2012年福建师大附中高考模拟考试数学理科

2012年福建师大附中高考模拟考试

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：

1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚． 4．做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

5．保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：

样本数据x1,x2,…,xn的标准差

s?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2] n其中x为样本平均数; 柱体体积公式 V?Sh

其中S为底面面积,h为高 锥体体积公式：V?1Sh

3其中S为底面面积,h为高 球的表面积、体积公式 S?4?R2 ，V?4?R3

3其中R为球的半径

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的． 1．若复数z?1?2i，则z在复平面上对应的点在（ ） 1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知M?{x|x?a?0},N?{x|ax?1?0},若M?N?N，则实数a的值为（ ） A.1 B.－1 C.1或－1 D.0或1或－1

3.如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ） A．8 Ｂ． 12 C．16 D．24

4．如右图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为 ( ) A．n?2? B．n?4?

C．n?3? D．n?5?

5．如图所示，点P是函数y?2sin(?x??)(x?R,??0)的 图象的最高点，M，N是该图象与x轴的交点，若PM?PN?0， 则?的值为( ) A.

6．已知两个不同的平面?，?和两条不重合的直线m，n，在下列四个命题中错误的是．．（ ）

A．若m∥n，m⊥? ，则n⊥? Ｂ．若m⊥?，m⊥?，则?∥?

C．若m∥?，????n，则m∥n D．若m⊥?，m∥n，n??，则?⊥?

7.对于数列{an}，a1?4，an?1?f(an) n?1,2?，则a2012等于（ ）

? 8B.

? 4 C. 4

D. 8

x f(x) 1 5 2 4 3 3 4 1 5 2

A．2 B．3 C．4 D．5

8．下列四个判断：

①“m??2”是直线(m?2)x?my?1?0与直线(m?2)x?(m?2)y?3?0 相互垂直的必要不充分条件； ② 函数f(x)?sinxsin(x?)，x?R，则f(x)是最小正周期为?的函数；

?3???③ 已知?x2??的展开式的各项系数和为32，则展开式中x的系数为20；

x??1111?1?1?11?④ 不等式：?1≥?， ??1??≥???? ，

2123?3?2?24?1?11?1?111???1???≥?????，?， 4?35?3?246?111111111(1?????)≥(?????)由此猜测第n个不等式为

n?1352n?1n2462n.

其中正确的个数有：（ ）

A．1 个 B．2 个 C． 3个 D．4个

x2y29．已知双曲线2?2?1(a?1,b?0)的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与

ab点（1，0）到直线

nxy4??1的距离之和为S，且S?c，则离心率e的取值范围是（ ） ab555A.[2,7] B.[,5] C. [,7] D. [2,5]

2210．设函数F(x)?f(x)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数为f'(x)，满足exf'(x)?f(x)对于x?R恒成立，则（ ）

2A.f(2)?e2f(0),f(2012)?e2012f(0) B.f(2?)ef(0)f,2C.f(2)?e2f(0),f(2012)?e2012f(0) D.f(2?)ef(0)f,012(2?0122e)f 012(2?0122e)f

(0)(0)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

?log2x,x?01的值是 。

11．已知函数f(x)???x，则f(f(1))?flog32?9?1,x?0??12．如图是某赛季CBA广东东莞银行队甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 . 甲 乙

2 1 2 3

2 3 2 3 1 4 2

2 3 4 5 3 1 1 4

9 6 3 4 0 4 0

13．已知向量a??x,?2?,b??y,1?，其中x，y都是正实数，若a?b，

则t?x?2y的最小值是_______.

14．已知函数f(x)??3x2?ax?b，，若a,b都是在区间

则f(1)?0的概率为_______。

内任取一个数，

15．若对于定义在R上的函数f (x) ,其图象是连续不断的，且存在常数?(??R)，使得对任意实数x都有 f (x +?) +?f (x) = 0成立，则称f (x) 是一个“?—伴随函数”. 有下列关于“?—伴随函数”的结论： ①f (x) =0 是常数函数中唯一个“?—伴随函数”；② f (x) = x2是一个“?—伴随函数”； ③ “

1—伴随函数”至少有一个零点； ④f(x)?log2x是一个“??伴随函数” 2其中不正确的序号是 。（写出所有不正确结论的序号） ．．．．．．

三、解答题:本大题有6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）

某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下： 1 1.5 2 日销售量

10 25 15 频数

0.2 a b 频率

（1）求表中a,b的值；

（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立. ①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；

②已知每吨该商品的销售利润为2千元，?表示该种商品两天销售利润的和（单位：

千元），求?的分布列和期望。

17.（本小题满分13分）

如图, ABCD是边长为3的正方形，DE?平面ABCD，AF//DE，DE?3AF，BE与平面ABCD所成角为600. (Ⅰ)求证：AC?平面BDE；

(Ⅱ)求二面角F?BE?D的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM//平面BEF，并证明你的结论. 18．（本小题满分13分） 某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC．

（1）设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；

（2）求四边形ABCD面积的最大值． 19．（本小题满分13分）

A l

B C (第18题图）

D ?????????????????点G在MP上，且满足NP?2NQ,GQ?NP?0。

(Ⅰ) 求点G的轨迹C的方程；

已知圆M：(x?5)2?y2?36,定点N(5,0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，

????????????(Ⅱ) 过点（2,0）作直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，设OS?OA?OB，

是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即｜OS｜＝｜AB｜）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由。

20．（本题满分14分） 如下图，过曲线C：y?ex上一点P又过Q10(0,1)作曲线C的切线l0交x轴于点Q1(x1,0)，作 x轴的垂线交曲线C于点P1(x1,y1)，然后再过P1(x1,y1)作曲线C的切线l1交x轴于点

Q2(x2,0)，又过Q2作x轴的垂线交曲线C于点P2(x2,y2)，??，以此类推，过点Pn的切线ln 与x轴相交于点Qn?1(xn?1,0)，再过点Qn?1作x轴的垂线交曲线C于点

*（n?N）．(1) 求x1、x2及数列{xn}的通项公式；(2) 设曲线C与切线ln及Pn?1(xn?1,yn?1)直线Pn?1Qn?1所围成的图形面积为Sn，求Sn的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列

Tx{Sn}的前n项和为Tn，求证：n?1?n?1(n?N*). Tnxn

Pn+1PnP1l0P0yQn+1Q1Ox

21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则

按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2). (Ⅰ)求矩阵M的逆矩阵M?1；

(Ⅱ)设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求l的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的极坐标方程为?sin(???4)??x?2cos?2，圆M的参数方程为?（其中2?y??2?2sin??为参数）.

（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值.

(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲 已知函数f(x)?|x?1|?|x?3|.

（1）求x的取值范围，使f(x)为常数函数；

（2）若关于x的不等式f(x)?a?0有解，求实数a的取值范围。

2012年福建师大附中高考模拟考试

数学（理科）参考解答及评分标准

一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.本题主要考查基础知识和基本运算． 1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．B 9．B 10．C

二、本大题共5个小题；每小题4分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算． 11．7 12．58 13．4 14．

23 15．①②④ 32三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

解：(1 ) 求得a?0.5 b?0.3. ?? 2分 (2) ①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p?0.5

设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5,0.5） ?? 3分

2P(X?2)?C5?0.52?(1?0.5)3?0.3125 ? 5分

②?的可能取值为4,5,6,7,8，则P(??4)?0.2?0.04

2P(??5)?2?0.2?0.5?0.2，P(??6)?0.52?2?0.2?0.3?0.37 P(??7)?2?0.3?0.5?0.3，P(??8)?0.32?0.09 ??11分 ?的分布列:

4

p 00000.04 .2 .37 .3 .09

5

6

7

8

? 12分

E??4?0.04?5?0.2?6?0.37?7?0.3?8?0.09?6.2 13分

17.(Ⅰ)证明： 因为DE?平面ABCD，

所以DE?AC. ????????2分 因为ABCD是正方形， 所以AC?BD， 又BD,DE相交 从而AC?平面BDE. ????????4分 (Ⅱ)解：因为DA,DC,DE两两垂直，

所以建立空间直角坐标系D?xyz如图所示.

因为

BE与平面ABCD所成角为600，即

?DBE?60?， ????5分

ED所以?3.

DB由AD?3可知DE?36，AF?6. ???6分

则A(3,0,0)，F(3,0,6)，E(0,0,36)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，

????????所以BF?(0,?3,6)，EF?(3,0,?26)， ???7分

???????n?BF?0??3y?6z?0设平面BEF的法向量为n?(x,y,z)，则????，即?， ????n?EF?0?3x?26z?0

6，则n?(4,2,6). ???8分

????????因为AC?平面BDE，所以CA为平面BDE的法向量，CA?(3,?3,0)，

????????n?CA613所以cos?n,CA??. ??9分 ??????13nCA32?26令z?因为二面角为锐角，所以二面角F?BE?D的余弦值为(Ⅲ)解：点M是线段BD上一个动点，设M(t,t,0).

13. ???10分 13?????则AM?(t?3,t,0)， 因为AM//平面BEF，

?????所以AM?n?0， ??11分 即4(t?3)?2t?0，解得t?2. ???12分

1此时，点M坐标为(2,2,0)，BM?BD，符合题意. ??13分

3A

l

D B

C

解：（1）在△ABD中，由余弦定理得 (第18题图）

BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA． 222

同理，在△CBD中，BD＝CB+CD－2CB·CD·cosC． ??????? 2分 因为∠A和∠C互补，

2222

所以AB+AD－2AB·AD·cosA＝CB+CD－2CB·CD·cosC

22

＝CB+CD＋2CB·CD·cosA． ???? 4分

2222

即 x+(9－x)－2 x(9－x) cosA＝x+(5－x)＋2 x(5－x) cosA．

22

解得 cosA＝，即f( x)＝．其中x∈(2，5)． ????????? 7分

xx（2）四边形ABCD的面积

11

S＝(AB·AD+ CB·CD)sinA＝[x(5－x)+x(9－x)]1－cos2A． 22

x22

记g(x)＝(x－4)( x－14x＋49)，x∈(2，5)．

222

由g′(x)＝2x( x－14x＋49)＋(x－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x－7 x－4)＝0，

1

解得x＝4(x＝7和x＝－舍)． ????????? 10分

2

所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．? 11分 因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．

所以S的最大值为108＝63．? 12分

2

答：所求四边形ABCD面积的最大值为63m． ??? 13分

＝x(7－x)

222222

1－()＝(x－4)(7－x)＝(x－4)( x－14x＋49)．?? 9分

NP?2NQ??19．解：（1）??Q为PN的中点且GQ⊥PN

GQ?PN?0?? ?GQ为PN的中垂线?|PG|=|GN|-------------（3分）

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a?3，

x2y2??1 -----（6分） 半焦距c?5，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是94 （2）因为OS?OA?OB，所以四边形OASB为平行四边形 若存在l使得|OS|=|AB|，则四边形OASB为矩形?OA?OB?0???（7分）

?x?2?x?2?若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由?2 得??xy225?1?y????94?3?16?0,与OA?OB?0矛盾，???（8分） 9故l的斜率存在，设l的方程为y?k(x?2),A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?k(x?2)? 由?x2y2?(9k2?4)x2?36k2x?36(k2?1)?0????（10分）

?1??4?936k236(k2?1)?x1?x2?2,x1x2? ①??????（11分） 29k?49k?4 y1y2?[k(x1?2)][k(x2?2)]

?OA?OB? 20.

20k2?k[x1x2?2(x1?x2)?4]??2 ② ???（12分）

9k?423∴存在直线l:3x?2y?6?0或3x?2y?6?02使得四边形OASB的对角线相等.?（13分）

把①、②代入x1x2?y1y2?0得k??yP0P1Pn+1Pnl0Qn+1Q1Ox20．(1) 解: 由y??e，设直线ln

xxnk?e的斜率为k，则n.∴直线l的方程为y?x?1.

n0

令y?0，得x1??1， ?1分 ∴y1?e1?x111x1(?1,)k?e?， ∴P. ∴. 11eee11?(x?1).令y?0，得x2??2. ?2分 eexn∴直线l1的方程为y?一般地，直线ln的方程为y?e?exn(x?xn)，

由于点Qn?1(xn?1,0)在直线ln上，∴xn?1?xn??1. ?3分 ∴数列?xn?是首项为?1，公差为?1的等差数列. ∴xn??n. ?4分 （2）解：Sn? ?111?nxx?n?n?n?1edx?(x?x)y?e?y?(e?e)?e |nn?1nn??(n?1)?(n?1)222?ne?21?. 2een??6分

11[1?()n]e?2?111?e?2ee?e?2?(1?1)?8分 （3）证明：Tn???1?2???n???12e?ee2e2e(e?1)e?en1?en?1xTn?1en?1?1e?1?(n?1)1e ∴，n?1???n?1?1?n?1?1?. 1Tne?ee?exn?nn1?ne1?1 要证明

e?11Tn?1xn?1?，即只要证明en?1?(e?1)n?e.9分 ?，只要证明n?1e?enTnxn 证法1：（数学归纳法）

① 当n?1时，显然(e?1)?0?e?2e?1?e?(e?1)?e成立； ② 假设n?k时，ek?1222 ?(e?1)k?e成立，则当n?k?1时，ek?2?e?ek?1?e[(e?1)k?e]，

2而e[(e?1)k?e]?[(e?1)(k?1)?e]?(e?1)(k?1)?0. ∴e[(e?1)k?e]?(e?1)(k?1)?e. ∴ek?2?(e?1)(k?1)?e.

n?k?1时，也成立.由①②知不等式

Tn?1xn?1*?对一切n?N都成立.?14分 Tnxn01n?1n?1证法2: en?1?[1?(e?1)]n?1?Cn ?1?Cn?1(e?1)???Cn?1(e?1)

01 ?Cn?C)?1?(n?1)(e?1)?(e?1)n?e. ?1n?1(e?1 ∴不等式

Tn?1xn?1*对一切n?N都成立. ??14分 ?Tnxn证法3:令f?x??ex?1??e?1?x?e,则f'?x??ex?1??e?1?,

当x?0时, f'?x??ex?1??e?1??e??e?1??1?0,

∴函数f?x?在?0,???上单调递增. ∴当x?0时, f?x??f?0??0. ∵n?N, ∴f?n??0, 即en?1??e?1?n?e?0.∴en?1??e?1?n?e.

*∴不等式

Tn?1xn?1*?对一切n?N都成立. ??14分 Tnxn??2??0??1?=??2?, ????21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

b?b??1???1??ab??a?a解: (Ⅰ)设M?? ?,则有? ???=??,? ?d?d???1???1??cd??c?c?a?b??1??2a?b?0,,且?所以?,

c?d??1?2c?d??2???a?1?b?2?解得? ????????????(2分)

c?3???d?42??1所以M=? ?,从而M??2，??????(3分)

?34???21?从而M=?3 1? ??????????(4分)

?-??22??x???12??x??x?2y?(Ⅱ)因为???? ???????????????????(5分) ?y34y3x?4y????????且m：2x??y??4，

?1所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,

即x+4 =0,这就是直线l的方程 ?????????????(7分) （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

2 ??4?22??sin???cos???2,??sin???cos??1.----------------2分 ?22所以，该直线的直角坐标方程为：x?y?1?0.----------------3分

22（Ⅱ）圆M的普通方程为：x?(y?2)?4----------------4分

解:（Ⅰ）??sin??????? 圆心M(0,?2)到直线x?y?1?0的距离d?0?2?12?32.---------------5分 2

所以，圆M上的点到直线的距离的最小值为

32?2.----------------7分 2(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲

??2x?2,x??3? 解:（Ⅰ）f(x)?x?1?|x?3|??4,?3?x?1 ???．．3分

?2x?2,x?1?则当x?[?3,1]时，f(x)为常函数． ?．．4分

（Ⅱ）法一：画图，由（1）得函数f(x)的最小值为4， ???．．6分 法二：：

x?1?x?3?x?1?(x?3);?x?1?x?3?4,

等号当且仅当x?[?3,1]时成立。得函数f(x)的最小值为4，???．．6分 则实数a的取值范围为a?4． ?．．7分

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