概率统计在金融中的应用

题 目：学 院：专 业：姓 名：学 号 xxxxxxx 指导老师：完成时间： 毕 业 论 文 概率统计在金融中的应用

数理学院

数学与应用数学 x xxx xxxxx 2013年5月27日

河南xxxxxxx本科毕业论文 摘要

摘 要

概率统计课程是金融数学的必修课，它作为重要的数学工具，在金融领域的分析中发挥着举足轻重的作用。当今概率统计与经济的关系可以说是息息相关的,几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用。例如:实验设计、多元分析、质量控制、抽样检查、价格控制等都要用到概率统计知识。实践证明,概率统计是对经济学问题进行研究的有效工具,并且它为经济管理、经济预估、经济预测和决策提供了新的手段。

本文首先详细阐述了本课题的研究背景、研究目的和意义，以及它的来源和发展现状，而且还对论文的组织结构予以讨论：首先通过重点分析了概率统计常用的理论和知识，以及基于理论的若干模型，为下章的举例介绍概率统计在金融中的经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用中所遇到的知识做个简单知识准备；接下来就是举例介绍概率统计在金融中的经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用；文章的最后则是对整篇文章进行了总结。

关键词：概率统计，现代金融 ，经济管理决策，经济损失估计，经济保险， 最大经济利润求解，经济预测

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河南xxxxxxx本科毕业论文 abstract

ABSTRACT

Probability and statistics course is a required subject in financial mathematics. As an important mathematical tool ,probability and statistics plays an important role in the field of financial analysis.Today, probability and statistics is closely linked with the areas of the economy, and any economics research, economics decision making is arguably almost inseparable from its applications,such as: experiment design, multivariate analysis, quality control and sampling inspection, price control, and so on,which all take advantage of the knowledge of and statistics. Practice has proved, probability and statistics is an effective tool for the study of economics, and it provides a new means for the economic management, economic forecasts, economic forecasts and decision-making and so on.

At first,this article elaborated the paper’s research background, research purpose and research significance, as well as the source of the topic and the current situation of the development, but also the organizational structure of paper: firstly, focuses on the analysis of the commonly used theory and knowledge in mathematical statistics , and several models which based on the theory of the probability and statistics,which makes simple preparation for the knowledge used in the introdution of the next chapter.Followed by,next chapter makes some examples for the introduction of the application of probability and statistics in Some of the economics problems,such as the economic management of financial decisions, economic loss estimation, maximum economic profit solution, economic safe, economic forecasts,and so on.The end of the article makes a summary about the whole paper.

Keywords: Probability and statistics, modern finance, economic management, economic loss estimation, economic security, maximum economic profit, economic forecasts

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河南xxxxxx本科毕业论文 目录

目录

摘 要 ............................................................. I ABSTRACT ............................................................ II 第一章 概论 ....................................................... 1

1.1 研究背景、意义及目的 ......................................... 1

1.1.1背景 ..................................................... 1 1.1.2研究目的 ................................................. 1 1.1.3 研究意义 ............................................... 1 1.2 发展近况 .................................................... 1 1.3 概率统计与金融学的联系与应用 ................................ 2 1.4 论文的组织结构 ............................................... 3 第二章 概率统计常用理论知识 ........................................ 4

2.1概率统计知识概述 .............................................. 4

2.1.1概率论的内容 ............................................. 4 2.1.2概率统计的内容 ........................................... 4 2.2 概率统计常用理论模型 ......................................... 5

2.2.1 中心极限定理 ............................................ 5 2.2.2 矩估计和最大似然估计 .................................... 5 2.2.3 置信区间和置信度 ........................................ 7 2.2.4 线性回归模型 ........................................... 7 2.2.5 一元线性回归分析 ........................................ 8

第三章 概率统计在金融中的应用实例 ................................ 13

3.1引言 ......................................................... 13 3.2实例举例 ..................................................... 13

3.2.1.在经济管理决策中的应用 ................................. 13 3.2.2.在经济损失估计中的应用 ................................. 14 3.2.3.在求解最大经济利润问题中的应用 ......................... 15 3.2.4.在经济预测中的应用 ..................................... 16 3.2.5.在经济保险问题中的应用 ................................. 17

第四章 总结 ...................................................... 21 参考文献 ............................................................ 22 致谢 ................................................................ 23

河南xxxxxxx本科毕业论文 第一章 概论

第一章 概论

1.1 研究背景、意义及目的

1.1.1背景

由于数学固有的灵活性，可使金融领域的相关研究和探索借助于其多种计算方法以及数学模型,从而更好地发现现实金融问题背后的经济变量函数,使复杂的关系得以清晰化；由于其固有的精确性,采用数学方法可以准确的研究和描述经济范畴之间的数量关系；由于其固有的严密逻辑性,使得数学分析成为科学推理的主要手段,可以使一些用其他方法难以说清的逻辑关系得到简洁明了的说明和解决。

随着金融市场的繁荣与发展,以及概率统计相关理论的不断进步和发展,概率统计在金融领域中的应用越来越受到重视。金融学作为立足于经济现象之上的一门学科,与概率统计之间有着千丝万缕的联系，越来越多的统计方法被运用到金融领域当中,金融统计学这一新兴边缘学科也由此应运而生。随着知识经济的到来,人们对各种问题的要求越来越精确,概率统计方法以其精确和严密性在金融学中被广泛应用,阐述金融工具从日常语言发展到数理语言,具有了理论上的抽象,是金融学科的一种进步。

1.1.2研究目的

本文主要介绍了概率统计在金融领域中主要发展及应用。

通过介绍概率统计中的几种最常用的模型和计算方法，做到对概率统计知识和原理的再学习以及更深层次的探索和发现；举例说明概率统计知识在金融领域中某些方面中的实际运用以及模拟操作，达到对各方面知识的相互渗透。

1.1.3 研究意义

从系统科学的观点出发，着眼于金融市场的整体，运用模型，特别是借用数学模型并运用概率统计来寻求金融市场系统的相关需求和应用，并结合计算机的应用，从而达到最精确、满意的结果，也使金融市场系统整体达到最经济、最有效、最合理的理想状态。

1.2 发展近况

早些年我国概率统计在社会经济金融领域中的应用,主要是抽样法和相关分析,其它方法应用的还很少;从应用的发展阶段看,除抽样调查和产品质量管理等应用的较多外,多数还处在试验阶段,离广泛实际应用,还有相当距离;从应用的单位看,也只是少数。如今概率统计在金融中的应用已经发展的相当之快，虽然还不是太成熟，但是我们已经取得了惊人的成就。

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河南xxxxxxx本科毕业论文 第一章 概论

在我国社会主义经济条件下,社会经济领域里,主要是由非随机性因素所引起的数量变化居主要地位,同时仍然存在着随机性因素和非随机性因素共同作用所引起的数量变化,和随机性所引起的数量变化。因此,在社会经济领域中,仍然可以运用概率统计方法来研究其数量的变化,运用大量观察资料来研究随机变量的分布函数和数字特证,以说明随机现象的规律性。事实上,人们对随机现象观察的次数不可能很多,概率统计只能利用不多的观察资料,从局部到整体之间的数量关系来进行分析和推断,以了解其内在的规律性。这种从局部观察去推断整体的方法,在概率统计中的应用极为广泛。概率统计与各种具体的研究对象结合起来,特别是对社会经济现象进行定量研究和推断时,就可以解决许多实际间题。近年来,国外已在国民经济和企业经营管理中广泛地应用抽样理论、离差分析、回归分析、相关分析、质量控制和极值分布等概率统计方法。因此,在社会经济领域中,运用概率统计方法,不论是采用数量描述和数量推断的方法,作出总体数量关系的分析,以说明各种问题,就成为研究社会经济现象的有力武器。

现代金融中，由于金融创新的不断发展，涌现出许多新的金融产品和金融工具，尤其是金融衍生工具的大量涌现使得数学在金融中的使用更加具体和广泛，它们的定价成为金融学中重要的研究内容。

1.3 概率统计与金融学的联系与应用

概率统计是研究随机现象的数量关系的科学。而客观世界中现象的数量变化有随机性和非随机性两种类型,并且随机性和非随机性数量的变化又是相互联系,交织在一起的。因此,客观世界现象的数量变化,既有随机性因素的变化,又有非随机性因素的变化。也就是说,一切现象的数量变化是由随机性因素和非随机性因素共同作用下引起的。

目前,国际上把经济理论分为宏观经济理论和微观经济理论两大类。所谓宏观经济理论,就是研究国民经济结构和最佳地制订国民经济方针、政策和计划的理论。微观经济理论,是研究政府部门、企业、工厂等经济政策和计划及其最佳调节的理论。在经济学领域中,还经常运用“计量经济学”,也就是说,采用经济理论和数学方法,精密地表述经济因素之间的因果关系；采用线性规划、估计等概率统计方法,以现实的资料对各种经济模型进行验证。这就是采用经济理论、数学和概率统计学三结合的方法,定量地表现经济现象的因果关系。这种经济理论、数学和概率统计学的结合,提供了概率统计在社会经济领域中应用的范例。

现代科学技术的发展,特别是电子计算技术的发展,将促进国民经济和企业管理的现代化。正是由于概率统计和计算机的相辅相成的关系，这就必然促进概率统计在社会经济领域中的应用和发展。运用概率统计方法研究社会经济现象,要

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河南xxxxxxx本科毕业论文 第一章 概论

通过大量的数字资料,进行科学的统计分析。

由于数学固有的灵活性，可使金融领域的相关研究和探索借助于其多种计算方法以及数学模型,从而更好地发现现实金融问题背后的经济变量函数,使复杂的关系得以清晰化；由于其固有的精确性,采用数学方法可以准确的研究和描述经济范畴之间的数量关系；由于其固有的严密逻辑性,使得数学分析成为科学推理的主要手段,可以使一些用其他方法难以说清的逻辑关系得到简洁明了的说明和解决。

随着金融市场的繁荣与发展,以及概率统计相关理论的不断进步和发展,概率统计在金融领域中的应用越来越受到重视。金融学作为立足于经济现象之上的一门学科,与概率统计之间有着千丝万缕的联系，越来越多的统计方法被运用到金融领域当中,金融统计学这一新兴边缘学科也由此应运而生。随着知识经济的到来,人们对各种问题的要求越来越精确,概率统计方法以其精确和严密性在金融学中被广泛应用,阐述金融工具从日常语言发展到数理语言,具有了理论上的抽象,是金融学科的一种进步。

1.4 论文的组织结构

第一章详细讨论了论文的研究背景及研究背景、意义和目的。论述了课题的来源和发展现状，阐述了论文的研究内容和研究目标，并对论文的组织结构予以讨论。

第二章重点分析了概率统计常用的理论和知识，以及基于理论的若干模型。并为下章的举例介绍概率统计在金融中的经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用中所遇到的知识做个简单介绍。

第三章举例介绍概率统计在金融中的经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用。 第四章对整篇文章进行了总结。

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河南xxxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

第二章 概率统计常用理论知识

2.1概率统计知识概述

2.1.1概率论的内容

概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于0和1之间。

有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。

在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。

随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。

在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。

2.1.2概率统计的内容

概率统计包括抽样检验、参数估计问题、假设检验、回归分析、方差分析等内容。

抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。

参数估计是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。人们常常需要根据手中的数据，分析或推断数据反映的本质规律。即根据样本数据如何选择统计量去推断总体的分布或数字特征等。统计推断是概率统计研究的核心问题。所谓统计推断是指根据样本对总体分布或分布的数字特征等作出合理的推断。它是统计推断的一种基本形式，是概率统计学的一个重要分支，分

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河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

为点估计和区间估计两部分。

假设检验是只在用概率统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。

方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。

由于随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。

2.2 概率统计常用理论模型

2.2.1 中心极限定理

（1）列维－林德伯格定理

设随机变量X1，X2，?相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(Xk)??,D(Xk)??2?0(k?1,2,?)，则随机变量

Yn??Xk?1nk?n?n?

的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

?n?X?n??k??1?k?1?limFn(x)?limP??x??n??n??n?2???????或者简写成：

?x??e?t22dt.

X???/n????N(0,1)。此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 n??（2）棣莫弗－拉普拉斯定理

设随机变量X1，?Xn均为具有参数n, p(0

limn????1?Xn?np?Fn?x??limP??x??n???np(1?p)2?????x??e?t22dt.

2.2.2 矩估计和最大似然估计

（1）矩估计：设总体X的分布中包含有未知数?1,?2,?,?m，则其分布函数可以表成F(x;?1,?2,?,?m).它的k阶原点矩vk?E(Xk)(k?1,2,?,m)中也包含了未知

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河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

参数?1,?2,?,?m，即vk?vk(?1,?2,?,?m)。又设x1,x2,?,xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为

1nk ?xi (k?1,2,?,m).

ni?1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有

?1n????v1(?1,?2,?,?m)?n?xi,i?1???1n2???v2(?1,?2,?,?m)??xi,?ni?1? ??????????????n???1?v(?,?,?,?)?xim.?m12m?ni?1?由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(?1,?2,?,?m)即为参数（?1,?2,?,?m）

??)为g(?)的矩估计。 的矩估计量。若?为?的矩估计，g(x)为连续函数，则g(? （2）最大似然估计：当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为

f(x;?1,?2,?,?m)，其中?1,?2,?,?m为未知参数。又设x1,x2,?,xn为总体的一个

???样本，称

L(?1,?2,?,?m)??f(xi;?1,?2,?,?m)

i?1n为样本的似然函数，简记为Ln。当总体X为离型随机变量时，设其分布律为

P{X?x}?p(x;?1,?2,?,?m)，则称

L(x1,x2,?,xn;?1,?2,?,?m)??p(xi;?1,?2,?,?m)

i?1n为样本的似然函数。

?相应的统计量称为最大似然估?1,?,?,?m分别为?1,?,?,?m的最大似然估计值，

22? 若似然函数L(x1,x2,?,xn;?1,?2,?,?m)在?1,?2,?,?m处取到最大值，则称

????计量。

?lnLn??i?0,i?1,2,?,m

?i??i? 6

河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

?)为g(?)的极大似然估计。 若?为?的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(??2.2.3 置信区间和置信度

设总体X含有一个待估的未知参数?。如果我们从样本x1,x,2,?,xn出发，找出两个统计量?1??1(x1,x,2,?,xn)与?2??2(x1,x,2,?,xn)(?1??2)，使得区间

[?1,?2]以1??(0???1)的概率包含这个待估参数?，即：

P{?1????2}?1??,

那么称区间[?1,?2]为?的置信区间，1??为该区间的置信度或置信水平。

2.2.4 线性回归模型

当变量间存在相关关系时，我们特别关心因变量y的取值的平均，即在给定

x1,x2?,xn的条件下，随机变量y的数学期望，记作??x1,x2?xk??E?yx1,x2?xk?.

此时，因变量y与自变量x1,x2?,xn之间的相关关系可以表示为： y?E?yx1,x2?xk???

这里?表示为随机误差，上式成为y关于x1,x2?,xn的回归。y对自变量

x1,x2?,xn取值的依赖关系为：??x1,x2?xk?，它反映了y取值的平均趋势，这是相

关关系的主要部分。

回归函数E?yx1,x2?xk?可以是线性的，也可以是非线性的。但是对于线性回归y??0??1x1????kxk??中回归函数是参数的线性回归。

而E?yx1,x2?xk?????0??1x1????kxk是最简单且最重要的情况，但是在理论上有比较深入的讨论结果，是非线性回归的基础。

y??0??1x1????kxk??称为理论线性回归模型。由随机误差?在线性模型中的地位可见，他的概率性质决定了模型的性质。根据回归函数的意义，自然有

E(?)?0。

关于变量x1,x2?,xn的n次观测，我们假定各次观测所受的随机影响程度相同。且任意两次观测的误差不相关。这种假定在一般情况下是合理的。称之为Gauss-Markov条件

2 Cov(?,?)??In

这里?如

?y1???1???1??1x11?x1k?????????y1x?x??2?2212k2???????,X?,??,?? Y? ?????????????????????1x?xy?n1kk???n??n???n? 7

河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

那样的随机误差向量且E(?)?0，为了不引进更多符号。以后?有时候表示一个随机变量，有时候表示为一个随机向量。由模型的意义，这样我们可以得到线性回归模型Y?X???，E(?)?0，Cov(?,?)?? ，?0称之为常数项。

?0,?1,?2??k称为回归函数，表示自变量x1,x2?,xn的改变时对y的影响大小。在

2某些问题当中，我们还假设?满足正态条件??N?0,?In? 其中?2?(0,?)，也

是线性回归模型中的重要参数，In为n阶单位阵。

为了对未知参数进行估计或者研究其他有关的统计推断问题，需进行试验，设做了n次试验。第i次试验的观测值为(xi1???xik:y)，称为第i个试验点。以后我们假定试验总数n不小于线性回归模型 Y?X???，E(?)?0，Cov(?,?)??包含的未知参数个数，且设计矩阵X是列满秩的，即：rk(X)?k?1。

2.2.5 一元线性回归分析

一元线性回归模型

设随机变量Y与普通变量x间存在相关关系，且假设对于x的每一个取值有

2 Y?N(?0??1x,?)

其中?0 ,?1 ,?2 都不是不依赖于x的未知参数。记??Y?(?0??1x)，则对Y做这样的正态假设，相当于假设：

Y?(?0??1x)?? ,??N(0,?2) 其中未知参数?0 ,?1 ,?2都是不依赖于x的未知参数。

此时，Y?(?0??1x)??，??N(0,?2)称为一元线性回归模型，其中?1称为回归系数。

因变量Y由两部分组成，一部分是x的线性函数：?0??1x；另一部分是随机误差：?，是不可控制的。下面的任务是对参数?0 ，?1的估计，那参数?0,?1的最小二乘估计如下：

令x取n个不全相同的取值，用x,x,?,x表示，并作n次独立试验，得到

n12样本：

(x,Y),(x,Y),?,(x,Y) nn1122和样本观测值：

(x,y),(x,y),?,(x,y) nn1122把样本观测值(x,y),(x,y),?,(x,y)代入Y?(?0??1x)??，??N(0,?2)

nn1122得： yi??0??1xi??i ， i?1,2?n。

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河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

2而使此函数Q(?0,?1)?????(yi??0??1xi)达到最小为原则，则此时对未知参

2ii?1i?1nn数?0和?1的估计,就称为未知参数?0和?1的最小二乘估计，估计值记为?0和?1。通过以上的分析，这时候我们称此方程y??0??1x为Y关于x的经验回归方程,简称为回归方程。

接下来就是求未知参数?0 ，?1的最小二乘估计： 因为此方程Q(?0,?1)的极值点可以写成：

n?Q??2?(yi??0??1xi)?0 ?ai?1nn??n?0?(?xi)?1??yi?i?1i?1由此式子得方程组： ?n nn?(x)??(x2)??xy?i0??iii?i?1i?1?i?1?????现在对上面方程组进行求解，得唯一解如下：

nnn???n?xiyi?(?xi)(?yi)i?1i?1??1?i?1n?n?n?xi2?(?xi)2 ?i?1i?1?_?_??1nbn??0??yi??xi?y??1xni?1ni?1????(x?x)(yii?1n_ii?1n_i?y)2_?(x?x)

求出的解中的?0和?1为未知参数?0，?1的最小二乘估计量。

1?y?yi这表明，关于样本值，???1(x?x) 而此时回归方程也可写成y?y?ni?1(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)的回归直线通过散点图的几何中心(x,y)。为了计算上的

n方便，我们引入记号：

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1n2 Sxx??(xi?x)???(?xi)ni?1i?1i?1nn1n22 Syy??(yi?y)??yi?(?yi)2ni?1i?1i?1nnn1nSxy??(xi?x)(yi?y)??xiyi?(?xi)(?yi)ni?1i?1i?1i?1n2nxi2这样，?0 ，?1的估计值可写成：?1???Sxx， Sxy?1n1n ?0??yi??(?xi)?1。

ni?1ni?1 下面是对?2的估计：

2222 由于E??[Y?(?0??1xi)]??E(?)?D(?)?[E(?)]??，所以我们就把式子

记做： yi?y??x?xi??0??1xi，

??此时我们称y?y?i为xi处的残差；而平方和式： i Qn??(yi?yi)??(yi??0??1xi)

i?1i?1n_2n??2称为残差平方和。

下面我们计算Q：

e 我们首先将Q做如下分解：

e Qn??(yi?yi)??[yi?y??1(x?xi)]

i?1_i?1n_2n_?2 ??(yi?yi)?2?1?(xi?x)(yi?y)?(?1)i?1i?1n2?n__?2?(x?x)ii?1n_2

?Syy?2?1Sxy?(?1)2Sxx 再由?1????Sxx?得Q的另一个分解式：Qn?Syy??1Sxy。相应的统计量为： Sxye? Qn?SYY??1SxY 然后我们可以证明：

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河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

于是：

Q??2??2(n?2)

E(即：

Q??2)?(n?2)

E(Q?这样就得到了?2的无偏估计量为：

)??2 n?2?Q?1 ???[Syy??1SxY]

n?2n?2?2 最后我们进行线性假设的显著性检验：

在以上的讨论中，我们假定Y关于x的回归函数?(x)具有线性形式：?0??1x。在处理实际问题时，?(x)是否为x的线性函数，首先要根据有关专业知识和实践来判断，其次就要根据实际观察得到的数据运用假设检验的方法来判断。这就是说，求得的线性回归方程是否具有实用价值，一般来说，需要经过假设检验才能确定。若线性假设符合实际，则?1不应为零，因为若?1?0则?(x)就不依赖于x了。

因此，我们需要检验假设：

H0:?1?0 H1:?1?0 用t检验法来进行检验，可以证明：?1?(?1,?S)

xxQQ2由?2??(n?2)和E(?2)?(n?2)得到：

?2?? (n?2)??Q???2(n?2)

22?2??由于?1与Q?相互独立，故有：

???1??1?即：

2(n?2)??2?2(n?2)?t(n?2)

Sxx 11

河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

??1??1?t(n?2) 2?Sxx?且E(?1)??0?0，即得H的拒绝域为：

0 t?此处?为显著性水平。

当假设H被拒绝时，认为回归效果是显著的，反之，就认为回归效果不显著。

0?1???Sxx?t?2)n?2

回归效果不显著的原因可能有如下几种：

（1）影响Y的取值，除了x及随机误差外还有其它不可忽略的因素； （2）?(x)不是x的线性函数，而是其它形式的函数； （3）Y与x不存在关系。

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河南xxxxx本科毕业论文 第三章 概率统计在金融中的应用实例

第三章 概率统计在金融中的应用实例

3.1引言

概率统计是一门相当有趣的数学分支学科。随着科学技术的发展和计算机的普及,它最近几十年来在自然科学和社会科学中得到了比较广泛的应用,在社会生产和生活中起着非常重要的作用。当今概率统计与经济的关系可以说是息息相关的,几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用,例如:实验设计、多元分析、质量控制、抽样检查、价格控制等都要用到概率统计知识。实践证明,概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具,为经济预测和决策提供了新的手段。本文通过一些具体的例子讨论概率统计在经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用。

3.2实例举例

3.2.1.在经济管理决策中的应用

在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应用。

例 1 某人有一笔资金,可投入三个项目:房产x、地产y 和商业z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为

p1?0.2,p2?0.7, p3?0.1 ,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资

的年收益(万元) ,见表1

表3.1 各种投资年收益分布表

房产 地产 商业 好 中 差 p1?0.2 11 6 10 p2?0.73 4 2 p3?0.1 -3 -1 -2 请问:该投资者如何投资好?

解：我们先考察数学期望,可知

E?x??11?0.2?3?0.7???3??0.1?4.0

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河南xxxxx本科毕业论文 第三章 概率统计在金融中的应用实例

E?y??6?0.2?4?0.7???1??0.1?3.9 E?z??10?0.2?2?0.7???2??0.1?3.2

根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风 险,我们再来考虑它们的方差:

D?x???11?4??0.2??3?4??0.7???3?4??0.1?15.4

D?y???6?3.9??0.2??4?3.9??0.7???1?3.9??0.1?3.29 D?z???10?3.?2?22222220.??2?2?2???0.?7?3.2??223.?20. 112.96因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大。

分析：根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但是从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。

概率统计中特有的期望、方差等统计量本身的计算过程就蕴含着一定的模型意义，它的这种模型意义正好和金融中很多的抽象的概念相吻合，使一些其他数学方法无法解决的问题变得容易很多，这些特征量和金融结合起来使得到各结果都更加的令人满意。

3.2.2.在经济损失估计中的应用

随着经济建设的高速发展，火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性，以及发生后导致的经济损失大小。之后可以根据这些估计出来的数据来购买相应的保险产品。下面的例子就是以参数估计为方法来说明它在这一方面的应用。

例 2 已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布N??,?2? ,今随机抽取8 次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。根据这些数据估计平局损失数据。

表3.2 仓库货物损失金额表

货物损失金额(元) 1000 次数 2 2000 1 3000 4 5000 1 解：利用矩估计法或最大似然估计法可知: ?, ?2的矩估计量分别为:

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—1n???Xi?Xni?11n2，???(Xi?X)

ni?12利用上面两个公式并结合表2中的数据可计算出:

1???1000?2?2000?1?3000?4?5000?1??2625812222?2???1000?2625??2??2000?2625???3000?2625??4??5000?2625??^

?8??1101562.5

??1049.55 分析：从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049.55 元。所以我们在为这些仓库物品购买保险的时候，可以参考这些数据，购买相应的险种，以及确定该险种的数量和相应金额。将估计理论应用于金融、保险中，对金融、保险中的极值事件建立模型，并以我国实际的股票收益率数据和医疗及巨灾保险索赔数据进行实证分析，达到了对金融、保险中的极值风险进行有效度量的目的。

3.2.3.在求解最大经济利润问题中的应用

如何获得最大利润是商界永远追求的目标,虽然在数学方法中有很多方法都可以用来进行求解最大利润的问题，但是概率统计中的随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。

例 3 某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量x(单位:吨)服从（300,500）上的均匀分布,每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1吨,则公司损失0.5千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?

解：此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。

设公司组织该货源a吨,则显然应该有300?a?500,又记y为在a吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即y?g?x?,由题设条件知: 当x?a时,则此a吨货源全部售出,共获利1.5a；

当x?a时,则售出x吨(获利1.5x),且还有(a?x)吨积压,损失为：

(获利?0.5?a?x?) ,所以共获利：[1.5x?0.5?a?x?]，由此得：

a　　　 X?aY?g?x???1.52X? 0.5a　X?a

从而得：

E?y?????g?x?px?x?dx??300g?x???5001dx 200 15

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50011 ???2x?0.5a?dx??1.5adx

300a2002001 ??a2?900?3002? ?200a 分析：由上述计算式子可以看出E?y?是正好是a的二次函数,用通常求极值的方法就可以求得,当a?450吨时能够使得期望的利润达到最大。

在此，我们应用了概率统计中的随机变量函数期望这个知识点，由本题可以看出概率统计中的很多统计量本身就具有数学模型的性质，而且它本身计算过程就蕴含着某些经济和金融中的现实事例。从中我们可以看到概率统计和金融学有一种天然的契合，相互融合，相互解释，相互促进。同时，概率统计结合高等代数等数学知识，给予金融更丰富的意义和满意的解释。

3.2.4.在经济预测中的应用

现代风险管理中多运用衍生金融工具，如金融期权、期货、互换交易中进行风险的对冲。这些衍生工具的定价需要很专业的定价模型，而且定价模型中有许多希腊字母代表的概念，如 Delta 值、Gamma 值、Vega 值，正是这些值的加权求和，最终降低损失程度。这些值的运算中需要综合数学中各个方面的方法，如求导、求偏导、概率分布函数、顺序统计量等各种方法，概率统计作为重要的应用，为风险管理提供了精确的数学逻辑推导。同时，根据各个资产或者证券的历史价格，我们也可以合理地推算出该资产或者证券价格的合理区间。

例 4 收集了 2012 年 4月5日至2012 年 5月 11 日 25 个交易日的股指 2512.832 2520.036 2519.830 2570.436 历史数据，假定其置信水平为 0.95，计算其置信区间。

表3.3 股票指数 2495.146 2580.454 2519.788 2574.044 解：根据t 分布这里1－a=0.95，a/2 =0．025，n－1 =24t，2626.839 = 2.064 ， t0.025(24) 2541.883 2599.908 2596.056 我们算出，s=66.72108。得到u的一个置信水平为0.95的置信区2606.038 :x=2608.8492604.866 2625.990 2631.487 间:(2608.849±66.72108/5×2.064)即：( 2636.391。我们预测估计2626.157 2683.487 2691.518 ，2581.307)2715.879 沪深300指数在区间(2636.391，2581.307)的可信度为95%。 2717.778 2636.917 2709.116 2657.514 2657.214 总之，我们可以通过某个参数满足不同概率分布时，利用该参数的区间估计方法，推算置信水平( 可靠度) 。概率统计理论中对概率分布的描述，统计量的 解：我们知道置信区间是（x?s）,根据t分布这里1－a =0.95，a/2 =0．025，n－1 =24t，t0.025( 24) = 2.064 ，我们算出: x = 2608.849，s =66.72108。 分析：得到u的一个置信水平为0.95的置信区间:(2608.849±66.72108/5×2.064)，即(2636.391，2581.307)。我们预测估计沪深 300 指数在区间

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( 2636.391，2581.307) 的可信度为95% 。总之，我们可以通过某个参数满足不同概率分布时，利用该参数的区间估计方法，推算置信水平( 可靠度) 。

3.2.5.在经济保险问题中的应用

目前,保险问题在我国是一个热点问题。保险公司为各企业、各单位和个人提供了各种各样的保险保障服务,人们总会预算某一业务对自己的利益有多大,保险公司会担心未来几年保费收入金额，怀疑大量赔偿是否会亏本。下面线性回归以及中心极限定理说明它在这一方面的应用。

例 5 某保险公司2006年到2012年保费年度总收入及赔付总支出金额如下：

表3.4 年保费总收入和中支出数据 （单位：亿元） 年度 保费收入 保费支出 2006 118 8.0 2007 262 61.5 2008 360 142.6 2009 512 270.1 2010 775 488 2011 1185 1151 2012 1890 984 已知在此保险公司的某一项保险有2500个人参加保,在一年里这些人死亡的概率为0.001 ,每人每年的头一天向保险公司交付保险费12元,死亡时家属可以从保险公司领取2000元保险金,求: 入和年赔款总支出；

（2）保险公司一年从此项保险中获利不少于10000元的概率； （3）保险公司亏本的概率。

解：（1）通过作散点图看出, 可以用一元线性回归预测。为了计算方便起见, 可设： X1??3 X2??2 X3??1 X4?0 X5?1 X6?2 X7?3

Y1?100Y2?165Y3?185Y4?262Y5?318Y6?400Y7?445

（1）利用该公司2006年到2012年保费年度总收入预测2013以及2014年保费总收

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图 1

现在令2013年和2014年为：X8?4 X9?5。由于 ?Xi?0 于是可代入

? ，??。其中： 公式得参数 ?01?? ?0?yni1875????267.86 ，?17^?xy?xi2ii?1638?58.50。 28 所得的样本回归线为：Yi?267.86?58.50X

由此回归线计算2013、2014年的保费收入的预测值如下：

，Y9?267.86?58.50?5?560.36（亿元） Y8?267.86?58.50?4?501.86（亿元）

至于决定系数r2也可以计算出：

__^^ X?0,Y?2?Y7i?267.86

__ ?(Xi?X)?28,?(Yi?Y)2?97010.86 [?(Xi?X)(Yi?Y)]2?2683044

r?2__[?(Xi?X)(Yi?Y)]2__?(Xi?X)2?(Yi?Y)2__?0.9878

由以上计算得到样本回归线对实际保费收入的变差的解释能力为98.78%,。即保费收入与时间变量之间存在十分近似线性的关系。当然,由于存在随机干扰因素, 预测不可能绝对准确, 因此, 有必要求出实际值的置信区间。

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?u2?14.07

?(Y8?Y8)???u ?^(X8?X)211???18.25 7?(Xi?X)2 查分布表可知(t0.025,5)?2.57。

结论：保费收入与时间变量之间存在十分近似线性的关系，所以Y8的实际值将以95%的置信度落在（501.86?2.57?18.25）的范围内即在：[452.96（亿元），550.76（亿元）]中。

散点图如下：

图 2

对于赔款的预测, 我们可以认为赔款是随年度变化的。利用时间预测赔款，则设：

X1??3，X2??2，X3??1，X4?0，X5?1，X6?2，X7?3，相应的赔款为

?和??的估计值： Yi。所以不难计算出?01?? ?1?XY?X2iii???57.93 ， ?0?Y??Yiin7?443.6

??443.6?57.93X。于是我们就可以算出2013年的赔款预测所以样本回归线为：Y??675.32（亿元）值 Y。样本决定系数r2的值为0.8430。

8（2）设一年中死亡的人数为X ,死亡率为p?0.001 ,把考虑2500人在一年里是否死亡看成2500重Bernoulli试验,则

np?2500?0.001?2.5

np(1?p)?2500?0.001?0.999?2.4975

保险公司每年收入为2500?12?30000 ,付出2000X元,则根据中心极限定理得， 所求概率为:

P(30000?2000X?10000) ? P(0?X?2)

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?P??22.?0?2.5X?2.5?5??? 2.49752.?2.4975?4975??(?0.32)??(?1.58) ??(1.58)??(0.32) ?0.9429?0.6255 ?0.3174

（3）所求概率为: P(30000?2000X)?P(X?15)

15?2.5??X?2.5?P???

2.4975??2.4975?1??(7.91)

?0

分析：（1）预测2013年保费总收为501.86亿元,2014年保费总收入为560.36亿 元， 2013年赔付为675.32亿元；

（2）保险公司一年从此项保险中获利不少于10000元的概率为0.3174； （3）经上述计算可知一个保险公司亏本的概率几乎为0,这也是保险公司乐 于开展业务的一个原因。

回归分析是研究变量与变量之间的依赖关系的方法, 它试图通过统计资料, 来判断某些变量之间是否存在相关关系, 相关的密切程度, 或近似地确定它们之间的数量关系。计算机在保险领域的应用, 使得回归分析应用子保险经营不再是一项复杂工程。回归模型的建立, 可用于保险经济预测, 预测业务的发展趋势, 它改变了过去那种全凭经验进行估计的传统预测方法, 提高了预测的准确性, 避免了由纯定性分析造成的水份大、数据不准等弊病, 还可以提高期望值的准确性,如赔款的预测可以帮助确定给付准备金提存的数量。

回归分析在保险经营中, 除了可用于预测保费收入、利润, 赔款支出外还可用于预测业务开支, 承保规模等。

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河南xxxxxxx本科毕业论文 第四章 总结

第四章 总结

概率统计是研究随机现象及其规律性的一门学科。作为经济数学的三大支柱之一，概率统计知识在当今信息社会里越来越重要。在经济和管理活动中，怎样使利润最大、风险最小；怎样由不确定因素得出相对可靠的结论等，只有运用概率统计的知识才能解决。

概率统计是一门相当有趣的数学分支学科。随着科学技术的发展和计算机的普及,它最近几十年来在自然科学和社会科学中得到了比较广泛的应用,在社会生产和生活中起着非常重要的作用。当今概率统计与经济的关系可以说是息息相关的,几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用,例如:实验设计、多元分析、质量控制、抽样检查、价格控制等都要用到概率统计知识。实践证明,概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具,为经济预测和决策提供了新的手段。正如本文所列举的例子一般，概率统计在经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用已经日渐成熟，并成为经济金融中不可或缺的一部分。

通过以上分析概率论在经济学中的应用，我们得到以下三点结论：第一，现代经济学的发展离不开概率统计，概率统计的应用使得经济学更加完善，更加科学，这也是经济学成为。社会科学皇冠上的明珠”的一个重要原因；第二，概率统计在经济学数据描述、效用函数、保险、指出组合等诸多领域的应用，使得具有随机性质的经济行为得到更合适的描述，扩大了经济学的视眼，使经济理论得到不断深化和丰富；第三，概率统计知识在经济学动态前沿领域的应用，使得经济学经济行为的随机性特征得到更为科学的描述。概率统计推动了经济学的发展。由此我们认为概率统计知识在经济学应用如此广泛，实在足一门应该好好掌握的科学。

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河南xxxxxx本科毕业论文 参考文献

参考文献

[1]张明军，《浅谈数学在金融领域的发展及应用》，甘肃科技，2009. [2]叶慈南，曹伟丽.应用概率统计 [M].机械工业出版社，2004. [3]邓集贤.概率论及概率统计 [M].高等教育出版社，2010. [4]刘园.国际金融学 [M].机械工业出版社，2012.

[5]贾俊平，何晓群.统计学 [M].中国人民大学出版社，2009.

[6]刘小云.概率统计在股指期货风险估测中的应用［J］.时代金融， 2011,(33):150．

[7]周鑫．金融数学的最新理论和现代发展［J］．大众商务， 2010,(4):165．

[8]王顺，赵擎.信用风险模型及其适用性分析 [J］．经济研究导刊， 2010，( 32):130 －131．

[9]吴传志.应用概率统计 [M].重庆大学出版社,2004.

[10]徐传胜.从博弈问题到方法论学科-概率论发展研究史 [M].北 京科学出版社，2010.7

[11]Elke U w.Richard A M.Perceived risk attitudes;relating risk perception to risky choice [J].Management Science 1997;

[12]Jacklin C.Bank capital requirements and incentives for lending. Management:Problems and Solutions [M].New York:McGraw-Hill.1994.

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河南xxxxxxx本科毕业论文 致谢

致谢

四年的大学时光在我们漫长的人生旅途中是那么的短暂。但是这短短的四年却是最我们人生当中最光芒的四年，也是我们是最纯真的岁月，是人生最美好的时光??。 转眼间，大学四年时光随着毕业论文的收尾而接近尾声了，这也意味着我在河南城建学院的四年的学习生活既将结束。回首既往，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之极。在这四年的时间里，我在学习上和思想上都受益非浅。这除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的。 毕业论文的写作是枯燥艰辛而又富有挑战的。我的课题：《概率统计在金融中的应用》可以说是现在数学界和金融界比较热门话题，而且论文写作业是有一定难度的，不过通过老师的谆谆诱导、同学的出谋划策，我最后还是很好的完成了我的毕业论文。在此，我特别要感谢我的导师徐华锋老师。从论文的选题、文献的采集、框架的设计、结构、布局到最终的论文定稿，从内容到格式，从标题到标点，他都认真细心地指点我们、严格地要求我们。没有徐华锋老师的辛勤栽培、孜孜教诲，就没有我们论文的顺利完成。同时我还要感谢数理学院的1314091班的各位同学，与他们的交流使我受益颇多。正是因为有了他们，我所做的一切才更有意义；也正是因为有了他们，我才有了追求进步的勇气和信心。

最后，再次向河南xxxx数理学院的各位老师致谢，尤其是那些曾经帮助过我，教导过我的各位老师，是他们不但让我学到了知识，而且让我学会了做人，真心谢谢您们！

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