四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试数学(文)试题

资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试

数 学（文史财经类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共

50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回． 参考公式：

球的表面积公式 S 4 R2（其中R表示球的半径），

球的体积公式 V R3（其中R表示球的半径）．

34

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={3，5}，则ðU(A B)

（A）{1，2，4，5}

1

（B）{1，5} （C）{2，4} （D）{2，5}

2．函数f(x) x2 1的图象大致是

3．下列命题为真命题的是

（A）若p q为真命题，则p q为真命题

（B）“x 5”是“x2 4x 5 0”的充分不必要条件

（C）命题“若x 1，则x2 2x 3 0”的否命题为：“若x 1，则x2 2x 3 0” （D）命题p： x R，x2 x 1 0，则 p： x R，x2 x 1 0 4．已知直线l，m和平面α， 则下列命题正确的是 （A）若l∥m，m α，则l∥α （B）若l∥α，m α，则l∥m （C）若l⊥α，m α，则l⊥m （D）若l⊥m，l⊥α，则m∥α 5．以抛物线y2 4x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 （A）(x 2)2 y2 4 （C）(x 2)2 y2 2

（B）(x 1)2 y2 4 （D）(x 1)2 y2 2

6．式子log2(log216) 83 () 5

2

2

1

（A）4 （B）6 （C）8 （D）10

7. 实数x，y

x 0,

满足不等式组 y 0,则x y的最大值为

2x y 2,

（A）2 （B）1 （C）

12

（D）0

8．下列不等式成立的是 （A）sin( （B）sin

3 10

) sin(

5

)

18109

（C）tan() tan()

867 23

（D）cos( ) cos( )

45

sin

9．执行右图所示的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为

（A）4 （C）7

（B）5 （D）9

（C）当x [2,4]时，函数f(x)的图象与x轴围成的面积为2 （D）存在实数x0，使得不等式x0f(x0) 6成立

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

注意事项：

1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．

2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．

11．已知i是虚数单位，x，y∈R，若x 3i (8x y)i，则x y ________．

12．双曲线

y

2

64

x

2

16

1上一点P到它的一个焦点的距离等于1，

那么点P到另一个焦点的距离等于 ．

13．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为 . 14．观察以下各等式：

sin30 cos60 sin30cos60 sin20 cos50 sin20cos50 sin15 cos45 sin15cos45

2

2

2

2

2

2

343434

， ， ．

试写出能反映上述各等式一般规律的一个等式 ． 15．如图，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①OA 2OB；②OA OB；③OA OB；④

2343

3132

OA OB；⑤OA BA OB．其中终点落在阴影区域内的向4543

1 1 3 1

量的序号是_____________（写出满足条件的所有向量的序号）．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C

的对边，且 2csinA 0． （Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ

）若c △ABC

，求a＋b的值.

17．（本小题满分12分）某部门对当地城乡居民

进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，根

据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值

（百分制）．现从收到的调查表中随机抽取20份进行

统计，得到右图所示的频率分布表：

（Ⅰ）请完成题目中的频率分布表，并补全题目

中的频率分布直方图；

（Ⅱ）该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加 “幸福愿景”的座谈会．在题中抽样统计的这20人中，已知幸福指数评分值在区间（80，100]的5人中有2人被邀请参加座谈，求其中幸福指数评分值在区间(80，90]的仅有1人被邀请的概率．

18．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC=90 ，AA1

E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；

（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1:31，若存在，指出点G的位置；若不存

14AB.

平面ABC，D、

在，请说明理由. 19．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1 2，2an 1 3Sn 3n 4（n N*）． （Ⅰ）求证：数列{an 1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn an n2，若b2n 1 b2n恒成立，求实数λ的取值范围．

20．（本小题满分13分）已知椭圆C：

xa

22

yb

22

1(a b 0)经过(1,1)

与两点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA| |MB|．求证：

1|OA|

2

1|OB|

2

2|OM|

2

为定值．

21．（本小题满分14分）设函数f(x) x3 x2 3． （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）若函数y f(x) m在[ 1,2]上有三个零点，求实数m的取值范围； （Ⅲ）设函数g(x) 数a的取值范围．

a

1

xlnx，如果对任意的x1,x2 [,2]，都有f(x1) g(x2)成立，求实x2

资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试

数学（文史财经类）参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．

1－5. CABCB；6－10.DADCC.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．

11．3； 12．17； 13．24 12 ；14．sin2 cos2( 30 ) sin cos( 30 )

34

；

15．①③．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．解析 （Ⅰ

2csinA 0及正弦定理，

A 2sinCsinA 0（sinA 0），

∴sinC ∴C

3

，∵△ABC是锐角三角形，

． ············································································································ 6分

3

（Ⅱ）

∵c C

，∴△ABC

的面积S ABC

12

absin

3

∴ ···························································································· 8分 ab 6． ①由余弦定理，a2 b2 2abcos

3 7，

即a2 b2 ab 7．② ··························································································· 10分 由①×3＋②，得(a b)2 25，故a b 5．···························································· 12分

····················································· 3分 频率分布直方图：

··························································································································· 3分 （Ⅱ）记幸福指数评分值在（80，90]的3人分别是A1，A2，A3，（90，100]的2人分别是B1，B2，则全部基本事件有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）（A3，B1），（A3，B2），（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2）共10个，

其中幸福指数评分值在(80，90]区间有1人被邀请的基本事件有6个． 故幸福指数评分值在(80，90]区间仅有1人被邀请的概率

P

610

35

．··············································································································· 12分

14AB

18．（Ⅰ）证明：取AB的中点M， AF，

F

为AM的中点，又 E为AA1的中点，∴EF//A1M，

在三棱柱ABC A1B1C1中，D,M分别为A1B1,AB的中点，

A1D//BM

，且A1D BM，

则四边形A1DBM为平行四边形， A1M//BD，

EF//BD，又 BD 平面BC1D，EF 平面BC1D，

··························································································· 6 EF//平面BC1D． ·

分

（Ⅱ）设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰31，则VE AFG:VABC ABC 1:32．

111

1

VE AFGVABC A1B1C1

1

1AF AG AE

AB AC A1A

2

111AG1AG

，

342AC24AC1AG1AG3

，即··································· 12分 ，所以符合要求的点G存在．·

24AC32AC4

19．解析 （Ⅰ）由2an 1 3Sn 3n 4，得2an 3Sn 1 3n 1（n 2）， 两式相减得2an 1 2an 3(Sn Sn 1) 3，即2an 1 an 3， ·································· 2分 ∴an 1 an

21

32

，则an 1 1 (an 1)（n 2）， ············································ 4分

2

1

1

1 ， 由a1 2，又2a2 3S1 7，得a2 ，则

a1 12 122

1

1

a2 1

故数列{an 1}是以a1 1 1为首项， 为公比的等比数列．

2

n 1

则an 1 (a1 1) ( )n 1 ( )n 1，∴······································· 6分 an ( ) 1， ·

1

111

222

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn [( )n 1 1] n2 ( )n 1 n2，

2

2

11

由题意得b2n 1 b2n，则有 ( )2n 2 (2n 1)2 ( )2n 1 (2n)2，

2

2

11

即 ( )

2

1

2n 2

[1 ( )] (2n 1) (2n)

2

n

*

1

22

，∴

(4n 1) 4

6

n

n

， ······························· 10分

(4 1) 4

6

2，

而

(4n 1) 4

6

对于n N时单调递减，则

(4n 1) 4

6

的最大值为

故 2．·········································································································· 12分 20．解析（Ⅰ）将(1,1)

与代入椭圆C的方程，

1 1

1, 3 a2b2

得 解得a2 3，b2

2 3 3 1,

22

4b 2a

．

∴椭圆C的方程为

x

2

3

2y3

2

········································································· 6分 1． ·

（Ⅱ）由|MA| |MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．

①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时

1|OA|

2

1|OB|

2

2|OM|

2

1b

2

1b

2

2a

2

2(

1a

2

1b

2

) 2．

同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时

1|OA|

2

1|OB|

2

2|OM|

2

1a

2

1a

2

2b

2

2(

1a

2

1b

2

) 2．

②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y kx（k 0）， 则直线OM的方程为y x，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

k1

y kx,2

3k3 2222由 x解得x1 ，y1 ， 2y22

1 2k1 2k 1,

3 3

∴|OA| |OB| x y

2

2

2

1

21

3(1 k)1 2k

2

2

2

，同理|OM|

2

22

3(1 k)2 k

2

2

，

2

所以故

1|OA|1

2

2

1|OB|1

2

2

2|OM|2

2

1 2k

3(1 k)

1 2k

22

2(2 k)3(1 k)

2

3(1 k)

2，

|OA|

|OB|

|OM|

为定值2． ································································· 13分

21．解析 （Ⅰ）f (x) 3x2 2x x(3x 2)， 由f (x) 0时，解得x 0或x

23

；由f (x) 0时，解得0 x

23

23

．

23

故函数f(x)的单调递增区间是( ,0)，(, )；单调递减区间是(0,)． ·········· 4分（Ⅱ）令h(x) f(x) m，则h(x) x x 3 m，∴h (x) 3x 2x x(3x 2)，

3

2

2

由（Ⅰ）知，当函数h(x)在( ,0)上单调递增，在(0,)上单调递减，在(, )上单调递

3

3

22

增．

函数h(x)在x 0处取得极大值h(0) 3 m，在x 由函数y f(x) m在[ 1,2]上有三个零点，则有：

h( 1) 0, 5 m 0,

h(0) 0, 3 m 0, 85

即 85解得 m 3， 2

h() 0, m 0,27 327 h(2) 0, 1 m 0,

23

处取得极小值h()

3

28527

m，

故实数a的取值范围是(

8527

····································································· 9, 3)．·

1223

23

分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，函数f(x)在(,)上单调递减，在(,2)上单调递增，

而f()

2

1258

，f(2) 1，

1

故函数f(x)在区间[,2]上的最大值f(x)max f(2) 1．

2

∴只需当x [,2]时，g(x)

2

1ax

xlnx 1恒成立即可，即等价于a x xlnx

2恒成立，

所以，记u(x) x x2lnx，所以a u(x)max，u (x) 1 x 2xlnx，可知u (1) 0，

当x (,1)时，1 x 0，2xlnx 0，则u (x) 0，∴u(x)在(,1)上单调递增；

22

当x (1,2)时，1 x 0，2xlnx 0，则u (x) 0，∴u(x)在(1,2)上单调递减；

1

1

故当x 1时，函数u(x)在区间[,1]上取得最大值h(1) 1，

2

1

所以a 1，故实数a的取值范围是[1, )． ························································ 14分

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