2011全国数学建模B题论文 - 图文

城市交通巡警平台的设置与调度

摘要

由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。本文要解决的就是某市设置交巡警服务平台设置方案，以及如何处理在确保突发事件问题。

对于第一问，根据附件中的各点的坐标和图中所给的各标志点之间的相邻关系，我们求得任意两个相邻标志点的直线距离，根据附件中的全市交通路口的路线做出了邻接矩阵，再用Floyd算法求得任意两点间的最短距离。在此基础上，为了确定需要增加平台的具体个数和位置，采用主成分分析法。应用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法进行搜索得到了该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

对于第二问，给出了设置交巡警服务平台的可量化的原则和任务，对现有方案进行评价然后进行优化；案发地点在A区，题目没有给出逃犯的车速，这里要处理好，怎样叫实现了围堵也是需要考虑的问题。

关键字：邻接矩阵、距离矩阵、整数线性规划、主成分分析、surfer作图

一．问题的重述

警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：

（1）为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。

如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。

二、问题的分析

问题一中有三个小问题，分别讨论在现有巡警台不变的情况下，确定出每个巡警台的控制范围，要求在三分钟之内尽可能到达；当有案件发生时，各交巡警按预定的路线到达指定路口封锁该路口，要求我们给出各节点接到指示时他们的

行车路线；根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。根据给出的地图和其他数据，运用matlab软件使用Dijkstra算法以及floyd算法，确定出了最短路径，从而可以计算得出每个巡警台所能控制的范围。不仅仅要考虑运行路线的最短和优化性，还要考虑时间尽可能较少的优化。

问题二

三．基本假设

1.不考虑巡警在实际工作中所出现的故障而导致延误追捕。 2.假设各站点的警力量是平均一致且为一固定值（巡警台人数高峰期和低潮期的平均值为单一均值）。

3.在整个路途中，通过各种通讯工具，走的路程都是最短路程。

4.不考虑巡警车在行驶过程中出现的塞车、抛锚等耽误时间的情况。 5.不考虑警员所消耗的时间。

7.在整个路途中，转弯处不需要花费时间

8.由于题目没有给出逃犯的车速，假设逃犯的速度应该不大于警车的时速；

（1）

I、要求各交巡警服务平台在其分配的管辖范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地，也即要求服务平台的管辖范围为一个圆域，半径为3公里。作图的代码见附录1，得到图1。

图1 管辖范围

计算每个平台到所覆盖的节点的距离。如果一个节点同时被多个平台覆盖，那么选取离其最近的平台。该区交巡警服务平台警力的调度方案如下：

表1

管辖范围 管辖范围 管辖范围 管辖范围 管辖范围 管辖范围 平台1 节点67 节点68 节点69 节点71 节点72 节点73 节点74 节点75 节点76 节点78 平台2 节点39 节点40 节点43 节点44 节点70 平台3 节点54 节点55 节点65 节点66 平台4 节点57 节点60 节点61 节点62 节点63 节点64 平台5 节点47 节点49 节点50 节点51 节点52 节点53 节点56 节点58 节点59 平台6 平台7 节点30 节点32 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 16.19 12.07 5 15.3 13 18.36 6.26 9.3 12.84 6.4 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 36.82 19.14 8 9.49 8.6 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 22.71 12.66 15.24 18.4 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 18.68 17.39 52.1 3.5 10.31 19.37 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 14.56 5 8.49 12.3 16.6 11.71 20.84 23.86 13.22 空缺 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 5.83 11.4 节点48 平台8 节点33 节点46 平台9 节点31 节点34 节点35 节点45 平台10 平台11 节点26 节点27 平台12 节点25 平台13 节点21 节点22 节点23 节点24 平台14 平台15 节点28 节点29 平台16 节点36 节点37 节点38 平台17 节点41 节点42 平台18 节点80 节点81 节点82 节点83 平台19 节点77 节点79 平台20 节点84 节点85 节点86 12.9 管辖范围 管辖范围 管辖范围 管辖范围 管辖范围 管辖范围 管辖范围 管辖范围 管辖范围 管辖范围 管辖范围 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 8.28 9.3 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 20.55 5.02 4.24 5.02 空缺 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 9 16.43 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 17.89 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 27.09 9.06 5 23.85 空缺 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 42.52 57.01 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 6.08 11.18 34.06 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 8.5 9.85 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 8.06 6.71 11.73 5.39 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 9.85 4.47 平台到节点间的距离及范围（备注：单位：百米） 11.75 4.47 3.61 节点87 节点88 节点89 节点90 节点91 节点92 14.66 13.52 9.49 13.03 15.99 36.04 II、为了得到该区交巡警服务平台警力合理的调度方案，首先我们计算A区92个节点彼此之间的实际距离

1、首先我们可以根据题中所给的各个标志点的坐标，用matlab计算出任意两点之间的直线距离，得到92*92的距离矩阵m：

?m11??m21m????????mn1m12m22??mn2????????m1n??m2n???????mnn?

代码见附录2

2、根据题中交通路口的路线，我们可以得到各标志点的邻接矩阵：

?n11??n21n????????nn1n12n22??nn2????????n1n??n2n???，即如果两个点相邻，则邻接矩阵中相对应的元素????nnn?的值为1，否则为0；例如：1和2这两个点相邻，那么错误！未找到引用源。。

代码见附录3

3、根据Floyd算法，我们是要求出各标志点任意两两之间的实际交通距离，所以我们需要得到A区相邻两个标志点的沿公路的交通距离。我们可以利用距离矩阵的元素错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的点乘积得到相邻标志点间的距离矩阵：

?D11??D21D?m.*n????????Dn1D12D22??Dn2????????D1n??D2n??? ????Dnn?4、我们可以将D中不相邻点间距离0改为无穷大（Inf）从而得到标志点与标志

点间的权值矩阵：

?W11??W21W????????Wn1W12W22??Wn2????????W1n??W2n???，即如果1????Wnn?和5之间不相邻，

也即不能直接到达，那么D中的错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。都将变成错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。等于无穷大（Inf），否则则等于D中相应元素的数据。

5、运用Floyd算法求出任意两点间最短距离，得到最短距离矩阵d：

?d11??d21d????????dn1d12d22??dn2????????d1n??d2n???????dnn?

算法见附录4，矩阵d见附录5。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁，也即要封锁13条交通要道在A区内的交通路口节点，标号为12、14、16、21、22、23、24、28、29、30、38、48。 该问题转化为整数线性规划问题：

Min 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 约束：

i、j、k、l、m、n、p、q、r、s、t、u错误！未找到引用源。20的整数且互不相同；

这里应用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法进行搜索，算法描述如下： （1）假设用带权的邻接矩阵arcs 来表示带权有向图

S为1-20整数的集合，它的初始状态为20个元素的集合，初值为0。i、j、k、l、m、n、p、q、r、s、t、u这12个未知数各自按先后顺序实现从1-20的循环，每一次选择了一个1-20之间的整数，则将其从S的集合中删除。

（2）D表示总共的cost，每一次对未知数选择了一个整数v后，则加上以该未知数为列数，v为行数的d矩阵中相应的元素值。

（3）如果后面算的的D值比前面所算得的D值小，那么选取小的那个D值 （4）在操作（1）、（2）中共循环20错误！未找到引用源。20!/8!次。 结论：i=12,j=14,k=16,l=14,m=15,n=13,p=12,q=11,r=10,s=7,t=3,u=6

表2 封锁分配图 14 16 21 22 23 24 28 29 30 38 48 节点标号 12 14 16 9 15 13 12 11 7 8 3 6 对应平台 10 63.64 0 0 104.6 85.04 5.00 26.93 27.29 80.15 30.61 24.44 21.93 Cost Miniun 469.63 Total cost III、为了确定需要增加平台的具体个数和位置，这里我们采用主成分分析。 ① 计算相关系数矩阵

我们首先计算未设置为服务平台的72个节点如果设置为服务平台，那么相

应的考虑了距离和发案率的工作量。从矩阵d后72列和后72行抽出得到72错误！未找到引用源。72的矩阵，该矩阵中的每一个元素乘以相应行数对应的发案率得到矩阵错误！未找到引用源。这样既考虑了平台相应的出警时间，又考虑了相应的发案率。由矩阵X可以计算出相关系数矩阵

?r11?r21?R??????rp1r12r22?rp2????r1p??r2p????rpp??

在上式中，rij（i，j=1，2，…，p）为原变量的错误！未找到引用源。与错

误！未找到引用源。之间的相关系数，错误！未找到引用源。矩阵X的第i列和第j列，其计算公式为

n?(xrij?k?1nki?xi)(xkj?xj)n2

?(xk?1ki?xi)?(xk?1kj?xj)2

错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为矩阵X第i列和第j列元素的平均值，n=72

② 计算特征值与特征向量

首先解特征方程?I?R?0，通常用雅可比法（Jacobi）求出特征值错误！未找到引用源。，并使其按大小顺序排列，即错误！未找到引用源。0。

③ 计算主成分贡献率及累计贡献率 主成分错误！未找到引用源。的贡献率为

累计贡献率为

错误！未找到引用源。(i=1,2,错误！未找到引用源。)

选取累计贡献率达85—95%的特征值错误！未找到引用源。建议增加的平台个数为3个，分别是22、23、24。

主成分分析matlab代码见附录6

（2）

I、根据犯罪率和人口密度与巡警台的正比关系，可以得出，人口密度越大，犯罪率越高的地方，更应该增加巡警台的设置。首先形象地表示各区每个标点的犯罪率高低以及人口密度，从而更好地得出结论

A区各结点犯罪率的标示图

B区各结点犯罪率的标示图

C区各结点犯罪率的标示图

D区各结点犯罪率的标示图

E区各结点犯罪率的标示图

F区各结点犯罪率的标示图

由于犯罪率和人口密度与巡警台的正比关系以及图中所表示的情况可以得出，当前设置的巡警台存在不合理性，更改的结果是：A区情况第一问已经给出，B区警力配置基本合理，不需再多做调度。C区需要增加一个，增加在273路口

148.9228 133.1540 119.1354 132.3301 102.6499 106.3297 79.1770 82.1736 72.8629 33.0606 125.3196 113.2828 94.8591 100.4353 63.8905 65.7951 38.1838 48.1923 43.5660 12.8062 82.0792 67.6831 51.8773 66.2288 48.0416 55.0364 39.4462 25.6223 14.5602 55.0818 24.0832 14.4222 35.3306 54.4266 86.3539 93.2952 101.6514 82.5984 82.2982 133.3754 22.4722 40.3113 52.4619 51.4125 93.1343 97.7394 115.3516 99.0581 103.1601 156.8949 15.8114 34.4384 41.4638 37.1652 79.0253 83.4865 101.7104 85.9796 90.8240 144.5579 46.7547 65.4370 74.2243 65.1249 106.5317 109.5536 130.9695 116.7497 122.5765 176.0824 181.5709 165.7106 151.7638 164.3175 132.4575 135.2479 107.6151 113.2453 104.6375 57.1402 199.4618 183.6981 169.5590 181.5248 148.4924 150.8145 123.1666 130.0250 121.8277 72.2496 210.1904 194.3399 180.3282 192.3337 159.1132 161.3196 133.6899 140.7924 132.6386 82.7587 212.5135 198.2171 182.0254 190.3083 153.3786 154.2012 127.3146 137.9801 131.7004 78.2624 195.1333 181.1767 164.6003 172.4014 135.3514 136.2094 109.2886 120.0771 114.0175 60.4152 167.3708 152.8823 136.9535 146.5512 111.8660 113.8640 86.2670 94.4378 87.2353 35.3836 170.9247 156.9243 140.4066 148.8036 112.8373 114.3208 86.9382 96.5000 90.0125 36.7865 172.8034 160.7016 142.3701 146.6092 107.3313 107.1868 81.4371 94.9868 91.0824 39.1152 168.4429 157.1146 138.2109 140.9441 100.8464 100.1848 75.2728 90.0250 87.1436 37.9473 99.3227 92.1792 71.3180 67.8178 26.5707 26.4008 5.8310 24.5459 31.4006 52.8015 98.3260 88.3629 68.5000 71.1214 34.6554 37.7359 11.1803 19.6596 20.1246 42.0119 87.0919 77.9295 57.6390 59.4243 24.6982 29.4109 11.4018 8.6313 14.7648 53.2541 86.4696 76.3217 56.5088 60.5991 28.6356 33.9559 15.6205 8.2765 10.0000 51.4782 86.5867 75.0017 56.1471 63.5138 35.2598 41.1005 22.3886 12.7769 5.0249 49.2164 79.5550 67.1193 48.9923 59.2220 37.1214 44.0114 29.8329 14.5774 4.2426 55.7853 80.9568 67.6018 50.4505 62.5879 42.1070 49.0102 33.8378 19.5576 8.5440 54.7449 85.4400 72.4431 54.8840 65.6220 41.7732 48.1664 30.4138 18.8282 7.2801 50.0100 51.0392 34.5398 24.4387 48.5412 56.0357 64.0703 62.7694 43.4108 39.8497 89.1403 49.3964 33.5261 21.9146 45.6098 53.6004 61.6117 61.2944 41.8629 39.0512 89.3588 37.5832 19.1442 21.1009 47.5946 67.2347 74.9567 78.1313 58.6941 56.6789 106.6419 31.5634 17.4428 36.1732 58.3095 86.8116 94.1077 100.1312 80.7976 79.3363 129.0242 16.1555 16.0312 36.1836 50.6582 86.1626 92.6121 103.5761 85.0323 86.0233 138.3112 16.1245 8.0000 28.6400 45.7193 79.2023 85.8836 95.9010 77.2172 78.0064 130.2498 23.0217 9.4868 11.6297 34.0771 62.6498 69.6419 78.6448 59.9708 61.1310 113.9517 73.0068 61.0082 42.4647 52.7376 34.1321 41.5933 32.0156 13.7295 9.0000 62.3618 71.8471 61.2046 41.6083 48.9004 28.1603 35.6931 28.6531 9.3005 10.8167 64.2573 88.9550 83.2166 62.1550 56.2694 14.5602 14.8661 12.8062 20.7966 31.0483 63.7024 99.1413 93.3006 72.2582 66.0927 24.0832 21.9317 12.1655 28.2931 36.7151 59.0762 72.1803 67.5426 46.5108 39.3859 5.0000 13.0384 26.9258 19.9625 31.3209 76.2168 71.7844 69.8928 49.4292 36.2802 8.4853 10.0499 34.4093 30.3727 41.7612 84.9588 67.9890 66.1551 45.7739 32.6382 10.5119 13.7295 36.5308 30.4138 41.5030 86.6170 64.5600 62.1289 41.6203 30.0042 12.0416 17.0880 37.1618 28.7141 39.3573 86.4002 65.7647 60.8358 39.8026 34.0771 11.4018 19.1050 31.7805 20.5548 30.8869 79.3221 43.1856 38.5876 18.0624 18.2003 33.6155 40.3113 53.0094 36.7491 42.5441 95.8541 42.4264 33.5261 12.6590 26.4622 39.4081 46.8615 54.7449 36.5034 39.5601 93.3006 60.8769 57.9828 37.4066 27.2259 15.1327 21.0238 38.8973 28.2931 38.2753 87.0919 55.2472 56.2161 37.5832 18.6815 24.8646 28.0045 50.3612 40.6602 50.4009 99.3340

62.6099 63.6553 44.7018 25.8118 21.0950 22.3607 47.1699 40.3547 51.0000 97.3088 66.1287 65.0000 44.9138 30.3356 13.4164 16.0312 39.4462 32.9317 43.8634 89.4986 52.6972 56.4004 39.7398 15.9452 32.3110 34.3657 58.1378 48.7904 58.4123 107.4151 85.9069 85.6037 65.4847 49.2164 19.4165 12.0000 37.5899 41.5030 53.0377 87.8009 38.8330 43.9090 30.1040 3.5000 42.2966 46.0435 66.7608 54.0231 61.8466 113.7409 27.2029 34.1760 25.1446 10.3078 52.0096 56.5685 75.1332 60.4525 66.7308 119.9208 22.1359 25.4951 17.2409 15.9138 53.9351 59.4811 75.1066 58.8430 63.6946 117.3925 18.1108 19.6977 15.2398 21.6391 57.9741 63.9062 78.0064 60.9631 64.8460 118.5960 15.2971 19.6469 18.2003 23.0054 60.6383 66.4078 81.0000 64.0664 68.0074 121.7580 12.0000 16.1245 19.2419 27.2443 64.2884 70.2282 84.0536 66.7271 70.0928 123.7619 8.0623 17.1172 23.3077 29.7027 67.9117 73.6817 88.0227 70.7990 74.2159 127.8828 5.0000 13.8924 26.8002 36.7049 74.0405 80.0562 93.2631 75.5149 78.0897 131.4686 10.2956 8.6023 24.5204 38.5389 73.7360 80.1124 91.7878 73.5833 75.4255 128.4562 8.2462 14.4222 31.5000 43.1074 80.0062 86.1626 98.6154 80.5388 82.4924 135.5175 13.0000 15.5242 34.7311 47.9505 84.1546 90.4710 102.1078 83.7526 85.1469 137.7679 10.2956 21.9545 38.6167 47.2573 85.8662 91.7061 105.3043 87.5014 89.8053 142.9720 6.2650 20.2299 35.3553 43.2261 81.9771 87.7568 101.6772 84.0372 86.6386 139.9759 9.3005 21.6449 25.8118 27.7354 67.4870 72.8869 88.5353 71.8471 75.9111 129.6630 12.0416 25.0799 27.4089 25.8118 66.4831 71.5891 88.2043 71.9757 76.5506 130.2997 11.7047 27.6586 31.8002 28.9871 70.2567 75.1332 92.3472 76.3053 80.9938 134.7368 6.4031 25.2389 35.9340 38.4480 78.9177 84.1724 100.0200 83.1655 86.8332 140.5205 13.0384 31.9061 41.1491 39.7146 81.2219 85.9884 103.3102 87.0776 91.3947 145.1516 17.0294 35.8050 45.6207 43.3503 85.0941 89.6772 107.4663 91.3920 95.8175 149.5761 26.5707 43.0116 57.0898 57.7862 99.3227 104.0865 121.1487 104.5108 108.1712 161.8178 29.0904 46.4785 59.2368 57.6758 99.5452 103.9820 121.9969 105.8123 109.9602 163.6956 27.0185 45.2769 56.3494 53.0212 95.0000 99.2472 117.8346 102.0123 106.5692 160.3278 36.0694 54.6717 64.2359 57.4913 99.4082 103.0194 123.1666 108.1873 113.4637 167.1407 42.6380 61.4003 69.8087 60.7557 102.2595 105.3850 126.6057 112.3054 118.1059 171.6188 47.3814 65.8559 75.5860 67.5740 109.1788 112.3610 133.4166 118.9054 124.4829 178.0842 41.3401 58.8982 71.1354 67.0914 109.1146 113.0177 132.3707 116.7840 121.4331 175.1913 39.6011 57.6390 68.8840 63.7377 105.7320 109.5000 129.2178 113.8870 118.7992 172.5406 38.2099 56.6392 66.8001 60.4669 102.3963 106.0189 126.1150 111.0608 116.2454 169.9441 35.5317 53.7448 64.6471 59.6343 101.6489 105.5107 125.0300 109.6358 114.5273 168.2691 38.2753 55.9732 67.9945 64.0488 106.0754 110.0409 129.2594 113.6332 118.2709 172.0291 31.0161 44.3847 61.1658 65.3854 106.2121 111.4002 127.0157 109.6928 112.4500 165.7377

Columns 11 through 20

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Columns 21 through 30

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