线性代数全公式

线性代数全公式

基本运算

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A

T ?A?B??AT?BT

?cA?TT?cAT。

?? ?AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2D?a21A21?a22A22???a2nA2n

转置值不变AT?A 逆值变A?1?1 AcA?cnA

?,?1??2,???,?1,???,?2,? A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?BE?i,j?c???1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB? 结合律 ?AB?C?A?BC? ?AB??BTAT

TAB?AB

AkAl?Ak?l Ak??l?Akl

k ?AB??AkBk不一定成立！

AE?A，EA?A

A?kE??kA，?kE?A?kA

AB?E?BA?E

与数的乘法的不同之处

?AB??AkBk不一定成立！

k无交换律 因式分解障碍是交换性

一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 A2?2A?3E??A?3E??A?E? 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当AB?0时??A?0或B?0 由A?0和AB?0??B?0

由A?0时AB?AC??B?C（无左消去律）

特别的 设A可逆，则A有消去律。

左消去律：AB?AC?B?C。

右消去律：BA?CA?B?C。

如果A列满秩，则A有左消去律，即

①AB?0?B?0 ②AB?AC?B?C

可逆矩阵的性质 i）当A可逆时， AT也可逆，且?AT??1??A?1?T。 Ak也可逆，且?Ak??1??A?1?k。

数c?0，cA也可逆，?cA??1?1?cA1。 ii）A，B是两个n阶可逆矩阵?AB也可逆，且?AB??1?B?1A?1。

推论：设A，B是两个n阶矩阵，则AB?E?BA?E 命题：初等矩阵都可逆，且 ?E?i,j???1?E?i,j?

?E?i?c????1?E???i??1???c????

?? ?E?i,j?c????1?E?i,j??c??

命题：准对角矩阵

A11000A?0A220000?0可逆

?每个Aii都可000AkkA?111000A?0A?11?220000?0

000A?1kk

伴随矩阵的基本性质： AA*?A*A?AE

逆，记

当A可逆时， AA*A*， （求逆矩阵的伴随矩阵法） ?E 得A?1?AA得

：

且

?A*??1?A?A?1? A????1?A*?A?1A?1???????1A? ??A??n?1 伴随矩阵的其他性质

①A*?A, A*?AA

T?1 ②AT*??A*?, ③?cA?*?cn?1A*, ④?AB?*?B*A*,

⑤Ak*??A*?，

k???? ⑥?A*?*?An?2?a?b?A。 n?2时， ?A*?*?A A*????cd??

?? 关于矩阵右上肩记号：T，k，?1，*

i) 任何两个的次序可交换， 如AT*??A*?，

T???1T ?A*???A?1?*等

?1 ii) ?AB??BTAT, ?AB? ?AB?*?B*A*

?B?1A?1，

但?AB??BkAk不一定成立！ k

线性表示

0??1,?2,?,?s

?i??1,?2,?,?s

???1,?2,?,?s?x1?1?x2?2???xs?s??有解

???1,?2,?,?s?x??有解x??x1,?,xs??T?

Ax??有解，即?可用A的列向量组表示 AB?C??r1,r2,?,rs?，A???1,?2,?,?n?， 则r1,r2,?,rs??1,?2,?,?n。

?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s，

则存在矩阵C，使得??1,?2,?,?t????1,?2,?,?s?C

线性表示关系有传递性 当?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?r1,r2,?,rp， 则?1,?2,?,?t?r1,r2,?,rp。 等价关系：如果

?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t互相可表示

?1,?2,?,?s???1,?2,?,?t

记作?1,?2,?,?s?

线性相关

s?1，单个向量?，x??0

?1,?2,?,?t。

?相关???0

?1,?2相关?a1:b1?a2:b2???an:bn

s?2，?1,?2相关?对应分量成比例

①向量个数s=维数n，则?1,?,?n线性相（无）关??1??n????0 A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0

如果s?n，则?1,?2,?,?s一定相关

Ax?0的方程个数n?未知数个数s ②如果?1,?2,?,?s无关，则它的每一个部分组都无关

③如果?1,?2,?,?s无关，而?1,?2,?,?s,?相关，则???1,?2,?,?s

证明：设c1,?,cs,c不全为0，使得c1?1???cs?s?c??0

则其中c?0，否则c1,?,cs不全为0，与条件?1,?,?sc1?1???cs?s?0，

无关矛盾。于是???cc1?1???s?s。 cc ④当???1,?,?s时，表示方式唯一??1??s无关

（表示方式不唯一??1??s相关）

⑤若?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，则?1,?,?t一定线性相关。 证明：记A???1,?,?s?，B???1,?,?t?，

则存在s?t矩阵C，使得 B?AC。

Cx?0有s个方程，t个未知数，s?t，有非零解?，C??0。

则B??AC??0，即?也是Bx?0的非零解，从而?1,?,?t线性相关。

各性质的逆否形式

①如果?1,?2,?,?s无关，则s?n。

②如果?1,?2,?,?s有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果?1??s无关，而????1,?,?s，则?1,?,?s?无关。

⑤如果?1??t??1??s，?1??t无关，则t?s。

推论：若两个无关向量组?1??s与?1??t等价，则s?t。

极大无关组

一个线性无关部分组?I?，若#?I?等于秩?1,?2,?4,?6??I?，?I?就一定是极大无关组

①?1,?2,?,?s无关?? ??1,?2,?,?s??s

②???1,?2,?,?s? ? ??1,?2,?,?s,???? ??1,?,?s? 另一种说法： 取?1,?2,?,?s的一个极大无关组?I?

?I?也是?1,?2,?,?s,?的极大无关组??I?,?相关。 证明：???1,?,?s????I???I?,?相关。

?? ??1,?,?s?,???1??s ? ??1,?,?s,???? ??? ?,?,??1,??/?,?,?1s1s? ③?可用?1,?,?s唯一表示?? ??1,?,?s,?? ?? ??1,?,?s??s ④?1,?,?t??1,?,?s?? ??1,?,?s,?1,?,?t??? ??1,?,?s?

?? ??1,?,?t??? ??1,?,?s?

⑤?1,?,?s??1,?,?t?? ??1,?,?s??? ??1??s,?1??t??? ??1,?,?t?

矩阵的秩的简单性质 0?r?A??mi?nm,n? r?A??0?A?0 A行满秩：r?A??m A列满秩：r?A??n

n阶矩阵A满秩：r?A??n

A满秩?A的行（列）向量组线性无关 ?A?0 ?A可逆

?Ax?0只有零解，Ax??唯一解。

矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩 ①rAT?r?A?

②c?0时，r?cA??r?A? ③r?A?B??r?A??r?B? ④r?AB??min?r?A?,r?B??

⑤A可逆时，r?AB??r?B?

弱化条件：如果A列满秩，则??AB????B? 证：下面证ABx?0与Bx?0同解。 ?是ABx?0的解?AB??0

?B??0??是Bx?0的解

??B可逆时，r?AB??r?A?

⑥若AB?0，则r?A??r?B??n（A的列数，B的行数） ⑦A列满秩时r?AB??r?B? B行满秩时r?AB??r?A?

⑧r?AB??n?r?A??r?B?

解的性质

1．Ax?0的解的性质。 如果

?1,?2,?,?e是一组解，则它们的任意线性组合

c1?1?c2?2???ce?e一定也是解。

?i,A?i?0?A?c1?1?c2?2???ce?e??0 2．Ax?????0?

①如果?1,?2,?,?e是Ax??的一组解，则

c1?1?c2?2???ce?e也是Ax??的解?c1?c2???ce?1 c1?1?c2?2???ce?e是Ax?0的解?c1?c2???ce?0

A?i????i

A?c1?1?c2?2???ce?e??c1A?1?c2A?2???ceA?e ??c1?c2???ce??

特别的： 当?1,?2是Ax??的两个解时，?1??2是Ax?0的解 ②如果?0是Ax??的解，则n维向量?也是Ax??的解??的解。 解的情况判别

方程：Ax??，即x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n

???A|?????A?????1,?2,?,?n,??????1,?2,?,?n?

无解???A|?????A? 唯一解???A|?????A??n 无穷多解??0是Ax?0???A|?????A??n

方程个数m：

??A|???m,??A??m

①当??A??m时，??A|???m，有解②当m?n时，??A??n，不会是唯一解 对于齐次线性方程组Ax?0，

只有零解???A??n（即A列满秩）（有非零解???A??n）

特征值特征向量

?是A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。

两种特殊情形：

（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

?? 1? A??0?0? xE?A?*? 20*???? ? 3???*x?? 20?*????x?? 1??x?? 2??x?? 3? x?? 3x?? 100 （2）r?A??1时：A的特征值为0,0,?,0,tr?A? 特征值的性质

命题：n阶矩阵A的特征值?的重数?n?r?? E?A? 命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则 ①? 1? 2?? n?A ②? 1?? 2???? n?tr?A? 命题：设?是A的特征向量，特征值为?，即A????，则 ①对于A的每个多项式f?A?，f?A???f?x??

②当A可逆时，A???11??，A*??|A|??

命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则

①f?A?的特征值为f?? 1?,f?? 2?,?,f?? n?

②A可逆时，A?1的特征值为

111 ,,?,? 1? 2? n A*的特征值为

|A||A||A| ,,?,? 1? 2? n ③A的特征值也是? 1,? 2,?,? n 特征值的应用

①求行列式|A|?? 1,? 2,?,? n ②判别可逆性 ?是A的特征值?T? E?A?0?A?? E不可逆 A?? E可逆??不是A的特征值。

当f?A??0时，如果f?c??0，则A?cE可逆

若?是A的特征值，则f???是f?A?的特征值?f????0。 f?c??0?c不是A的特征值?AcE可逆。 n阶矩阵的相似关系

当AU?UA时，B?A，而AU?UA时，B?A。

相似关系有i）对称性：A~B?B~A U?1AU?B，则A?UBU?1

ii）有传递性：A~B，B~C，则A~C

U?1AU?B，V?1BV?C，则

?UV?A?UV??V?1U?1AUV?V?1BV?C

?1 命题 当A~B时，A和B有许多相同的性质 ①A?B

②??A????B?

③A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

A与B的特征向量的关系：?是A的属于?的特征向量?U?1?是B的属于?的特征向量。

A?????BU?1???U?1?? ? ????

U?1A???U?1??U?1AUU?1???U?1?

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

??f?x1,x2,?,xn?变为g?y1,y2,?,yn?，则它们同时正定或同时不正定

A~?B，则A，B同时正定，同时不正定。

T 例如B?CAC。如果A正定，则对每个x?0

xTBx?xTCTACx??Cx?ACx?0

T （C可逆，x?0，?Cx?0！） 我们给出关于正定的以下性质 A正定?A~?E

T ?存在实可逆矩阵C，A?CC。 ?A的正惯性指数?n。

?A的特征值全大于0。

?A的每个顺序主子式全大于0。

判断A正定的三种方法：

①顺序主子式法。②特征值法。③定义法。 基本概念

对称矩阵AT?A。 反对称矩阵AT??A。

简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。 如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵?A是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况）

①写出增广矩阵A?，用初等行变换化A?为阶梯形矩阵B?。 ②用B?判别解的情况。

i）如果B?最下面的非零行为0,?,0d，则无解，否则有解。 ii）如果有解，记?是B?的非零行数，则 ? ?n时唯一解。 ??n时无穷多解。

iii）唯一解求解的方法（初等变换法）

去掉B?的零行，得B0 ?0，它是n??n?c?矩阵，B0是n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

则bn n?0?bn?1 n?1?0??bii都不为0。 A????Br???E? ?就是解。

????????????????????行??行??a11a21一个n阶行列式

?an1 ①是n!项的代数和

a12a22?an2?a1n?a2n的值：

???ann ②每一项是n个元素的乘积，它们共有n!项 a1j1a2j2?anjn其中j1j2?jn是1,2,?,n的一个全排列。

③a1j1?anjn 前面乘的应为??1???j1j2?jn?

??j1j2?jn?的逆序数

?j1j2?jn???1???j1j2?jn?a1j1a2j2?anjn

??n?n?1??21??Cn2?

代数余子式

Mij为aij的余子式。 Aij???1?i?jn?n?1? 2Mij

定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。 D?a21A21?a22A22???a2nA2n

一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。

范德蒙行列式

1a11?1a1?an2个 ??(aj?ai) Cni?j

乘法相关

AB的?i,j?位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。 Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj

乘积矩阵的列向量与行向量

（1）设m?n矩阵A???1,?2,?,?n?，n维列向量???b1,b2,?,bn?，则

T A??b1?1?b2?2???bn?n 矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式 Ax??，

????b,b,?,b??

T12m 方程组的向量形式

x1?1?x2?2???xn?n?? （2）设AB?C，

AB??A?1,A?2,?,A?s?

ri?A?i?b1i?1?b2i?2???bni?n

AB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合，组合系数是B的第i个列向量

的各分量。

AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。

矩阵分解

当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的乘积

特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题

??1??0 ??1,?2,?,?n??0??0?0?2000??00? ???1?1,?2?2,?,?n?n? ??0?0?n??0 对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量

对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量 于是AE?A，EA?A A?kE??kA，?kE?A?kA

两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘

对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂

对一个n阶矩阵A，规定tr?A?为A的对角线上元素之和称为A的迹数。 于是

?????????TkTk?1??T??tr???T????T ?T??tr???T?

k?1 其他形式方阵的高次幂也有规律

?101??? 例如：A??020?

?101???初等矩阵及其在乘法中的作用

（1）E?i,j?：交换E的第i,j两行或交换E的第i,j两列 （2）E?i(c)?：用数c??0?乘E的第i行或第i列

（3）E?i,j(c)?：把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。

初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换

乘法的分块法则

一般法则：在计算两个矩阵A和B的乘积时，可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。

两种常用的情况 （1）A,B都分成4块

A???

?A11?A21A12??B11??，B???BA22??21B12?? ?B22? 其中Ai1的列数和B1j的行数相等，Ai2的列数和B2j的行数相关。

?A11B11?A12B21 AB???AA?AB2221?2111 （2）准对角矩阵

A11B12?A12B22??

A21B12?A22B22???A11??0 ???0?

0A2200???0?? ???Akk???0B22?00??A11B11???0??0?????????Bkk???0?0A22B220????0?? ??AkkBkk??0?A11??0????0?0A2200??B11???0??0????????Akk???0?

矩阵方程与可逆矩阵

两类基本的矩阵方程 （都需求A是方阵，且A?0） ?I?Ax?B ?II?xA?B （I）的解法：

??Ex AB? （II）的解法，先化为Ax?B。

TTT AB?Ex。

??行??TTT?????1 通过逆求解：Ax?B，x?AB

可逆矩阵及其逆矩阵

定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得AH?E，且HA?E，则称A是可逆矩阵，称H是A的逆矩阵，证作A?1。 定理：n阶矩阵A可逆?A?0 求A?1的方程（初等变换法）

行 AE???EA?1

????

伴随矩阵

?A11??A12 A*?????A?1n 线性表示

A21A22?A2nAn1???An2?T???A ij?????Ann???

?可以用?1,?2,?,?s线性表示，即?可以表示为?1,?2,?,?s的线性组合，

也就是存在c1,c2,?,cs使得 c1?1?c2?2???cs?s?? 记号：???1,?2,?,?s

线性相关性

线性相关：存在向量?i可用其它向量?1,?,?i?1,?i?1,?,?s线性表示。 线性无关：每个向量?i都不能用其它向量线性表示

定义：如果存在不全为0的c1,c2,?,cs，使得c1?1?c2?2???cs?s?0则称

?1,?2,?,?s线性相关，否则称?1,?2,?,?s线性无关。

即：?1,?2,?,?s线性相（无）关?x1?1???xs?s?0有（无）非零解

???1,?2,?,?s?x?0有（无）非零解

极大无关组和秩

定义：?1,?2,?,?s的一个部分组?I?称为它的一个极大无关组，如果满足：

i）?I?线性无关。 ii）?I?再扩大就相关。 ?I????1,?2,?,?s ?II???1??s??I?

定义：规定?1,?2,?,?s的秩? ??1,?2,?,?s??#?I?。

如果?1,?2,?,?s每个元素都是零向量，则规定其秩为0。

0?? ??1,?,?s??mi?nn,s?

有相同线性关系的向量组

定义：两个向量若有相同个数的向量：?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?s，并且向量方程 x1,?1?x2?2???xs?s?0与x1?1?x2?2???xs?s?0同解，则称它们有相同的线性关系。

①对应的部分组有一致的相关性。

?1,?2,?4的对应部分组?1,?2,?4，

若?1,?2,?4相关，有不全为0的c1,c2,c4使得 c1?1?c2?2?c4?4?0，

即?c1,c2,0,c4,0,?,0?是x1?1?x2?2???xs?s?0的解， 从而也是x1?1?x2?2???xs?s?0的解，则有 c1?1?c2?2?c4?4?0，

?1,?2,?3也相关。

②极大无关组相对应，从而秩相等。 ③有一致的内在线表示关系。 设：A???1,?2,?,?s?，B???1,?2,?,?s?，则 x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Ax?0， x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Bx?0。

?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s有相同的线性关系即Ax?0与Bx?0同解。

反之，当Ax?0与Bx?0同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。

矩阵的秩

定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩 规定r?A??行（列）向量组的秩。

r?A?的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即r?A?。 命题：r?A??A的非零子式阶数的最大值。

方程组的表达形式

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 1．?

????am1x1?am2x2???amnxn?bm 2．Ax?? ?是解?A???

3．x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n

基础解系和通解

1．Ax?0有非零解时的基础解系

?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系的条件：

①每个?i都是Ax?0的解②?1,?2,?,?e线性无关③Ax?0的每个解

???1,?2,?,?e ③/ l?n???A?

通解

①如果?1,?2,?,?e是Ax?0的一个基础解系，则Ax?0的通解为

c1?1?c2?2???ce?e，ci任意

?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系， ②如果?0是Ax?????0?的一个解，则Ax??的通解为

?0?c1?1?c2?2???ce?e，ci任意 特征向量与特征值

定义：如果??0，并且A?与?线性相关，则称?是A的一个特征向量。此时，有数

?，使得A????，称?为?的特征值。

设A是数量矩阵?E，则对每个n维列向量?，A????，于是，任何非零列向量都是?E的特征向量，特征值都是?。 ①特征值有限特征向量无穷多

若A????，A?c???cA??c?????c??

A?1???1? ??A?c1?1?c2?2??c1A?1?c2A?2???c1?1?c2?2?

A?2???2? ②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 ③计算时先求特征值，后求特征向量。

特征向量与特征值计算 A????,??0

???E?A???0,??0

??是??E?A?x?0的非零解 命题：①?是A的特征值?? E?A?0

②?是属于?的特征向量??是?? E?A?x?0的非零解 称多项式xE?A为A的特征多项式。

?是A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。 ?的重数：?作为xE?A的根的重数。

n阶矩阵A的特征值有n个：? 1,? 2,?,? n，可能其中有的不是实数，有的是多重的。

计算步骤：

①求出特征多项式xE?A。 ②求xE?A的根，得特征值。

③对每个特征值? i，求?? iE?A?x?0的非零解，得属于? i的特征向量。 n阶矩阵的相似关系

设A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得U?1AU?B，则称A与B相似，记作A~B。

n阶矩阵的对角化

基本定理 A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。 设可逆矩阵U???1,?2,?,?n?，则

??1??0?1 UAU??0??0?

0?2000??00?

?0??0?n??00??00????1?1,?2?2,?,?n?n?

?0??0?n??00??1??0?A??1,?2,?,?n??U?0??0??200 ?A?i??i?i，i?1,2,?,n 判别法则

A可对角化?对于A的每个特征值?，?的重数?n????E?A?。

计算：对每个特征值?i，求出??iE?A?x?0的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量，?1,?,?n。令U???1,?2,?,?n?，则

??1??0?1 UAU??0??0?二次型（实二次型）

0?2000??00?，其中?i为?i的特征值。

?0??0?n??0二次型及其矩阵

一个n元二次型的一般形式为 f?x1,x2,?,xn???ai?1n2iiix?2?aijxixj

i?j 只有平方项的二次型称为标准二次型。

形如：x1?x2???xp?xp?1???xp?q的n元二次型称为规范二次型。

22222

对每个n阶实矩阵A，记x??x1,x2,?,xn?，则xTAx是一个二次型。

T f?x1,x2,?,xn??xTAx

称A的秩??A?为这个二次型的秩。 标准二次型的矩阵是对角矩阵。 规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。 可逆线性变量替换

设有一个n元二次型f?x1,x2,?,xn?，引进新的一组变量y1,y2,?,yn，并把

x1,x2,?,xn用它们表示。

?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?c11??x?cy?cy???cy?2?c212112222nn ? （并要求矩阵C???????c??n1?xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn阵）

代入f?x1,x2,?,xn?，得到y1,?,yn的一个二次型g?y1,?,yn?这样的操作称为对

?c1n??c22?c2n?是可逆矩

?????cn2?cnn??c12f?x1?xn?作了一次可逆线性变量替换。

设Y??y1,y2,?,yn?，则上面的变换式可写成 x?CY T 则f?x1?xn??xTAx?YTCTACY?g?y1,?,yn? 于是g?y1,?yn?的矩阵为CAC CTACT??T?CTATCT?CTAC

实对称矩阵的合同

两个n阶实对称矩阵A和B，如果存在n阶实可逆矩阵C，值得CAC?B。称A与

TB合同，记作A~?B。

命题：二次型f?x1?xn??xAx可用可逆线性变换替换化为

T g?y1?yn??YTBY?A~?B

二次型的标准化和规范化

1．每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。

也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。 设A是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得D?QAQ是对角矩阵。

?1 QTAQ?Q?1AQ?D A~D，A~?D

2．标准化和规范化的方法 ①正交变换法

② 配方法

3．惯性定理与惯性指数

定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。 一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。

用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵A合同于唯一规范对角矩阵。

定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。

实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。

正定二次型与正定矩阵

定义：一个二次型f?x1,x2,?,xn?称为正定二次型，如果当x1,?,xn不全为0时，

f?x1,x2,?,xn??0。

222 例如，标准二次型f?x1,x2,?,xn??d1x1正定?di?0，?d2x2???dnxni?1,?,n

（必要性“?”，取x1?1，x2???xx?0，此时f?1,0,?,0??d1?0同样可证每个di?0）

TT 实对称矩阵正定即二次型xAx正定，也就是：当x?0时，xAx?0。

?? 1??0 例如实对角矩阵?0??0?0? 2000??00?正定?? i?0，i?1,?,n

?0??0? n??0 定义：设A是一个n阶矩阵，记Ar是A的西北角的r阶小方阵，称Ar为A的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式）。

a11a12a13a21a22a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 a31a32a22逆序、逆序数、奇排列、偶排列，根据逆序数可简化上式

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