第8章 多元函数微分学

第八章 多元函数微分法

一、基本内容

（一）元函数的基本概念 1．基本概念

（1）邻域 （2）内点 （3）边界点 （4）开集 （5）区域 2．二元函数的极限与连续 （二）偏导数和全微分

1． 偏导数

fx(x0,y0)?lim?xz?x?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

?x?0

fy(x0,y0)?lim?yz?y?lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y

?y?02． 全微分 3． 全微分在近似计算中的应用 （三）复合函数的微分法

1． 复合函数求导法则 2． 一阶微分形式不变性

（四）隐函数的微分法

1． 一个方程的情形 2，方程组情形

（五）微分法在几何上的应用

1．空间曲线的切线与法平面

2．曲面的切平面与法线 3．微分的几何意义 （六）方向导数和梯度 1．方向导数 2．梯度

（七）多元函数的极值

1．多元函数的极值 2．条件极值

练习题

8.1. 确定下列函数的定义域

22 (1)z?ln(?x?y) (2)u?arcsinx?yz

22(3)f(r,?)?rsin? (4)f(x,y,z)?ln(z?x?y)

解答：(1)?x?y?0得x??yzx2y?0 时有定义.即z?0（2）?1?x22?1，z?0时?z?x2?y2?z z?0 时z??y2??z 包含锥面在内的圆锥 ，即上半平面 2（3）sin??0得0????（4）z?x?y22?0得z?x?y2旋转抛物面的内部（不含表面） Z x 8.2.设函数f(x,y)?x20o x?yxy2,求 f(1x,1y) 解答：f(1x,1y)?1212()?()xy11?xy?y2?xxy2 8.3.设33?x?y,(x,y)?(0,0)?xy?22f(x,y)??x?y?,(x,y)?(0,0)?0 求fx(0,0)，fy(0,0) ??x3解答：fx(0,0)?limf(0,?x)?f(0,0)?x?lim?x?0?x2?x?0?x??y3??1 fy(0,0)?limf(0,?y)?f(0,0)?y2?lim?y?0?y2?y?0?y2??1

8.4.设

f(x,y)?(x?y)ln(x?y)?arctan(2yxex?y2),求

fx?(1,0)解答：

f(x,0)?xlnx2

fx?(x,0)?2xlnx?xfx?(1,0)?1

8.5.设

?1xy12222sin(x?y),x?y?0?2f(x,y)??x?y2?22,x?y?0?0

试讨论

f(x,y)在点(0,0)的连续性，可微性。

xyx?y22解答：（1）limx?0y?0sin(x?y)?lim?x?0y?022sin(x?y)x?y22222?0

（?limx?0y?0xy?0limx?0y?0sin(x?y)x?y222?1）

（2）f(0,0)?limxf(?x,0)?f(0,0)?x?0?x?0?0

f(0,0)?limyf(?y,0?f(0,0))?y?y?0

?z?dz??x,?y?x??y22sin(?x??y),22???x??y22lim?z?dz??0??lim?x,?y?x2??0??y2?sin(?x?x22??y)22??y不存在

综上（1），（2）f(x,y)在点(0,0)连续，但不可微

8.6.求下列二重极限 (1)

limx?0y?0xy3?xy?91 (2)

lim(x,y?(0,0))(1?x2?y)2x?y22

(3)

limx?0y?0xx22?y?y22 (4)

xy3?xy?gxy(3?xy1limx??y??sin(xy)xy

解答：（1）limx?0y?0?limx?0y?0xy?9)?6

1（2）

?x,y???0,0?lim(1?x2?y)2x?y22令x2?y2?ulim(1?u)u?eu?0

（3）limx?0y?0xx22?y?y22令y?kxlimx?0y?kx?0xx22?kx?kx2222?1?k1?k22

此极限随K改变而改变，因此极限不存在。

（4）limx??y??sin(xy)xy?0(?sin(xy)?1,1xy?0)

8.7求下列函数的一阶偏导数和全微分 （1）z?eu?vsinv，u??xy，v??eu?vx?y

u?v?z解答：?x?e??z?u??u?x?z?v?v?xsinv?y?e(sinv?cosv)

xy?x?y?ysin(x?y)?sin(x?y)?cos(x?y)??z?v?v?y?z?y??z?u?u?y?z?x??exy?x?y?xsin(x?y)?sin(x?y)?cos(x?y)?

dz?dx??z?ydy

（2）u解答：

?f(x,y,z)，z?g(x,y)

?z?x?fy??fz?g?y?z?x?fx??fz?g?x,

dz?u?dx?u?ydy x

8.8求下列方程所确定函数的全微分dz（1）exz（2）

?sinyx?0

yx?0 yx,Fy?1xcosyxf(x?y,y?z,z?x)?0解答：(1)令

f(x,y,z)?e?zexzxz?sinyx2 则F?z?xx?cos ，

1FyFzFz?xexz

??FxFzze?xz?yx2xzcosyxxe，

?z?y???xcosxexzyx

dz?zxdx?zydy

(2) 令f(x,y,z)?f(x?y,y?z,z?x)?0

则Fx?f1??f3?Fy?f1??f2?Fz?f2??f3?

?z??f1??f3??z??f1??f2??xf2??f3??yf

2??f3?dz?z?xdx?z?ydy

8.9函数z?z(x,y)由方程e??z?xy?3所确定，求

?2z?x2。

解答：方程ez?z?xy?3两端同时对x求偏导，得ez?z?x??z?x?y?0

则

?zy?x?1?ez

?2z?y??1?z?zy2ez?x2??(1?ez)2??(e)??

???x(1?ez)3 8.10设x?f(x,y,z),

z??(x,y)求

dydx。

解答：由*y,z)??x?f(x,?y?y(x)?z??(x,y)确定了两个函数??z?z(x)

方程组*对x求导得

??f?fdy??1???x??fdz?ydx??z?dx

?dz??????dy?dx?x??y?dx1??f??f???解得

dyx?z?xdx???f?f?

?y???z?y

8.11设函数z(x,y)由方程F(x?zy,y?zx)?0确定。

证明x?z?x?y?z?y?z?xy。

证明：方程

f(x?z,y?zyx)?0两侧分别同时对

x,y求偏导

?zF1?(1?1?zy?x?z?x)?F2?(x?zx2)?0

得

?xF1?(y?zy2?z)?F2?(1??yx)?0

?z?x?y(zF2??xF1?)x(xF1??yF2?)?y?z?y?2,?z?y?x(zF1??yF2?)y(xF1??yF2?)2

x?z?xz(xF1??yF2?)?xy(xF1??yF2?)xF1??yF2?

?z?xy故得证 8.12设u?f(1x,1xy)具有二阶连续偏导数，求

1xy2?u?x?y2。

解答：

?u?x??1x2f1??f2?

?u?x?y2??1x12??(?f12???f121xy22)?1?111?????f?f(?)2222?22?yx?yxy?1xy33?1xy2

x3y2f2????f22

12?222zdx?x?y?8.13 设? 求22dz?x?y?z?2?12?22x?y?z?2??x?y?z?2?。

解答：

确定二个函数x?x(z),y?y(z)

上二等式两端同时对z求导

dxdy?2x??2y??z??dzdz ??dx?dy?1?0?dz?dz

由Gramer法则

dxdz?z?2y2x?2y,dydz??2x?z2x?2y

dxdz22?dy?dy???dx??1?2??x?y???z?2y???dz?dz???dz2?x?y?2x?z2x?2y2

x?y?2??x?y???z2?x?y??2y?2z?2y?2x?z2x?2y

???x?y?z?2 32?x?y? 8.14

222??7x?y?3z??1方程组?2 确定了隐函数y?y(x)，z?z(x) 22??4x?2y?3z?0dzdydz当x?1，y??2，z?2时，求，，2，2，

dxdxdxdxdy22解答：方程组对x求导得

?14x?2yy??6zz??0??8x?4yy??6zz??0

?32,z??53将x又

?1,y??2,z?2代入上式得y??dydx22

y???dydx?3xy,y????3y?3xy2??38

?2z?1?0的切平面方程。

z???dzdx?10x3z,z???103?z?xz?z2??518

8.15求曲面2x2?3y2?z2?9上平行于平面2x?3y解答：设满足条件所求切平面与曲面的切点为?x0,y0,z0?

则2x0又n?2?3y0?z0?922 ①

??Fx?x0,y0,z0?,Fy?x0,y0,z0?,FZ?x0,y0,z0?? ??4x0,6y0,2z0? :6y0:2z0?2:??3?:2

则4x0 ②

由①②解得x0??1,y0??1,z0??2

?1??2?z?2??0

故所求切平面方程为：

2?x?1??3?y?1??2?z?2??0或2?x?1??3?y化简

2x?3y?2x??9

和x2在点P(2,?3,1)处相切。

8.16证明曲面x?2y?lnz?4?0?xy?8x?z?5?0（即有公共切面）。 解答：

x?2y?lnz?4?0在点?2,?3,1?的切平面的法向量

?N??Fx?2,?3,1?,Fy?2,?3,1?,1????1,2,?1? Fz?2,?3,1????1,2,??z?(2,?3,1)?8.17设F(x,y.z)具有连续的偏导数，且对任意实数t有F(tx,ty,tz)(k是自然数)，试证：曲面F(x,y,z)在任意点处Fx2?Fy?Fz?0）。

22?tF(x,y,z)k

?0上任意一点的切平面相交于一定点。（设

证明：由F?tx,ty,tz??tF(x,y,z),k令u?tx,v?ty,w?tzk?1

两边同时对t求导xF?u?yF?v?zF?w?ktF(x,y,z)

k

xtF?u?ytF?v?ztF?w?ktF(x,y,z)

kxFx??yFy??zFz??ktF(x,y,z)

令 ?x0,y0,z0?为曲面上任一点，则

F(x0,y0,z0)?0且x0Fx??x0,y0,z0??y0Fy??x0,y0,z0??z0Fz??x0,y0,z0?

=ktkF?x0,y0,z0??0

曲面在点?x0,y0,z0?的切平面为

?x?整理得xFx??即xFx??x0?Fx??x0,y0,z0???y?y0?Fy??x0,y0,z0???z?z0?Fz??x0,y0,z0??0

yFy??zFz??x0Fx??y0Fy??z0Fz??0

yFy??zFz??0

此平面必过原点（0，0，0），故得证。 8.18求空间曲线x2法平面方程。 解答：设 于是，FxF(x,y,z)?x2?y2?z2?3x?0，2x?3y?5z?4?0在点(1,1,1)处的切线和

?y2?z2?3x，G(x,y,z)?2x?3y?5z?4

?2x?3

Fy?2y

Fz?2z

Gx?2

Gy??3

Gz?5

它们在点P0(1,1,1)的值为

Fx??1

Fy?2FxGx

FyGyFz?2?12

2?3Gx?2

Gy??3

Gz?5

由

??F,G???x,y?????1?0得曲线在（1，1，1）的切线方程。

x?12?325?y?125?12?z?1?122?3 即

x?116?y?19?z?1?1

曲线在（1，1，1）的法平面方程为

16?x?1??9(y?1)?(z?1)?0

即 16x?9y?z?24

8.19

????求函数u?xy?yz?xz在点(1,1,1)沿方向l?i?j?k?u?x的方向导数。

解答：

?y?z?2,(1,1,1)

?u?y?x?y(1,1,1)?2,

?u?z?x?y(1,1,1)?2,

cos??cos??cos??13

?u????u?xcos???u?ycos???u?zcos??23

8.20求函数u?u?x?xa22?yb22?zc22在点M(x,y,z)沿此点向径方向的方向导数。

?u?z2zc2解答：

?2xa2,?u?y?2yb2,?,

cos??xx?y?z222,cos??yx?y?z222,cos??zx?y?z222,

?u?l??u?xcos???u?ycos???u?zcos?

2ur=

x22?y2?z2(xa22?yb22?zc22)=

8.21求函数z导数。 解答：

zx?12x?y,Z?143?3x4?xy?y3在M(1,2)处与ox轴的正向成135°角的方向的方向

zy?x?3y,

2在M(1,2)处的值

?13

X(1,2)

?Zy(1,2)

?cos??cos135??22

cos??cos45?22

??2?2?2??13??????zxcos??zycos??14?????2???2?2?????z

8.22求函数z?x?3xy32?15x?12y的极值。

22??fx(x,y)?3x?3y?15?0解答：???fy(x,y)?6xy?24y?0

求得稳定点?1,2??2,1???1,?2???2,?1?

A?fxx?6x

B?fxy?6y2

C?fyy?6x

在点(1,2)处AC在点(2,1)处AC?B2?6?6?12??108?0,A?6?0不是极值点

2?B2?12?12?6?108?0.A?12?0极小值

2在点(-1,-2) 处AC在点(-2,-1) 处AC?B?B??108?0不是极值点

22?(?12)(?12)?(?6)?108?0,A??12?0是极大值点

z极小(2,1)=-28, z极大(-2,-1)=28

8.23求函数z?1x?1yx?0,y?0在x?y?2的条件下的极值。

解答：令F(x,y,?)?1x?1y??(x?y?2)

则

1?Fx??2???0?x?1??Fy??2???0

y??x?y?2?0??1x 得x?y?1

因为z?x,y??z?1,1??8.24

求

2?1y?2?x?yxy?2?0 所以z极值??1,1??2

在

条

件

函

?y2数

2u?f(x,y,z)?xy?yz?xzg(x,y,z)?x?z?1?0(x?0,y?0,z?0)下的极值。

解答：设F?x,y,z???Fx??Fy??FZ?x2则?xy?yz?zx??x?y?z?1?222?

?y?z?2?x?0?x?z?2?y?0?x?y?2?z?0?y?z?1?022x?y?z?13 解得

?111?222因f(x,y,z)?f?,,????xy?yz?zx?1??x?y?z??xy?yz?zx?33??3??????12??x?y?2?(y?z)??z?x?22??011??1f?,,??1是极大值.

33??3且等号只在x?y?z?13时才成立,故

测验题(八—1)

一、求下列函数的定义域 （1）u=arcsin

x2z?yzx22 (2)z=

xcos2y

解：(1)

?1??y2?1

D?{(x,y,z)?x2?y2?z?x2?y,x22?y2?0}

???x?0,cos2y?0,即k???y?k???44(2) xcos2y?0，??3??x?0,cos2y?0，即k???y?k??44?D?{(x,y)x?0,k??

?4?y?k???4；x?0，

k???4?y?k??3?4，k?0，1，2，?}

二、求下列二重极限

(1)limx?ay?bexy?1x(a?0,b?0) (2)lim(x2?y)sin21x2x??y???y2

解：(1)

limexy?1xx?ay?b?eab?1a

(2)

lim(xx??y??2?y)sin21x2sin21x22?y?limx??y???y221x?y?1

三、证明limx?0y?0xyx2?y2不存在

证明：令点

limx?0y?kx?0P沿y?kx趋近于(0,0), xyx2

?k1?k2?y2?limx?0kxx2222?kx

此极限值随k的改变而不同，故得证.

四、求下列函数的指定的偏导数或全微分

1、 设u=??x?uxyg(y)?，其中?具有=阶偏导数，g为可导函数。求ux,uy和

解：ux???[x?g(y)]

uy???[x?g(y)]g?(y)

uxy????[x?g(y)]g?(y)

2、 设方程xyz?x?y?z确定了隐函数

z?z(x,y)求zx,zxx

解：等式两端同时对x求偏导 y(z?xzx)?1?zx

则zyz?1x?1?xy

z1)xx?2y(yz?(1?xy)2

3、 设

z?f(x,y)而

y?y(x) 由方程组

?sinu?xy?0??ey?x2?3u?0dzdx

解：方程组确定了一组函数?y?y(x)??u?u(x)

?dy方程组对x求导?cosudu?y?x?0?dxdx ??eydydx?2x?3dudx?0则

dy3y?2xcosudx??3x?eycosu

dz?f?3y?2xcosudxx?fdyydx?fx?fy3x?eycosu

4、 设u???(x)??(y)，（?(x)?0,?,?均为可导），求du

解：

?u)?1?x??(y)[?(x)]?(y??(x)

?u?y?[?(x)]?(y)ln[?(x)]??(x)

du??u?u?xdx??ydy

五、求函数z??0xy?0?0,0)点是否可微？为什么？

?1其它点在(确定求

解：z?x(0,0)?lim?x?0z(?x,0)?z(0,0)?xz(0,?y)?z(0,0)?y?lim?x?00?0?x?0

z?y(0,0)?lim?y?0?0

若函数在(0,0)处可微，则?z?dzdz?0，但

?lim?x?0?y?0

lim?x?0?y?0(?x)?(?y)22?lim?x?0?y?0z(?x,?y)?0(?x)?(?y)221(?x)?(?y)22???

六、求z?ab?bx?ay222222在点P(a2,b2)沿曲线

xa22?yb22?1在该点法线（指

向原点）方向的方向导数。 解：zxP??2bx2P??2ab2 , zyP??2ayba2P??2ab2

曲线在点P(a2,b2ab)切线斜率为K??

法线斜率为K??

??a2由法线指向原点方向得 cos?b?b2 ，cos???a2a?b2

故

?z?lP?ab2(a2?b)2

七、证明锥面z?x?y22?3的所有切平面都通过锥面的顶点

锥面在点(x0,y0,z0)的法向量为 解：设(x0,y0,z0)为锥面上任意一点，则?N{?x0x0?y022

,?y0x0?y022,1}

锥面在(x0,y0,z0)点的切平面为

?x0x0?y022(x?x0)?y0x0?y022(y?y0)?z?z0?x0?y022

又因为(x0,y0,z0)满足

z0?x0?y022?3，故切平面为

?x0x0?y022x?y0x0?y022y?z?3

此平面恒过点(0,0,3).

八、求

f(x,y)?xy22?xy?3y在闭域0?y?4?x,0?x?4上的最大值与最小值。

解：首先考虑函数在区域0?y?4?x,0?x?4上的稳定点

?fx?2x?y?0求得唯一稳定点（1，2），且f(1,2)??3 ?f?2y?x?3?0?y再考虑函数在边界上的情况 在边界0?y?4,x?0上，f(0,y)?y2?3y

32)??94?f?y?2y?3?0,y?32此时

2f(0,，

又

在边界yf(0,0)?0,

f(0,4)?4?0,0?x?4?f?x上，

f(x,0)?x

?2x?0,x?0此时

f(0,0)?0又

在边界yf(4,0)?16 上，

f(x,y)?3x322?4?x,0?x?4?f?x?9x?452

,f(32,52)?0

?6x?9?0,x?此时y?经比较minf(x,y)?f(1,2)??3,maxf(x,y)?f(4,0)?16

测验题（八—2）

一、确定的。

解：D?{(x,y)xy?1,x?0；y?R,x?0} ?ln(1?xy)?x?0f(x,y)??x?y?x?0的定义域，并证明此函数在其定义域上是连续

x?0时，有

ln[1?(?x?x)(?y?y)]?x?xlimf(?x?x,?y?y)?lim?x?0?y?0?x?0?y?0

=limln(1?xy?y?x?x?y??x?y)?x?x?x?0?y?0

=

ln(1?xy)x?f(x,y)

当x?0时，有

limf(0,y??y)?lim(y??y)?y

?y?0?y?0故此函数在定义域上是连续的.

二、1.设u 解：

?u?x??f(x,y,z).y??(x,t).t??(x,z).其中f可微?，?有偏导数，求

?u?x??

?f?xxz??f?y(???x??????t?x)

?z?z,?x?y2.设F(,yz)?0其中F(u.v)可微，此方程确定一函数z?z(x,y),求。

解：等式分别对x,y求导

?F?uz?x(z2?z?x)??F?v(?y1?zz2?x)?0

?F?u(?x1?zz2?y)??F?vz?y(z2?z?y)?0

得

?z?xz?x?F?u?F?u?y?F?v ,

?z?yz?x?F?u?F?v?y?F?v

3．设z解

由于f存在二阶连续偏导数,所以?z?x?y2?1xf(xy)?yf(x?y)有连续二阶偏导，

f二阶可导求

?z?x?y2

??z?y?x2,可先求?z?y,然后再求?z?y?x2.

?z?y2?1xxf?(xy)?f(x?y)?yf?(x?y)?f?(xy)?f(x?y)?yf?(x?y)

?z?x?y??z?y?x2?yf??(xy)?f?(x?y)?yf??(x?y)

22??2x?3y?z??8三、设?22??x?2y?3z?17确定了隐函数y2?y(x),z?z(x)

当x?1,y??2,z?2时，求

dydx,dzdx,dzdx2

解：方程组对x解得y??则y????4x?3y??2zz??0求导??2x?2y??6zz??0

?2x,z???xz2

?z32?2,z????xz 时，有y2当x?1,y??2,z?22??2,z???12,z????58

四、在曲线x面x??t,y??t,z?3t?1上求一点 ，使曲线在此点处的切线平行于平

2y?z?4

解：设曲线上任一点对应的切向量为

?T??x?(t),y?(t),z?(t)???1,?2t,6t?

?N平面的法向量为 ??1,2,1?

??由曲线平行于平面得 T?N?1?4t?6t?0 故 t??12

从而x故(?12??,?1412,74,y??14,z?74

)即为所求点。

五、在曲面z法线方程. 解：设曲面z?xy?xy上求一点，使这点的法线垂直于平面x?3y?z?9?0,并求此

上任一点(x0,y0,z0)对应的法向量为

?N1???y0,?x0,1?

?平面x?3y?z?9?0的法向量为 N2??1,3,1?

由法线垂直于平面得 x0故曲面z?xy??3,y0??1

上点(?3,?1,3)的法线垂直于平面

且法线方程为 （x+3）+3（y+1）+（z-3）=0

即 x+3y=z+3=0

六、求函数u解：

?u?xA?3x?2y?z?2xy?2x?3y?6z222在A(1,?2,1)点的梯度大小和方向

??3?6x?2y?2A?0 ,

?u?yA?2x?4y?3A

?u?zA?2z?6A?8

??gradu??3j?8k

373gradu?73, cos??0,cos???,cos??873

七、求

L:x?tf(x,y,z)?2x2322?y2?z2?sin(x,y,z)在点(0,1,2)沿曲线

?t,y?t,z?2t的t减少方向的方向导数

?2

解：

fx?4x?yzcos(xyz)(0,1,2)fy??2y?xzcos(xyz)fz?2z?xycos(xyz)(0,1,2)??2

(0,1,2)?4

?2n?2t?3t,2t,2??t?1???1,2,2?

t?1减少的方向为 l??1,?2,?2?且cos??3??(0,1,2),cos??cos???23

?f?l23

八、求函数z?x2?xy?y2?3ax?3by的极值

解：

?fx?2x?y?3a?0??fy?x?2y?3b?0 得驻点(2a?b,2b?a)

2fxx?2,fxy?1,fyy?2

AC?B?3?0,A?0

2故在点(2a?b,2b?a)有极小值

九、证明：函数z证明：由已知得

?z?x??(1?e)sinxyf(2a?b,2b?a)?3(ab?a?b)

2?(1?e)cosx?y?eyy有无穷多个极大值而没有任何极小值

?z?y?e(coxs?1?y)y

?x?(2n?1)??y令

?z?x?0，

2?z?y?0 解得

?x?2n???y?0 或??z2y??2 (n为整数)

又

A??z?x22??(1?e)cosxy ,B??x?y??esinx

C??z?y2?e(cosx?2?y)y

在(2n?,0)处 ???2?0,A?0故f(2n?,0)?2为极大值；

在?(2n?1)?,0?处 ??0,故f?(2n?1)?,0?非极值。

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