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第五章 刚体

【例题精选】

例5-1 如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为?A和?B，不计滑轮轴的摩擦，则有

A B M (A) ?A＝?B． (B) ?A＞?B．

(C) ?A＜?B． (D) 开始时?A＝?B，以后?A＜?B． [ C ]

O 例5-2 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，

如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置

的过程中，下述说法哪一种是正确的？

F A (A) 角速度增大，角加速度减小． (B) 角速度增大，角加速度增大． (C) 角速度减小，角加速度减小． (D) 角速度减小，角加速度增大．[ A ] 例5-3 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1＜m2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力

O (A) 处处相等． (B) 左边大于右边． m2 (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． [ C ] m1 例5-4 光滑的水平面上，有一长为2L、质量为m的细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动，其转动惯量为mL2/3，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v相向运动，如图所示．当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 (A)

v O 俯视图 v 2v4v6v8v． (B) ． (C) ． (D) ． [ C ] 3L5L7L9L例5-5 一个作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量为J．正以角速度?0＝10 rad·s-1匀速转动．现对物体加一恒定制动力矩 M ＝－0.5 N·m，经过时间t＝5.0 s后，物体停止了转动．物体的转动惯量J＝ ? ，物体初态的转动动能为 ? ．

0.25 kg·m2 12.5 J 例5-6 有一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀角速度?0转动，此时有一质量为m的人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 (A)

JJJ??0． (D) ?0． [ A ] ． (B) ． (C) ?00222J?mRmR?J?m?R m l O 俯视图 例5-7 质量m、长l的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的竖直光滑固定轴

O在水平面内转动(转动惯量J＝m l 2/12)．开始时棒静止，有一质量m的子弹在水平面内以速度v 0垂直射入棒端并嵌在其中． 则子弹嵌入后棒的角速度为 ? ；子弹嵌入后系统的转动动能为 ? ．

3v0 / (2l) 3mv02 / 32

?v0 m 例5-8 如图，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2，定滑轮的半径为r， 对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度． 解：作示力图．两重物加速度大小a相同，方向如图. m1g－T1＝m1a T2－m2g＝m2a

r m1 m2 ?设滑轮的角加速度为?，则 (T1－T2)r＝J? 且有 a＝r? ?m1?m2?gr

由以上四式消去T1，T2得：???m1?m2?r2?J?m1?m2?grt

开始时系统静止，故t时刻滑轮的角速度??? t??m1?m2?r2?J例5-9 质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小．

解：受力分析如图．mg－T2 = ma2 T1－mg = ma1 T2 (2r)－T1r = 9mr2? / 2

2r? = a2 r??= a1

解上述5个联立方程，得： ??T1T1 a rT2T2 am1gm2g

2r rm2mmm

??T2 a2 T1 2g 19r a1 ?P2 ?P1 例5-10 一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2．将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力． 解：受受力分析如图所示．

2mg－T1＝2ma T2－mg＝ma

m,rm??T1 a 2m ? P2 m,r2m??T2 a m ? P1

1212 T1 －T r＝mr? T r－T2 r＝mr?

22 a＝r?

解上述5个联立方程得： T＝11mg / 8

T 例5-11 一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为?的水平 桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动．另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞

O m1 ,l ?v1 m2 ?v2 ??时间极短．已知小滑块碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图．求碰撞后细棒

从开始转动到停止所需的时间.(棒绕O点的转动惯量J?m1l/3)

解：对棒和滑块系统，由于碰撞时间极短，所以棒所受的摩擦力矩<<滑块的冲力矩．

2A 俯视图

因而系统的角动量守恒: m2v1l＝－m2v2l＋m1l? ① 碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为 Mf?由角动量定理

132?l0??gm11x?dx???m1gl ② l2?M0tfdt?0?1m1l2? ③

3v1?v2

?m1g由①、②和③解得 t?2m2例5-12 一轻绳绕过一轴光滑的定滑轮，滑轮半径为R，质量为M/4，均匀分布 在其边缘上．绳子的A端有一质量M的人抓住了绳端，而在另一端B系了一质量M/2的重物，如图．设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J＝MR2/4 ) A 解：受力分析如图所示． 设重物的对地加速度为a，向上.则绳的A端对地有加

O B 速度a向下，人相对于绳虽为匀速向上，但相对于地其加速度仍为a向下.

根据牛顿第二定律可得：对人：Mg－T2＝Ma ①

11对重物：T1－Mg＝Ma ②

22 根据转动定律，对滑轮有 (T2－T1)R＝J?＝MR2? / 4 ③

因绳与滑轮无相对滑动， a＝?R ④ ①、②、③、④四式联立解得 a＝2g / 7

??T2 a Mg O T 1B a 12Mg 【练习题】

5-1 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t＝0时角速度为??0．此后飞轮经历制动过程．阻力矩M的大小与角速度??的平方成正比，比例系数为k (k>0常量)．当?=?0/3时，飞轮的角加速度??＝ ? ．从开始制动到?=?0/3所经过的时间t＝ ? ．

2k?0? 2J

k?09J5-2 质量为m的小孩站在半径为R的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v的速率在台边

缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为

22mRmRv?v?，逆时针． ?? (A) ??????，顺时针． (B) ??J?R?J?R?22mRvmR???v?，逆时针． [ A ] (C) ??，顺时针． (D) ??????J?mR2?R?J?mR2?R? l 5-3 一长为l，质量可以忽略的直杆，绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面

内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量m的小球，如图．将杆由水平

位置无初转速地释放．杆刚释放时的角加速度为 ? ， 杆与水平方向夹角为60°时的角加速度为 ? ．

g / l g / (2l)

*5-4 如图所示，一轻绳绕于半径为r的飞轮边缘，并以质量为m的物体挂在绳 端，飞

轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量为J。若不计摩擦，飞轮的角加速度??＝_______________。

m mgr 2J?mrm 习题5-4图 5-5 一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统

(A) 动量守恒． (B) 机械能守恒． (C) 对转轴的角动量守恒． (D) 动量、机械能和角动量都守恒． [ C ] 5-6 如图，一匀质木球固结在一细棒下端，可绕水平光滑固定轴O转动．今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的 ? 守恒，木球被击中后棒和球升高的过程中，木球、子弹、细棒、地球系统的 ? 守恒．

对O轴的角动量 机械能

*5-7 一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动。

抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放。已知棒对

O 12轴的转动惯量为ml，其中m和l分别为棒的质量和长度。求：

3 (1) 放手时棒的角加速度；

l O mg 60°习题5-6图 (2) 棒转到水平位置时的角加速度．

解：设棒的质量为m，当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转动定律

M = J? 其中 M? 于是 ??1mglsin30??mgl/4 2M3g??7.35 rad/2s J4l1M3g??14.7 rad/s2 当棒转动到水平位置时， M =mgl ??2J2l5-8 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以

忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为MR/2，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．

m2 R M解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程

对物体： mg－T ＝ma ① 对滑轮：TR = J? ② 运动学关系： a＝R? ③ 将①、②、③式联立得 a＝mg / (m＋

R ?T

1M) M T21∵ v0＝0， ∴ v＝at＝mgt / (m＋M)

2 amg

5-9 一个有竖直光滑固定轴的水平转台．人站立在转台上，身体的中心轴线与转台竖直轴线重合，两臂伸开各举着一个哑铃．当转台转动时，此人把两哑铃水平地收缩到胸前．在这一收缩过程中，(1) 转台、人与哑铃以及地球组成的系统机械能守恒否？为什么？(2) 转台、人与哑铃组成的系统角动量守恒否？为什么？ 答：(1) 转台、人、哑铃、地球系统的机械能不守恒．

因人收回二臂时要作功，即非保守内力的功不为零，不满足守恒条件． (2) 转台、人、哑铃系统的角动量守恒． 因系统受的对竖直轴的外力矩为零．

5-10 质量为M1＝24 kg的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于 轮上，另一端通过质量为M2＝5 kg的圆盘形定滑轮悬有m＝10 kg的物体．求当重物由静止开始下降了h＝0.5 m时，(1) 物体的速度； (2) 绳中张力．(设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮的转动惯量分别

11为：J1?M1R2，J2?M2r2)

22解：各物体的受力情况如图所示．由转动定律、牛顿第二定律及运动学方程，

可出以下联立方程： T1R＝J1?1＝

M2 R M1 r m

11M1R2?1 T2r－T1r＝J2?2＝M1r2?2 22 N1 M1 T1 T1 M2 M2g N2 T2 m a mg－T2＝ma , a＝R?1＝r?2 , v 2＝2ah

求解联立方程，得 a?mg1?M1?M2??m2?4 m/s2

M1g ?1 ?2 T2 mg v?12ah=2 m/s T2＝m(g－a)＝58 N T1＝M1a＝48 N

2R B A 5-11 物体A和B叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相连接， 如图．用大小为F的水平力拉A．设A、B和滑轮的质量都为m，滑轮的半径为R，对轴的转动惯量J＝mR2/2．AB之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长．已知F＝10N，m＝8.0 kg，R＝0.050m．求：(1) 滑轮的角加速度；(2) 物体A与滑轮之间的绳中的张力．

?F解：各物体受力情况如图．F－T＝ma T?＝ma (T?T?)R＝

a T ?? ’ T ’ B a A F 1mR2? 2 T T a＝R?

解得：??＝2F / (5mR)＝10 rad·s-2 T＝3F / 5＝6.0 N

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