2013深圳一模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】

绝密★启用前 试卷类型：A

2013年深圳市高三年级第一次调研考试

数学（文科） 2013.2

本试卷共 6 页，21小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．

注意事项：

1 ．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2 ．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

3 ．非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4 ．作答选做题时，请先用 2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效． 5 ．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式： 若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为v 若球的半径为 R ，则球的表面积为S 4 R，体积为V

n

1

sh. 3

2

43 R. 3

i

a， 其中:b bx回归直线的方程是 ： y

(x x)(y y)

i

i 1

(x x)

i

i 1

n

,a y bx.

2

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1. 已知i为虚数单位，则(1 i) （ ）

A．2i B. －2i C. 2 D. －2

2. 已知集合A {x R|x }，B {1,2,3,4}，则 CRA B （ ） A．{1，2，3，4} B. {2，3，4} C. {3，4} D. {4} 3. 下列函数中，最小正周期为A．y tan

2

72

的是（ ） 2

xx

B. y sin2x C. y cos D. y cos4x 24

4. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x) log3(1 x)，则f( 2) （ ） A．－1 B. －3 C. 1 D. 3

5. 下列命题为真命题的是（ ）

A．若p q为真命题，则p q为真命题 B. “x 5”是“x 4x 5 0”的充分不必要条件。

C. 命题“若x 1，则x 2x 3 0”的否命题为：“若x 1，则x 2x 3 0”

2

2

2

D. 已知命题p： x R，使得x x 1 0，则 p： x R，使得x x 1 0 6. 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）

22

7. 某容量为180的样本的频率分布直方图共有n（n 1）个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余n 1个小 矩形面积之和的

1

，则第一个小矩形对应的频数是（ ） 5

A．20 B. 25 C. 30 D. 35

8. 等差数列 an 中，已知a5 0，a4 a7 0，则{an}的前n项和Sn的最大值为（ ） A．S7 B. S6 C. S5 D. S4

x2y2

9. 已知抛物线y 2px（p 0）与双曲线2 2 1 a 0,b 0 的一条渐近线交于一点M(1,m)，点M

ab

2

到抛物线的焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于（ ） A．3 B. 4 C.

11

D. 34

10. 已知x 0，y 0，且4xy x 2y 4，则xy的最小值为（ ）

A．

2

B. 22 C. 2

2 D. 2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。本大题分必做题和选做题两部分。 （一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答。 11．运行如图所示的程序框图，输出的结果是。

x y 2 0

y

12．已知变量x，y满足约束条件 x 1,，则的

x 2x y 8 0

取值范围是 。

13．在平面直角坐标系xoy中，定点A(4，3）且动点B(m,0）在

x轴的正半轴上移动，则

m

的最大值为 。 |AB|

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题都答的，只计算第一题的得分。

x 1 t

14．在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为 （参数t R），若以O为极点，x轴的正

y 4 2t

半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为 4sin ，则直线l被曲线C所截得的弦长为 。

15．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，直线PB交⊙O于B、D两点，交弦AC

于E点，且AC 4，EC 3，BE 6，PE 6，则AP 。

三、解答题：本大题6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

M(sin ,1)，N(1, 2cos )16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，（ R），且

（1）求点M，N的坐标；

22

3

。 2

（2）若 , 的顶点都为坐标原点且始边都与x轴非负半轴重合，终边分别经过点M，N，求tan( )的值。 17．（本小题满分12

（1）要从5学生中选

2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率； （2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程y bx a

18．（本小题满分14分）如图甲，⊙O的直径AB 2。圆上两点C，D在直径的两侧，使 CAB

4

，

DAB

3

。沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点。

根据图乙解答下列各题：

（1）求三棱锥C BOD的体积； （2）求证：CB DE；

上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由。 （3）在BD

Sn为数列{an}的前n项和。19.（本题满分14分）设{an}是公比大于1的等比数列，已知S3 7，且3a2是a1 1

和a3 4的等差中项。 （1）求数列 an 的通项公式； （2）设bn

20.（本题满分14分）已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴，离心率为（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，椭圆C的长轴为AB，设P是椭圆上异于A、B的任意点，PH x轴，H为垂足，点Q满足

an1

，数列 bn 的前n项和为Tn，求证：Tn

(an 1)(an 1 1)2

3，且点（1，）在该椭圆上。 22

PQ HP，直线AQ与过点B且垂直于x轴的直线交于点M，BM 4BN，求证： OQN为锐角。

21.（本题满分14分）已知函数f(x) a x xlna b（a,b R,a 1），e是自然对数的底数。 （1）试判断函数f(x)在区间(0, )上的单调性；

（2）当a e，b 4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间（k,k 1）上存在零点； （3）若存在x1，x2 [－1，1]，使得|f(x1) f(x2)| e 1，求a的取值范围。

x

2

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）

参考答案

12．

13．

14．

15．

二、填空题： 11．

三、解答题：本大题6小题，满分

80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：(1)

解得

，

所以

，

（2）由（1）可知

，

…………….10分

….6分

…….2分

，

…………….12分

【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力．

17．（本小题满分12分）解：（1）从名学生中任取名学生的所有情况为:

、

、

、

、

、、

、、

共种情、

、

、

、

况.………3分 、

、

、

其中至少有一人物理成绩高于

共种情况，

分的情况有：

故上述抽取的人中选人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于分的概率.………5分

（2）散点图如右所示. ……………………………………………6分

可求得：

==，

==， …………………8分

==40，

=0.75，

， …………………11分

故关于的线性回归方程是：. …………12分

【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识． 18．（本小题满分14分）

解:（1）为圆周上一点，且

为直径，

∵为中点，，与平面

平面

.

互相垂直且其交线为， .∴就是点到平面

，

∵两个半圆所在平面

∴平面，在

中，

的距离，

. ………………………………………4分

（2）在

中，为正三角形，又为的中点，，

∵两个半圆所在平面与平面互相垂直且其交线为，

. ∴. ………………9分 平面（3）存在，∴分别为

为∴

的中点，

的中点.证明如下：连接

，

平面，

，平面

，∴平面，

∴，

平面

，∵

平面，

为⊙

的直径， .在

中， ∴

平面

.………………………………………14分 平面，又平面，平面

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．

19．（本题满分14分）解：（1）由已知，得…………………3分

解得．设数列的公比为，则∴，．由，可知 ，

∴，解得．由题意，得．………………5分

∴．故数列的通项为．…………………………………………7分

(2)

∵， …………11分

∴

.……………………………………………14分

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力

和思维能力．

20．（本题满分14分） 解：（1）设椭圆C的方程为

，由题意可得

,

又，∴. …………………2分

∵椭圆C经过，代入椭圆方程有

，解得. 5分

∴，故椭圆C的方程为

. ………6分

（2

）设， …………7分

∵，∵，∴，∴直线的方程为． ………………9分

令，得．∵，，∴．

∴，．

∴

∵，∴∴ …………12分

∵∴

，∴．又、、不在同一条直线，

为锐角. …………………………………………………14分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．

21．（本小题满分14分） 解：（1）由于故函数（2）当同理，

时，

是

，

，故当在

时，

…………………………1分 ，所以

，…………2分

上单调递增 . …………………………………………3分

，

，故

是

，

， ……………………4分

上的增函数；

上的减函数. …………………………………5分

，当

，

，

故当时，函数的零点在内，满足条件；

，当，，

故当时，函数

或

的零点在内，满足条件.

综上所述

（3）所以当

. ………………………………………7分

， 因为存在

，使得

，

，

…………………………8分

时，

①当②当③当∴当

时，由时，由时，

时，

，可知，可知

.∴

在

，，

，∴，∴

； ；

上递增，…………………………………11分

，

上递减，在

而，

设，因为（当时取等号），

∴在上单调递增，而，∴当时，，

∴当时，，∴，∴，∴

，即

，设，则.

∴函数在上为增函数，∴

.即

的取值范围是

……………14分

【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.

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