江西省鹰潭一中2013-2014学年高二上学期第四次月考数学(理)试题

2013-2014学年度第一学期高二年级第四次月考理科数学试题

试卷满分：150分 考试时间：120分钟，

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）

1、全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ）

A．所有被5整除的整数都不是奇数； B．所有奇数都不能被5整除 C．存在一个被5整除的整数不是奇数； D．存在一个奇数，不能被5整除

2．设一组数据的方差是S，将这组数据的每个数都乘以10，所得到的一组新数据的方差是（ ）

A. 0.1S B．S C．10S D．100S

2

2

2

2

3. P:

2

x 2 1,Q:x 3x 2 0，则“Q”是“P”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条 4．直线y kx 2与双曲线x2 y2 6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是 （ ）

） C（ ） ,, 1） B（0,,0） D（

33333

5. 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a ,a ，则下列结论中不成立的是 ( )． ．

A（

A．若b β，a∥b，则a∥β B．若a⊥β，α⊥β，则a∥α

C．若a b,b ,则a D．若 ，a ，ba，则b6

根据上表可得回归方程

中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时

）

销售额为 （

A．63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D ．72.0万元

7．一个四面体的所有的棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A． 3π B． 4π C． 33 D． 6π

x2y2

1上有n个不同的点:P1 ,P2 , ,Pn , 椭圆的右焦点为F，数列｛|PnF|｝是 8．椭圆43

1

公差大于的等差数列, 则n的最大值是 （ ）

100

A．198

B．199

C．200 D．201

22

9、设x1,x2 R，常数a 0，定义运算“﹡”：x1 x2 (x1 x2) (x1 x2)，若x 0，

则动点P(x,x a)的轨迹是 （ ） A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

10、如图，已知平面 l，A、B是l上的两个点，

C、D在平面 内，且DA ,CB ,AD 4，

AB 6,BC 8，在平面 上有一个动点P，

使得 APD BPC，则P ABCD体积的最大值是（

）A.

B.16 C.48 D.144 二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分 ) 11、如图，空间四边形ABCD中，M、G分别

11

AB BC BD是BC、CD的中点，则

22

等于

12．如图所示流程图中，语句1(语句1与无关) 将被执行的次数是

13.向面积为S的△ABC内任投一点P，则随机事件“△PBC的面积小于

S

”的概率为 ． 3

14．直二面角α－l－β的棱l上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与l成45，AB ,AC ，则∠BAC= 。 15.以下三个关于圆锥曲线的命题中：

①A、B为两个定点，K为非零常数，若｜PA｜－｜PB｜＝K，则动点P的轨迹是双曲线。 ②方程2x-5x 2 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

2

x2y2x2

y2 1有相同的焦点。 1与椭圆③双曲线

35259

④已知抛物线y=2px,以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切 其中真命题为 （写出所有真命题的序号）

2

三、解答题（本大题共6小题,满分75分）

16．(本小题满分12分)某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160,165)，第2组[165,170)，第3组[170,175)，第4组[175,180)，第5组[180,185]，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求第3,4,5组的频率；

(2)为了了解最优秀学生的情况，该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．

17．(本小题满分12分)现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品： （1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．

2

18.（本题满分12分）设p：方程x mx 1 0有两个不等的负根，q：方程.

4x2 4(m 2)x 1 0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

19．(本小题满分12分)一个四棱锥S ABCD的底面是边长为a的正方形，侧面展开图如图所示．SC为四棱锥中最长的侧棱，点E为AB的中点 （1）画出四棱锥S ABCD的示意图， 求二面角E SC D的大小；

（2）求点D到平面SEC的距离．

x2y2

20．(本小题满分13分)已知椭圆C的方程为2 2 1(a b 0)，双

ab

x2y2

曲线2 2 1的两条渐近线为l1,l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，

ab

使l l1，又l与l2交于P，

设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）．

（1）当l1与l2的夹角为60 ，且△POF

C的方

程；

（2）当FA AP时，求当 取到最大值时椭圆的离心率． 21、（本题满分14分）一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、

Ⅱ分别输入正整数m,n时，输出结果记为f(m,n)，且计算装置运算原理如下：①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则f(1,1) 1；②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。

试求： （1）f(m,1)的表达式(m N)；（2）f(m,n)的表达式(m,n N)； （3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数n，则输出结果f(n,n)能否为2013？

若能，求出相应的n；若不能，则请说明理由。

高二数学答案

一、选择题（每小题5分，共50分） 题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 C D B A D B A C D C

二、填空题（每小题5分，共25分）

11． . 12. 25 .

5

13. . 14. 6009

三、解答题（75分） 16．（12分）

解：(1)由题设可知，第3组的频率为0.06×5＝0.3，第4组的频率为0.04×5＝0.2， 第5组的频率为0.02×5＝0.1. 6

(2)第3组的人数为0.3×100＝30，第4组的人数为0.2×100＝20，第5组的人数为0.1×100＝10.

因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取 的人数分别为：第3组：

302010

×6＝3，第4组：×6＝2，第5组：×6＝1，

606060

所以第3,4,5组分别抽取3人，2人，1人. 12分

17．（12分）

解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序(x,y,z)记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10 10 10 10种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有

3

83

8 8 8 8种，因此，P(A) 3 0.512 6分

10

3

（2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x,y,z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10 9 8 720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8 7 6, 所以

3367

12分

72015

18．（12分） P(B)

m2 4 0解：若方程x mx 1 0有两个不等的负根，则 ， 2分

x1 x2 m 0

2

所以m 2，即p:m 2． 3分

若方程4x2 4(m 2)x 1 0无实根，则 16(m 2)2 16 0， 5分

即1 m 3， 所以p:1 m 3． 6分 因为p q为真，则p,q至少一个为真，又p q为假，则p,q至少一个为假． 所以p,q一真一假，即“p真q假”或“p假q真”． 8分 所以

m 2 m 2

或 10分

m 1或m 3 1 m 3

所以m 3或1 m 2．

故实数m的取值范围为(1,2][3, )． 12分

19.(12分)

法一：（1）（如图） 2分

分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA， 则GF//EA,GF=EA, AF//EG

SA AB,SA AD,且AB、AD是面ABCD内的交线

F B

SA 底面ABCD， SA CD，

又AD CD， CD 面SAD， CD AF 又SA=AD,F是中点， AF SD

AF 面SCD,EG 面SCD, 面SEC 面SCD 所以二面角E-SC-D的大小为90 8分 （2）作DH SC于H，

面SEC 面SCD, DH 面SEC, DH之长即为点D到面SEC的距离，

DH

SC 在Rt SCD中，

2a a 6a

3 a

6

a3答：点D到面SEC的距离为 12分

法二:建立空间直角坐标系

20．（13分）

bb

bb

解：（1）l1的斜率为 ，l2的斜率为，由l1与l2的夹角为60

，得

aa1 ()2a

整理，得a． ① by x, a2ab1ab a 由 得P(,)．由S POF

，得 c ．

cc

2ca y (x c).

b∴

ab ②

x2

y2 1． 由①②，解得a ，b 1．∴ 椭圆C方程为：3

a2 abc

a2ab,)． （2）由P(,)，F(c,0)及FA AP，得A(cc1 1

a22 ab2

(c )()

将A点坐标代入椭圆方程，得 2 1．

2(1 )(1 )

e2(1 e2)22

[(2 e) ] 3 3 整理，得 22

2 e2 e

2

∴

1，此时e

21．（14分）

2m 1m 1

fm,1 3fm 1,1 3fm 2,1 3f1,1 3解：（1）

(2) f m,n f m,n 1 3 f m,n 2 3 2 f m,1 3 n 1 3 (3)

m 1

3 n 1 )

， 3

f n,n 3n 1 3 n 1

，∵

f( 7

6

, 718

f(8,8) 37 21 2208 2013

∴f(n,n)输出结果不可能为2013。

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