1993考研数四真题及解析

Born to win

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) lim?1?2?n????n?1?2??(n?1)??? .

(2) 已知y?f?dy?3x?2??2则,fx?arcsinx,???dx?3x?2?? . x?0(3)

dx??2?x?1?x? .

*

(4) 设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A的秩为 . (5) 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知索取两件产品中有一件是不合格品,

则另一件也是不合格品的概率为 .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

1??xsin2,x?0,(1) 设f?x???则f?x?在点x?0处 ( ) x?? 0, x?0,(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 (2) 设f?x?为连续函数,且F?x???lnx1xf?t?dt,则F??x?等于 ( )

(A)

11?1?1f?lnx??2f?? (B) f?lnx??xx?x?x11?1?f?lnx??2f?? (D) f?lnx??xx?x??1?f?? ?x?(C)

?1?f?? ?x?(3) 若?1,?2,?3,?1,?2都是四维列向量,且四阶行列式?1,?2,?3,?1?m,

?1,?2,?2,?3?n,则四阶行列式?3,?2,?1,??1??2?等于 ( )

(A) m?n (B) ??m?n? (C) n?m (D) m?n

?1?(4) 设??2是非奇异矩阵A的一个特征值,则矩阵?A2?有一特征值等于 ( )

?3?(A)

?14311 (B) (C) (D) 3424 Born to win

(5) 设随机变量X与Y均服从正态分布,XN??,42?,YN??,52?;记

p1?P?X???4?,p2?P?X???5?,则 ( )

(A) 对任何实数?,都有p1?p2 (B) 对任何实数?,都有p1?p2 (C) 只对?的个别值,才有p1?p2 (D) 对任何实数?,都有p1?p2

三、(本题满分5分)

设z?f?x,y?,是由方程z?y?x?xez?y?x?0所确定的二元函数,求dz.

四、(本题满分7分)

???x?a?已知lim???4x2e?2xdx,求常数a之值. ?ax??x?a??x

五、(本题满分7分)

已知某厂生产x件产品的成本为C?25000?200x?12x(元).问 40(1) 若使平均成本最小,应生产多少件产品？

(2) 若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品？

六、(本题满分6分)

设p、q是大于1的常数,且

七、(本题满分13分)

运用导数的知识作函数y??x?6?e的图形.

八、(本题满分8分)

已知三阶矩阵A的逆矩阵为

1x1111??1.证明：对于任意x?0,有xp??x. pqpq?111??,

A?1??121????113??试求伴随矩阵A的逆矩阵.

九、(本题满分8分)

设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,E是n阶单位矩阵(m?n).已知BA?E,试判断

*

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A的列向量组是否线性相关？为什么？

十、(本题满分8分)

设随机变量X和Y独立,都在区间?1,3?上服从均匀分布;引进事件

A??X?a?,B??Y?a?.

(1) 已知P?A(2) 求

B??7,求常数a. 91的数学期望. X

十一、(本题满分8分)

假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N?t?服从参数为?t的泊松分布.

(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.

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1993年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】【解析】

2 2lim?1?2?n????1?2??lim?n???n?1?2??n?1?2???n?1??

???n?1???

??n?1???1?2??n?1?2???1?2??n?1?2???n?1?

?limn??1?2?n?n?1?2?n?(n?1) ?limn??11n?1?n??n?n?1?2211?1?1?1??1????1??2?n?2?n?3? 2?limn???2. 2(2)【答案】

【解析】令 g?x??3x?2,则有g?0???1, 3x?2g??x??由复合函数求导法则

12?3x?2?2,则 g??0??3,

dy3??f??g?0??g??0??3f???1??3arcsin1?. dxx?02(3)【答案】?2arctan1?x?C

【解析】方法一：令1?x?t,则x?1?t,dx??2tdt,所以

2dx?2tdtdt???2??2?x?1?x??1?t2?t?1?t2??2arctant?C??2arctan1?x?C.

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方法二：

dxd1?xd1?x??2??2??2?x?1?x?2?x?1?1?x??2??2arctan1?x?C.

(4)【答案】0

【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.

由于r?A??2,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式Aij?0,故A?0.

**所以秩 rA?0.

???n,r?A??n,?**若熟悉伴随矩阵A秩的关系式r?A???1, r?A??n?1,

??0,r?A??n?1,*易知 rA?0.

??注：按定义

?A11?A*A??12???A1nA21A22A2nAn1?An2??, ??Ann?伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是n?1阶子式. (5)【答案】0.2

【解析】设事件Ai?“从10件产品中任取两件,有i件不合格品”,i?0,1,2. 记B?A1A2,依题意所求概率为P?A2|B?,即在B发生的条件下A2发生的概率,亦即在

索取两件产品中有一件是不合格品,另一件也是不合格品的概率.

112C4CC428P?A2??2?,P?A1??26?,

C1015C1015又A11,A2互不相容,故有加法公式 P?B??P?AA2??P?A1??P?A2??10. 15易见事件B?A2,因此P?A2B??P?A2?,应用条件概率公式

P?A2B?P?A2?215P?A2|B?????0.2.

P?B?P?B?1015注：“已知所取两件产品中有一件是不合格品”应理解为“所取两件产品中至少有一件是不合格品”.不少考生将其错误理解为“所取两件产品中恰好只有一件是不合格品”,因而得错误答案

2 15.

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二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(C)

【解析】利用函数连续定义判定.

由于当x?0时,sin1为有界变量,x2x?0x为无穷小量,则 1?0,且f?0??0. 2xlimf?x??limx?0xsin于是f?x?在x?0处连续.故(A)、(B)不正确. 又因为

xsinx?0?lim1?f?0?x2?limx?0?x?0xsin1x2?lim1sin1

x?0?xx2x不存在,所以f?x?在x?0处不可导,所以选(C).

【相关知识点】函数连续定义：如果函数在x0处连续,则有limf(x)?limf(x)?f(x0).

x?x0?x?x0?(2)【答案】(A)

【解析】F??x??f?lnx?1?x?1??1?f?lnx?1?1?f????2???2f??.

xx?x??x??x?【相关知识点】积分上限函数的求导公式：

d??x?f?t?dt?f???x?????x??f???x?????x?. ??x??dx(3)【答案】(C)

【解析】利用行列式的性质,有

?3,?2,?1,??1??2???3,?2,?1,?1??3,?2,?1,?2

???1,?2,?3,?1??1,?2,?3,?2(?1和?2互换,行列式变号) ??m??1,?2,?2,?3?n?m.

(4)【答案】(B)

【解析】方法1：由?为A的特征值可知,存在非零向量?,由A????,??0,有

11A2???A???2?,A2???2A?.

331212124即若?是矩阵A的特征值,则?是矩阵A的特征值,因此,A有特征值.从而

33333?12?有特征值.故应选(B). A??43???1 Born to win

?12??12方法2： ?A???3?A??,

?3?11?1?12是A的特征值,于是是?A?的特征值.应选(B). 24【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列向量X使得AX??X成立,则称?是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征

由??2是A的特征值,知向量.

(5)【答案】(A) 【解析】X?1N??,42?,YN??,52?;则求出p1、p2:

???4???p1?P?X???4?????????1?,4??

?Y???p2?P?Y???5??P??1??1???1?????1?,5??因此,对任何实数?,都有p1?p2,应选(A).

三、(本题满分5分)

【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得

dz?dy?dx?ez?y?xdx?xez?y?x?dz?dy?dx??0,

z?y?xdz?1?xez?y?x?ez?y?xdx?1?xez?y?xdy. 整理后得 1?xe??????1?xez?y?x?ez?y?xdx?dy. 由此,得 dz?1?xez?y?x方法二：应先求处函数对x,y的偏导数,将z?y?x?xez?y?x?0两边分别对x,y求偏导,

z?y?xz??xez?y?x?z?x?1?ex?1??0,z?y?xz??1?xe?z?y?1??0,y1??x?1?eez?y?x?1??解之得 z?x1?xez?y?x1?xez?y?x z?y?1,

z?y?x,

1??x?1?ez?y?x?dx?dy. 故 dz?z?xdx?zydy?z?y?x1?xe

四、(本题满分7分)

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【解析】 lim?令?2a?2a??x?a????lim1??lim1??x??????x??x?a???x?a?x???x?a?xx?x?a??2ax?????????2a??x?a?,

2a?t,则当x??时,t?0, x?a2a??lim?1??x???x?a??x?a?????2a??lim?1?t??e,

t?0?2ax?lim???x?a?1t2a??所以 lim?1??x???x?a?而

?x?a??2ax?????????2a??x?a??ex????e?2a.

?????a4xedx??2?b???2?2x??axde2?2x????2xe2?2x?2x??4xedx ??aa?? ?lim?2be ?2ae ?2ae2?2a?2?2b?2a2e?2a??2?xde?2x

a??a???2x????2xe???2?e?2xdx

a??2?2a?2b?2a?2b?2a????lim??2be?2ae?lim?e?e?b????? b???? ?2ae由e?2a2?2a?2ae?2a?e?2a,

?2a2e?2a?2ae?2a?e?2a,得a2?a?0,所以a?0或a?1.

五、(本题满分7分)

【解析】(1)由C?x??25000?200x?12x,得平均成本 40250001C??200?x,

x40对x求导,并令

dC?0,得 dxdC250001????0, dxx240解得x?1000,x??1000(舍去).

d2C又因为

dx2?x?100050000?0, 3xx?1000所以x?1000时,C取极小值,亦即最小值. 所以生产1000件产品可使平均成本最小.

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(2)利润函数 L?x??500x??25000?200x?两边对x求导,并令

??12?x?, 40?dLdLx?0,得 ?300??0. dxdx20d2L1?0,所以x?6000时L?x?取极大值,也是最大值. 所以x?6000,又2??dx20因此,要使利润最大,应生产6000件产品.

六、(本题满分6分) 【解析】令f?x??1p1x??x,则f??x??xp?1?1.令f??x??0得x?1. pq方法一：又因为p?1,所以

?xp?1?1,????0?x?1, ?p?1?x?1,??1?x?????f??x??0,????0?x?1,f?x?严格单调减所以 ?,

?fx?0,??1?x???,fx严格单调增??????所以 f?1??1p11??1?0为函数f?x?的极小值, pq1p111x??x?0,即 xp??x. pqpq所以 f?x??方法二：因为f???1??p?1?0,则f?1?是f?x?在x?0时的极小值,即最小值. 故当x?0时,有f?x??f?1??0,即

七、(本题满分13分)

【解析】函数的定义域为x?0.

1p1x??x. pqx?2??x?3?1?y??ex, 令y??0,得

x2x1??2,x2?3.

613x?61x??x??y???e,y?0 令得. 313x4列表如下：

Born to win x y? 6?6?6?? ?2,? ??,?2? ??,0? ???2 ??13?13?13??+ - ?0,3? - + 3 ?3,??? + + 0 - - - - + 0 + y?? 0 y 单调增；凸 极单调减； 单调减；大单调减；凸 拐点 凹 凹 值 极单调增；小凹 值 极大值yx??214?;极小值yx?3?9e3.

e1xy?lim由 lim?x?6?e???知,x?0为铅直渐近线. ??x?0x?0x?0?limy?lim?x?6?e?6lim?e?0. ?x?0x?01x1x又由求斜渐近线公式,得

1f?x?x?6?e?a?lim?lim?limex?1, x??x??x??xx1x1??xb?lim?fx?x?limx?6e?x?????? ?x???x?????1?1??limx?ex?1??lim6ex?1?6?7, x????x??所以y?x?7为渐近线.作出图形如下：

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八、(本题满分8分)

【解析】由公式AA*?A*A?AE,有

A*AA?A*?E.按可逆矩阵定义,知 AA?A?A?1A. A?A?由于A*?1???1?1?A,求A?1的逆矩阵.

作初等行变换,将第一行乘以??1?分别加到第二行和第三行上,有

?111100??111100????010?110?,

121010?A?1|E?????????113001????002?101??再将第二行乘以??1?加到第一行上,第三行自乘以左边化为单位矩阵,有

1,再第三行乘以??1?加到第一行上,将2??101? ??010??001?2?1?12??100?10????10???0101??0??0012??52?1?121??1??2?10?.

1?0?2??5?2??1?1于是, A??A????1?1???2?1又因A?2,故知A1??1??2?10?.

1?0?2???*?1?A?1?5?2?1??.

A???220?????101??

九、(本题满分8分)

【解析】方法1：对A按列分块,记A???1,?2,列向量?j?1,2,,?n?,其中m维列向量?j是A的第j个

n?.设存在数x1,x2,xn,使得

?xn?n?0,

x1?1?x2?2? Born to win

即 ??1?2?x1??x1??x??x??n??2??0,亦即 A?2??0.

????????x?n??xn??x1??x1??x1??x??x??x?222两边左乘B,得BA???0, 即E???0, 亦即???0.

?????????????xn??xn??xn?由于x1?x2?xn?0,所以矩阵A的列向量线性无关.

方法2：因为A是n?m矩阵,n?m,所以r?A??n. 又由于r?A??r?BA??r?E??n,故r?A??n.

所以A的列秩也为n,而A只有n个列,故A的列向量线性无关.

注：方法1用定义法,方法2用秩.只是两个重要思路,都值得很好体会.

【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数k1,k2,使k1?1?k2?2?否则,称?1,?2,,km,

?km?m?0,则称?1,?2,,?m线性无关．

,?m线性相关；

2.矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩.

十、(本题满分8分)

【解析】(1)依题意,随机变量X和Y同分布且相互独立,所以

P?B??P?Y?a??P?X?a??P?A?,

且A、B相互独立,所以P?AB??P?A?P?B?.设P?A??p,由概率的广义加法公式得

P?AB??P?A??P?B??P?AB??P?A??P?B??P?A?P?B?

?P?A??PA?P?A?PA?1?p?1?p??2解以p为未知量的方程 p?p?????7. 92?0,得p1?1,p2?2.

339再依题设条件可知

aa111?P(A)?P{X?a}??f(x)dx??dx?(a?1),

11232aa121?P(A)?P{X?a}??f(x)dx??dx?(a?1),

11232 Born to win

解得a的两个可能值为：a1?1?2?5,a2?1?4?7.

3333(2)求随机变量函数的数学期望直接根据公式可求得

?1E??X十一、(本题满分8分)

??13111??fxdx??dx?ln3. ???????1x2x2?

【解析】本题的关键在于理解随机变量N?t?的意义,事件{N?t??k}表示设备在任何长为t(?t)k??te(k?0,1,2). 的时间内发生k次故障,其概率为P{N?t??k}?k!由于T表示相继两次故障之间时间间隔,故当t?0时,F?t??P?T?t??0;当t?0时,事件?T?t?与?T?t?是互逆事件,并且?T?t?表示在长为t的时间内没有发生故障,它等价于事件N?t??0.

(1)易见T是只取非负值的连续型随机变量.

当t?0时,F?t??P?T?t??0;

当t?0时,事件?T?t?与N?t??0等价.于是有

??F?t??P?T?t??1?P?T?t??1?P?N?t??0??1?e??t.

?1?e??t,??t?0因此 F?t???.

?0,??????????t??计算得知T服从参数为?的指数分布. (2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此

Q?P?T?16|T?8??P?T?8??1?P?T?8??1?F(8)?1?(1?e?8?)?e?8?.

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