2006年高考第一轮复习数学：10.4 排列与组合的综合问题

10.4 排列与组合的综合问题

●知识梳理

1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”.

2.解排列组合的应用题，要注意四点：

（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.

（2）深入分析、严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思维，多角度．．分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错.

（3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决.

（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复.

●点击双基

1.（2004年福建，理6）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为

2A.A6C24

B.

122A6C4 2

2C.A6A24

2D.2A6

解析：将4名学生均分成两组，方法数为

2法数为A6，∴合要求的安排方法数为

12C4，再分配给6个年级中的2个，分配方2122C4·A6. 2答案：B

2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为

A.24 B.48 C.120 D.72

43解析：若不含A，则有A4若含有A，则有C3C1A3C1A34种；4·2·3种.∴A4+C4·2·3=72.

答案：D

3.5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为 A.480 B.240 C.120 D.96

22解析：先把5本书中的两本捆起来（C5），再分成四份（A4，∴分法种数为C5·A44）4=240.

答案：B

4.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答）

解析：①四位数中包含5和0的情况：

112C1（A33·C4·3+A2·A2）=120.

②四位数中包含5，不含0的情况：

23C13·C4·A3=108.

③四位数中包含0，不含5的情况：

23C3C14A3=72.

综上，四位数总数为120+108+72=300. 答案：300

5.市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_____________种.（用数字作答）

解析：把四位乘客当作4个元素作全排列有A44种排法，将一个空位和余下的4个空位

22作为一个元素插空有A5种排法.∴A44·A5=480.

答案：480

●典例剖析

【例1】 从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?

解法一：问题分成三类：（1）甲、乙两人均不参加，有A4（2）甲、乙两人有且仅4种；

43432有一人参加，有2C3（3）甲、乙两人均参加，有C24（A4－A3）种；4（A4－2A3＋A2）

种.故共有252种.

4解法二：六人中取四人参加的种数为A6，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位34置的有C1因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A22 A5种，4减去了两次.故共有A6－32C12 A5＋A4=252种.

评述：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理.

【例2】 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?

134解：C14（C6C3）A4=576，第5次必测出一次品，余下3件在前4次被测出，从4件13中确定最后一件品有C14种方法，前4次中应有1正品、3次品，有C6C3种，前4次测试

中的顺序有A44种，由分步计数原理即得.

评述：本题涉及一类重要问题，即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列.

思考讨论

用类似的方法，讨论如下问题.

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