江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷 28

江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷28

一、填空题 1、复数

4?3i的虚部为 . 1?2i2、一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000,3500范围内的人数为 3、根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为

频率组距

i1i0.00050.00040.00030.00020.00011000150020002500300035004000月收入（元）While i <8SEnd WhilePrint Si+22i+3

图2 图3 4、若等差数列{an}的前5项和S5?25，且a2?3，则a7? . 5、设l,m为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ．（填?,?为两个不同的平面，序号）

①若l??,m//?,???,则l?m； ②若l//m,m??,l??,则?//?； ③若l//?,m//?,?//?,则l//m；

④若???,????m,l??,l?m,则l??．

6、在?ABC中,已知sinAsinBcosC?sinAsinCcosB?sinBsinCcosA,若a,b,c 分别是角A,B,C所对的边,则

ab的最大值为__________． c2

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7、已知偶函数f(x)在(0,??)上为减函数， 且f(2)?0，则不等式__________．

f(x)?f(?x)?0的解集为

x8、已知点O为?ABC的外心，且AC?4,AB?2,则AO?BC?__________． yPQx2y29、如图，已知F1,F2是椭圆C:2?2?1 (a?b?0)的

ab左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x?y?b

222F1OF2x相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为 . 10、先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为m,n，则mn是奇数的概率是 ． 11、记min?a,b????a,当a?b时222，已知函数f(x)?min?x?2tx?t?1,x?4x?3?是

?b,当a?b时偶函数（为实常数），则函数y?f(x)的零点为__________．（写出所有零点） 12、在?ABC中，若AB?2,AC?BC?8，则?ABC面积的最大值为 ． 13、设s,t为正整数，两直线l1:22ttx?y?t?0与l2:x?y?0的交点是(x1,y1)，对于 2s2s正整数n(n?2)，过点(0,t)和(xn?1,0)的直线与直线l2的交点记为(xn,yn).则数列?xn?通 项公式xn＝ . 14、如图，已知矩形ORTM内有5个全等的小正方形，其中顶点A、B、C、D在矩形ORTM的四条边上.若矩形ORTM的边长OR=7，OM=8，则小正方形的边长为 EMDTLK

AFJCHBIRGO

二、解答题

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15、（本小题共14分） 已知动点P(3t,t?1)(t?0,t?（1）若??（2）记S?

16、（本小题共14分）

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且?BAD?60?，侧面PAD是正三角形，其所在的平P面垂直于底面ABCD，点G为AD的中点. （1）求证：BG?面PAD；

（2）E是BC的中点，在PC上求一点F，使得PG//面DEF.

17、（本小题共14分）

为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm)，能使整个矩形广告面积最小.

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BEAGFD1)在角?的终边上. 2?6，求实数的值；

1?sin2??cos2?，试用将S表示出来.

1?sin2??cos2?C

18、（本小题共16分）

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2,t) (t?0) 在直线

a2上． x?(a为长半轴，c为半焦距）c（1）求椭圆的标准方程

（2）求以OM为直径且被直线3x?4y?5?0截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N．求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

19、（本小题共16分）

已知数列?an?，?bn?满足a1?2，2an?1?anan?1，bn?an?1数列?bn?的前n项和为Sn，

Tn?S2n?Sn. （Ⅰ）求证：数列??1??为等差数列，并求通项bn； （Ⅱ）求证：Tn?1?Tn； b?n?7n?11． 12 （Ⅲ）求证：当n?2时，S2n? 20、（本小题共16分） 已知f(x)?1?lnx. x（1）若函数f(x)在区间(a,a?1)上有极值，求实数a的取值范围； （2）若关于x的方程f(x)?x?2x?k有实数解，求实数k的取值范围； （3）当n?N*，n?2时，求证：nf(n)?2?

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2111. ??????23n?1

附加题

21、A. 选修4——1：几何证明选讲

如图，D为△ABC的BC边上的一点，⊙O1经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C、D，交AC于另一点F，⊙O1、⊙O2交于点G.求证： (1) ∠BAC＋∠EGF＝180°； (2) ∠EAG＝∠EFG.

21、B．选修4－2 矩阵与变换

?1 2?

已知矩阵M＝??的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

?2 x? 21、C．选修4－4 坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：

?x?4t2,??cos(??)?22与曲线C2：?（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．

4?y?4t

21、D. 选修4——5：不等式选讲

已知x、y均为正数，且x>y，求证：2x＋

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1

≥2y＋3.

x－2xy＋y2

2

22、【必做题】

已知抛物线y?4x的焦点为F，直线过点M(4,0). （1）若点F到直线的距离为3，求直线的斜率；

（2）设A,B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值.

23、【必做题】

2已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为1，某植物研究所进行 3该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子 发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所 共进行四次实验，设?表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值

（1）求随机变量?的数学期望E?； （2）记“关于x的不等式?x2??x?1?0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的

概率P（A）。

参考答案：

1、-1 2、700 3、21 4、13 5、②④ 6、

53-2???0，2?8、6 9、 7、?-?，

32

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12s 11、x??3,?112、3 13、xn? 14、5 4n?1115、解：（1）?P(3t,t?1)(t?0,t?)是角?的终边上一点，

2t?1则tan??--------------------------3分

3t10、

又??（2）

?6，则

t?133?1，所以t?. ---------------- 6分 ?3t321?sin2??cos2?1?2sin??cos??2cos2??1cos?(cos??sin?)==-----9分 ?S?1?sin2??cos2?1?2sin??cos??1?2sin2?sin?(sin??cos?)?S??分

11 -------------------12??t?1tan?3t3t ----------------------------14分 t?1?S??16、（1）连结BD，因为四边形ABCD为菱形，且?BAD?60?，

所以三角形ABD为正三角形，又因为点G为AD的中点，所以BG?AD；---------4分

因为面PAD?底面ABCD，且面PAD?底面ABCD=AD，

所以BG?面PAD. ----------------7分

（2）当点F为PC的中点时，PG//面DEF

连结GC交DE于点H 因为E、G分别为菱形ABCD的边BC、AD的中点，所以四边形DGEC为平行四边形 所以点H为DE的中点，又点F为PC的中点 所以FH时三角形PGC------------------------------10分

的中位线，所以

PG//FH

因为FH?面DEF，PG?面DEF 所以PG//面DEF. 综上：当点F为PC的中点时，PG//面DEF. ---------------------------14分

17、解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab?20000，?b?广告的高为(a?20)cm，宽为(3b?30)cm(其中a?0,b?0) 广告的面积S?(a?20)(3b?30)?30(a?2b)?60600?30(a?20000 a40000)?60600 a

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?30?2a?当且仅当a?40000?60600?12000?60600?72600 a40000，即a?200时，取等号,此时b?100. a故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小.

a218、解：（1）又由点M在准线上，得?2

c1?c2故?2，?c?1 ?????2分

c 从而a?2 x2所以椭圆方程为?y2?1?????4分 2（2）以OM为直径的圆的方程为x(x?2)?y(y?t)?0 t2t2即(x?1)?(y?)??1 242t2t?1 ?????6分 其圆心为(1,),半径r?42因为以OM为直径的圆被直线3x?4y?5?0截得的弦长为2 t所以圆心到直线3x?4y?5?0的距离d?r2?1 ? 23?2t?5t所以?，?????8分 52解得t?4 22所求圆的方程为(x?1)?(y?2)?5 ?????10分 （3）方法一：由平几知：ON直线OM：y?2?OKOM?????11分 t2x，直线FN：y??(x?1) 2tt?y?x?4?2由?得xK?2?????13分 t?4?y??2(x?1)?t?t2t2?ON?(1?)xK?(1?)xM44?????15分

2t4?(1?)?2?2?24t?4所以线段ON的长为定值2．?????16分

2

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?????????FN?(x0?1,y0),OM?(2,t)方法二、设N(x0,y0)，则 ?????????11分 ?????MN?(x0?2,y0?t),ON?(x0,y0)??????????FN?OM,?2(x0?1)?ty0?0,?2x0?ty0?2 ?????13分

?????????2又?MN?ON,?x0(x0?2)?y0(y0?t)?0,?x0?y02?2x0?ty0?2???15分

????所以，ON?x02?y02?2为定值?????16分

19、解：（Ⅰ）由bn?an?1，得an?bn?1，代入2an?1?anan?1，

得2(bn?1)?1?(bn?1)(bn?1?1)，

11??1， ∴bnbn?1?bn?1?bn?0，从而有

bn?1bn∵b1?a1?1?2?1?1，

11?1??nb? ∴??是首项为1，公差为1的等差数列，∴，即n.?????5分 bnbn?n?11111S?1????T?S?S?????（Ⅱ）∵n，∴n， 2nn2nn?1n?22n11111T??????? n?1， n?2n?32n2n?12n?2Tn?1?Tn?111111??????0，

2n?12n?2n?12n?22n?2n?1∴Tn?1?Tn. ??????????????????????????10分 （Ⅲ）∵n≥2， ∴S2n?S2n?S2n?1?S2n?1?S2n?2?????S2?S1?S1 ?T2n?1?T2n?2?????T2?T1?S1.

17,S1?1,T2?， 212由（2）知T2n?1?T2n?2?????T2，∵T1?∴S2n?T2n?1?T2n?2?????T2?T1?S1

??n?1?T2?T1?S1?71?n?1???1?7n?11. ??16分 122121?x?(1?lnx)lnx1?lnxx20、解：（1）?f(x)?，?f?(x)? ??22xxx?当x?(0,1)时，f?(x)?0；当x?(1,??)时，f?(x)?0；

?函数f(x)在区间（0，1）上为增函数；在区间(1,??)为减函数

-------------------------3分

?当x?1时，函数f(x)取得极大值，而函数f(x)在区间(a,a?1)有极值.

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??a?1??a?1?1，解得

0?a?1.

---------------------------5分

（2）由（1）得f(x)的极大值为f(1)?1，令g(x)?x2?2x?k，所以当x?1时，函数g(x)取得最小值g(1)?k?1，又因为方程f(x)?x2?2x?k有实数解，那么k?1?1，即k?2，所以实数k的取值范围是：k?2. ----------10分

1?lnx?2x?x2， x1?lnxlnx令h(x)??2x?x2，所以h?(x)??2?2?2x，当x?1时，h?(x)?0 xx（另解：?f(x)?x2?2x?k，?k?当x?(0,1)时，h?(x)?0；当x?(1,??)时，h?(x)?0 ?当x?1时，函数h(x)取得极大值为h(1)?2

?当方程f(x)?x2?2x?k有实数解时，k?2.） （3）而1??函数f(x)在区间(1,??)为减函数，11?1(n?N*,n?2)，?f(1?)?f(1)?1 nn111?1?ln(1?)?1?，即ln(n?1)?lnn? nnn111--------------1?lnn?ln2?ln1?ln3?ln2?????lnn?ln(n?1)?1???????23n?12分 111，而n?f(n)?1?lnn， ??????23n?1111结论?nf(n)?2???????23n?1即1?lnn?2?成立.

----------------------16分

附加题答案： 21.、A. 证明：(1)连结GD，由B、D、E、G四点共圆，可得∠EGA＝∠B，同理∠FGA＝∠C，故∠BAC＋∠EGF＝∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.(5分)

(2) 由题知E、G、F、A四点共圆，故∠EAG＝∠EFG.(10分) 21、B解：矩阵M的特征多项式为

?λ－1 －2?

f(λ)＝??＝(λ－1)(λ－x)－4.(1分)

?－2 λ－x?

因为λ1＝3方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1.(3分) 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，(5分)

?x?

设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝??，

?y?

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??－2x－2y＝0，则???－2x－2y＝0，

得x＝－y，(8分)

令x＝1，则y＝－1，

所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝?

21、C．解：曲线C1直角坐标方程x?y?4，曲线C2的直角坐标方程是抛物线y2?4x 4分

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将这两个方程联立，消去x，

得y2?4y?16?0?y1y2??16，y1?y2?4． --------------6分

? 1?

?.(10分) ?－1?

?x1x2?y1y2?(y1?4)(y2?4)?y1y2?2y1y2?4(y1?y2)?16?0-------8分

????????∴OA?OB?0，?OA?OB． -----------------------10分

21、D. 证明： 因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 11所以2x＋22－2y＝2(x－y)＋2(4分) x－2xy＋y?x－y?3112＝(x－y)＋(x－y)＋?x－y?·2≥32＝3， ?x－y??x－y?1

所以2x＋2≥2y＋3.(10分) x－2xy＋y2

22、解：（1）由已知，x?4不合题意.设直线的方程为y?k(x?4)， 由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)， ??????1分

1?k22解得k??，所以直线的斜率为? . ?????4分

22（2）设线段AB中点的坐标为N(x0,y0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，

y04?x0因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，

x0?4y04?x0直线AB的方程为y?y0?(x?x0)， ????5分

y0因为点F到直线的距离为3，所以3k2?3， ?????2分

4?x0?y?y?(x?x0),0?y联立方程? 0?y2?4x,?x2消去x得(1?0)y2?y0y?y0?x0(x0?4)?0， ???7分

44y0所以y1?y2?， ?????8分

4?x0

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2y0y1?y2?y0，即?y0， ???9分 24?x0所以x0?2.即线段AB中点的横坐标为定值2. ????10分

因为N为AB中点，所以

23、（1）由题意知Ｌ?的可能取值为0，2，4?????1分

?“??0”指的是实验成功2次，失败2次.

124213?????2分 ?P(??0)?C4()(1?)2?3381“??2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次. 114031311?????3分 ?P(??2)?C4()(1?)?C4()(1?)3?333381“??4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次. 1174140?????4分 ?P(??4)?C4()?C4(1?)4?3381244017148?????5分 ?E??0??2??4??81818181（2）由题意知：“不等式?x??x?1?0的解集是实数R”为事件A. 当??0时，不等式化为1>0，其解集是R，说明事件A发生；?????6分 当??2时，不等式化为2x2?2x?1?0

2????4?0，所以解集是R，说明事件A发生；?????7分

当??4时，不等式化为4x?4x?1?0?(2x?1)?0其解集?xx?Rx?说明事件A不发生. ?????8分 ∴P(A)?P(??0)?P(??2)?答：故随机变量?的数学期望为

22??1??， 2?244064?????9分 ??818181148.?????10分 81

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