甘肃省武威第二中学2016届高三下学期开学考试 数学(理)

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高三数学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共

1、集合M=｛x |4|3|≤-x ｝, 则 M N = ( )

A. Φ

B. {0} C{2}. D. {}72|≤≤x x

2、若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）

A ．230x y +-=

B ．210x y -+=

C ．230x y +-=

D ．210x y --=

3、已知奇函数()x f 在()0,∞-上单调递减，且()02=f ，则不等式()()11--x f x ＞0的解集是 （ ）

A.()1,3--

B. ()()+∞-,21,3

C.()()+∞-,30,3

D. ()()3,11,1 -

4

（ ） A

5、设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线

C 在点P 处切线倾斜角的取值

，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A B ．[]10-， C

．[]01， D

6、已知点A （-1,1）、B

（1,2）、C （-2,1）、D （3,4），则向量AD

在CB 方向上的 ）

A B C

D 7

、若A 为不等式组002x y y x ≤??≥??-≤?

表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，

动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( )

A B ．1 C D ．5

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8、设0m >，则直线与圆22x y m +=的位置关系为（ ）

A.相切

B.相交

C.相切或相离

D.相交或相切 9、设函数()f x =a 、b 、c 的大小关系是

A.a ＞b ＞c

B.a ＞c ＞b ＞a ＞c D.c ＞a ＞b

10、已知{}n a 是等比数列，22a =，，则12231n n a a a a a a +++???+=

A ．16(14)n -- B

．16(12)n -- C D 11、如图是一个几何体的三视图，）

A ．π12

B ．π11

C ．π10

D ．π9

12的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交

椭圆于,A B 两点.若AB

的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）

A

B

C D 二、填空题（每小题5分，共4?5=20分）

13、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．

14、12,l l 是分别经过A(1,1)，

B(0,-1)两点的两条平行直线，当12,l l 间的距离最大时，直线1

l 的方程是

．

15、如图，一艘船上午9∶30在

A 处测得灯塔S 在它的北偏东

30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75

俯视图 正(主)视图

侧(左)视图

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mile. 此船的航速是 n mile/h .

16、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则 三、解答题（17题10分，其它各题12分，共70分）

17、（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＋C 2＝33.

(Ⅰ)求B cos 的值；

(Ⅱ)若BC BA ·BC ＝2，b ＝22，求a 和c 的值．

18、（12分）已知数列{}n a 为等差数列，53=a ，137=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且有12-=n n b S ． （Ⅰ）求{}n a 、{}n b 的通项公式 19、（12，其中常数1>a . (Ⅰ)讨论)(x f 的单调性;

(Ⅱ)若当0≥x 时，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围。 20、（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ， AD PC ⊥．底面ABCD 为梯形，//AB DC ，

AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =．

（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PCB ；

（Ⅱ）求平面AEC 和平面

21、（12分）

椭圆 P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点。

22

、（12在),1[+∞上为增函数，且),0(πθ∈，

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求m 的取值范围．

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理科数学答案

一、选择题

1、C

2、B

3、D

4、C

5、A

6、D

7、C

8、C

9、B 10、C 11、A 12、D

二、填空题

13

14、032=-+y x 15、32 16、9

三、解答题

17、解：(1)∵cos A ＋C 2＝3

3，

∴sin B 2＝sin(π2－A ＋C 2)＝3

3，

∴cos B ＝1－2sin 2B

2＝1

3. (2)由BA ·BC ＝2可得a ·c ·cos B ＝2，又cos B ＝1

3，故ac ＝6，

由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得a 2＋c 2＝12，

∴(a －c )2＝0，故a ＝c ，∴a ＝c ＝ 6.

18、（1）由???=+=+1365211d a d a 得：???==211

d a ，所以，12-=n a

n

当1=n 时，12111-==b S b ，11=b ，

当2≥n 时，12,1211-=-=--n n n n b S b S ，两式相减得：122--=n n n b b b ， ，所以数列}{n b 是等比数列，首项11=b ，公比2=q ，

所以，12-=n n b .

（2）1

2)12(-?-==n n n n n b a c ，

1102)12(2321-?-++?+?=n n n T ①

n n n n n T 2)12(2)32(232121

21?-+?-++?+?=- ②

①—②得：n n n n T 2)12()222(2112

1?--+++?+=--

32)32(-?--=n n ，

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所以，32)32(+?-=n n n T .

19、（1）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-=' 由1>a 知，当2'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数； 当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数； 当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数。

综上，当1>a 时，)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数。

（2）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a f 24)0(= 由假设知?????>>>,0)0(,0)2(1f a f a

解得 1

又BC ?平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB ．

（2）以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系．

设PA AB BC a ===，则()0,0,0A ，()0,,0B a ，(),,0C a a ，()0,0,P a ，33?

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，∴22

43a b ==，。故椭圆的方程为(2)解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =-， 得：2222(43)3264120k x k x k +-+-= 4分 由2222(32

)4(43)(6412)0k k k ?=--+->得：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ① ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++ E B 、 两点关于x 轴对称，),(22y x E -∴，直线AE 的方程为令0=y 得：又)4(11-=x k y ，)4(22-=x k y ， 将①代入得：1=x ，∴直线AE 与x 轴交于定点)0,1(.

22、（10在[)1,+∞上恒成立，即

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∵θ∈（0，π），∴sin 0θ>．故sin 10x θ?-≥在[)1,+∞上恒成立， 只须sin 110θ?-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合θ∈（0，π）

（2）构造()()()()F x f x g x h x =--， 当0m ≤时，[1,]x e ∈，

[1，e ]上不存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立． 当0m >时， 因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立． 故()F x 在[1,]e 上单调递增，

故m 的取值范围是 高三数学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共

1、集合M=｛x |4|3|≤-x ｝, 则 M N = ( )

A. Φ

B. {0} C{2}. D. {}72|≤≤x x

2、若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）

A ．230x y +-=

B ．210x y -+=

C ．230x y +-=

D ．210x y --=

3、已知奇函数()x f 在()0,∞-上单调递减，且()02=f ，则不等式()()11--x f x ＞0的解集是 （ ）

A.()1,3--

B. ()()+∞-,21,3

C.()()+∞-,30,3

D. ()()3,11,1 -

4

（ ） A 5、设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值

59eb182c050876323012123b/?source=eduwk

，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A

B ．[]10-，

C ．[]01， D

6、已知点A （-1,1）、B （1,2）、C （-2,1）、D （3,4），则向量AD 在CB 方向上的

）

A

B

C

D 7、若A 为不等式组002x y y x ≤??≥??-≤?

表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，

动直线x y a +=

扫过A 中的那部分区域的面积为 ( )

A

B ．1

C

D ．5

8、设0m >，则直线与圆22x y m +=的位置关系为（ ）

A.相切

B.相交

C.相切或相离

D.相交或相切 9、设函数()f x =

a 、

b 、

c 的大小关系是 A.a ＞b ＞c B.a ＞c ＞b ＞a ＞c D.c ＞a ＞b

10、已知{}n a 是等比数列，22a =，，则12231n n a a a a a a +++???+=

A ．16(14)n -- B

．16(12)n -- C D 11、如图是一个几何体的三视图，）

A

．π12 B ．π11 C ．π10

D ．π

9

俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

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12的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交 椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）

A

B

C

D

二、填空题（每小题5分，共4?5=20分）

13、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．

14、12,l l 是分别经过A(1,1)，

B(0,-1)两点的两条平行直线，当12,l l 间的距离最大时，直线1l 的方程是 ．

15、如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东 30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00

处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75mile. 此船的航速是 n mile/h .

16、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则 三、解答题（17题10分，其它各题12分，共70分）

17、（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＋C 2＝33.

(Ⅰ)求B cos 的值；

(Ⅱ)若BC BA ·

BC ＝2，b ＝22，求a 和c 的值． 18、（12分）已知数列{}n a 为等差数列，53=a ，137=a ，数列{}n b 的前n 项和

为n S ，且有12-=n n b S ．

（Ⅰ）求{}n a 、{}n b 的通项公式 19、（12，其中常数1>a

. (Ⅰ)讨论)(x f 的单调性;

(Ⅱ)若当0≥x 时，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围。

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20、（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，

AD PC ⊥．底面ABCD 为梯形，//AB DC ，

AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （Ⅱ）求平面AEC 和平面

21、（12分）

椭圆 P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点。

22、（12在),1[+∞上为增函数，且),0(πθ∈，，R m ∈． 若在],1[e

上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．

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理科数学答案

一、选择题

1、C

2、B

3、D

4、C

5、A

6、D

7、C

8、C

9、B 10、C 11、A 12、D

二、填空题

13

14、032=-+y x 15、32 16、9

三、解答题

17、解：(1)∵cos A ＋C 2＝3

3，

∴sin B 2＝sin(π2－A ＋C 2)＝3

3，

∴cos B ＝1－2sin 2B

2＝1

3. (2)由BA ·BC ＝2可得a ·c ·cos B ＝2，又cos B ＝1

3，故ac ＝6，

由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得a 2＋c 2＝12，

∴(a －c )2＝0，故a ＝c ，∴a ＝c ＝ 6.

18、（1）由???=+=+1365211d a d a 得：???==211

d a ，所以，12-=n a

n

当1=n 时，12111-==b S b ，11=b ，

当2≥n 时，12,1211-=-=--n n n n b S b S ，两式相减得：122--=n n n b b b ， ，所以数列}{n b 是等比数列，首项11=b ，公比2=q ，

所以，12-=n n b .

（2）1

2)12(-?-==n n n n n b a c ，

1102)12(2321-?-++?+?=n n n T ①

n n n n n T 2)12(2)32(232121

21?-+?-++?+?=- ②

①—②得：n n n n T 2)12()222(2112

1?--+++?+=--

32)32(-?--=n n ，

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所以，32)32(+?-=n n n T .

19、（1）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-=' 由1>a 知，当2'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数； 当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数； 当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数。

综上，当1>a 时，)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数。

（2）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a f 24)0(= 由假设知?????>>>,0)0(,0)2(1f a f a

解得 1

又BC ?平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB ．

（2）以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系．

设PA AB BC a ===，则()0,0,0A ，()0,,0B a ，(),,0C a a ，()0,0,P a ，33?

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，∴22

43a b ==，。故椭圆的方程为(2)解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =-， 得：2222(43)3264120k x k x k +-+-= 4分 由2222(32

)4(43)(6412)0k k k ?=--+->得：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ① ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++ E B 、 两点关于x 轴对称，),(22y x E -∴，直线AE 的方程为令0=y 得：又)4(11-=x k y ，)4(22-=x k y ， 将①代入得：1=x ，∴直线AE 与x 轴交于定点)0,1(.

22、（10在[)1,+∞上恒成立，即

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∵θ∈（0，π），∴sin 0θ>．故sin 10x θ?-≥在[)1,+∞上恒成立， 只须sin 110θ?-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合θ∈（0，π）

（2）构造()()()()F x f x g x h x =--， 当0m ≤时，[1,]x e ∈，

[1，e ]上不存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立． 当0m >时， 因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立． 故()F x 在[1,]e 上单调递增，

故m 的取值范围是

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