离散数学试卷及答案(13)

离散数学试卷（十三）

一、 填空 10% （每小题 2分）

1、Z??{x|x?Z?x?0}，*表示求两数的最小公倍数的运算（Z表示整数集合），对于*运算

的幺元是 ，零元是 。 2、代数系统中，|A|>1，如果e和?分别为的幺元和零元，

则e和?的关系为 。

3、设是一个群，是阿贝尔群的充要条件是 。

4、图的完全关联矩阵为 。

5、一个图是平面图的充要条件是 。

二、 选择 10% （每小题 2分）

1、 下面各集合都是N的子集，（ ）集合在普通加法运算下是封闭的。 A、{x | x 的幂可以被16整除}； B、{x | x 与5互质}； C、{x | x是30的因子}； D、{x | x是30的倍数}。

2、 设G1??{0,1,2},??，G2??{0,1},*?，其中?表示模3加法，*表示模2乘法，则积代

数G1?G2的幺元是（ ）。

A、<0,0>； B、<0,1>； C、<1,0>； D、<1,1> 。

3、 设集合S={1,2,3,6}，“≤”为整除关系，则代数系统< S , ≤ >是（ ）。

A、域； B、格，但不是布尔代数； C、布尔代数； D、不是代数系统。 4、 设n阶图G有m条边，每个结点度数不是k就是k+1，若G中有Nk个k度结点，

则Nk=（ ）。

A、n·k； B、n(k+1)； C、n(k+1)-m； D、n(k+1)-2m 。 5、 一棵树有7片树叶，3个3度结点，其余全是4度结点，

则该树有（ ）个4度结点。

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离散数学试卷（十三）

A、1； B、2； C、3； D、4 。

三、判断10% （每小题 2分）

1、（ ）设S={1,2}，则S在普通加法和乘法运算下都不封闭。

2、（ ）在布尔格中，对A中任意原子a，和另一非零元b，在a?b或a?b中有且

仅有一个成立。

3、（ ）设S?{x|x?Z?x?0}?N，+,·为普通加法和乘法，则是域。 4、（ ）一条回路和任何一棵生成树至少有一条公共边。

5、（ ）没T是一棵m叉树，它有t片树叶，i个分枝点，则(m-1)i = t-1。

四、证明 38%

1、（8分）对代数系统，*是A上二元运算，e为A中幺元，如果*是可结合的且每个元素都有右逆元，则（1）中的每个元素在右逆元必定也是左逆元。

（2）每个元素的逆元是唯一的。

2、（12分）设?A ,? ,?,??是一个布尔代数，如果在A上定义二元运算☆，为

a☆b?(a?b)?(a?b)，则是一阿贝尔群。

3、（10分）证明任一环的同态象也是一环。 4、（8分）若G??V,E?图，则e?(V?v,E?e)是每一个面至少由k(k≥3)条边围成的连通平面

k(v?2) 。

k?2五、应用 32%

1、 （8分）某年级共有9门选修课程，期末考

试前必须提前将这9门课程考完，每人每天只在下午考一门课，若以课程表示结点，有一人同时选两门课程，则这两点间有边（其图如右），问至少需几天？

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离散数学试卷（十三）

2、 用washall方法求图的可达矩阵，并判断图的连通性。（8分）

3、 设有a、b、c、d、e、f、g七个人，他们分别会讲的语言如下：a：英，b：汉、英，c：英、

西班牙、俄，d：日、汉，e：德、西班牙，f：法、日、俄，g：法、德，能否将这七个人的座位安排在圆桌旁，使得每个人均能与他旁边的人交谈？（8分）

4、 用 Huffman算法求出带权为2，3，5，7，8，9的最优二叉树T，并求W（T）。

若传递a ，b， c， d ，e， f 的频率分别为2%， 3% ，5 %， 7% ，8% ，9%求传输它的最佳前缀码。（8分）

一、 填空 10%（每小题2分）

1、1， 不存在；2、e??；3、?a,b?G有(a*b)*(a*b)?(a*a)*(b*b)； 4、

e1 1 -1 0 0 e2 1 0 -1 0 e3 1 0 0 -1 e4 0 0 1 -1 e5 0 1 -1 0 v1 v2 v3 v4

5、它不包含与K3, 3或K5在2度结点内同构的子图。

二、 选择 10%（每小题 2分）

题目 答案

三、 判断 10%

题目 答案

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1 A，D 2 B 3 C 4 D 5 A 1 Y 2 Y 3 N 4 N 5 N 离散数学试卷（十三）

四、 证明 38% 1、（8分）证明：

（1）设a,b,c?A，b是a的右逆元，c是b的右逆元，由于b*(a*b)?b*e?b，

e?b*c?b*(a*b)*c?(b*a)*(b*c)?(b*a)*e?b*a

所以b是a的左逆元。

（2）设元素a有两个逆元b、c，那么

b?b*e?b*(a*c)?(b*a)*c?e*c?c

a的逆元是唯一的。 2、（12分）证明：

[乘]??，?，?在A上封闭， ? 运算☆在A上也封闭。 [群] ?a,b,c?A

(a☆b)☆c?((a?b)?(a?b))☆c?(((a?b)?(a?b))?c)?((a?b)?(a?b)?c)?(a?b?c)?(a?b?c)?((a?b)?(a?b)?c)?(a?b?c)?(a?b?c)?(((a?b)?(a?b))?c)?(a?b?c)?(a?b?c)?(a?b?c)?(a?b?c)同理可得:a☆(b☆c)?(a?b?c)?(a?b?c)?(a?b?c)?(a?b?c)

?(a☆b)☆c?a☆(b☆c) 即☆满足结合性。

[幺] ?a?A,a☆0?0☆a?(0?a)?(0?a)?0?(1?a)?0?a?a 故全下界0是A中关于运算☆的幺元。

[逆] ?a?A,(a☆a)?(a?a)?(a?a)?0?0?0 即A中的每一个元素以其自身为逆元。

[交] a☆b?(a?b)?(a?b)?(b?a)?(b?a)?b☆a 即运算☆具有可交换性。 所以是Abel群。 3、(10分) 证明:

设?A,?,??是一环,且?f(A),?,??是关于同态映射f的同态象。

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离散数学试卷（十三）

由?A,??是Abel群，易证?f(A),??也是Abel群。

?A,??是半群，易证?f(A),??也是半群。

现只需证：?对?是可分配的。

?b1,b2,b3?f(A),则必有相应的a1,a2,a3使得:f(ai)?bi,i?1,2,3 于是

b1?(b2?b3)?f(a1)?(f(a2)?f(a3))?f(a1)?(f(a2?a3))?f(a1?(a2?a3))?f((a1?a2)?(a1?a3))?f(a1?a2)?f(a1?a3)?(f(a

1)?f(a2))?(f(a1)?f(a3))?(b1?b2)?(b1?b3)同理可证(b2?b3)?b1?(b2?b1)?(b3?b1) 因此?f(A),?,??也是环。 5、（8分）证明：

设G有r个面，

r??deg(ri)?2e,而deg(ri)?k(1?i?r)?2e?kr即ri?1而v?e?r?2,故v?e?2rk(v?2k?2即e??)k?2 。 五、 应用32% 1、（8分）

解：?(G)即为最少考试天数。

用Welch-Powell方法对G着色：v9v3v7v1v2v4v5v8v6 第一种颜色的点 v9v1v4v6，剩余点v3v7v2v5v8 第二种颜色的点 v3v7v5，剩余点v2v8 第三种颜色的点 v2v8 所以?(G)≤3

任v2v3v9构成一圈，所以?(G)≥3 故?(G)=3

所以三天下午即可考完全部九门课程。

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?2ek

离散数学试卷（十三）

2、（8分）

??0011?解：A(G)??1010????0001? ??0100???

??0011??011?i? 1：A[2，1]=1，A??1011?011????0??0001?； i?2： A[4，2]=1，A??1001???0100??0?????1111?????0011?i?3： A[1，3]=A[2，3]=A[4，3]=1，A??1011????0001? ??1111?????1111?i?4： A[k，4]=1，k=1，2，3，4，A??1111????1111? ??1111???p中的各元素全为1，所以G是强连通图，当然是单向连弱连通。 3、（8分）

解：用a,b,c,d,e,f,g 7个结点表示7个人，若两人能交谈可用一向边连结，所得无向图为

此图中的Hamilton回路即是圆桌安排座位的顺序。 Hamilton回路为a b d f g e c a。 4、（8分） 解：(1)

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通和

条无

离散数学试卷（十三）

W(T)?2?4?3?4?5?3?9?2?7?2?8?2?83

（1） 用0000传输a、0001传输b、001传输c、01传输f、10传输d、11传输e 传输它们的最优前缀码为{0000，0001，001，01，10，11} 。

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