2.1.1第2课时椭圆的定义及标准方程的灵活运用

第2章 第2课时

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．已知A(0，－1)，B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( ) x2y2y2x2x2y2y2x2A.＋＝1(x≠±2) B.＋＝1(y≠±2) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(y≠0) 434343432．椭圆的两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为( )

x2y2x2y2x2y2x2y2

A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 1692592516254x2y2x2y23．曲线＋＝1与＋＝1(0

2599－k25－kA．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点 C．有不同的焦距，不同的焦点 D．以上都不对

x22→→

4．已知椭圆＋y＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到y轴

4的距离为( )

23263A. B. C.

333二、填空题(每小题5分，共10分)

x2y2

5．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，

169若|OQ|＝1，则|PF1|为________．

x2y2

6．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P

94到Q，使|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程为________．

三、解答题(每小题10分，共20分)

x2y2

7．设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角

94三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求

- 1 -

D.3

|PF1|

的值． |PF2|

yx

8．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.

ab(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．

四、创新探究

x2y2

9．(10分)设P(x，y)是椭圆＋＝1上的点且点P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)、B(5,0)，

2516试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

- 2 -

22

1、解析： |CA|＋|CB|＝4>2，∴点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3

x2y2

∴方程为＋＝1(y≠±2)．

34答案： B

1

2、解析： S△PF1F2＝×8b＝12，∴b＝3，

2又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25， x2y2

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

259答案： B

x2y2x2y2

3、解析： 它们的焦距都是8，但是椭圆＋＝1的焦点在x轴上，而椭圆＋＝

2599－k25－k1(0

答案： B

4、解析： a2＝4，a＝2，b＝1，c＝3， |MF1|＋|MF2|＝4，|MF1|2＋|MF2|2＝12， ∴|MF1|·|MF2|＝2， ∴|yM|×23＝2， ∴|yM|＝

1

， 32xM123∴＋＝1，∴|xM|＝. 433

答案： A

5、解析： |OQ|＝1，∴|PF2|＝2|OQ|＝2，|PF1|＋|PF2|＝8， ∴|PF1|＝6. 答案： 6

6、解析： 设Q(x，y)，P(x0，y0)，F1(－5，0)，

?x＝x－

2

则?y

y＝?2

00

5

?x－5?2y2x2y200，代入＋＝1得＋＝1.

943616

- 3 -

答案：

?x－5?y

＋＝1 3616

22

7、解析： 设|PF1|＝m，|PF2|＝n.由已知c2＝5，即c＝5.

?n＋?25?＝m

(1)当PF2⊥F1F2时，?

?m＋n＝6，

222

?解得?4

n＝?3

14m＝，

3

m7|PF1|7∴＝，即＝. n2|PF2|2

222

??m＝4，?m＋n＝?25?，

(2)当PF1⊥PF2时，?解得?

?n＝2.m＋n＝6，??

m|PF1|

∴＝2，即＝2. n|PF2||PF1|7综上，的值为或2.

|PF2|2

8、解析： (1)由已知得c＝1，则a2－b2＝1.

x2y2

又3a＝4b，故a＝4，b＝3.所求椭圆方程为＋＝1.

34

2

2

2

2

?|PF1|＋|PF2|＝4，?53(2)由?解得|PF1|＝，|PF2|＝. 22??|PF1|－|PF2|＝1，

又|F1F2|＝2，于是在△F1PF2中，由余弦定理得 259

＋－4443

cos∠F1PF2＝＝

5352××22

9、解析： 因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5.设P(x，y)． 所以kPA＝

yy

，kPB＝. x＋5x－5

yyy2

所以kPA·kPB＝·＝.

x＋5x－5x2－25x2y2

因为点P在椭圆＋＝1上，

2516x25－x1－?＝16×所以y＝16×?. ?25?25

2

2

2

- 4 -

25－xy

把y2＝16×代入kPA·kPB＝2，

25x－2525－x216×

2516

得kPA·kPB＝2＝－.

25x－2516

所以kPA·kPB为定值，这个定值是－.

25

2

2

- 5 -

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