最新6年高考4年模拟分类汇编24第十六章 系列4

1 系列4

第一部分 六年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.（2010湖南文）4. 极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t

?=--?=+?（t 为参数）所表示的图形分

别是

A. 直线、直线

B. 直线、圆

C. 圆、圆

D. 圆、直线

【答案】 D

2.（2010重庆理）（3）2241lim 42x x x →??-

?--??= A. —1 B. —

14 C. 14 D. 1 【答案】 B 解析：2241lim 42x x x →??- ?--??=412

1)2)(4(2(lim lim 222-=+-=+--→→x x x x x x 3.（2010北京理）（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是

（A ）两个圆 （B ）两条直线

（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线

【答案】C

4.（2010湖南理）5、4

21dx x

?等于 A 、2ln 2- B 、2ln 2 C 、ln 2- D 、ln 2

2

5.（2010湖南理）3、极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t =--??

=+?

（t 为参数）所表示的图形分别是

A 、圆、直线

B 、直线、圆

C 、圆、圆 D

、直线、直线

6.（2010安徽理）7、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ

=+??=-+?（θ为参数），直线l 的方程

为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 距离为71010

的点的个数为 A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 【答案】B 【解析】化曲线C 的参数方程为普通方程：22

(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320x y -+=的距离|23(1)2|71031010

d -?-+==<，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又71071031010

>-，在直线l 的另外一侧没有圆上的点

3 符合要求，所以选B.

【方法总结】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C 上到直线l 距离为71010，然后再判断知71071031010

>-，进而得出结论. 二、填空题

1.（2010上海文）3.行列式cos

sin

66sin

cos 66ππππ的值是 。

【答案】 0.5 解析：考查行列式运算法则cos

sin

66sin cos 66πππ

π=2

13cos 6πsin 6πsin 6πcos 6πcos ==-π 2.（2010陕西文）15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题）不等式21x -<3的解集为. 。 【答案】{}12x x -<< 解析：213123312<<-?<-<-?<-x x x

B.（几何证明选做题）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm. 【答案】165

解析：AB CD ⊥ ,由直角三角形射影定理可得 516BD 5,BA 4,BC ,2=

==?=所以又BA BD BC C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程cos ,1sin x y αα=??=+?

（α为参数）化成普通方程为

4 【答案】x 2＋（y －1）2＝1.

解析：1sin cos )1(2222=+=-+ααy x

3.（2010北京理）（12）如图，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点

A 。若BD ⊥AE ，A

B ＝4, B

C ＝2, A

D ＝3,则D

E ＝ ；CE

＝ 。

【答案】 5 27

4.（2010天津文）（11）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。若PB=1，PD=3，则

BC AD 的值为 。 【答案】13

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性

质，属于容易题。

因为A,B,C,D 四点共圆，所以,DAB PCB CDA PBC ∠=∠∠=∠,因为P ∠为公共角，所以 ⊿PBC ∽⊿PAB,所以=BC PB AD PD =13

【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。

5.（2010天津理）（14）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB 1PC 1=,=PA 2PD 3,则BC AD

的值为 。 【答案】66

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角

形的性质，属于中等题。

因为A,B,C,D 四点共圆，所以,DAB PCB CDA PBC ∠=∠∠=∠,因为P ∠为公共角，所以 ⊿PBC ∽⊿PAB,所以PB PC BC PD PA AD ==.设OB=x ，PC=y ，则有6322

x y y x y x =?=，所以636

BC x AD y ==

5 【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。

6.（2010天津理）（13）已知圆C 的圆心是直线1,(1x t y t

=??=+?为参数）与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，则圆C 的方程为

【答案】22(1)2x y ++=

本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。 令y=0得t=-1，所以直线1x t y t =??=+?

与x 轴的交点为（-1.0） 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|103|22r -++=

=，所以圆C 的方程为22(1)2x y ++=

【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。

7.（2010广东理）15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______． 【答案】3(2,)4

π． 由极坐标方程与普通方程的互化式cos ,sin x y ρθρθ=??=?

知，这两条曲线的普通方程分别为222,1x y y x +==-．解得1,1.

x y =-??=?由cos ,sin x y ρθρθ=??=?得点（-1，1）的极坐标为3(2,)4π． 8.（2010广东理）14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD=

23a ，∠OAP=30°，则CP ＝______.

【答案】98

a 因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知， OP AB ⊥.

在Rt OPA ?中，3cos302

BP AP a a === .由相交线定理知， BP AP CP DP ?=?，即

332223a a CP a ?=?，所以98CP a =．

6 9.（2010广东文）15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系),(θρ)20(πθ≤≤中，曲线1)sin (cos =+θθρ与1)sin (cos =-θθρ的交点的极坐标为

.

10.（2010广东文）14.（几何证明选讲选做题）如图3，

在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB,CB AB ⊥,AB=AD=a ,CD=

2a , 点E,F 分别为线段AB,AD 的中点，则EF= 【答案】2

a 解：连结DE ，可知AED ?为直角三角形。则EF 是DEA Rt ?斜边上的中线，等于斜边的一半，为2

a . 三、解答题

1.（2010辽宁理）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，ABC ?的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E

（I ）证明：

ABE ?ADC ?

（II ）若ABC ?的面积AE AD S ?=

2

1，求BAC ∠的大小。 证明： （Ⅰ）由已知条件，可得BAE CAD ∠=∠

因为AEB ACB ∠∠与是同弧上的圆周角，所以AEB ACD ∠∠=

故△ABE∽△ADC . ……5分 （Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以

AB AD AE AC

=，即AB ·AC=AD ·AE. 又S=12AB ·ACsin BAC ∠，且S=12AD ·AE ，故AB ·ACsin BAC ∠= AD ·AE. 则sin BAC ∠=1，又BAC ∠为三角形内角，所以BAC ∠=90°. ……10分

2.（2010辽宁理）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0）， 已知P 为半圆C ：

7 O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3

π。 （I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。

解：

（Ⅰ）由已知，M 点的极角为

3π，且M 点的极径等于3π， 故点M 的极坐标为（3π，3

π）. ……5分 （Ⅱ）M 点的直角坐标为（3,66

π

π），A （0,1），故直线AM 的参数方程为 1(1)636x t y t ππ?=+-????=??

（t 为参数） ……10分 3.（2010辽宁理）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(

2222≥+++++c

b a

c b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

证明：（证法一）

因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 2222313

3()

1113()a b c abc abc a b c -++≥++≥ ① 所以2

231119()abc a b c -??++≥ ???

② ……6分 故22222233111()3()9()a b c abc abc a b c -+++++≥+. 又2

2

333()9()22763abc abc -+≥= ③

所以原不等式成立. ……8分

当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立。当且仅当22333()9()

abc abc -=时，③式等号

成立。

8 即当且仅当a=b=c=14

3时，原式等号成立。 ……10分

（证法二）

因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 222222222a b ab

b c bc c a ac

+≥+≥+≥

所以222a b c ab bc ac ++≥++ ① 同理222111111a b c ab bc ac

++≥++ ② ……6分 故2222111()a b c a b c

+++++ 1113

3363ab bc ac ab bc ac ≥+++++≥ ③

所以原不等式成立. ……8分

当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c ，222()()()3ab bc ac ===时，③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=143时，原式等号成立。 ……10分

4.（2010福建理）21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵M=11a b ?? ???

，20c N d ??= ???，且2020MN ??= ?-??， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

9 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为23,2252

x t y t ?=-????=-??（t 为参数）。在极坐标系（与

直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(3,5)， 求|PA|+|PB|。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()||f x x a =-。

（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

（1）选修4-2：矩阵与变换

【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】（Ⅰ）由题设得02200220c ad bc b d +=??+=??+=-??+=?，解得1122

a b c d =-??=-??=??=?； （Ⅱ）因为矩阵M 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线3y x =上的两（0，0），（1，3），

由001111-????= ? ?-????00?? ???，131111-????= ? ?-????22-?? ???

得：点（0，0），（1，3）在矩阵M 所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而

直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y x =-。

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。

10 【解析】（Ⅰ）由25sin ρθ=得22250,x y y +-=即22(5) 5.x y +-=

（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得2222(3)()522

t t -+=， 即23240,t t -+=由于2(32)4420?=-?=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根， 所以121232,(3,5),4

t t l P t t ?+=??=??又直线过点故由上式及t 的几何意义得： |PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t =32。

（3）选修4-5：不等式选讲

【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】（Ⅰ）由()3f x ≤得||3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，又已知不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，所以3135a a -=-??+=?

，解得2a =。 （Ⅱ）当2a =时，()|2|f x x =-，设()=()(5)g x f x f x ++，于是

()=|x-2||3|g x x ++=21,<35,3221,>2x x x x x ---??-≤≤??+?

，所以

当x<-3时，g(x)>5；当-3x 2≤≤时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。

5.（2010江苏卷）21.[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应．．．．的答题区域内作答．．．．．．．．

。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A ． 选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）

AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB

延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证

能力。

（方法一）证明：连结OD ，则：OD ⊥DC ，

又OA=OD ，DA=DC ，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ，

B O

C A D

11 ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ，

所以∠DCO=300，∠DOC=600，

所以OC=2OD ，即OB=BC=OD=OA ，所以AB=2BC 。

（方法二）证明：连结OD 、BD 。

因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB 。

因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=900。

又因为DA=DC ，所以∠DAC=∠DCA ，

于是△ADB ≌△CDO ，从而AB=CO 。

即2OB=OB+BC ，得OB=BC 。

故AB=2BC 。

B ． 选修4-2：矩阵与变换

（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k 为非零实数，矩阵M=??????100k ,N=??

????0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。

解：由题设得0010011010k k MN ??????==????????????

由00220010001022k k --??????=??????--??????

，可知A 1（0，0）、B 1（0，-2）、C 1（k ，-2）。 计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知：||212k =?=。 所以k 的值为2或-2。

C ． 选修4-4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a

的值。

12 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。 解：22cos ρρθ=，圆ρ=2cos θ的普通方程为：22222,(1)1x y x x y +=-+=，

直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为：340x y a ++=， 又圆与直线相切，所以22|3140|

1,34a ?+?+=+解得：2a =，或8a =-。

D ． 选修4-5：不等式选讲

（本小题满分10分）

设a 、b 是非负实数，求证：3322()a b ab a b +≥+。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。 （方法一）证明：332222()()()a b ab a b a a a b b b b a +-+=-+- 55()[()()]a b a b =--

2432234()[()()()()()()()()]a b a a b a b a b b =-++++

因为实数a 、b ≥0，2432234()0,[()()()()()()()()]0a b a a b a b a b b -≥++++≥ 所以上式≥0。即有3322()a b ab a b +≥+。

（方法二）证明：由a 、b 是非负实数，作差得

332222()()()

a b ab a b a a a b b b b a +-+=-+-55()[()()]a b a b =--

当a b ≥时，a b ≥，从而55()()a b ≥，得55()[()()]0a b a b --≥； 当a b <时，a b <，从而55()()a b <，得55()[()()]0a b a b --<； 所以3322()a b ab a b +≥+。

13 2009年高考题

一、填空题

1、（09广东理14）（坐标系与参数方程选做题）若直线1223x t y t

=-??=+?（t 为参数）与直线

41x ky +=垂直，则常数k = .

【解析】将1223x t y t

=-??=+?化为普通方程为3722y x =-+,斜率132k =-, 当0k ≠时,直线41x ky +=的斜率24k k =-

,由123412k k k ????=-?-=- ? ?????得6k =-; 当0k =时,直线3722

y x =-

+与直线41x =不垂直. 综上可知,6k =-.

答案 6- 2、(09广东理15) (几何证明选讲选做题)如图3，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB=4，30ACB ∠=o ，则圆O 的面积等于 .

图3

【解析】连结AO,OB,因为 30ACB ∠=o ,所以60AOB ∠=o

,AOB ?为等边三角形,故圆

O 的半径4r OA AB ===,圆O 的面积216S r ππ==. 答案 16π

3、(天津理13) 设直线1l 的参数方程为113x t y t =+??

=+?（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______

【解析】由题直线1l 的普通方程为023=--y x ，故它与与2l 的距离为

510310|24|=+。 答案 5

103

14 4、（09安徽理12）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中

取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα=+??=+? （α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=_______.

【解析】直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程22(1)(2)4x y -+-= ∴22|12|||22()1411

AB -=-=+ 答案

二、解答题

5、（09海南22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知ABC ?的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，060B ∠=，F 在AC 上， 且AE AF =。

（Ⅰ）证明：B,D,H,E 四点共圆：

（Ⅱ）证明：CE 平分DEF ∠。

解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为∠B=60°，

所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为AD ，CE 是角平分线，

所以∠HAC+∠HCA=60°，

故∠AHC=120°.

于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°，

所以B,D,H,E 四点共圆.

（Ⅱ）连结BH,则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD=30°

由（Ⅰ）知B,D,H,E 四点共圆，

所以∠CED=∠HBD=30°.

又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得E F ⊥AD ，

可得∠CEF=30°.

所以CE 平分∠DEF.

6、（09海南23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。

已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+??=+? （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,

x y θθ=??=?（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C 1上的点P 对应的参数为2

t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线 332,:2x t C y t

=+??=-+? （t 为参数）距离的最小值。 开始 1a = 21a a =+ 100?a > 输出a 结束 是 否

15 解：（Ⅰ）22

22

12:(4)(3)1,: 1.649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆.

2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）当2t π=时，3(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2

P Q M θθθθ--++故 3C 为直线35270,|4cos 3sin 13|.5x y M C d θθ--==

--到的距离 从而当43cos ,sin 55θθ==-时，85.5

d 取得最小值 7、（09海南24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 道B 距离的6倍的和.

（1）将y 表示成x 的函数；

（2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？

解

（Ⅰ）4|10|6|20|,030.y x x x =-+-≤≤

（Ⅱ）依题意，x 满足

{4|10|6|20|70,030.x x x -+-≤≤≤

解不等式组，其解集为【9，23】

所以 [9,23].x ∈8、（09江苏）A.选修4 - 1：几何证明选讲

如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD.

求证：AB ∥CD.

【解析】 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，

考查推理论证能力。满分10分。

证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、

D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB 。再由△ABC ≌△BAD 得

∠CAB=∠DBA 。因此∠DBA=∠CDB ，所以AB ∥CD 。

B. 选修4 - 2：矩阵与变换

求矩阵3221A ??=????

的逆矩阵

.

16 【解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。

解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ??????则3210,2101x y z w ??????=????????????

即323210,2201x z y w x z y w ++????=????++????故321,320,20,21,

x z y w x z y w +=+=????+=+=?? 解得：1,2,2,3x z y w =-===-，

从而A 的逆矩阵为1

1223A --??=??-??. C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的参数方程为1,13()x t t y t t ?=-????=+??

（t 为参数，0t >）.

求曲线C 的普通方程。

【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。

解 因为212,x t t =+-所以212,3y x t t +=+=

故曲线C 的普通方程为：2360x y -+=.

D. 选修4 - 5：不等式选讲

设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +.

证明：33222222

32(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-- 因为a ≥b ＞0,所以a b -≥0，2232a b -＞0，从而22(32)()a b a b --≥0，

即3332a b +≥2232a b ab +.

9、（09辽宁理22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲

已知 ?ABC 中，AB=AC, D 是 ?ABC 外接圆劣弧 AC 上

的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。

(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；

(2)若∠BAC=30，?ABC 中BC 边上的高为2+3，求?ABC 外接圆的面积。

解（Ⅰ）如图，设F 为AD 延长线上一点

∵A ，B ，C ，D

四点共圆，

17 ∴∠CDF =∠ABC

又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,

且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,

即AD 的延长线平分∠CDE.

（Ⅱ）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H,则AH ⊥BC.

连接OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750,

∴∠OCH=600.

设圆半径为r,则r+

2

3r=2+3,a 得r=2,外接圆的面积为4π。 10、（09辽宁理23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （3πθ-）

=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点。

（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；

（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。 解（Ⅰ）由得1)3

cos(=-πθρ 1)sin 2

3cos 21(=+θθρ 从而C 的直角坐标方程为

)2,332(3322)0,2(202312

321πρπ

θρθN M y x y x ，所以时，，所以时，即

=

====+=+

（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0）

N 点的直角坐标为)3

32,0( 所以P 点的直角坐标为

),6,332(),33.1(π点的极坐标为则P 所以直线OP 的极坐标方程为),(,+∞-∞∈=ρρ

πθ 11、（09辽宁理24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数()|1|||f x x x a =-+-。

18 （1）若1,a =-解不等式()3f x ≥；

（2）如果x R ?∈,()2f x ≥,求a 的取值范围。解（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x －1︳+︱x+1︳.

由f(x)≥3得

︱x －1︳+︱x+1|≥3

（ⅰ）x ≤－1时，不等式化为

1－x －1－x ≥3 即－2x ≥3

2005—2008年高考题

一、填空题

1．（2008广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方

程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ?

?=< ???

，≥≤，

19 则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．

答案 (23,)6π

2．（2008广东理）（不等式选讲选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-

+= 有实根，则a 的取值范围是 ．

答案 4

10≤≤a 3．（2008广东理）（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC

是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = ． 答案 3

二、解答题

4.（2008宁夏理）（10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，

过A 作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P .

（1）证明：OM ·OP = OA 2；

（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ，

且交圆O 于B 点.过B 点的切线

交直线ON 于K.证明：∠OKM = 90°.

（1）证明 因为MA 是圆O 的切线，所以OA AM ⊥．

又因为AP OM ⊥．在Rt OAM △中，由射影定理知，.2OP OM OA ?=

（2）证明 因为BK 是圆O 的切线，BN OK ⊥．

同（1），有OK ON OB ?=2，又OB OA =，

所以OK ON OM OP ?=?，即

ON OM OP OK

=． 又NOP MOK =∠∠，

所以ONP OMK △∽△，故90OKM OPN == ∠∠． 5.（2008宁夏理）（10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲

已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=??=?为参数，曲线C 2：222()22

x t t y t ?=-????=??为参数. （1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；

（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C .写出 1'C ，2'C 的参数方程.1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说 明你的理由.

解（1）1C 是圆，2C 是直线．

20 1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =． 2C 的普通方程为20x y -+=．

因为圆心1C 到直线20x y -+=的距离为1， 所以2C 与1C 只有一个公共点．

（2）压缩后的参数方程分别为

1C '：cos 1sin 2x y θθ=???=??，（θ为参数）； 2C '：22224

x t y t ?=-????=??，（t 为参数）． 化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '：1222y x =

+， 联立消元得2

22210x x ++=， 其判别式2(22)4210?=-??=， 所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同．

6.（2008宁夏理）（10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数|4||8|)(---=x x x f .

（1）作出函数)(x f y =的图象；

（2）解不等式2|4||8|>---x x .

解（1）44()2124848.x f x x x x ??=-+?

， ≤，， ≤，

图象如下：

21

（

2）不等式842x x --->，即()2f x >，

由2122x -+=得5x =．

由函数()f x 图象可知，原不等式的解集为(5)-∞，．

7.（2008江苏）A.选修4-1：几何证明选讲

如图所示，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线

交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D .求证：ED 2=EC ·EB .

B.选修4-2：矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2+y 2=1在矩阵A=??

??

??1002对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.

C ：选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ,y )是椭圆13

22

=+y x 上的一个动点， 求S =x +y 的最大值.

D ：选修4-5：不等式选讲

设a ,b ,c 为正实数，求证：.321113

33≥+++abc c b a A.证明: 如图所示，因为AE 是圆的切线，

又因为AD 是∠BAC 的平分线，

所以∠BAD =∠CAD .

从而∠ABC +∠BAD =∠CAE +∠CAD .

因为∠ADE =∠ABC +∠BAD ，∠DAE =∠CAE +∠CAD ，

所以∠ADE =∠DAE ，故EA =ED .

因为EA 是圆的切线，所以由切割线定理知，EA 2=EC ·EB ， 而EA =ED ，所以ED 2=EC ·EB .

B.解： 设P （x 0,y 0）是椭圆上任意一点，

点P （x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0,y ′0),则有

1 1

O x

y

2 3 4

2

4

-1 -2 -2 8 -4

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