线性方程组的解法及其应用

线性方程组的解法及其应用

摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.本文综述了几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克拉默法则、广义逆矩阵法、直接三角形法、平方根法、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，广义逆矩阵方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合.

关键词:线性方程组解法广义逆矩阵应用实例

The Solution of Linear Equations and Its Applications

Name: Zhao Tao Student number: 200840510158 Advisor: Chu Yawei

Abstract: Linear equations is one of the core content of linear algebra, the study of its solution is a classic andimportant research topic in algebra. This paper reviews several solution methods of different types of linear equations, such as elimination, a carat vision, generalized inverse matrix method, the direct triangle method, the method of the square root, pursued method, and gives the specific examples to introduce the application of skills of different solutions. Among these methods, the generalized inverse matrix method has characteristics of clear expression and wide utilization. In addition, we can solve the problems of linear equations quickly and effectively by using these methods, which provide a simple platform for solving linear equations, and promote the combination of theory and practice.

Keywords: linear equations solution generalized inverse matrix application example

1. 引言

线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.本文主要介绍线性方程组的广义逆矩阵法、追赶法、平方根法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台.文章也给出线性方程组在其他领域中的应用实例，揭示了各学科之间的内通性.

首先，我们讨论一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为

11112211211222

221122,,.n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? ()i

()i 式中(1,2,,)i x i n = 代表未知量，(1,2,,;1,2,,)ij a i s j n == 称为方程组的系数，

(1,2,,)j b j n = 称为常数项.

线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120s b b b ==== . 令

11121212221

2n n s s sn a a a a a a A a a a ??????=?????? ，12n x x X x ??????=?????? , 12s b b B b ??????=?????? ， 则()i 可用矩阵乘法表示为

AX B =，,,.m n n m A C X C B C ?∈∈∈

2. 线性方程组的解法

2.1 消元法

在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.

例 1 解线性方程组

123123

123123324,32511,23,237.

x x x x x x x x x x x x +-=??+-=??

++=??-++=-? 解 分别将第一个方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四个方程上，整理得

12323

2323324,71,555,7 1.x x x x x x x x x +-=??-+=-??

-+=-??-=?

将此方程组第二个方程加到第四个方程上，使该方程两边全为零，并将第三个方程的两边乘以15-，得

1232323324,71,1.x x x x x x x +-=??

-+=-??-=?

再将第三个方程的7倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的未知量2x ，整理得

123233324,1,6 6.x x x x x x +-=??

-=??-=?

最后解得

123(,,)(2,0,1)T T x x x =--.

正如消元法是我们接触比较早的，被我们所熟悉的一种方法，在此只给出三元线性方程组的解法，三元以上的方程组的具体理论、性质和解题过程详见参考文献[1]. 2.2 应用克莱姆法则

对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有 定理1[1] 如果含有n 个方程的n 元线性方程组

11112211211222

221122,,.

n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? ()ii

的系数矩阵 111212122212

n n n n nn a a a a a a A a a a ??????=?????? 的行列式

11

12121

2221

2det 0n n n n nn a a a a a a A a a a =≠

， 那么线性方程组()ii 有唯一解：

det (1,2,,),det j

j B x j n A ==

其中det j B 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项12,,,n b b b 所成的矩阵的行列式，

即

111,1

11,11222,122,121,1,1det ,1,2,,.j j n j j n j n n j n n j nn

a a

b a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+==

此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组Ax b =的系数矩阵的行列式det 0A ≠，则线性方程组Ax b =一定有解，且解是唯一的.

例2 解线性方程组

12342341242342344,3,31,73 3.

x x x x x x x x x x x x x -+-=??-+=-??++

=??-++=-?

解 由已知可得系数行列式

12

34123412

3401110

1111

11

det 1601

3

01535207

3

17

3

14

8A ---------=

===≠----,

因此线性方程组有唯一解.又因

124

23414343111031

1det 128,det 48,130111013

7310

3

31B B -------=

=-=

=-

3412

44123401310113

det 96,det 0.1

3111

3

010731

07

3

3B B ------=

===-- 故线性方程组的解为

1234(,,,)(8,3,6,0)T T x x x x =-.

克莱姆法则主要给出了解与系数的明显关系，但只能应用于系数矩阵的行列式不为

零的线性方程组，并且它进行计算是不方便的. 2.3 广义逆矩阵A -

法

设m n A C ?∈.如果存在n m G C ?∈，使得AGA A =，则称G 为矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵，记作A -.矩阵A 的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵A 的{1}-逆的全体记为{1}A .

若m n A C ?∈，A -n m C ?∈为A 的一个{1}-广义逆矩阵，则对,n m V W C ?∈为任意的n m ?矩阵，矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵为

G A V A AVAA ---=+-,

同时还可以表示为

()()m n G A V E AA E A A W ---=+-+-.

广义逆矩阵A -的计算：

(1)设(0)m n r A C r ?∈>，且有m m m P C ?∈和n 阶置换矩阵Q 使得

(),(),r

r n r E K PAQ K C O O ?-??=∈????

则对任意的()()n r m r L C -?-∈，n m ?矩阵

r

E O G Q P O L ??=????

是A 的一个{1}-广义逆矩阵.若存在n n n T C ?∈使得

,r

E O PAT O

O ??=???? 则矩阵的{1}-逆的全体

12()()()()1221222122{1},,.r r m r n r r n r m r E L A T P L C L C L C L L ?--?-?-??????=∈∈∈??????????

(2)设m n A C ?∈，则A 有惟一{1}逆的充分必要条件是m n =，且()r A n =，即A 可逆.这个惟一的{1}逆就是1A -.

定理2[8] 设m n A C ?∈，m b C ∈,则AA b b -=是线性方程组Ax b =有解的充要条件,其中{1}A A -∈.如果线性方程组Ax b =有解，其通解可表示为

()x A b E A A y --=+-，

其中y 是任意的n 维列向量.

定理3[6] 设线性方程组Ax b =有解，A -是m n ?矩阵A 的一{1}-广义逆矩阵，并且()H A A A A --=，则y A b -=为线性方程组Ax b =的最小范数解.

定理4[6] 设A -为m n ?矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵，且()H AA A A --=，则对任意的n 维列向量b ,y A b -=一定是线性方程组Ax b =的最小二乘解.

例3 解线性方程组

12341241

234235,5814,223 4.x x x x x x x x x x x ++-=??++=??+-+=? 解 令

231158011223A -????=????-??，5144b ????=??????

. 通过行初等变换得到

4203()()102211A E H P P -????|→|→=-????--??

. 取4Q E =，再令0α=，0β=，得

1000100000A Q P αβ-??????=??????=20310222αααββ

β-????-??=??--??--??203102000000-????-????????. 可以验证

(5,14,4)T AA b b -==.

所以线性方程组有解，且通解为

123420*********()0001000001y y x A b E A A y y y ----????????????-??????=+-=+??????????????????

(1234,,,y y y y C ∈任意). 该方法对线性方程组解的讨论更加完整，表达形式也更加简洁系统.在无穷多个解向量中，此法可求出一个长度最短解向量，当方程组无解时，又可求出其最优近似解，而且该方法在概率统计、线性规划等领域中应用比较广泛.

2.4 Moore-Penrose 广义逆A +法

定义1[12] 设m n A C ?∈矩阵，如果矩阵n m G C ?∈满足如下四个矩阵方程

①AGA A =； ②GAG G =； ③H GA GA ()=； ④H G AG (A )=. 则称G 为A 的Moore-Penrose 逆(或加号逆),记为A +.若为A 非奇异矩阵，则1A A +-=.

广义逆矩阵A +的有些性质与普通意义下逆矩阵的性质类似，而有些性质却完全不同.

定理5[12] 对任意m n A C ?∈，A +存在并且唯一.

如果m n r A C ?∈(0)r >，且A 的满秩分解为

,(,)m r r n r r A FG F C G C ??=∈∈,

那么

11()().H H H H A G GG F F F +--=

由此可以推得，若m n A C ?∈，则当()r A m =时，有1()H H A A AA +-=；而当()r A n =时，有1()H H A A A A +-=.

由于广义逆矩阵A +同时是矩阵A 的{1}-逆，{1,2}-逆，{1,3}-逆和{1,4}-逆，所以它与线性方程组的求解问题密切联系，而且有着非常整齐的结论：设m n A C ?∈，m b C ∈，则

(1)设AA b b +=，且通解形式为

()x A b E A A y ++=+-(n y C ∈任意)，

是线性方程组Ax b =有解的充要条件；

(2)矛盾线性方程组Ax b =的全部最小二乘解的通式，或相容线性方程组Ax b =的通解为

()x A b E A A y ++=+-，(n y C ∈任意)；

(3) n z C ∈是矛盾线性方程组Ax b =的最小二乘解得充要条件是，z 是线性方程组Ax AA b +=的解；

(4) n z C ∈是线性方程组Ax b =的最小二乘解得充要条件是，z 是线性方程组H H A Ax A b =的解；

(5)线性方程组Ax b =的惟一极小范数最小二乘解，或线性方程组Ax b =的惟一极小范数解为0x A b +=.

例4 用广义逆矩阵方法判断线性方程组

1234123423

4220,220,2154.x x x x x x x x x x x -++-=??+--=??+-=?

是否有解.如果有解，求通解和极小范数解；如果无解，求极小范数最小二乘解.

解 由题可得方程组的矩阵形式Ax b =，其中

112221120112A --????=--????-??，00154b ????=??????

. 易得()2r A =，矩阵A 的一个满秩分解为

11101021011201A FG -??-????==????-??????

， 因此

11()()H H H H A G GG F F F +--=1833181191262210154162218--??????=??-??---??

. 由于

(66,33,54)T AA b b +=≠，

所以原方程组无解,极小范数最小二乘解为

0x A b +=(1,9,10,18)T =--.

方程组的个数与未知数的个数不相等时，系数矩阵不是方阵，可用此方法判别方程组是否有解，并能快速地解各种矩阵方程.

2.5 直接三角分解法[5]

设有线性方程组

11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=?

或写成矩阵形式Ax b =，其中

111212122212

n n n n nn a a a a a a A a a a ??????=?????? ，12n x x x x ??????=?????? ，12n b b b b ??????=?????? .

若A 为非奇异矩阵，且有分解式A LU =，其中U 为上三角矩阵，L 为单位下三角矩阵，即

11121212221,1111n n n n n nn u u u l u u A LU l l u -????????????==?????????

??? , 则线性方程组Ax b =的求解等价于 解以下两个三角方程组：

(1)Ly b =，求y ； (2)Ux y =，求x .

直接三角形分解法求解线性方程组，基本步骤如下：

第一步： 11,(1,2,,),i i u a i n == 1111,(2,3,,)i i l a u i n == ,计算U 的第r 行，L 的第r 列元素，2,3,,r n = .

第二步： 1

1,(,1,,)r ri ri rk ki k u a l u i r r n -==-=+∑ .

第三步： 1

1,(1,,;)r ir ir ik kr rr k l a l u u i r n r n -==(-)=+≠∑ .求解Ly b =，Ux y =的计算公

式如下：

第四步： ()1111,,2,3,.

i i i ik k k y b y b l y i n -==???=-=??

∑

第五步： 1,(),(1,2,,1).n n nn n i

i ik k ii k i x y u x y u x u i n n =+=???=-=--??

∑ 例5 求解线性方程组

1231212321,42,227.x x x x x x x x ++=??+=-??-++=?

解 由直接三角分解法第二、三步可得

211100211410210012221131004A LU ????????????==--=????????????---??????

.

于是线性方程组变为

LUx b =，

求解线性方程组(1,2,7)T Ly =-，得

(1,4,4)T y =--；

求解线性方程组(1,4,4)T Ux =--，得

(1,2,1)T x =-.

2.6 平方根法[7]

在许多应用中，欲求解的线性方程组的系数矩阵是对称正定的.所谓平方根法，就是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解具有对称正定矩阵的线性方程组的一中有效方法，目前在计算机上广泛应用平方根法解此类方程组.

定理6[12] 若A 的各阶顺序主子式非零，则A 可以分解为A LDU =，其中L 是单位下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，D 是对角矩阵，且这种分解是唯一的.

定理7[12] 设A 为对称正定矩阵，则存在三角分解T A LL =，其中L 是非奇异下三角形矩阵，且当限定L 的对角线元素为正时，这种分解是唯一的.

应用对称正定矩阵的平方根法，可以解具有对称正定系数矩阵的线性方程组Ax b =，具体算法如下：

1) 对j =1,2， ，n ，计算

11221()j jj jj jk k l a l -==-∑，11

j ij ij ik jk k l a l l -==-∑(1,,)i j n =+ .

2) 求解线性方程组Ax b =等价于解两个三角方程组

,.T Ly b L x y =??=?

计算

1

1()i i i ik k ii k y b l y l -==-∑，(i =1,2， ，n ),

1()n i i ki k ii k i x b l x l =+=-

∑，(i n =,1n -, ,2,1)，

即可.

例6 求解线性方程组

1234

1161 4.25 2.750.5.1 2.75 3.5 1.25x x x -????????????-=-???????????

??????? 解 设

111121

31212222323132

33334

111 4.25 2.751 2.75 3.5l l l l l l l l l l l l -??????

??????-=?????????????????

?

, 由矩阵乘法得

1121223132332,0.5,2,0.5, 1.5, 1.l l l l l l ==-====

解下三角方程组

123260.520.50.5 1.51 1.25y y y ??????

??????-=-??????????????????

, 得

1233,0.5,1,y y y ===-

再由

123230.520.50.5 1.511T

x x x ??????

??????-=????????????-??

????

, 得线性方程组的解为

123(,,)(2,1,1)T T x x x =-.

可以用消元法解此方程组,但发现此方程组的系数矩阵为正定矩阵，运用平方根法解这个方程组比较容易，而且理论分析指出，解对称正定方程组的平方根法是一个稳定的算法，其在工程计算中使用比较广泛. 2.7 追赶法[5]

在许多实际问题中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组

11112222211111i i i i i n n n n n n n n n x k b c x k a b c a b c x k a b c x k a b x k -----??????????????????????????????=????????????????????????????????????

，

简记作 Ax k =，

其中A 满足下列对角占优条件： (1) 110b c >>; (2) i i i b a c ≥+, i a ,i c 0≠(i =2,3, ,1n -); (3) 0n n b c >>.

由系数矩阵A 的特点，可以将A 分解为两个三角矩阵的乘积，即

A LU =，

其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵.

求解线性方程组Ax k =等价于解两个三角方程组Ly k =与Ux y =，先后求y 与x ，从而得到以下解三角方程组的追赶法公式：

第一步：计算的递推公式

111c b β=，1()i i i i i c b a ββ-=-，(2i =，3， ，1)n -;

第二步：解Ly k =：111y k b =，11()()i i i i i i i y k a y b a β--=--，(2,3,,)i n = ; 第三步：解Ux y =：n n x y =，1i i i i x y x β+=-，(1,2,,2,1)i n n =-- .

例7 求解三对角线性方程组

12342100113102011120

0210x x x x ??????????????????=????????????????

??. 解 设有三角分解

11112222223

333

334

44

4111

1b c p q a b c a p q a b c a p q a b a p ??????????????????=?????????????

?

?

??

?，

由矩阵乘法易得

111,,1,2,3.

,2,3,4.

i i i i

i i i p b q c p i p b a q i -=??

==??=-=? 将已知系数矩阵的元素代人上式有

1122

3342,12,52,25,35,53,73.

p q p q p q p ==??==??

==??=? 解线性方程组

1

12233441121

22

0p y p y p y p y ??????????????????=??????????????

?

???, 得

123412,35,73, 2.y y y y ====

再解线性方程组

11122233344111

1x y q x y q x y q x y ??????????????????=?????????????

?????

, 得原线性方程组的为

1234(,,,)(0,1,1,2)T T x x x x =-.

追赶法是以LU 分解为基础的求解方法，因此它的不足之处是当某个0=k u 时，就不能进行.但是当方程组的系数矩阵A 中有很多零元素时，利用三对角方程组系数矩阵的稀

疏性，使零元素不参加运算，可以类似于追赶法来简化计算过程，从而极大地节省了计算量和存储量.这也是追赶法的最大特点.

3. 应用举例

3.1 线性方程组在解析几何中的应用

例8 已知平面上三条不同直线的方程分别为

1L ：230ax by c ++=，

2L ：230bx cy a ++=，

3L ：230cx ay b ++=，

试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.

证 必要性 设三直线1L ，2L ，3L 交于一点，则线性方程组

232323ax by c bx cy a cx ay b +=-??+=-??+=-?

()iii

有惟一解，故系数矩阵222a b A b c c a ????=??????与增广矩阵232323a b c A b c a c a b --????=-????-??

的秩均为2，于是0A -=，即

22223236()()23a

b c A b c a a b c a b c ab ac bc c a b -

-=-=++++----=0, 所以0a b c ++=.

充分性 由0a b c ++=，则从必要性的证明可知，0A -=，故()3r A -<. 由于

22222132()2[()]2[()]0224a b ac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠, 故()()2r A r A -==.因此线性方程组()iii 有惟一解，即三直线1L ，2L ，3L 交于一点.

3.2 线性方程组在产品生产量中的应用

例9 设有一个经济系统包括3个部门，在某一个生产周期内各部门间的消耗及最终产品如表所示：

求各部门的总产品.

解 设i x 表示第i 部门的总产品.由已知可以得到线性方程组

()I A x y -=，

其中

0.250.10.1()0.20.20.10.10.10.2ij A a ????==??????，0.750.10.10.20.80.10.10.10.8I A --??

??-=--??

??--??

，(245,90,175)T y =. 利用矩阵的初等变换可以求得

1126181810()34118198912017116I A -??

??-=??????

, 所以线性方程组()I A x y -=的解为

1126181824540010()3411819902508912017116175300x I A y -??????

??????=-==??????????????????

. 4. 结束语

消耗系数 消耗部门 生产部门

1

2

3

最终产品

1 0.25 0.1 0.1 245

2 0.2 0.2 0.1 90 3

0.1

0.1

0.2

175

本文针对不同的线性方程组给出了一些计算方法，及线性方程组的应用实例.根据线性方程组自身所具有的特点，可以选择相应合适的方法，而对于那些特殊类型的线性方程组的解法，有待进一步的讨论与研究．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j1ne.html