哈工大离散数学dit05

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应用计算机数学试题A(软件学院DIT)

(本考卷满分70分,每题5分)

1.设S??1,,23,4?,并设A?S?S,在A上定义关系R为:

(c,d)??R?(a,b),?a?b?c?d,

证明:(1)R是等价关系;(2)计算等价类。

证: (1) (2)

???a,b??A,a+b=a+b

显示成立,故((a,b)(a,b))?R,即R自反;

???a,b?,?c,d??A,若((a,b),(c,d)) R?a?b?c?d?c?d?a?b

??c,d?,?a,b???R,即R对称的。

??a,b?,?c,d?,?e,f(3)

??A,若((a,b),(c,d))

?R且

??c,d?,?e,f???R?a?b?c?dc?d?e?f?a?b?e?f???a,b?,?e,f???R,即R是传递的。由(1)、(2)、(3)

可知,R是A上的传递关系。

2.设A?{1,2,3},R是A的幂集2???,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}?上的二元关系且R={(a,b)︱a∩b≠¢},则R不满足下列哪些性质?为什么?

(1)自反性;(2)反自反性;(3)对称性;(4)反对称性;(5)传递性。

A答:R不满足:自反性,反自反性,反对称性,传递性。

R满足:对称性

?1?1?13.设f:X?Y,C,D?Y, 证明:f(C?D)?f(C)?f(D)

证:

f?1?C?D??=??=

ff?1f?1[?C\\D???D\\C?]?f?1?1?C\\D??f?1?D\\C?

?C?\\f??D????f??1?D?\\f?1 ?C????1?C??f?1?D?

4.设f:X?Y,g:Y?Z,证明:

(1)若f与g都是可逆的,则g?f也是可逆的; (2)求g?f的逆。

证:(1)

f,g可逆,故

f,g都是一一对应,于是gof也是一一对应,从而gof也是可逆的。

(2)gofo?f?1og?1??g?fof?g?1?1?gog?1?Iz

?f?1og?1?o?gof???f?1f?1o?g?1og?of?IX

故?gof??1og?1。

5(1)叙述关系的传递闭包的定义;(2)并给出如下关系的传递闭包。

设X??a,b,c,d?,R?(?a,b),(b,c),(c,a)?。

答:(1)设R是X上的二元关系,所有包含R且具有传递关系的交称为关系的传递闭包。

(2)

R+

=??a,b?,?b,a??b,c??c,b??c,a??a,c??a,a?,?b,b??c,c??d,d??

6.若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的图,则G连通的?G+uv是连通的。

证:?显示成立

?假设G不连通,则G有K个分支:G1,G2,???,Gk,由题意u与v不在一个

分支上,于是含有u?或v?的顶点的分支只有一个奇度数顶点与握手定理的推论矛盾。于是,G连通的。

7.证明:完全图K9中至少存在彼此无公共边的两条哈密顿回路和一条哈密顿路。

证:在k9中,?v?V,degv中所有边后,?v?V,degv掉C2后,?v?V,degv?4?8?p2,p2,故必有一条哈密顿回路C1;k9去掉C1

?6?故也必有一条哈密顿回路C2;在k9\\C1中去

,于是对任一对不相邻顶点u和v,

L。而C1,C2,L彼此无公共

degu?degv?8?p?1,故此时必有一条哈密顿路

边。

8.设T是一个有p个顶点的正则二元树,求T的叶子数,其中p奇数。

解:设T有n个叶子,故有?p证:对顶点p进行归纳。

?n??2?p?1,即n?p?12

9.设G是一个没有三角形的平面图。证明:G是4—可着色的。

当p=1,2,3,4时显示成立。

假设当p=k时,G是4-可着色的。

当p=k+1时,由于G是一个没有三角形的平面图,故?v?V,使得degv于是G\\?v??G1,便是一个具有

?3,

k个顶点的没有三角形的平面图,从而G1是4-

可着色的。由于degv的一个4-可着色。

?3,故在G中用不与v相邻接的其它颜色给v着色便得G

10.是否存在每个顶点的度数≥3且只有7条边的简单平面连通图?请证明。

证:假设存在这样的简单平面图,则由p?q?f?2,有

p?f?2?q?9?????1?

而由?v?Vdegv?2q,3p?2q,p?f?423q?143;由nf?2q,3f?2q,f?23q?143;p,f为

整数,故p,,于是p?f?8与(1)矛盾。

11.叙述并证明平面连通图的欧拉公式。

欧拉公式:若有p个顶点q条边的平面连通图G有f个面,则p?q?f?2。

证:对面f的个数进行归纳:当f=1时,G没有内部面,所以G中没有圈,故G是树。因此p?q?1,故p?q?f?2成立。

假设对一切有不超过f-1个面的平面连通图欧拉公式成立,往证若G是一个有f个面的?p,q?连通图时欧拉公式也成立,其中

f?2。因为

f?2,所以G至少有

一个内部面,从而G中有圈,它围成一个内部面。从G中到掉这个圈中任一条边x,则G?x就是一个?p,q?1?平面连通图且有

f?1个面。于是

p??q?1???f?1??2,即p?q?f?2,因此在G中欧拉公式成立。

12.证明:4阶群(G,*)或者是4阶循环群C4,或者是klein四元群K4。

证:设G是一个4阶群,则G中元素的阶可知是1,2和4。 若G中包含阶为4的元a,则G?(a)??e,a,a,a23?,即G是4阶循环群

C4;若G中没有阶为4的元,则除单位元e外,其它元素的阶均为2,

G??e,a,b,c??1且

a2?b2?c?12?e?1,于是,

?(y?x)?1?x,y?G,x2?y2?e,即

x?x,y?y?1。因为x?y?x?y?y?x,所以G是可交换群,

故G是Klein四元群的K4。

13.对于12阶循环群G=(a),则

(1)G有多少个子群?分别写出来。

(2)全部生成元是什么?

解:(1)6个子群

G1??e?;G2??e,g2466?;G83??e,g,g48?;G14??e,g,g,g36119?;

G5??e,g,g,g,g,g10?;G6??e,g,g,?,g2?

(2)生成元为有4个

g?g;g2?g5;g3?g7;g4?g11

14.设G是群,对于元素a?G有一个有限阶r,k是一个整数,则

(1)a?e?k为r的倍数.

(2) r小于或等于群G中元素个数,即r?G。

k证:(1)

ak?若k是r的倍数,则?m,使得km?rm,于是

于是有:

?akrm??amr?tr?m?er?et,?若akmtt?e,则?m,t,使得kt?mr?t?0?t?r??ee?a?a??a?ma?ea?ea?a,因为0?t?r,r是满足ar的最小正

整数,所以t?0。因此k?mr,即k是r的倍数。

?aj(2)考察e,a,???,ar?1这r个元素,它们两两不相同。否则,设ai0?i?j?r?1,两边同乘a?i,

,则有aj?i?ai?i?e。由于0?j?i?r,这与a的阶

为r矛盾,又因为e,a,???,ar?1是G中的r个不同的元素,所以G中至少有r个元,即r

?G。

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