常数项各是什么？

4、化简，并将结果按x的降幂排列：

1(1)(2x4―5x2―4x+1)―(3x3―5x2―3x)； (2)―［―(―x+)］―

2(x―1)；

11(3)―3(x2―2xy+y2)+ (2x2―xy―2y2)。

221125、化简、求值：5ab―2［3ab―(4ab2+ab)］―5ab2，其中a=，b=―。

2236、一个多项式加上―2x3+4x2y+5y3后，得x3―x2y+3y3，求这个多项式，并求当x=―11，y=时，这个多项式的值。 22

36

第三章

一元一次方程

3.1 从算式到方程 3.1.1 一元一次方程（1）

【教学目标】

1、了解什么是方程，什么是一元一次方程；

2、通过“列算式”和“列方程”解决问题的方法，感受方程是应用广泛的数学工具；

3、初步学会分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，渗透建立方程模型的思想；

4、经历从生活中发现数学和应用数学解决实际问题的过程，树立多种方法解决问题的创新意识，品尝成功的喜悦，增强用数学的意识，激发学习数学的热情。 【教学重点与难点】

重点：1、了解什么是方程、一元一次方程；

2、分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程。

难点：

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程。

【探索1】

1、问题 章前图中的汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示（王家庄10：00，青山13：00，秀水15：00），翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。王家庄到翠湖的路程有多远？

你会用算术方法解决这个实际问题吗？试试看 你能列出方程吗？

分析：设王家庄到翠湖的路程为x千米，根据提意画出示意图： X千米 50千米 70千米 王家庄 青山 翠湖 秀水

示意图有助于分析问题。

由图中可以用含x的式子表示关于路程的数量。

王家庄距青山______千米，王家庄距秀水______千米。从章前图的时间表中可以得出时间的数量：从王家庄到青山行车3小时，王家庄到秀水行车5小时。根据此列出方程。

解：设王家庄到翠湖的路程为x千米，根据提意，可列方程

37

x-50x+70

3 =5 ①

x-50x+70x-50

那在方程中，3 表示什么意义？5 呢？（3 的意义是从王家庄到青山

x+70

这段路程的车速，5 的意义是从王家庄到秀水这段路程的车速。）

以后我们再学习如何解方程中的x。

小学我们主要用算术方法解题，但有时用算术方法不容易列出来；而方程解决问题则方便得多，以后你们自己去慢慢体会。我们在列方程是通常用x,y,z等字母表示未知数。

2、思考：对于上面的问题，你能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相

x50?70等关系？（?，依据的是从王家庄到翠湖的车速与从青山到秀水的车速相

35?3等。）

【探索2】

x-50x+70

引出方程的概念：像3 =5 这个等式中含有未知数，这个含有未知数的等式叫做方程。

思考：在前面学过整式、等式和方程，它们有什么区别和联系呢？例如2x2＋3x;3＋(-2)＝1;a＋b＝b＋a;2x－5＝65.

（2x2＋3x是整式，它不含等号；而3＋(-2)＝1，a＋b＝b＋a，2x－5＝65. 都是等式，因为它们都含有等号，而且等号两边是整式。）

结论：等式不一定是方程，而方程一定是等式。方程中一定有未知数，而等式中不一定有未知数。如3＋(-2)＝1，a＋b＝b＋a是等式，但不是方程，而2x－5＝65既是等式又是方程。 【小结】

列方程是本节课重点，掌握列方程解决实际问题方法步骤： 设未知数──用含未知数的式子表示问题中的数量关系。 找出相等关系──列出方程。

其中找相等关系是关键也是一个难点，这个相等关系要能够表示应用题全部含义的相等关系，也就是题目中给出的条件应予充分利用，不能把同一条件重复利用。

3.1.1 一元一次方程（2）

【教学目标】

1、通过观察，归纳一元一次方程的概念。

2、根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解。

38

3、通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。

【探索1】

列方程时，要先设字母表示未知数，通常用x、y、z等字母表示未知数，?然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式即方程。 例题：P80例1 根据下列问题，设未知数列出方程：

（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？

（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？

（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 分析：（1）如果设正方形的边长为xcm，设未知数后找等量关系就可以列出方程，那么等量关系是什么？方程如何列呢？

（2）要列出方程，就需要抓住题目中的等量关系。而这个题目中的等量关系：1700+将使用时间=2450，设x月后这台计算机的使用时间达到2450小时，那么在x月里这台计算机使用了150x小时。将它们代入等量关系即可得到方程1700+150x=2450。

（3）设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为（1－0.52）x。根据等量关系：男生人数+女生人数=总人数，可列出方程0.52x－（1－0.52）x＝80。

观察所列的几个方程，有什么共同点？ 结论：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。

y 例如方程2x-3=3x+1，-3=2y等都是一元一次方程，而x+y=5，x2+3x=2都

2不是一元一次方程。

归纳：上面的分析过程可以表示如下：

设未知数 列方程 实际问题 一元一次方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以解出未知数。

把x=6这个结果代人方程4x=24中，看一看会有什么结果？（x=6时方程左右两边相等。）

同样x=5时方程1700+150x=2450两边也相等。像这样使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

思考：x=1000和x=2000中那一个是方程0.52x－（1－0.52）x＝80的解？ 【练习】P82练1，2，3 【小结】

这节课对每个实际问题的分析，得到一元一次方程、方程的解的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程；解方程就

39

是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。

3.1.2 等式的性质

【教学目标】

1、通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。 2、培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力，同时培养学生积极探究，勇于创新的学习态度。渗透数学来源于实践的观点。 【教学重难点】

重点：等式的两条性质

难点：用等式的性质解简单方程

【探索1】

1、观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？

从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还保持平衡。 从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是保持平衡。 等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质。

问题1：在平衡的天平的左、右两边都加（或减）同样的量，天平的左、右两边始终保持平衡。我们可以用a＝b表示一般的等式，怎样用式子表示呢？

a?c?________

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 2、观察课本图3．1-3，由它你能发现什么规律？

可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还保持平衡。

类似可以得到等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍相等。

问题2：我们可以用a＝b表示一般的等式，怎样用式子表示呢？

a1、ac?_____ 2.如果c?0，那么?____

c等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 例题：P83例2利用等式的性质解下列方程。

1（1）x＋7＝26 （2）－5x＝20 （3）?x?5?4

3分析：所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x＝？”因此我们需要把方程转化为“x＝a(a为常数)”的形式。

问题1：怎样才能把方程x＋7＝26转化为x＝a的形式？

问题2：式子－5x表示什么？我们把其中的－5叫做这个式子的系数，你能用等式的性质把方程－5x＝20转为x＝a的形式吗？ 问题3：用同样的方法给出方程的解

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问题4：请你归纳一下解一元一次方程的依据和结果的形式。

结论：解一元一次方程的依据是等式的性质；结果的形式是x＝a（a为常数） 为了结果的准确性，一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等。 【练习】P84练习 补充练习：

1、小明的妈妈从商店买回一条裤子，小明问妈妈：“这条裤子需要多少千？”妈妈说：“按标价的八折是36元”你知道标价是多少元吗？

2、小聪带了18元到文具店买学习用品，他买了5枝单价为1.2元的圆珠笔，剩下的钱刚好可以买8本笔记本，问笔记本的单价是多少？

3、已知方程(k?2)x|k|?1?2k?3是关于x的一元一次方程，则k的值为_____。 【小结】

1、等式的性质1，一定要注意等式两边同时加上（或减去）同一个数或式，才能保证等式成立

2、等式的性质2，要注意等式的两边不能除以0 3、等式的性质是等式变形的依据。

3.2 解一元一次方程（一）（1）

【教学目标】

1、会利用合并同类项解一元一次方程。

2、通过对实例的分析，体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。 【重、难点与关键】

重点：会列一元一次方程解决实际问题，?并会合并同类项解一元一次方程。 难点：会列一元一次方程解决实际问题。

关键：抓住实际问题中的数量关系建立方程模型。

【探索1】

公元825年左右，中亚细亚数学家阿尔、花拉子米写了一本代数书，?重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．“对消”与“还原”是什么意思呢？让我们先讨论下面内容，然后再回答这个问题。 （1） 如何根据实际问题列一元一次方程？ （2） 如何解一元一次方程？

问题1：某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的两倍，今年购买数量又是去年的两倍，前年这个学校购买了多少台计算机？

分析：

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年份 购买数量 相等关系 前年 x台 去年 2x台 今年 4x台 总数 140 前年购买数量+去年购买数量+今年购买数量＝140 思考：1、在解方程时运用了我们以前学过的哪个知识？ 2、在解方程中合并同类项起到了什么作用？

总结：1、实际问题转化为方程问题。

2、“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a的形式。

合并应注意：①只有同类项才能合并。②合并时系数的合并，字母及字母指数不变。③如果系数相加后为0，则结果为0。 例题：P89例1解方程

7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3（运用了合并同类项） 【练习】P89练习 补充练习：

1、某班学生共60分，外出参加种树活动，根据任何的不同，要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比是2：3：5，求各小组人数。 2、足球的表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑白皮块的数目比为3：5，一个足球的表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？3、某学生读一本书，第一天读了全书的多2页，第二天读了全书的少1?页，?还剩23页没读，问全书共有多少页？（设未知数，列方程，不求解） 【小结】

合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项，也就是逆用乘法分配律，合并时，注意x或-x的系数分别是1，-1，而不是0。

3.2 解一元一次方程（一）（2）

【教学目标】

1、理解移项法，并知道移项法的依据，会用移项法则解方程。

2、经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，认识用方程解决实际问题的关键是建立相等关系。 【重、难点与关键】

重点：运用方程解决实际问题，会用移项法则解方程。 难点：对立相等关系。

关键：理解“移项法则”的依据，以及寻找问题中的等量关系。

【探索1】

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问题2：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

设这个班有x名学生。

每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共（3x+20）本。 每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书共（4x-25）本。 本题还可以画示意图，帮助我们分析：

这批书的总数有几种表示法？它们之间有什么关系？本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢？（这批书的总数是一个定值。）从而列出方程。

（注意变化中的不变量，寻找隐含的相等关系，从本题列方程的过程，可以发现：“表示同一个量的两个不同式子相等。）

思考：方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项（3x和4x）和不含字母的常数项（20和-25），怎样才能使它向x=a（常数）的形式转化呢？

思考：上面解方程中“移项”起了什么作用？（通过移项，含未知数的项和常数项分别于方程的左右两边，使方程更接近于x=a的形式。）

引出了移项的概念：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

移项应注意：①所移动的是方程中的项。②并且从方程的一边移到另一边，而不是在方程的一边交换两项的位置。③移项时要变号，不变号不能移项。

在解方程时，要弄清什么时候要移项，移哪些项，目的是什么？ 解方程时经常要“合并”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并”和“移项”。

如果把上面的问题2的条件不变，?“这个班有多少学生”改为“这批书有多少本？”你会解吗？试试看。 例题：P91例2解方程

3x+7=32-2x（运用了移项和合并同类项） 【练习】P91练习 补充练习：

1、小李去商店买练习本，如果多买一些就打8折，于是小李买了20本，结果便宜了1.6元，原来每本价格是多少元？

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2、解方程。

1x1（1）8=7-2y； （2）=-；

93635（3）5x-2=7x+8； （4）1-x=3x+；

221x3（5）2x-=-+2； （6）-x+6=4x+1；

3343（7）-x=0.5x-3．

23、设m=3x-2，n=-2x+3，当x为何值时m=n？

4、甲粮仓存粮1000吨，乙粮仓存粮798吨，现要从两个粮仓中运走212吨粮食，?使两仓库剩余的粮食数量相等，那么应从这两个粮仓各运出多少吨？ 【小结】

1、列一元一次方程解决实际问题的关键是审题和找相等关系，?今天解决的这个问题的相等关系不明显，隐含在问题中，表示同一个量的两个式子是相等．这个相等关系可以作列方程的依据。

2、正确理解移项法则，移项中常犯的错误是忘记变号，?还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质区别，移项的依据是等式性质，在方程的一边交换两项的位置是根据交换律。

3.2 解一元一次方程（一）（3）

【教学目标】

1、掌握用一元一次方程解决实际问题的方法步骤，并会验证解的合理性。 2、进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会运用方程解决实际问题的一般过程。

【重、难点与关键】 重点：经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、?分析问题的能力，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程模型的重要性。 难点：寻找“相等关系”列出一元一次方程。 关键：找出表示题目全部意义的等量关系。

【探索1】

方程的多种用法：许多问题用列方程的方式来解答，便会变得简单许多。生活中处处有方程。 例题：P91例3

有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，?，其中某三个相邻数的和事-1701，这三个数各是多少？

（分析：从符号和绝对值两方面观察，这列数有什么规律？要解决这个问题，首先

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观察这一列数，按什么规律排列的，若找到规律，?就可以设这三个数中的一个为x，根据这个规律，可以用x表示其余两个数，?再根据这三个数的和是-1701，列出方程。）

可以从符号和绝对值两方面观察：

从符号看：正、负插开，后一个数的符号与它前一个数的符号相反． 从绝对值看：1×3=3，3×3=9，9×3=27，27×3=81，? 即后一个数的绝对值是前一个数绝对值的3倍。 综合符号、绝对值两方面，这列数的规律是：

前一个数乘以-3得后一个数。 从而列出方程。 【探索2】

例4：根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。 方式一 方式二 月租费 30元/月 0 本地通话费 0.30元/分 0.40元/分

（1） 一个月内在本地通话200分和350分，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ （2） 对于某个本地通话时间，会出现两种计费方式收费一样多吗？ 思考：你知道怎样选择计费方式更省钱吗？ 分析：（1）本地通话200分，按方式一需交费30+0.30×200=90（元），按方式二需交费0.40×200=80（元），本地通话350分，按方式一需交费30+0.30×350=135（元）；按方式二需交费0.4×350=140（元）．算出上面计算结果可看到月通话200分时，按方式二计费省钱，月通话300分时按方式一交费，省钱。（2）设月累计通话t分，则按方式一要交费（30+0.3t）元，?按方式二要交费0.4t元，如果两种计费方式的收费一样，则30+0.3t=0.4t。

归纳：用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：

【练习】P93习题3.2复习巩固1，3 补充练习：

1、某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，?凭卡可以在这家商店按8折购物，什么情况下买卡购物合算？

2、小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80?米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180

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米/?分的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 【小结】

用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：

3.3 解一元一次方程（二）（1）

【教学目标】

1、掌握用一元一次方程解决实际问题的方法，会用分配律，去括号解决关于含括号的一元一次方程。

2、经历应用方程解决实际问题的过程，发展分析问题，解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用． 【重、难点与关键】

重点：列方程解决实际问题，会解含有括号的一元一次方程。 难点：列方程解决实际问题。

关键：建立等量关系。

【探索1】

我们已经学习了运用一元一次方程解决一些比较简单的实际问题．本节继续讨论如何列、解一元一次方程的问题．当问题中数量关系较复杂时，列出的方程的形式也会较复杂，解方程的步骤也相应更多些．

问题：某工厂加强节能措施，?去年下半年与上半年相比，?月平均用电量减少2000度，全年用电15万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？ 你会用方程解这道题吗？ 提出问题：

1．本问题的等量关系是什么？

2．如果设上半年每月平均用电x度，那么怎样表示下半年每月平均用电量、上半年共用电量和下半年共用电量。 3．根据等量关系，列出方程。 4．怎样解这个方程。

思路点拨：本问题的等量关系是：

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上半年用电量（度）＋下半年用电量（度）＝150000

设上半年每月平均用电x度，则下半年每月平均用电（x-2000）度，?上半年共用电6x度，下半年共用电6（x-2000）度，列出方程 6x+6（x-2000）=150000

思考：本题还有其他列方程的方法吗？用其他方法列出的方程应怎样解？ 点拨：如果设去年下半年平均每月用电x度，那么怎样列方程呢？?这个方程的解是问题的答案吗？

设去年下半年平均每月用电x度，则上半年平均每月用电（x+2000）度，列方程，6（x+2000）+6x=150000。

方法一叫直接设元法，方程的解就是问题的答案；方法二是间接设元法，方程的解并不是问题答案，需要根据问题中的数量关系求出最后答案． 方程中有带括号的式子时，利用分配律去括号是常用的化简步骤． 例题：P97例1解方程： 3x-7（x-1）=3-2（x+3）。

方程中有带括号的式子时，去括号是常用的步骤。 【练习】P97练习，P102习题3．3第5题。 补充练习： 1、解方程：

（1）10y-2(7y-2)=5(4y+3)-2y （2）2（6-0.5y）=-3(2y-1) （3）4-2(3x-1)=x+3

（4）3(5x-1)-2(3x+2)=6(x-1)+2 （5）30%x+70%(200-x)=200×54%

2、敌我两军相距32千米，敌军以每小时6千米的速度逃窜，我军同时以每小时16千米的速度追击，在相距2千米的地方发生战斗，问战斗是从开始追击后几小时发生的。

思路点拨：用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号． 方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，再去大括号的顺序去括号．

【小结】

本节课我们继续讨论列方程解决实际问题，同时学习了如何解含有括号的方法，解此类方程，一般地先去括号，后移项，合并，系数化为1，并且注意去括号时易出错的问题。

3.3 解一元一次方程（二）（2）

【教学目标】

1、进一步掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤。

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2、通过分析行程问题中顺流速度、逆流速度、水流速度、静水中的速度的关系，以及零件配套问题中的等量关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用。 【重、难点与关键】

重点：分析问题中的数量关系，找出能够表示问题全部含义的相等关系，?列出一元一次方程，并会解方程。

难点：找出能够表示问题全部含义的相等关系，列出方程。

关键：找出能够表示问题全部含义的相等关系。

【探索1】 提问：

1、行程问题中的基本数量关系是什么？ 路程=速度×时间 可变形为：速度=

路程路程,时间?． 时间速度2、相遇问题或追及问题中所走路程的关系？

相遇问题：双方所走的路程之和＝全部路程＋原来两者间的距离。（原来两者间的距离）

追及问题：快速行进路程＝慢速行进路程＋原来两者间的距离。 或快速行进路程－慢速行进路程＝原路程（原来两者间的距离）。 例题：P97例2：

一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。 分析：（1）顺流行驶的速度、逆流行驶的速度、水流速度，船在静水中的速度之间的关系如何？

顺流行驶速度＝船在静水中的速度＋水流速度 逆流行驶速度＝船在静水中的速度－水流速度

（2）设船在静水中的平均速度为x千米/时，由此填空（课本第97页）．

（3）问题中的相等关系是什么？ （一般情况下，船返回是按原路线行驶的，因此可以认为这船的往返路程相等。） 说明：课本中，移项及合并，得0.5x=13.5是把含x的项移到方程右边，常数项移到左边后合并，得13.5=0.5x，再根据a=b就是b=a，即把方程两边同时对调，这不是移项。 例题：P98例3：

某车间22?名工人生产螺钉和螺母，?每人每天平均生产螺钉1200?个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，?应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 分析：

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已知条件：（1）分配生产螺钉和生产螺母人数共22名。 （2）每人每天平均生产螺钉1200个，或螺母2000个。 （3）一个螺钉要配两个螺母． （4）为使每天的产品刚好配套，应使生产的螺母数量与螺钉数量之间有什么样关系？

螺母的数量应是螺钉数量的两倍，这正是相等关系．

本题的关键是要使每天生产的螺钉、螺母配套，弄清螺钉与螺母之间的数量关系．

【练习】P102习题3.3复习巩固第7题． 补充练习： 2001年对甲、乙两所学校学生的身体素质进行测评，?结果两校学生达标人数共1500人，2002年甲校达标人数增加10%，乙校学生达标人数增加15%，?两校达标总人数比2001年增加12%，问2001年两校学生达标人数各多少？ 【小结】

列方程解决实际问题的关键是正确地建立方程中的等量关系，并且在求出x值后，一定要检验它是否合理，?虽然不必写出检验过程，但这一步绝不是可有可无的．

3.3 解一元一次方程（二）（3）

【教学目标】

1、使学生掌握去分母解方程的方法，总结解方程的步骤。 2、经历去分母解方程的过程，体会把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”的转化的思想方法。 【重、难点与关键】

重点：掌握去分母解方程的方法。

难点：求各分母的最小公倍数，以及去分母时，有时要添括号。 关键：正确利用等式性质，把方程去分母。

【探索1】

下面我们来讨论英国伦敦博物馆保存的一部极其珍贵的文物──纸莎草文书中的一个有关数学的问题．

问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，你知道这个数是多少？

用现在的数学符号表示，这道题就是方程：

211 x+x+x+x=33

327 当时的埃及人如果把问题写成这种形式，它一定是“最早”的方程．

上面这个方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，则可使解方程中的计算更方便些．

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