通信原理课后题

第一章 绪论

1. 某信源的符号集由A、B、C、D和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为1/4、1/8、1/8、3/16和5/16；信源以1000波特速率传送信息。试求：(1) 传送1小时的信息量；(2) 传送1小时可能达到的最大信息量。

解：首先求信源熵，即每个符号所含的平均信息量。根据信息熵公式

可得 2316516??1H(X)??log24?log28?log2?log2 ?48163165??

=2.23 bit/符号

所以，可得该信源的平均信息速率为

Rb?RB?H(X)?1000?2.23?2230 bit/s

(1) 1小时传送的信息量为 I = 2230?3600 = 8.028 Mbit

(2) 由于信源发送符号等概出现时，信源熵为最大，此时，最大信

源熵为

Hmax = log25 bit/符号 = 2.322 bit/符号 所以，1小时传输的最大信息量为 Imax = 2.322?1000?3600 = 8.359 Mbit

2．一个四进制数字通信系统，码速率为1kBaud，连续工作1小时后，接收端收到的错码为10个。(1)求误码率；(2)四个符号独立等概且错1个码元时发生1bit信息错误，求误信率。 解：(1) 1小时传输的码元数为 1000?3600=3.6?106 误码率为

Pe =10/3.6?106=2.8?10-6

(2) 四进制符号独立等概，则每符号含有的信息量为2 bit，则系统

1

1小时传输的信息量为

3.6?106?2= 7.2?106 bit

由题意可知，错误信息量为10 bit，因此，误信率为 10/7.2?106 = 1.4?10-6

推广：独立等概的M进制信号在传输过程中发生1个码元错误时仅错1bit信息量，则误信率与误比特率之间的关系为

Pb?Pe/log2M3．为什么不用信号带宽而用频带利用率衡量数字通信系统的有效性？

因为传输数字信号占用的信道带宽可以小于数字信号带宽，并且数字信号带宽与进制数有关。频带利用率表示每赫兹带宽信道所能传输的码速率或信息速率。显然，频带利用率越大，数字通信系统的有效性越好。

4．在多进制通信系统中，为什么误比特率小于误码率？试以四进制系统为例加以说明？ 在四进制系统中，若四个符号独立等概，则每个符号携带2bit信息量，这四个符号可以用二进制符号00、01、11、10来表示。当00错为11时有2bit信息量发生错误，当00错为01或10时有1bit信息量错误。只有当1个码元中的2bit全部错误时，误信率才等于误码率，实际上这种情况出现的概率比较小，故误信率小于误码率。

5．设某随参信道的最大多径时延为4?s，为了避免发生选择性衰落，在该信道上传输的数字信号的码元宽度为（因为B<=Bc=1/?，所以T >=1/B，大于4?s）。 6．某离散信源输出二进制符号，在（等概）条件下，每个二进制符号携带1比特信息量；在（不等概）条件下，每个二进制符号携带的平均信息量小于1比特。 7．调制信道分为（恒参信道）和（随参信道），短波电离层反射信道属于（随参）信道。 8．当无信号时，加性噪声是否存在？（存在）。乘性噪声是否存在？（不存在）。

2

第二章 信号

1. 设一个随机过程X(t)可以表示成：

X(t)?2cos(2?t??) -??t??式中? 是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：

P(??0)?0.5,P(???/2)?0.5试求： E [ X (1)] 和 R 。 X (0,1)解：当t=1时，X(t)的数学期望为

E[X(1)]?E[2cos(2?t??)]|t?1?2E[cos(2???)] =2E[cos(?)]=2(12cos0?12cos?2)?1当t1=0，t2=1时，X(t)的自相关函数为

RX(0,1)?E[X(0)X(1)]?E[2cos??2cos(2???)] =4E[cos?]=4(212222. 设 X (t ) 1 cos 2 x 2 sin 2 ? t 是一个随机过程，其中x1和x2是 ? x? t ?cos0?21cos2?)?2相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为零，方差均为? 2。试求：

（1） ( ， 2( t )] ；（2）X(t)的概率密度函数；（3）R 2 ) ( t1 ,tE [ Xt)]E [ XX 解：（1） E[X(t)]?E[x1cos2?t?x2sin2?t] ?cos2?t?E[x1]?sin2?t?E[x2]?0

E[X2(t)]?E[(x1cos2?t?x2sin2?t)2]2?cos22?t?E[x12]?sin22?t?E[x2]?sin4?tE[x1x2]?(cos22?t?sin22?t)?2??22D[X(t)]?E[X2(t)]?E2[X(t)]??（2）因为x1和x2是相统计独立的高斯随机变量，X(t)是x1和x2的线性组合，所以X(t)也服从高斯分布，其一维概率密度函数可写为：

3

p(x)?12??exp(?x22?2)（3） RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)] ?E[(x1cos2?t1?x2sin2?t1)(x1cos2?t2?x2sin2?t2)] ?E[x2cos2?tcos2?t?x2sin2?tsin2?t

112212 ?x1x2cos2?t1sin2?t2?x1x2cos2?t2sin2?t2]??2(cos2?t1cos2?t2?sin2?t1sin2?t2)??cos2?(t2?t1)??2cos2??2??t2?t13. 设有一随机过程 X (t ) ? m (t ) cos( ? 0 t ? ? ) ，其中 ? 在(0,2?)上均匀分布，且与m(t)相互独立，m(t)是以广义平稳随机过程，且其自相关函数为：

?1??, ?1???0? ??Rm(?)??1??, 0???1 ?

?0, 其他 ???（1）试画出自相关函数 R X ( ? ) 的曲线； （2）试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。 解：由题意可知，m(t)的数学期望为常数， f(?)?

12?,0???2?E[X(t)]?E[m(t)cos(?0t??)]?E[m(t)]?2?0cos(?0t??)12?d??0RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)]?E[m(t1)cos(?0t1??)m(t2)cos(?0t2??)]?E[m(t1)m(t2)]E[cos(?0t1??)cos(?0t2??)]1?1??Rm(?)?E[cos[2???0(t2?t1)]]?E[cos?0(t2?t1)]?2?2?11?Rm(?)[0?cos?0(t2?t1)]?Rm(?)cos?0?224

?1?(1??)cos?0?, -1

1?1? RX(?)?Rm(?)cos?0???(1??)cos?0?, 0??<1 ?22??

?0, 其他 ? ????

（不妨令f0=3，画出波形图）

（2）显然，X(t)广义平稳，所以有 RX(?)???PX(f)

PX(?)?12???[?(???0)??(???0)]?12Sa(2?2)1?2???02???0? =Sa()?Sa()??4?22?1?11S?PX(?)d?? 或 S?RX(0)??2???224. 设RC低通滤波器如图所示，当输入均值为0、双边功率谱密度为n0/2的白噪声时，求输出过程的均值、功率谱密度和自相关函数。 解：RC低通滤波器的传输特性为

功率谱密度

相关函数

R0(?)?e??|?|R

H(?)?11?j?RCC E[?0(t)]?E[?i(t)]?H(0)?0P0(?)?|H(?)|?Pi(?)??2?2n021??2(RC)2?1?2??2n04RCe?|?|RC 5

第七章 同 步

1．在插入导频法提取载频中，设受调制的载波为Asin?0t，基带信号为m(t)。若插入的导频相位和调制载频的相位相同，试重新计算接收端低通滤波器的输出，并给出输出中直流分量的值。 解：由题意可知调制器输出信号为

s0(t)?Am(t)sin?0t?Asin?0t 低通滤波器的输入信号为

s0(t)sin?0t?(Am(t)sin?0t?Asin?0t)sin?0t

?A[m(t)?1]sin2?0t?A[m(t)?1](1?2cos2?0t)2 低通滤波器的输出为

sLPF(t)?A2[m(t)?1]?A2m(t)?A2可见，输出中含有直流分量，其值为A/2。

2．设一个5位巴克码序列的前后都是“+1”码元，试画出其自相关函数曲线。

解：该巴克码序列为： + + + + - + +，计算其自相关函数可得 R(0)=7，R(1)=2，R(2)=1，R(3)=2，R(4)=1，R(5)=2，R(6)=1，

-6

-4

-2

0

2

4

6

26

3．设用一个7位巴克码作为群同步码，接收误码率为10-4。试分别求出容许错码数为0和1的漏同步概率和假同步概率。

解：假设检验时容许错误的最大码元数m=0或m=1，由题意可知，需

-4

要检验的同步码元数n=7，接收码元误码率p=10。根据漏同步概率m计算公式 P?1?Crpr(1?p)n?r1?n

r?0?47?4P?1?(1?10)?7?10当m=0时， 1a 注：（1＋x）? 1+ax?x??1 当m=1时， P1?1?(1?10?4)7?7?10?4?(1?10?4)6?4.2?10?7

根据假同步概率计算公式 当m=0时，

当m=1时， P2?

P2?121277mP2?rn12nm?r?0Cnr?Cr?0m??1128C7027?Cr?0rn?1C727?1?7128?1164．设某通信系统得传输速率为1kb/s，误码率P=10-4，采用连贯插入法进行帧同步。每帧中包含7位帧同步码和153位信息码。试求： （1）m=0时的漏同步概率P1，假同步概率，同步建立时间 （2）m=1时的漏同步概率P1，假同步概率，同步建立时间 解：(1) 当m=0时，

P1?1?C70p0(1?p)7?1?(1?10?4)7?7?10?42nts?(1?P1?P2)NTsP2?C70?2?7?7.8125?10?3?(1?7?10?4?7.8125?10?3)?(153?7)?1?10?3?161.3 ms同理可求(2)。

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5．通信系统中的同步包括( 载波同步 )、( 位同步 )、( 群同步 )和( 网同步 )。

6．载波同步的直接提取法有( 平方法 )和( 科斯塔斯环 )，无论哪种方法都存在( 相位模糊 )问题。

7．在数字通信系统的接收机中，应该先提取位同步信号还是先提取帧同步信号？( 应该先提取位同步信号 )，应该先提取相干载波信号还是先提取位同步信号？( 应该先提取相干载波信号 )。

8．若增大判决门限，则识别器的漏同步概率( 增大 )，假同步概率( 减小 )；若增大帧同步码的位数，则识别器的漏同步概率( 增大 )，假同步概率( 减小 ) 。

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第九章 多路复用和多址技术

1．设有一个9级线性反馈移存器产生的m序列，试写出其一个周期内不同长度游程的个数。

解：由题意可知，此m序列的游程总数为28=256。

根据m序列游程分布的性质，长度为k的游程数目占游程总数的1/2k，1 ? k ? (n-1)，并且在长度为k的游程中(其中1 ? k ? (n-2))，连“1”和连“0”的游程各占一半。因此有：

长度为1 的游程有128个；长度为2 的游程有64个； 长度为3 的游程有 32个；长度为4 的游程有 16个； 长度为5 的游程有 8个；长度为6 的游程有 4个；

长度为7 的游程有 2个；长度为8 的游程有 1个，即8个“0”； 长度为9 的游程有 1个，即9个“1” 2．已知特征方程f1(x)=1+x2+x3，f2(x)=1+x+x3。

(1)构造两个m序列发生器；(2)求两个序列发生器产生的m序列；(3)验证这两个m序列的正交性。

解：(1)上述两个特征方程所对应的m序列发生器如下图：

a2 a1 a0 a2 a1 a0 输出

(a)

输出

(b) (2)设初始状态为110

对应(a)产生的m序列为01011100101 对应(a)产生的m序列为01011101001

(3)上述两个m序列都是周期序列，相应两个码组中对应码元相同的个

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数A=5，不同个数D=2，则互相关系数为 ?=(A-D)/ (A+D)=3/7 显见，二者不是正交的。

3．6路独立信源的最高频率分别为1kHz，1kHz，2kHz，2kHz，3kHz，若采用时分复用方式进行传输，每路信号均采用8位对数PCM编码。 (1)设计该系统的帧结构和总时隙数，求每个时隙占有的时间宽度及码元宽度；(2)求信道最小传输带宽。 解：设计思想：每路信号占据相同的时隙。

(1) 由题意，n=6路信号的最高频率为3kHz，根据抽样定理，可选择抽样频率为fs=6kHz。不考虑帧同步码和信令信息，每帧可采用6个时隙，每路信号占据一个时隙，帧结构如图所示。

每个时隙宽度为

? = 1/nfs =1/(6?6000)=27.8 ?s 相应的码元宽度为 ?b = ?/8 ≈ 3.5 ?s (2) 码元速率为

Rb = 1/ ?b = 6000帧/s?6时隙/帧?8bit/时隙 = 288 kb/s 信道最小传输带宽(Nyquist带宽)为 Bc = Rb /2 = 144 kb/s

8 bit 1b=3.5?s 27.8 ?s 166.7 ?s TS0 TS1 TS2 TS3 TS4 TS5 TS6 4．多路复用的主要目的是什么？

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答：(1)提高通信链路利用率；(2)提高通信能力；(3)通过共享线路分摊成本，降低通信费用。

5．时分复用系统中，帧同步码的作用是（标明一帧的起始时刻，以便分接信号），用DM传输一路语音是否需要帧同步码？（不需要）。 6．A律PDH二次群的信息速率（ 大 ）于一次群信息速率的4倍。 7．STM-4的信息速率（等于）STM-1的信息速率的4倍。 8．n阶线性反馈移存器可生成m序列的周期为（2n-1）。

9．E体系的一次群的速率是（2.048Mb/s），可同时传输（30）路数字话；二次群的速率是（8.448Mb/s），可同时传输（120）路数字话。 10．在光纤中采用的多路复用技术是（波分复用）。

11．在同一条链路上能够同时传输多路信号，是利用了各路信号之间的（正交性）。 12．在常用的复用方式中，一般而言，通信能力（即带宽）浪费最大的是（FDM）。

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第十章 信道编码和差错控制

1．设有一个长度为n=15的汉明码，试问其监督位r应等于多少？其码速率是多少？其最小码距等于多少？试写出其监督位和信息位之间的关系。

解：由n = 2r-1，n =15，得r = 4，即监督位为4位。 其码率为k/n=(15-4)/15=11/15

用S1S2S3S4表示校正子，用于指明15个错码的位置，其关系如表所示

S1S2S3S4 0000 0001 0010 0100 1000 0011 0101 0110 0111 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 错码位置 无错码 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 32

监督关系式为：

?a3?a14?a13?a12?a11?a10?a9?a8??a2?a14?a13?a12?a11?a7?a6?a5??a1?a14?a13?a10?a9?a7?a6?a4?a?a?a?a?a?a?a?a1413108754?0最小码矩d0=3。

2．设已知一循环码的监督矩阵如下：

?1?H?0???11111100111000100??0?1??试求出其生成矩阵，并写出所有可能的码组。

解：由题意可知该线性分组码的码长n=7，监督位r=3，信息位k=4。 可将H写成H?[P?Ir]其中

则生成矩阵为

?1?P?0???11111100??1?1??Q?PT?1?1???1??000100001011111101??1?0??1?01111??1?0??1??1?0G?[Ik?Q]???0??0010033

所有可用码组可由 A ? [ a 6 a 5 a 4 a 3 ] ? G 得到

0000000，0001011，0010110，0011101，0100111，0101100， 0110001，0111010，1000101，1001110，1010011，1011000， 1100010，1101001，1110100，1111111。 (码生成多项式为g(x)=x3+ x+1)

3. 已知一个(7，3)循环码的监督关系式为

?x?xx?63?2?x1?0?x?x?0?52?x1?x0?x6?x5?x1?0??x5?x4?x0?0试求出该循环码的监督矩阵和生成矩阵。 解：由题中给出的条件可得监督矩阵为 110 ?1001?? H??0100111?? ?1100010?? ?0110001??化成典型阵为

?1011000? ? H??1110100???1100010? ?

?0110001??

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生成矩阵为

?1?G?0???00100011011111100??1?1??4．设一个(15,7)循环码的生成多项式为：g(x)=x8+ x7+ x6+ x4+1。若接

收码组为：T(x)= x14+ x5+ x+1。试问：其中有无错码。 解：判断有无错码需要计算T(x)/ g(x)

T(x)g(x)?x?x?x?653x?x?x?x?1x?x?x?x?18764763即多项式T(x)不能被g(x)整除，所以其中必有错码。 5．试画出教材p268图所示(2,1,3)卷积码的状态图和网格图。 解：由题图可知编码器的输入/输出关系为 c1= b1? b3，c2= b1? b2? b3

移存器状态和输入/输出的关系如表所示

前一状态b3b2 a(00) b(01) c(10) d(11)

该卷积编码器的状态图如下(图中实线表示输入信息为“0”，虚线表示输入信息为“1”)

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当前状态b1 0/1 0/1 0/1 0/1 输出c3c2 00/11 01/10 11/00 10/01 下一状态b3b2 a/b c/d a/b c/d

网格图如下：

00 a 11 11 00 b 10 01 10 d 01 c b c d a

0011 00 11 b 01 01 01 01 c 10 10 10 10 10 10 10 d 01 01 01 00 111100 00 111100 00 111100 a 7．对于一个码长为15 的线性码，若允许纠正2个随机错误，需要多少个不同的校正子，至少需要多少为监督码？ 解：需要的校正子状态数应大于等于错误图样数，即

S?Cn?Cn?Cn???Cn，这里t=2，n=15，代入前式得 S?C15?C15?C15?121，取S=128=27，所以，需要121个校正子

012012t状态，至少需要7位监督码元。

8．码组0100110的码重为( 3 )，它与码组0011011之间的码距是( 5 )。 9．线性分组码(63,51)的编码效率为( 51/63 )，卷积码(2,1,7)的编码效率为( 1/2 )。

10．已知循环码的生成多项式为x4+ x2+ x+1，此循环码可纠正( 1 )位错误码元，可检测出( 3 )位错误码元。因为其d0 = 4 ，是（7，3）码。 11．若信息码元为100101，则奇监督码为( 0 )，偶监督码为( 1 )。 12．已知两分组码为( 1111 )，( 0000 )。若用于检错，能检出( 3 )位错，

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若用于纠错，能纠正( 1 )位错。 13．线性分组码的生成矩阵

该码由监督位( 4 )位，编码效率为( 3/7 )。

?1?G?0???01101110111010100??0?1??14．已知g1(x)=x3+ x2+1，g2(x)=x3+ x+1，g3(x)=x +1，试分别讨论在下

述两种情况下，由g(x)生成的7位循环码的检错和纠错能力。 (1) g(x)= g1(x) g2(x)；(2) g(x)= g3(x) g2(x)。 解：(1) g(x)= g1(x) g2(x)=( x3+ x2+1)( x3+ x+1) = x6+ x5 + x4+ x3+ x2+x+1 即g(x)?(1111111)，因此，有d0=7。

用于检错时，d0?e+1， e=6； 用于纠错时，d0?2t+1，t=3；

由于纠检结合时，d0?e+t+1 (e>t)；e=5，t=1； e=4，t=2。 注：此题n = 7, k = 1, r = 6,

只有2k=2个许用码组0 0 0 0 0 0 0，1 1 1 1 1 1 1 (2) g(x)= g3(x) g2(x)=( x +1)( x3+ x+1) = x4+ x3+ x2+1

即g(x)?(0011101)，因此，有d0=4。 用于检错时，e=3； 用于纠错时，t=1；

由于纠检结合时，e=2，t=1。 注：此题n = 7, k = 3, r = 4,

共有2k＝8个许用码组

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