高考绝对值不等式（j基本全了）

绝对值不等式

解绝对值不等式

1.不等式x?1?x?3≥0的解集是 ．[1,??)．

x?1?x?3≥0 ?x?1≥x?3?(x?1)2≥(x?3)2?x≥1

2.对于x?R，不等式x?10?x?2?8的解集为_______ 答案：{xx?0} 解析：两种方法，方法一：分三段，

（1）当x??10时，不等式为(?x?10)?(2?x)?8，此时不等式无解； （2）当?10?x?2时，不等式为(x?10)?(2?x)?8，解得：0?x?2 （3）当x?2时，不等式为(x?10)?(x?2)?8，解得：x?2

x?0 综上：方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点?10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到

?10的距离为d1?10，到2的距离为d2?2，d1?d2?8，并当x往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x的

范围是x?0. 3.x?|2x?1|?3．

11??141?x??x?解：原不等式可以化为?2，或?2，解得?x?或?2?x?

232??3x?41?x?3??综合得：?2?x?4?，所以原不等式的解集是?x|?2?x?3?4??。 3?24.已知函数f(x)?|x?2|?|x?5|。（1）证明：?3?f(x)?3；（2）求不等式f(x)?x?8x?15的解集。

??3,x?2?解;(1)f(x)?|x?2|?|x?5|??2x?7,2?x?5,

?3,x?5?当2?x?5时，?3?2x?7?3所以?3?f(x)?3

2（2）由（1）知，当x?2时，f(x)?x?8x?15等价于x?8x?18?0此时不等式无解；

222当2?x?5时，f(x)?x?8x?15等价于x?10x?22?0即5?3?x?5?3，所以5?3?x?5；

22当x?5时，f(x)?x?8x?15等价于x?8x?12?0，解得2?x?6，所以5?x?6，

所以不等式f(x)?x?8x?15的解集为x|5?3?x?6。

2??5.对于实数x,y，若x?1?1，y?2?1，则x?2y?1的最大值为 .

解法一：此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，0?x?2，再解出y的范围，1?y?3，最后综合解出x-2y+1的范围??5,1?，那么绝对值最大，就取5 解法二：

6.设f(x)=|x+a|-2x,a<0,不等式f(x)≤0的解集为M,且M?{x|x≥2}.

(Ⅰ)求实数a的取值范围;

(Ⅱ)当a取最大值时,求f(x)在[1,10]上的最大值.

7.设函数f (x) =|x-a|+3x,其中a≠0.

(1)当a=2时,求不等式f(x))≥3x+2的解集;

(2)若不等式f (x) ≤0的解集包含{x|x≤-1},求a的取值范围.

8.【2012高考真题新课标理24】已知函数f(x)?x?a?x?2

（1）当a??3时，求不等式f(x)?3的解集；

（2）若f(x)?x?4的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

9．已知a?R，若关于x的方程x2?x?|a?1|?|a|?0有实根，则a的取值范围是 。 4

10.若不等式|3x?b|?4的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b的取值范围为 。

不等式的解和对应方程的根的关系

1.若不等式|ax?2|?6的解集为(-1,2),则实数a的值为_____________. 解由题意可知：-1和2是方程|ax?2|?6的两个根。易得a??4 2.已知函数f(x)=|x—a|

(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值; (II)在(I)的条件下,若f(x)+f(x + 5)

m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.

错误！未找到引用源。 解:(Ⅰ)由f(x)?3得|x?a|?3,解得a?3?x?x?3.

?a?3??1又已知不等式f(x)?3的解集为?x|?1?x?5?,所以?,解得a?2.

a?3?5???2x?1,x??3,?(Ⅱ)当a?2时,f(x)?|x?2|,设g(x)?f(x)?f(x?5), 于是g(x)?|x?2|?|x?3|??5,?3?x?2,?2x?1,x?2.?

所以当x??3时,g(x)?5; 综上可得,g(x)的最小值为5.

从而若f(x)?f(x?5)?m,即g(x)?m对一切实数x恒成立, 则m的取值范围为(-∞,5].

当?3?x?2时,g(x)?5;

当x?2时,g(x)?5.

含参数的存在性问题和恒成立问题

存在性问题

|x?1|?|x?2|存在实数解，则实数a的取值范围是 ． 1.若关于x的不等式|a|…【解】只要|a|…x?1?x?2??min

法一：当x??1时，|x?1|?|x?2|??x?1?x?2??2x?1…3； 当?1?x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?3； 当x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?2x?1?3；

综上可得|x?1|?|x?2|…3，所以只要|a|…3，解得a??3或a…3，

法二：利用绝对值不等式|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?3所以只要|a|…3，解得a??3或a…3 2：函数f(x)?|2x?1|?|2x?3|.若关于x的不等式f(x)?|a?1|的解集不是空集,求实数a的取值范围.

3：已知函数f(x)?x?1。设g(x)??x?3?m,若关于x的不等式f(x)?g(x)的解集非空,求实数m的取值范围.

4.若存在实数x使|x?a|?|x?1|?3成立，则实数a的取值范围是 .

恒成立问题

1.若不等式|x?1|?|x?2|…a对任意x?R恒成立，则a的取值范围是 ． 【解】只要a??|x?1|?|x?2|?min即可

利用绝对值不等式或者分类讨论容易求得，a的取值范围是(??,3]． 2.设f(x)?x?a,a?R.

(1)当?1?x?3时,f(x)?3，求错误！未找到引用源。的取值范围; (2)若对任意x∈R,f(x?a)?f(x?a)?1?2a恒成立,求实数a的最小值.

错误！未找到引用源。 解:(1)f(x)=|x-a|≤3,即a-3≤x≤a+3.依题意,?

?a－3≤－1，?a＋3≥3．

由此得a的取值范围是[0,2]

(2)f(x-a)+f(x+a)=|x-2a|+|x|≥|(x-2a)-x|=2|a| 当且仅当(x-2a)x≤0时取等号. 1 1 解不等式2|a|≥1-2a,得a≥. 故a的最小值为

443.已知函数f(x)=|x—a|

(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值; (II)在(I)的条件下,若f(x)+f(x + 5)

m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.

错误！未找到引用源。 解:(Ⅰ)由f(x)?3得|x?a|?3,解得a?3?x?x?3.

又已知不等式f(x)?3的解集为?x|?1?x?5?,所以??a?3??1,解得a?2.

?a?3?5??2x?1,x??3,?(Ⅱ)当a?2时,f(x)?|x?2|,设g(x)?f(x)?f(x?5), 于是g(x)?|x?2|?|x?3|??5,?3?x?2,?2x?1,x?2.?

所以当x??3时,g(x)?5; 综上可得,g(x)的最小值为5.

从而若f(x)?f(x?5)?m,即g(x)?m对一切实数x恒成立, 则m的取值范围为(-∞,5]. 4.已知函数f(x)?|x|?2|x?a|(a?0).

(I)当a=l时,解不等式f(x)?4;

当?3?x?2时,g(x)?5;

当x?2时,g(x)?5.

(Ⅱ)若不等式f(x)≥4对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围

5.已知f(x)?|ax?4|?|ax?8|,a?R (Ⅰ)当a?2时,解不等式f(x)?2; (Ⅱ)若f(x)?k恒成立,求k的取值范围.

错误！未找到引用源。解:

(Ⅰ)当a=2时,

x＜－4，??12，

f(x)=2(|x-2|-|x+4|)=?－4x－4，－4≤x≤2，

?x＞2．?－12，当x<-4时,不等式不成立;

3

当-4≤x≤2时,由-4x-4<2,得-

2

当x>2时,不等式必成立.

3

综上,不等式f(x)<2的解集为{x|x>- }

2

(Ⅱ)因为f(x)=|ax-4|-|ax+8|≤|(ax-4)-(ax+8)|=12,当且仅当ax≤-8时取等号. 所以f(x)的最大值为12.故k的取值范围是[12,+∞)

6.对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，则实数x的取值范围是________

|a－b|＋|a＋b||a－b|＋|a＋b|

解析：由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值，

|a||a|

因为|a－b|＋|a＋b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)(a－b)≥0时取等号， |a－b|＋|a＋b|

所以的最小值等于2，

|a|15

所以|x－1|＋|x－2|≤2，解不等式得≤x≤.

22

(Ⅱ)若不等式f(x)≥4对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围

5.已知f(x)?|ax?4|?|ax?8|,a?R (Ⅰ)当a?2时,解不等式f(x)?2; (Ⅱ)若f(x)?k恒成立,求k的取值范围.

错误！未找到引用源。解:

(Ⅰ)当a=2时,

x＜－4，??12，

f(x)=2(|x-2|-|x+4|)=?－4x－4，－4≤x≤2，

?x＞2．?－12，当x<-4时,不等式不成立;

3

当-4≤x≤2时,由-4x-4<2,得-

2

当x>2时,不等式必成立.

3

综上,不等式f(x)<2的解集为{x|x>- }

2

(Ⅱ)因为f(x)=|ax-4|-|ax+8|≤|(ax-4)-(ax+8)|=12,当且仅当ax≤-8时取等号. 所以f(x)的最大值为12.故k的取值范围是[12,+∞)

6.对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，则实数x的取值范围是________

|a－b|＋|a＋b||a－b|＋|a＋b|

解析：由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值，

|a||a|

因为|a－b|＋|a＋b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)(a－b)≥0时取等号， |a－b|＋|a＋b|

所以的最小值等于2，

|a|15

所以|x－1|＋|x－2|≤2，解不等式得≤x≤.

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