等差数列前N项和教案

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课 题：等差数列的前n 项和

教学目的：

知识目标：能模仿教师所讲例子利用等差数列的前n 项和公式解决问题；由()12n n n a a S +=、()112

n n n S na d -=+两个公式中，共5个量，已知其中任意三个量，能求解出另外两个量。

能力目标:

等差数列前N 项和公式的应用。

情感目标：

让同学们获得发现的成就感，寓学于乐。 教学重点：等差数列n 项和公式的理解、推导及应

教学难点：让同学们动脑猜想、归纳公式及其推导思路。

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：三角板

内容分析：

本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和 等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法

教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下前几节课所学主要内容：

1．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）

2．等差数列的通项公式：

d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))

3、等差数列的性质：：在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )

二、讲解新课：

1、 “小故事”:

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高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

“1+2+3+…+100=5050

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“首尾相配”法

()()()()()

S=++++++++++

110029939849525051 n

S=?=

101505050

n

分组讨论：

同学们与我们的小高斯比一比，看谁算得快，我们也能成为小高斯。（1）、1+3+5+7+…+99=？

（2）、2+4+6+8+…+100=?

同学们请讨论下面的问题：

（1）、1，3，5，7，…，99与2，4，6，8，…，100从数列角度上看是什么数列？

（2）、利用高斯的“首尾相配”法求出这两个数列之和；

（3）、高斯的算法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般的等差数列前n 项和吗？

（4）、总结高斯方法的优点、缺点？

由两个小组的同学推荐一名同学出来解答：

()()()()()

S=++++++++++=

199397595475349512500 n

()()()()()

2100498696485450522550

S=++++++++++=

n

2、观察特点：公差为2的等差数列，首尾相配法。注意该方法的缺点：奇数项利用首尾相配的方法要余一项，项数也要利用等差数列的通项公式计算出，增加了解题的繁冗。

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为解决这一缺点，引导同学们发现“倒序求和”法：利用等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于首末两项和的性质。

123499100n S =++++

++ +100994321n S =++++++

()()()()()211002993989921001n S =++++++

+++

()100110150502n S +== 在该数列中：100n =、11a =、101n a =

猜想：对于一般的等差数列{}n a 的前n 项和的求法：()12

n n n a a S += 3、问题推广：

能用倒序求和法推广到一般的等差数列的前n 项和吗？同学们思考并回答：

在等差数列{}n a 中，

1231n n n S a a a a a -=+++

++ +1321n n n S a a a a a -=+++++

=()()()()()121321212n n n n n n S a a a a a a a a a a ---=+++++++++ ()()()()()12132121n n n n n a a a a a a a a a a ---+=+=+=

=+=+

()12n n n a a S +∴=（公式一） 注意：知道了等差数列{}n a 中的n 、1a 、n a 可以直接计算n S ；在这四个量中，已知其中任意三个量可以求出另外一个量。

我们将等差数列的通项公式()11n a a n d =+-代入公式一

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得到()112

n n n S na d -=+（公式二） 注意：知道了等差数列{}n a 中的n ，1a ，d 可以直接计算n S ；在这四个量中，已知其中任意三个量可以求出另外一个量。

从两个公式可以看出：两个公式共五个量，已知其中三个量可求另外两个量，即知三求二；在解题中要注意公式的选择。

4、例题分析：

例题1 已知等差数列{}n a 中，18a =-，20106a =，求20S

解：公式一 ()202081069802

S ?-+== 例题2 等差数列 13,9,5,1,3,

----的前n 项和等于50？ 解：设数列的前n 项和是50

113a =-，29a =-，()219134d a a =-=---=

公式二 ()1501342

n n n -=-+? 2215500

n n --= 110n =或252

n =-（舍去） 所以该数列的前10项和为50。

5、学生分组训练：

一组:

一堆圆木，每层比上一层多一根，共有21层，这堆木料多少根？

二组：

一只挂钟，遇整点敲钟，钟响的次数是该点的时间数，从1点到12点共

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响几次？

由两个小组的同学自觉解答；教师完成解答情况讨论，对作对的同学进行表扬，做错的同学分析问题出在哪里？从而鼓励。鼓励同学们分析观察。

三、小结 本节课学习了以下内容：（由学生们总结）

1.等差数列的前n 项和公式一：2

)(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式二：2)1(1d n n na S n -+

= 从两个公式可以看出：两个公式共五个量，已知其中三个量可求另外两个量，即知三求二；在解题中要注意公式的选择。

四、课后作业：

（1）、课本第10页练习题6.2.3

（2）、自己编写一道求等差数列的前n 项和的练习题

（3）、预习6.2.4

五、板书设计

等差数列的前n 项和

? 复习引入 公式一的推导 例题1

? 首尾相配法 公式二的推导 例题2

? 倒序求和法 分组训练

六、教学反思：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/iysj.html