2015年第13届四年级希望杯1试答案

2015年·四年级·希望杯·1试答案

2015年第13届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第1试）

参考答案与试题解析

以下每题6分，共120分。

1、计算：2468×629÷（1234×37）＝ 34 。 【考点】运算定律与简便计算。优网版权所有

【分析】观察题中的数据，2468与1234，629与37分别成倍数关系，先根据除法的性 质去括号，再利用数据之间的倍数关系，采用合适的简便方法进行计算。 【解答】解：2468×629÷（1234×37） ＝2468×629÷1234÷37 ＝2468÷1234×629÷37 ＝（2468÷1234）×（629÷37） ＝2×17 ＝34.

【点评】完成此题要认真分析题中数据，运用合适的简便方法进行计算。

2、有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是 17 。 【考点】和倍问题。菁优网版权所有

【分析】根据“被除数＝商×除数”可知，被除数是除数的7倍，又已知“被除数和除 数的和是136”，利用被除数与除数的和倍关系即可求出除数。

【解答】解：除数是：136÷（1＋7）＝136÷8＝17. 答：除数是17. 【点评】熟练掌握和倍问题的特征和解法是解答此题的关键。

3、定义：a?b＝a＋b＋ab，则(2?3)?4的值为 59 。 【考点】定义新运算。优网版权所有

【分析】根据例子，a?b等于a与b的和加上a与b的积，按照此计算方法计算(2?3)?4 即可。要注意的是此处同样要遵守“有括号的算式，要先算括号里面的”运算法则。 【解答】解：(2?3)?4＝（2＋3＋2×3）⊕4＝11⊕4＝11＋4＋11×4＝59.

【点评】先理解新运算的计算方法，然后按照“先算括号里面的，再算括号外面的”顺 序代入数据计算即可。

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4、买一支水彩笔需要1元7角，用15元钱最多可以买这样的水彩笔 8 支。 【考点】有余数的除法应用题。

【分析】根据“数量＝总价÷单价”，由除法的意义，用15元除以1.7元，得到的商就 是最多可以买这样的水彩笔的支数，得到的余数就是最后剩余的钱数。 【解答】解：1元7角＝1.7元，

15÷1.7＝8（支）……1.4（元）. 答：用15元钱最多可以买这样的水彩笔8支。 【点评】注意此类题采用去尾法取近似值。

5、王雷是国庆节那天出生的，若他年龄的3倍减去8刚好是他出生那月的总天数，则王雷今年 13 岁。

【考点】还原问题。优网版权所有

【分析】根据题意分析，王雷是10月1日出生的，他出生那月即10月总共有31天，所 以王雷年龄的3倍减去8等于31。然后利用倒推法可得王雷年龄的3倍是 31＋8＝39岁，进而求出王雷的年龄是39÷3＝13岁。 【解答】解：根据【分析】，王雷今年的年龄是： （31＋8）÷3＝39÷3＝13（岁） 答：王雷今年13岁。

【点评】解答此题的关键是知道国庆节是10月1日且10月有31天，将题意转化为“王 雷的年龄的3倍减去8等于31”，再利用倒推法即可求出王雷的年龄。

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6、数一数，图1中共有 24 个三角形。

【考点】组合图形的计数。菁优网版权所有

【分析】数三角形个数的方法不唯一，此处图1按照“上、下、左、右”顺序分类计数； 图1-1和图1-2用逐步增添线段的方法分步计数。

【解答】解：方法一：按“上、下、左、右”顺序分类计数。

图1中共有三角形：（4＋3＋2＋1）×2＋2×2＝10×2＋2×2＝20＋4＝24（个） 方法二：用逐步增添线段的方法分步计数。

图1-1中有三角形：（3＋2＋1）×2＝6×2＝12（个）；

图1-2中有三角形：12＋（2＋1）×2×2＝12＋3×2×2＝12＋6×2＝12＋12＝24(个). 答：图中共有24个三角形。

【点评】对于图形的计数的方法并不唯一，无论用什么方法，计数时都要做到不重不漏， 选择适合自己的方法是关键。此题如果按照“三角形由几个小三角形组成”分 类计数，你会吗？

7、某班30人参加跳绳比赛，开始时有4人迟到没有参加比赛，这时平均成绩为20个。后来这4位同学赶到了比赛场地，分别跳了26，27，28，29个。这时全班同学的平均成绩是 21 个。

【考点】平均数问题。优网版权所有

【分析】根据题意，先计算出开始时的30－4＝26人的成绩和，再加上后来迟到的4位 同学的成绩，求出全班30人的成绩总和。然后根据平均数的定义，用30人的 成绩总和除以总人数30，得到的就是全班同学的平均成绩。 此处采用“移多补少”的简便方法求平均数。

【解答】解：迟到的4位同学比原平均成绩共多跳 ：26＋27＋28＋29－20×4＝30（个） 移多补少后，得全班同学的平均成绩是：30÷30＋20＝1＋20＝21（个） 答：这时全班同学的平均成绩是21个。

【点评】此题考查了平均数的含义及求平均数的方法。要熟练掌握“移多补少”的方法。

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8、明明临摹一本字帖练习毛笔字，临摹第一遍时，他每天写25个字，临摹第二遍时，他每天多写3个字，结果恰好比第一遍少用了3天，则这本字帖共有 700 字。 【考点】列方程解应用题。（盈亏问题）菁优网版权所有

【分析】分析题意，设临摹第一遍时，用了x天，共临摹25x个字，则临摹第二遍时用了

（x－3）天，共临摹(25＋3)?个字，根据“两次临摹的总字数相等（都是这 （x－3）本字帖的总字数）”这个等量关系列方程解答即可。

此处介绍另一种方法。临摹第一遍比第二遍多用了3天，在这3天里，明 明共临摹25×3＝75个字；临摹第二遍时，明明每天多写3个字，要多写75个 字，需要75÷3＝25天，说明临摹第二遍时共用了25天，这25天共临摹 （25＋3）×25＝700个字。

【解答】解：临摹第二遍时用的天数是：25×3÷3＝75÷3＝25（天） 这本字帖共有的字数是：（25＋3）×25＝28×25＝700（字） 【点评】解答此题采用方程的方法很好理解，采用算式的方法更为简便。

9、图2有16个1×1的小正方形组成，图中△ABC的面积是 7 。

【考点】组合图形的面积。菁优网版权所有

【分析】观察图形可知，最直接的方法是用边长为4的正方形的面积减去除△ABC以外 的另三个直角三角形的面积即可。（或用直角梯形的面积减两个直角三角形的面积） 【解答】解：图2中△ABC的面积是：

4×4－4×2÷2－4×1÷2－3×2÷2＝16－4－2－3＝7. 答：图中△ABC的面积是7．

【点评】解答此题的关键在于把要求的三角形的面积转化成正方形的面积与另外三个直 角三角形的面积差，再分别根据它们的面积公式求解。

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10、乌龟和兔子在全长为1000米的赛道上比赛，兔子的速度是乌龟速度的15倍。但兔子在比赛的过程中休息了一会儿，醒来时发现乌龟刚好到达终点，而此时兔子还差100米才到终点。则在兔子休息期间乌龟爬行了 940 米。 【考点】行程问题。菁优网版权所有

【分析】根据题意，兔子一共跑了1000－100＝900米，因为“兔子的速度是乌龟速度的 15倍”，所以在兔子跑的同时乌龟爬行了900÷15＝60米。而实际乌龟爬行了 1000米，所以在兔子休息期间乌龟爬行了1000－60＝940米。

【解答】解：1000－（1000－100）÷15＝1000－900÷15＝1000－60＝940（米） 答：在兔子休息期间乌龟爬行了940米。

【点评】解答此题要将乌龟实际爬行的路程（1000米）分“在兔子休息时”和“在兔子 跑时”两段，求出“在兔子跑时”的路程就可以求出“在兔子休息时”的路程。

11、从1至9这九个数中任取一个奇数和一个偶数相乘，不同的乘积有 18 个。 【考点】排列组合。菁优网版权所有

【分析】根据题意，用5个奇数中的任意一个（1、3、5、7、9）分别去乘4个偶数中的 任意一个（2、4、6、8）共可得5×4＝20个乘积（2、4、6、8、6、12、18、

24、10、20、30、40、14、28、42、56、18、36、54、72），然后将这些乘积中 相同的乘积6和18去掉各只留一个，剩余18个不同的乘积。

【解答】解：根据【分析】，不同的乘积共有：5×4－2＝20－2＝18（个）. 答：不同的乘积有18个。

【点评】解答此题的关键是找出所有相同的乘积，每个相同的乘积只能留一个。

12、一个长方形的相框长为40厘米，宽为32厘米，放入一张长为32厘米宽为28厘米的相片，则相框中没有被照片覆盖的部分的面积是 384 平方厘米。 【考点】组合图形的面积。菁优网版权所有

【分析】在相框中放入一张相片，则相框被照片覆盖的部分的面积就是这张相片的面积， 根据长方形的面积公式分别求出相框和相片的面积，然后用相框的面积减去相 片的面积即可。

【解答】解：40×32－32×28＝1280－896＝384（平方厘米） 答：相框中没有被照片覆盖的部分的面积是384平方厘米。 【点评】此题考查了长方形的面积公式的灵活运用。

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13、爷爷，爸爸，小明今年的年龄分别是60岁，35岁，11岁，则再过 14 年爷爷的年龄等于小明和爸爸年龄的和。 【考点】年龄问题。优网版权所有

（x＋60）【分析】可以设再过x年爷爷的年龄等于小明和爸爸年龄的和，x年后，爷爷岁， （x＋35）（x＋11）（x＋35）（x＋11）爸爸岁，小明岁，根据题意列方程“x＋60＝＋”

解方程即可得解。或者这样解：根据题意，今年，爷爷的年龄比小明和爸爸年 龄的和大60－（35＋11）＝14岁，所以再过14年，爷爷，爸爸，小明三人的年 龄各增大14岁，这时爷爷的年龄就等于小明和爸爸年龄的和。

【解答】解：根据【分析】，当爷爷的年龄等于小明和爸爸年龄的和时，经过的年数是： 60－（35＋11）＝14（年）

答：再过14年爷爷的年龄等于小明和爸爸年龄的和。 【点评】此题等量关系明显，用方程解答并不难，用算式方法更为简便。

14、一个长方形的长和宽都增加3厘米后，面积增加了90平方厘米，则原长方形的周长是 54 厘米。

【考点】长方形的周长。菁优网版权所有

【分析】如图-题14，一个长为a宽为b的长方形的长和宽都增加3厘米后，面积就增加 了三个部分，分别是长为a宽为3的长方形，长为b宽为3的长方形，边长为3 的正方形。根据题意，增加的这三个部分的面积是90，由此得出

3?a＋3?b＋3?3＝90，则3?（a＋b）＝81，那么a＋b＝27，所以原长方形的周

（a＋b）?2＝27?2＝54厘米. 长是

【解答】根据【分析】，原长方形的周长是：

（90－3×3）÷3×2＝（90－9）÷3×2＝81÷3×2＝27×2＝54（厘米）

【点评】此题主要考查长方形的周长的计算，关键是求出原长方形的长与宽的和，再根 据长方形的周长公式解答。

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15、甲筐和乙筐内原来分别放有54个和63个鸡蛋，若要使甲筐内的鸡蛋的个数变为乙筐内鸡蛋个数的两倍。那么应从乙筐内取出 24 个鸡蛋放入甲筐。 【考点】和倍问题。菁优网版权所有

【分析】甲、乙两筐内原来分别放有54个和63个鸡蛋，两筐内共有54＋63＝117个鸡 蛋；后来甲筐内的鸡蛋的个数变为乙筐内鸡蛋个数的两倍，甲、乙两筐内鸡蛋 总个数不变，还是117个；根据和倍公式求出后来乙筐内的鸡蛋个数，即 117÷（1＋2）＝39个，那么后来乙筐内的鸡蛋比原来少了63－39＝24个，也 就是应从乙筐内取出24个鸡蛋放入甲筐。

【解答】解：甲、乙两筐内的鸡蛋总个数是：54＋63＝117（个） 从乙筐内取出鸡蛋放入甲筐后，乙筐内剩下的鸡蛋个数是： 117÷（1＋2）＝117÷3＝39（个）

从乙筐内取出并放入甲筐的鸡蛋个数是：63－39＝24（个） 答：应从乙筐内取出24个鸡蛋放入甲筐。

【点评】此题关键是原来和后来甲、乙两筐内的鸡蛋总个数不变，根据倍数关系，由和 倍公式求出后来乙筐内的鸡蛋个数，然后再进一步解答。

16、王蕾和姐姐从家步行去体育馆打羽毛球，已知姐姐每分钟比王蕾多走20米，25分钟后姐姐到体育馆，这时姐姐发现没有带球拍，于是立即按原路返回取球拍，在离体育馆300米的地方遇到了王蕾。则王蕾家到体育馆的路程是 1500 米。 【考点】相遇问题。优网版权所有

【分析】根据“姐姐每分钟比王蕾多走20米，25分钟后姐姐到体育馆”可得，姐姐到 达体育馆时，王蕾离体育馆还有20×25＝500米的路程；根据“姐姐按原路返回 时，在离体育馆300米的地方遇到了王蕾”可知，从姐姐开始返回直到姐妹二人 相遇这段时间内，姐姐走了300米，王蕾走了500－300＝200米，由此可得出， 姐妹二人步行的速度比是3：2；已知姐姐的速度比王蕾快20米／分，所以姐姐 的速度是20?3－2＝60米／分，则王蕾家到体育馆的路程是60×25＝1500米。 3【解答】解：姐妹二人的速度比是：300：（20×25－300）＝300：200＝3：2，

3－2＝60（米／分）， 3 王蕾家到体育馆的路程是：60×25＝1500（米）.

姐姐的速度是：20?答：王蕾家到体育馆的路程是1500米。

【点评】根据题意求出姐妹二人的速度比是解答此题的关键。（你还会别的解答方法吗？）

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17、如图3，用小正方形摆成下列图形，按摆放规律，第25个图形需要小正方形 625 个。

【考点】数与形结合的规律。优网版权所有 【分析】观察图形，可得：

第1个图形需要小正方形 1个，即12个； 第2个图形需要小正方形1＋3＝4个，即22个； 第3个图形需要小正方形1＋3＋5＝9个，即32个； 第4个图形需要小正方形1＋3＋5＋7＝16个，即42个； …

（2n－1）第n个图形需要小正方形1＋3＋5＋7＋…＋＝n2个。 根据得出的规律代入数据解答即可。

【解答】解：根据【分析】可得，第25个图形需要小正方形： 1＋3＋5＋7＋…＋（25×2－1）＝252＝625（个）. 答：第25个图形需要小正方形625个。

【点评】解答“数与形结合的规律”的题，关键是根据题目所给条件找出规律，然后利 用找出的规律进一步解答。

18、若abc＋cba＝1069，则这样的abc有 8 个。 【考点】位值原则。菁优网版权所有

【分析】根据题意可知，(a＋c)的和的个位数字一定是9，a,c均为1～9的自然数，由此 可得，a＋c＝9，则b＋b＝16，那么b＝8；a可取1～8共8个自然数，对应的

b就取8～1共8个自然数；所以这样的abc有8个，分别是188、287、386、

485、584、683、782、881. 【解答】见【分析】答：这样的abc有8个。

【点评】确定a＋c＝9进而得出b＝8是解答此题的关键。

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19、某地希望杯组委会给当地参加希望杯考试的考生安排考场，若每个考场安排30名考生，则会有一个考场有26名考生；若每个考场安排26名考生，则会有一个考场有20名考生，并且要比前一种方案多用9个考场。则该地区参加考试的考生有 1736 名。 【考点】盈亏问题。菁优网版权所有

【分析】根据题意，先将题目转化为标准的盈亏问题的应用题。应是“若每个考场安排 26名考生，则差6名（26－20＝6）考生；若每个考场安排30名考生，则差

274名（30×9＋30－26＝274）考生”。再按照盈亏问题的解法即可求得共有考 场（274－6）÷（30－26）＝67个，进而求得该地区参加考试的考生有 26×（67－1）＋20＝1736名。此题的解答部分用另一种方法。

【解答】解：（1）第二种方案比第一种方案多用9个考场，这9个考场中总人数是： 26×（9－1）＋20＝26×8＋20＝208＋20＝228（人）.

（2）因为总人数相等，最后9个考场中多出228人，因此前面和第一种方 案相比较一定少了228人。由于第一种方案最后一个考场有26人，恰 好和第二种方案中的对应考场人数相等，因此228人是在： 前228÷（30－26）＝57个考场中错出来的。

（3）因此第一种方案中每个考场坐30人的有57个考场，坐26人的考场有 1个。所以总考生人数是：57×30＋26＝1710＋26＝1736（人） 答：该地区参加考试的考生有1736名。

【点评】熟练掌握盈亏问题的特征和解法是解答此题的关键。

20、图4由3个边长是6的正方形组成，则图中阴影部分的面积是 36 。

【考点】组合图形的面积。菁优网版权所有

【分析】如图4-1，将阴影部分分为两个三角形，然后将这两个三角形的面积分别作等 积变换，最终将求图4中阴影部分的面积转化为求图4-4中阴影部分的面积。 【解答】解：根据【分析】，图4中阴影部分的面积等于图4-4中阴影部分的面积，是： （6＋6）×6÷2＝12×6÷2＝72÷2＝36.

【点评】将所求的阴影部分的面积作等积变换是解答此题的捷径。

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