高数b测试题1

北京林业大学20 07 --20 08 学年第 二 学期考试试卷(A)

试卷名称： 高等数学B 课程所在院系： 理学院

考试班级 学号 姓名 成绩 一、填空：（每小题3分，共30分） 1.

limsin(xy)xy?1?1(x,y)?(2,0)= 2 1x2yy2. 设z?e，则dz?xe(?ydx?xdy).

x?3 设曲线的参数方程是x?t2,y?arctant,z?t4，则曲线在点(1,,1)处的切线方程是

4x?12y???4?z?1.

1424. 若曲面x2?2y2?3z2?21的切平面平行于平面x?4y?6z?25?0，则切点坐标为

(1,?2,2),(?1,2,?2).

5. 设f(x,y)?x4?y4?x2?2xy?y2，已知点P(1,1)是函数的驻点，在横线处填上f(x,y)在点P处取得的是极大值，还是极小值，还是不取极值_______极小值

6. 若D是以(0,0),(0,1)为,顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知

??(1?x?y)dxdy?D16.

7．设一阶非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个线性无关的解y1,y2，若?y1??y2也是该方程的解，则应有???? 1 .

28．微分方程y????sinx的通解是y?cosx?C1x?C2x?C3.

9．3eydx?dy?0的通解为3e??lny?C.

?xx10. 若级数?(un?1)收敛，则limun? 1 .

n?1n??二、选择题：（每小题2分，共10分）

1

1. 下列级数中收敛的是（ C ）

?nnn?A.

?4?8n? B.

?4?8n?C.?4?2n D.?2n?4nn

n?18n n?18n n?18nn?182. 方程x2?y2?z2?0表示的二次曲面是( C ).

A. 球面 B. 旋转抛物面 C. 圆锥面 D. 圆柱面 3. 二次积分?2dxx20?0f(x,y)dy写成另一种次序的积分是( A ).

A.

?44y0dy?2yf(x,y)dx B. ?0dy?0f(x,y)dx C. ?42,y)dx D. ?4y0dy?2f(x,y)dx

0dy?x2f(x4. 已知二元函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微分，则在点(x,y)处不一定成立的是( D ). A. 该函数在点(x,y)处连续 B. 该函数在点(x,y)处的极限存在 C.该函数在点(x,y)处的两个偏导数

?zz?x,??y存在 D. 该函数在点(x,y)处的偏导数连续

5. 设平面区域D?{(x,y)?|a?x?a,x?y?D}a1?{(x,y)|?0x?a,x?y?，??(xy?cosxsinyd)x?d（y A ）

DA. 2??cosxsinydxdy B. 2??xydxdy C. 4??(xy?cosxsiny)dxdy D. 0

D1D1D1三、（6分） 若 z?ex2?y2?z2确定z?z(x,y)，求

?z?x 和

?z?y.

解 因?z?x???z?2x?2z?x2?y2?z2，?z???z???x?e??y?2y?2zx2?y2?z2 （3分） ??y?e? 故?zex2?y2?z22yex2?y2?z2?x?2x1?2zex2?y2?z2，

?z?y? （6分）

1?2zex2?y2?z2 ,其中?,?二阶可导,证明

?u?2四、（6分）设u??[x??(y)]?x?u?x?y??u?y??2u?x2. 证明： 因为 ?u?x???, ?u?y?????(y) （3分） 2

?u????2u????x?y??y??????(y), ?x2??x????（5分）

则

2

a}?u?u故 ?????????(y)??2 （6分）

?x?x?y?y?x

?u?u22五、（6分）求??xyd?，其中D是由直线y?1,x?2,y?x所围区域.

D解： D:?故??xyd???1?y?x?1?x?2，（ 3分）

?2?xxydy?dx???2xdx?ydy?x?2x?1y2x1dx?1??x23?x?dx?9 （6分）

1111D??1??221?六、（6分）问?(?1)n?a???1?cos?是否收敛？若收敛，是否绝对收敛？ n?1n?解： 收敛，且绝对收敛 事实上，因(?1)n(1?cosaa2n)?1?cosn?2sin2a2n?a2n2， ??而?a2(?1)n??1?cosa?n?收敛. n?12n2收敛，故由比较判别法知，?n?1???从而?(?1)n??1?cosa?. （6分） n?1?n?收敛，而且绝对收敛?

?七、（7分）求幂级数?n2?1的收敛域与和函数.

n?1nxn解：因为：lim|an?1n??a|?1 ,x??1时级数发散， ? 收敛域为(-1,1) （5分）

n?n2?1?? ?nn??1n?x??n?x?? n?1nx＝?nxn?1n?1nx＝x???nx?1dx?0?????xn?1??dxn?1??0n?1???x?x???x1dx?x?ln(1?x),(?1?x?1)?1?x???01?x(1?x)2 （7分）

八、（6分）将f(x)?16?5x展开为(x?1)的幂级数.

解：

f(x)?116?5x?1?5(x?1) （2分） ????[5(x?1)]n??5n(x?1)n (4n?0n?05?x?65) （6分）

83分） 5分）

3

（ （

?y2?2z九、（6分）设?是由曲线?绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z?4所围成的闭区域，求

?x?0三重积分I????(x?y?z)dv.

?22?y2?2z解： 曲线?绕z轴旋转一周而成的曲面方程为x2?y2?2z，故?在xoy面上的投影为

?x?0（2分） Dxy:x?y?8，所以 I?22???(r?z)rdrd?dz??2?2?0d??80dr?12(r?z)rdz?2r422563? （6分）

十、（6分） 设y???4y??3y?x2e?3x

（1）求出该方程所对应的齐次方程的通解

（2）写出该非齐次方程的特解y*（仅设出y*，不必求出y*） 解：（1） 特征方程为r2?4r?3?0

特征根为r1??1,r2??3

?x?3x故求出所对应的齐次方程的通解为y?C1e?C2e （4分）

（2）y???4y??3y?x2e?3x的特解为y*?x(ax2?bx?c)e?3x （6分）

十一、（7分）设函数f(x)在[0,??)上连续，且满足方程

f(t)?e? t2?2??2f(x?y)dxdy 试求f(t).

222x?y?t2?t解： f(t)?e? t2??0d??f(?)?d?

0即 f(t)?e? t2?2??t0f?(?)d?

两边同时对t求导得

? t?te??2 f?(t)?222tf( t) （3分）

? t即 f?(t)?2?tf(t)?2?te

222?tdt?2?tdt?t?t2故 f(t)?e?[C??2?tee?dt]?e(C??t) （7分）

十二、（4分）利用求条件极值的方法，证明对任何正数a,b,c成立不等式：abc?27(3证明： 设a?b?c?D，L(a,b,c)?abc??(a?b?c?D) （2分）

3a?b?c5)

5 4

?La?bc3???0?3?Lb?ac???0由 ? 2?Lc?3abc???0?a?b?c?D?D3D解得 a?b? ,c?55此点即为极大值点，故abc3?27(D5)?27(5a?b?c5) （4分）

5 5

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