第十八章隐函数定理及其应用

第十八章 隐函数定理及其应用

一、证明题

1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当 时,有 2.设u?y?y,v?.证明:当0?x?,y>0时,u,v可以用来作为曲线坐标;解出x,y作为

sinx2tgxu,v的函数;画出xy平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算数.

??u,v???x,y?和并验证它们互为倒

??x,y???u,v?3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标?r,?,??的形式:

??u???u???u??1u???????y?????z?, ?x??????222?2u?2u?2u?2u?2?2?2.

?x?y?z4.证明对任意常数ρ,?,球面x?y?z??与锥面x?y?tg??z是正交的. 5.试证明:函数F?x,y?在点P0?x0,y0?的梯度恰好是F的等值线在点P0的法向量(设F有连续一阶偏导数).

6.证明:在n个正数的和为定值条件 x1+x2+x3+…+xn=a

22222222an下,这n个正数的乘积x1x2x3…xn的最大值为n.并由此结果推出n个正数的几何中值不大

h于算术中值.

nx1?x2???xn?x1?x2?????xn

n

二、计算题

1．方程 能否在原点的某邻域内确定隐函数 或 .

2.方程 在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数. 3.求下列方程所确定的隐函数的偏导数: (1)x+y+z= ,求Z对x,y的一阶与二阶偏导数; (2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求 , 和 .

4.设f是一元函数,试问应对f提出什么条件,方程2f(xy)= f(x)+f(x)在点(1,1)的邻域内就能确定出唯一的y为x的函数?

1.试讨论方程组

?yz22?x?y?2 ??x?y?z?2?在点(1,－1,2)的附近能否确定形如x=f(z),y=g(z)的隐函数组.

5.求下列方程组所确定的隐函数组的导数:

2222??y?z?x?y?z?a(1)?2, 求,; 2?x?x??x?y?ax22??u?v?u?v?x?u?yv?0(2)?2, 求,,,. 2?x?x?y?y?y?v?xu?0??u?f?ux.v?y??u?v(3)?, 求,. 2?x?x?v?gu?x,vy??6.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数:

u??x?e?usinv,(1)? 求ux,uy,vx,vy; u?y?e?ucosv,??x?u?v,?22(2)?y?uv,求zx. ?z?u3?v3?7.设函数z=z(x,y)由方程组

x?eu?v,y?eu?v,z?uv(u,v为参量)所定义的函数,求当u=0,v=0时的dz.

8.设u,v为新的自变量变换下列方程: (1)?x?y?y?z?z??x?y??0,设u?lnx2?y2, v?arctg;

x?x?y2x?2z2?zu?xyv?(2)x,设,. ?y?022y?x?y29.设函数u=u(x,y)由方程组

u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0 所确定,求

?u?u和. ?x?y10.设u?xyz222v?w?,,,其中r?x?y?z, 222rrr(1)试求以u,v,w为自变量的反函数组; (2)计算

??u,v,w?. ??x,y,z?11.求平面曲线x23?y23?a23?a?0?上任何一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.

12.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:

22(1)x?asint,y?bsincost,z?ccost在点t??; 4(2)2x2?3y2?z2?9.z2?3x2?y2,在点(1,－1,2). 13.求下列曲线在所示点处的切平面与切线: (1)y?e2x?z?0,在点(1,1,2);

x2y2z2abc(2)2?2?2?1,在点(,). abc33314.求曲面上过点x?2y?3z?21的切平面,使它平行于平面x?4y?6z?0. 15.在曲线x=t,y?t,z?t上求出一点,使曲线在此点处的切线平行于平面x+2y+z=4. 16.求函数u?方向上的方向导数.

23222xx2?y2?z22在点M(1,2,－2)处沿曲线x=t,y?2t,z??2t在该点切线

4x2y2z217.确定正数λ,使曲面xyz??与椭球面2?2? 2?1在某一点相切.

abc18.求曲面x?y?z?x的切平面,使其垂直于平面x?y?2221z?2和x?y?z?2. 219.求两曲面F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0的交线在xy平面上的投影曲线的切线方程. 20.应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值: (1)f(x,y)=x?y,若x+y-1=0

(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c4(其中x,y,z,t>0,c>0); (3)f(x,y,z)=xyz,若x?y?z=1,x+y+z=0. 21.(1)求表面积一定而体积最大的长方体.

22222(2)求体积一定而表面积最小的长方体.

22.(1)求空间一点?x0,y0,z0?到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.

(2)求原点到二平面a1x?b1y?c1z?d1, a2x?b2y? c2z?d2的交线的最短距离. 23.设a1,a2,…,an 为已知的n个正数,求

f?x1,x2,???,xn?=?akxk 在限制条件

k?1n22x1?x22?????xn?1 下的最大值.

2224.求函数 f?x1,x2,???,xn?=x1?x22?????xn

n在条件

?ak?1kxk?1,?ak?0,k?1,2,???,n? 下的最小值.

三、考研复习题

1.方程y2?x21?x2=0在那些点的邻域内可唯一地确定连续可导的隐函数y=f?x?? 2.设函数f(x)在区间(a,b)内连续,函数??y?在区间(c,d)内连续,而???y??0.问在怎样的条件下,方程??y??f?x?能确定函数y=?3.设f(x,y,z)=0,z=g(x,y),试求

?1???f?x??.并研究例子:(Ⅰ)siny+shy=x;(Ⅱ)e?y??sin2x.

dydz,. dxdx4.已知G1(x,y,z),G2(x,y,z),f(x,y)都是可微的, gi(x,y)= Gi(x,y, f (x,y)),(i=1,2) 证明:

??g1,g2?=G1x G1y G1z. ??x,y?G2x G2y G2z5.设x=f(u,v,w),y=g(u,v,w),z=h(u,v,w).求

?fx, ?fy 1?u?u?u,,. ?x?y?z?u?u,: ?x?y6.试求下列方程所确定的函数的偏导数

(1)x2+u2=f(x,u)+g(x,y,u) (2)u=f(x+u,yu)

7.据理说明:在点(0,1)近傍是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y).满足f(0,1)=1,g(0,1)=－1,且

?f?x,y??3+xg(x,y)-y=0, ?g?x,y??3+yf(x,y)-x=0.

8.设?x0,y0,z0,u0?满足方程组

f?x??f?y??f?z??F?u? g?x??g?y??g?z??G?u? h?x??h?y??h?z??H?u?

这里所有的函数假定有连续的导数.

(1)说出一个能在该点邻域内确定x,y,z作为u的函数的充分条件; (2)在f(x)=x.,g(x)=x2,h(x)=x3的情形下,上述条件相当于什么? 9.求下列由方程所确定的陷函数的极值: (1)x2?2xy?2y2?1 (2)x2?y2??2?a2x2?y2,(a>0)

??10.设f=F(x)和一组函数x???u,v?,y???u,v?,那么由方程??u,v??F???u,v??可以确定

dvd2vdyd2y函数v=v(u).试用u,v，，表示，.

dudu2dxdx211.试证明:二次型

f?x,y,z?=Ax2?By2?Cz2?2Dyz?2Ezx?2Fxy在单位球面 x2y2?z2?1上的最

大值和最小值恰好是矩阵

?A F E??

???F B D????E D C??的最大特征值和最小特征值.

xn?yn?x?y? 12.设n为自然数,x,y?0,用条件极值方法证明: ?22nx2y2z213.求出椭球2+2+2=1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.

bca14.设P0?x0,y0,z0?是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点,F在U(p0)可微,且为n次齐次函数.证明:此曲面在P0处的切平面方程为

XFx?P0?+yFz?P0?=n. y?P0?+ZF

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