哈工大离散数学dit05

应用计算机数学试题A（软件学院DIT）

（本考卷满分70分，每题5分）

1.设S??1，，23，4?，并设A?S?S，在A上定义关系R为：

(c,d)??R?(a,b)，?a?b?c?d，

证明：（1）R是等价关系；（2）计算等价类。

证： (1) (2)

???a,b??A，a+b=a+b

显示成立，故((a,b)(a,b))?R，即R自反；

???a,b?,?c,d??A，若((a,b)，(c,d)) R?a?b?c?d?c?d?a?b

??c,d?,?a,b???R，即R对称的。

??a,b?,?c,d?,?e,f(3)

??A，若((a,b)，(c,d))

且

?R且

??c,d?,?e,f???R?a?b?c?dc?d?e?f?a?b?e?f???a,b?,?e,f???R，即R是传递的。由(1)、(2)、(3)

可知，R是A上的传递关系。

2.设A?{1,2,3}，R是A的幂集2???,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}?上的二元关系且R={(a，b)︱a∩b≠￠}，则R不满足下列哪些性质？为什么？

(1)自反性；(2)反自反性；(3)对称性；(4)反对称性；(5)传递性。

A答：R不满足：自反性，反自反性，反对称性，传递性。

R满足：对称性

?1?1?13.设f：X?Y，C，D?Y， 证明：f（C?D）?f（C）?f（D）

证：

f?1?C?D??=??=

ff?1f?1[?C\\D???D\\C?]?f?1?1?C\\D??f?1?D\\C?

?C?\\f??D????f??1?D?\\f?1 ?C????1?C??f?1?D?

4.设f：X?Y，g：Y?Z，证明：

（1）若f与g都是可逆的，则g?f也是可逆的; （2）求g?f的逆。

证：(1)

f,g可逆，故

f,g都是一一对应，于是gof也是一一对应，从而gof也是可逆的。

(2)gofo?f?1og?1??g?fof?g?1?1?gog?1?Iz

?f?1og?1?o?gof???f?1f?1o?g?1og?of?IX

故?gof??1og?1。

5（1）叙述关系的传递闭包的定义；（2）并给出如下关系的传递闭包。

设X??a，b，c，d?，R?（?a，b），（b，c），（c，a）?。

答：(1)设R是X上的二元关系，所有包含R且具有传递关系的交称为关系的传递闭包。

(2)

R+

=??a,b?,?b,a??b,c??c,b??c,a??a,c??a,a?,?b,b??c,c??d,d??

6.若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的图，则G连通的?G+uv是连通的。

证：?显示成立

?假设G不连通，则G有K个分支：G1,G2,???,Gk，由题意u与v不在一个

分支上，于是含有u?或v?的顶点的分支只有一个奇度数顶点与握手定理的推论矛盾。于是，G连通的。

7.证明:完全图K9中至少存在彼此无公共边的两条哈密顿回路和一条哈密顿路。

证：在k9中，?v?V,degv中所有边后，?v?V，degv掉C2后，?v?V,degv?4?8?p2,p2,故必有一条哈密顿回路C1；k9去掉C1

?6?故也必有一条哈密顿回路C2；在k9\\C1中去

，于是对任一对不相邻顶点u和v，

L。而C1，C2，L彼此无公共

degu?degv?8?p?1，故此时必有一条哈密顿路

边。

8.设T是一个有p个顶点的正则二元树，求T的叶子数，其中p奇数。

解：设T有n个叶子，故有?p证：对顶点p进行归纳。

?n??2?p?1,即n?p?12

9.设G是一个没有三角形的平面图。证明：G是4—可着色的。

当p=1,2,3,4时显示成立。

假设当p=k时，G是4-可着色的。

当p=k+1时，由于G是一个没有三角形的平面图，故?v?V，使得degv于是G\\?v??G1，便是一个具有

?3，

k个顶点的没有三角形的平面图，从而G1是4-

可着色的。由于degv的一个4-可着色。

?3，故在G中用不与v相邻接的其它颜色给v着色便得G

10.是否存在每个顶点的度数≥3且只有7条边的简单平面连通图？请证明。

证：假设存在这样的简单平面图，则由p?q?f?2，有

p?f?2?q?9?????1?

而由?v?Vdegv?2q,3p?2q,p?f?423q?143；由nf?2q,3f?2q,f?23q?143；p,f为

整数，故p,，于是p?f?8与(1)矛盾。

11.叙述并证明平面连通图的欧拉公式。

欧拉公式：若有p个顶点q条边的平面连通图G有f个面，则p?q?f?2。

证：对面f的个数进行归纳：当f=1时，G没有内部面，所以G中没有圈，故G是树。因此p?q?1，故p?q?f?2成立。

假设对一切有不超过f-1个面的平面连通图欧拉公式成立，往证若G是一个有f个面的?p,q?连通图时欧拉公式也成立，其中

f?2。因为

f?2，所以G至少有

一个内部面，从而G中有圈，它围成一个内部面。从G中到掉这个圈中任一条边x，则G?x就是一个?p,q?1?平面连通图且有

f?1个面。于是

p??q?1???f?1??2,即p?q?f?2，因此在G中欧拉公式成立。

12.证明:4阶群（G,*）或者是4阶循环群C4,或者是klein四元群K4。

证：设G是一个4阶群，则G中元素的阶可知是1，2和4。 若G中包含阶为4的元a，则G?(a)??e,a,a,a23?，即G是4阶循环群

C4；若G中没有阶为4的元，则除单位元e外，其它元素的阶均为2，

即

G??e,a,b,c??1且

a2?b2?c?12?e?1，于是，

?(y?x)?1?x,y?G,x2?y2?e，即

x?x,y?y?1。因为x?y?x?y?y?x，所以G是可交换群，

故G是Klein四元群的K4。

13.对于12阶循环群G=(a),则

(1)G有多少个子群?分别写出来。

(2)全部生成元是什么?

解：（1）6个子群

G1??e?;G2??e,g2466?;G83??e,g,g48?;G14??e,g,g,g36119?;

G5??e,g,g,g,g,g10?;G6??e,g,g,?,g2?

（2）生成元为有4个

g?g;g2?g5;g3?g7;g4?g11

14.设G是群,对于元素a?G有一个有限阶r,k是一个整数,则

(1)a?e?k为r的倍数.

(2) r小于或等于群G中元素个数,即r?G。

k证：(1)

ak?若k是r的倍数，则?m，使得km?rm，于是

于是有：

?akrm??amr?tr?m?er?et，?若akmtt?e，则?m,t，使得kt?mr?t?0?t?r??ee?a?a??a?ma?ea?ea?a，因为0?t?r，r是满足ar的最小正

整数，所以t?0。因此k?mr，即k是r的倍数。

?aj(2)考察e,a,???,ar?1这r个元素，它们两两不相同。否则，设ai0?i?j?r?1，两边同乘a?i，

，则有aj?i?ai?i?e。由于0?j?i?r，这与a的阶

为r矛盾，又因为e,a,???,ar?1是G中的r个不同的元素，所以G中至少有r个元，即r

?G。

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