6指数模型

6指数模型及其应用

6.1单指数模型

在马科维茨的均值-方差模型的讨论中，各资产间的协方差我们可以作任何假定，它们可以是由资产间存在的任意数量和种类的关系产生，而且在计算风险时所用的公式

?2(rP)?XTVX中，我们必须对所选择的资产间的协方差进行估计。如果资产数目太大，

我们就必须进行大量的协方差估计，使得在计算任一给定投资组合的方差时，需要花费大量时间。这是使用上节中的马柯维茨模型所存在的问题。

在E(rP)??xE(r)，?iii?1n2P??x???2i2ii?1nni?1k?1,k?i?xx?iknik?i?k公式中，这里的数学公

式告诉我们，如果投资者考虑的是由n个资产构成的组合，那么在求解有效资产组合时，需要掌握三个方面的基本数据：

（1）每一资产的平均收益率E(ri)，共需n个； （2）每一资产收益方差?i2，共需n个；

（3）每一对资产之间的相关系数?ik，共需n*(n-1)/2个。

总计需要2n+ n*(n-1)/2个基础性数据。对于每天追踪30~50种股票的投资机构来说，每天需要处理495~1325个数据；对于每天追踪150-250种股票的投资机构来说，每天需要处理11475~31625个数据；显然，这对各种投资者来说都是一件非常耗时的事情。那么，如何使投资组合理论和方法有效实用，简便易行，真正为金融财务工作者服务，就成了金融财务经济学家极为关心的问题。单指数模型能帮助我们克服这一困难，使得确定投资组合的方差计算过程变得简单。

在股票市场中，我们发现，当市场投资组合（如股票市场指数）的收益率显著上升或下降时，几乎所有股票的收益率都随之上升或下降，虽然可能有一些股票的收益率比另一些股票的收益率上升或下降得要快，但总的来说都是呈相同趋势变化。这意味着，市场投资组合收益率的变化能充分反映各种资产的共同变化趋势。因此对各个资产收益率之间的协方差的计算，可以用每一资产收益率与市场投资组合收益率之间的协方差代替。单指数模型就是在假定资产的收益率只受市场投资组合即单指数收益率的影响下确定投资组合的权重。

设资产的收益率具有简单线性结构，即其收益率r和市场投资组合收益率rM具有关系式

r????rM?e

其中?，?为待估参数，e为残差。

假定市场中有n个资产，则按上述结构，第i个资产的收益率满足

rit??i??irMt?eit，i=1，2，…，n；t=1，2，…，N

12

在单指数模型的讨论中，假定影响各个资产收益率的因素有两类： 第一类为宏观因素。例如通货膨胀率，主要利率的变化、就业率等，在任何情况下，这些因素的影响都是相当大的，几乎所有企业，所有公司都不同程度地受到它们的影响，会引起资产价格总体水平的变化，再通过市场的推动，会影响到市场投资组合收益率水平，进而影响到各资产的收益率。因此宏观因素影响整个市场的收益率。

第二类为微观因素。例如一种新产品的推出或老产品的淘汰，局部地区或一个公司主要领导的变化，它们都只对个别企业或公司产生影响而不会影响到市场投资组合的收益率，从而使个别资产的收益率偏离市场特征线，出现残差。所以微观因素仅影响个别资产的收益率。

其他类型的因素在单指数模型中不予考虑。例如行业因素，某些事件对某一行业内的所有企业产生影响，但却不足以影响到整个经济形势或市场投资的收益率。虽然这类因素也能引起残差，但我们假定残差只由微观因素所致。从而我们有如下假设，对资产i，j=1，2，…，n，有

cov(ei,ej)?0,(i?j)

同时我们还假定

E(ei)?0 （6-1） cov(ei,eM)?0 （6-2）

式6-1说明在任一时期残差可能为正，也可能为负，但期望值为零。 式6-2说明资产残差与市场投资组合收益率不相关，即它与市场投资组合是多头或空头(销售方)无关，不因为市场投资组合为多头(购入方)而成正值，也不因为市场投资组合为空头而为负值。

由单指数模型结构假设rit??i??irMt?eit和以上各项假设有

E(ri)??i??iE(rM) （6-3）

?2(ri)?E[ri?E(ri)]2?E[?i(rM?E(rM))?ei]2

??i2?2(rM)??2(ei) （6-4） cov(ri,rj)?E[(ri?E(ri))(rj?E(rj))]

?E[(?i(rM?E(rM))?ei)(?j(rM?E(rM))?ej)]

=?i?j?(rM) （6-5）

2cov(ri,rM)?E[(ri?E(ri))(rM?E(rM))]

?E[(?i(rM?E(rM))?ei)(rM?E(rM))]

=?i?2(rM) （6-5）

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从而

?i?cov(ri,rM) （6-6） 2?(rM)（6-3）给出了资产i的特征方程，（6-6）表明特征方程中的?系数即模型结构中rM的系数恰好为资产i的风险?系数。（6-4）给出了资产i收益率的方差，它刻画出了资产i的风险，（6-4）右边的第一项称为资产投资的系统风险。可以看做是与整个市场组合有关的风险。它是由市场投资组合中各资产的风险共同作用产生的。是所有资产无法避免的风险。（6-4）右边第二项称为残差方差或非系统风险，可以看做是由微观因素所带来的风险，它仅影响到个别资产，是可以通过投资组合而消去的风险。因此（6-4）

?2(ri)??i2?2(rM)??2(ei)表明：

资产总体风险=系统风险+非系统风险

另外，系统风险本身是两项之积，第一项是资产的?-因子，它表示资产收益率随市场投资组合的变动而受影响的程度，第二项是市场投资组合收益率的方差，表示市场投资组合收益率的变化幅度。第二项非系统风险，即残差方差，表示资产收益率由于偏离了特征线而引起的那部分方差的大小。在单指数模型的假设下，资产收益率的总体方差来自两部分：一部分是特征线的变动（即系统风险），另一部分是各点偏离特征线的程度(即非系统风险)。

下面考虑在单指数模型下投资组合的结构。

设满足单指数模型的n个资产的投资组合，则投资组合仍有单指数结构：

rP??xiri??xi?i?(?xi?i)rM??xiei（6-7）

i?1i?1i?1i?1nnnnE(rP)??xiE(ri)??xi?i?(?xi?i)E(rM)??xiE(ei)

i?1i?1i?1i?1nnnn简写为：RP??P??PRM?eP

?P?cov(rP,rM)/?(rM)?cov(?xiri,rM)/?2(rM)

2i?1n??xicov(ri,rM)/?(rM)??xi?i （6-8）

2i?1i?1nn由cov(，（6-2），有 ei,ej)?0(i?j)和（6-1）

?(rP)??(?xi?i?(?xi?i)rM??xiei)

22i?1i?1i?1nnn 14

?(?xi?i)?(rM)??xi2?2(ei) （6-9）

22i?1i?1nn在单指数模型下，（6-7）表明投资组合仍具有同类的单指数结构，（6-8）表明投资组合的?因子为各资产?因子的加权平均，而（6-9）表明投资组合的方差（风险）与单个资产类似，仍由两部分构成，第一项是由市场投资组合方差反映的系统性风险，第二项反映的是组合中各资产非系统风险的加权平均（以xi2为权重）。

通过以上讨论，在单指数模型下，马柯维茨组合投资模型为

min?(rP)?(?xi?i)?(rM)??xi2?2(ei) （6-10）

222i?1i?1nn?n??xi?1?i?1 s.t.?nnn?E(r)?xE(r)?x??(x?)E(r)???PiiiiiiM?i?1i?1i?1?根据上面的公式可知，利用单指数模型进行资产组合，所需要的估计量如下： （1）n个市场风险敏感测度?i； （2）n个独立的风险指标?2(ei)； （3）n个与市场指数无关的平均收益率?i； （4）1个市场组合平均收益率E(rM)； （5）1个市场组合风险指标?(rM)。

总计需要3n+2个基本数据。这样，对于每天追踪30~50种股票的投资者，每天需要收集处理92~152个数据；对于每天追踪150~250种股票的机构投资者来说，每天仅需要收集处理452~752个数据即可。这与马柯维茨组合投资模型相比，该模型所需要估计的数值大为减少，它只需要估计各资产的?i值、?i值、残差方差?2(ei)及市场投资组合的预期收益率E(rM)和方差?(rM)，这比估计各资产之间的协方差的工作量少一个数量级。但该模型的精确度不如马柯维茨组合投资模型，它依赖于各资产收益率的单指数结构假设的合理性。

226.2指数模型与分散化

由Ri??i??iRM?ei（Ri,RM为超额收益率，即Ri?ri?rf,RM?rM?rf）可知：

15

RP??P??PRM?eP

现在要说明的是随着投资组合数量的增加，由非市场因素引起的投资组合风险变小了，而市场因素不变。

以等权重投资组合为例，权重xi?1/n，则

RP??xiRi?1/n?ri?1/n??i?(1/n??i)RM?1/n?ei

i?1i?1i?1i?1i?1nnnnnRP??P??PRM?eP与上式，发现：

非市场成分的敏感度：?P?1/n??i?1ni

n投资组合对市场成分的敏感度：?P?1/nn??i?1i

零均值变量：eP?1/n?ei?1i

222?P??P?M??2(eP)

222其中?P，不受投资组合分散化的影响。 ?M取决于?P和?Mn?(eP)??()2?2(ei)??2(e)

2i?11n1n?2(e)是公司特有成分方差的平均值，当n很大时，?2(eP)趋于0。

总之，随着分散化程度的增加，投资组合的总方差会接近系统风险。

6.3指数模型证券特征线的估计

给定ABC公司超额收益率的若干历史样本，将Ri??i??iRM?ei运用于ABC公司就可以得到如下的回归方程：

RABC??ABC??ABCRHS300?eABC

还可以得到此回归方程的拟合度R222ABC22?ABC?HS300 ?22?ABC?HS300??2(eABC)其中?ABC?HS300为公司ABC的系统风险，（公?2(eABC)为公司ABC的非系统风险司的特有风险）。

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例：有如下的数据样本

日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 市场组合 rMt 0.0123424 -0.046799 0.0350208 -0.007361 -0.008848 0.0017187 0.0206777 -0.005059 -0.026554 0.0092167 0.0040057 证券1 r1t 0.0119892 -0.037532 0.0056085 -0.007861 -0.025115 0.009206 0.0707477 -0.017223 -0.062731 0.0126366 0.0214576 证券2 r2t 0.0235732 -0.02174 0.0091158 -0.00546 -0.064052 0.0038835 0.0800427 -0.005381 -0.080492 0.0096994 0.0172253 证券3 r3t 0.0200568 -0.010379 0.0253579 -0.011015 -0.014343 -0.076704 0.0580727 -0.006563 -0.111322 0.0164237 0.0303053 证券4 r4t 0.0060976 -0.010695 0.0212774 -0.028988 -0.075538 0.0066556 0.1008728 -0.022745 -0.08145 -0.025275 0.0152416 对市场组合和证券1作回归得到如下图结果：

从上图可以看出，其中拟合度R?0.556581?在?2(ri)??i2?2(rM)??2(ei)中：

；?2(ei)?0.005404 ?2(ri)?0.012186；?i2?2(rM)?0.00678320.006783

0.012186?1??0.00047;?1?1.170407

对于证券2，证券3，证券4可做类似的讨论。

拟合图如下图所示。

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X Variable 1 Line Fit Plot0.10.050-0.06-0.04-0.02-0.0500.02-0.1X Variable 10.04Y预测 YY

6.4多指数模型

在单指数模型中，我们假定所有资产的收益率都只受一个市场投资组合，即市场指数的影响，因此资产收益率之间的协方差只受市场因素的影响。这时，描述资产收益率采用的单指数模型为

rj??j??jrM??j

它只涉及到一个市场指数的收益率rM。 然而，在更多的情况下，资产的收益率要受到包括市场因素在内的多种因素共同作用的影响，使得影响协方差的因素有多个。这些因素，可能是一系列经济指数，如通货膨胀率、失业率、利率、工业增长率等。设有N个影响因素，把这些因素作为指数，它们的收益率分别用I1,I2，...，IN表示。

显然，如果各指数收益之间不存在相关关系，那么它们就可以直接用于资产分析。但是现在经济活动中的各指数之间，往往存在某种程度的相关性，这些需要我们剔除它们之间的相关性。为简化问题，在下面的讨论中，我们假定各指数收益率之间不存在相关性。

设任一资产j的收益率可以表示成如下的多指数模型

rj??j???jiIi??j

i?1N其中Ii是影响资产收益率的第i个指数的收益率（i=1,2,..,N），?ji是度量第i个指数收益率变化对资产j收益率影响的因子，?j是资产j与各指数无关的平均收益率，?j是资产j收益率与各指数无关的残差。

在多指数模型中，假设

E(?j)?0

cov(Ii,Ij)?0,(i?j,i,j?1,2,...,N)

cov(?j,Ii)?0,i?1,..,N （6-12）

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cov(?j,?k)?0,(j?k)

在上述假设下，类似单指数模型，我们可以得到

E(rj)??j???jiE(Ii)

i?1N?jk?cov(rj,rk)???ji?ki?2(Ii)

i?12?(rj)???ji?2(Ii)??2(?j) 2i?1NN同单指数模型一样，对于投资组合P?(x1,x2,...,xn)，有

rP??P???PiIi??P

i?1NE(rP)??P???PiE(Ii)

i?12?(rP)???Pi?2(Ii)??2(?P) 2i?1NN其中?P?n?x?jj?1nj，?Pi??x?jj?1nnji,j?1,...,n

2?P??xj?j，?(?P)??x2?(?j) j2j?1j?1因此在多指数模型下，投资组合收益率的方差为

2?(rP)??(?xj?ji)?(Ii)??x2j?(?j) 222i?1j?1j?1Nnn这时，马柯维茨组合投资模型为

2min?(rP)??(?xj?ji)?(Ii)??x2j?(?j)

222i?1j?1j?1Nnn?n??xj?1?j?1s.t.?n nNn?xE(r)?x??(x?)E(I)?r0????jjjjjjiiP?j?1j?1i?1j?1?在多指数模型中，使用较广泛的情形是资产收益率依赖于一个市场指数M和一个

行业指数g的模型。即N=2的情形，此时

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E(rP)??P??PME(rM)??PgE(rg)

22?2(rP)??PM?2(rM)??Pg?2(rg)

其中

?PM??xj?jM，?Pg??xj?jg，

j?1j?12?(?P)??x2j?(?j) 2j?1nnn用来解释资产收益率之间相关因素的指数有4~5个时，构造的多指数模型效果较好。

在使用多指数模型时，所需要估计的数据为：

n个资产的预期收益率?j,j?1,2,...,n; n个资产的残差方差?(?j),j?1,2,...,n;

nN个市场指数的?因子?ji,j?1,2,...,n;i?1,2,...,N; N个指数的预期收益率E(Ii),i?1,2,...,N; N个指数收益率的方差?(Ii),i?1,2,...,N.

总计需要（2+N）?n+2?N个基本数据。这样，在给定目标预期收益率下，我们就可以构造优化模型，可以求出投资组合的权重，使其具有最小的投资组合方差。

26.5应用单指数模型求最优投资组合

1允许卖空情况下的投资组合最优化

假设有n种风险资产，这n种风险资产的期望收益率是e?(E(r1),...,E(rn))T，

?1?(1,...,1)T是分量均为1的列向量，n种风险资产的投资比例是X?(x1,...xn)T，其余的??T资金1??xi?1?X1投资于风险资产。如果1?X1?0，投资者为贷款人，则以无风

nTi?1?险利率rf贷出一正比例的资金；如果1?X1?0，投资者为借款人，则以无风险利率rf借

T入资金，并用此收入增加在n种风险资产上的投资，这时，对于给定的期望收益率E(rP)，在允许卖空的情况下求解有效边界的二次规划方程是：min??Ts.t.Xe?(1?X1)rf?E(rP)

T1TXVX，2 20

根据分离定理，将n种风险资产的投资比例X?(x1,...xn)T单位化后的投资比例就是最优资产组合在n种风险资产上的投资比例。利用拉格朗日乘子，构造如下的拉格朗日函数：

?1TT?TL?XVX??[E(rP)?Xe?(1?X1)rf]

2??拉格朗日函数对X求导数，并令其等于0，可得N个方程：VX??(e?rf1)?0。

X定义Z???，方程两边同除以?，可得：e?rf1?VZ

对于i?1,...,n，写成n个方程组的形式就是：

E(ri)?rf?zi???zj?ij

2ij?1j?in将前面介绍的单指数模型中的?i??i?M??(ei),?ij??i?j?M代入上式

22222E(ri)?rf?zi??2i2M?zi?(ei)??zj?i?j?2j?1j?in2M?zi?(ei)??i?22M?z?jj?1nj （6-13）

2n?i?M求得zi??2?zj?j （6-14）

?2(ei)?(ei)j?1E(ri)?rf对上n个方程的两边同乘以?i，并求和，得：

?zj?1nj?j??j?1nE(rj)?rf?2(ej)j?j??n2?j2?M2j?1?(ej)n?zj?1nj?j

n上式中对

?z?jj?1n进行求解，可得：

?zj?1j?j??j?1E(rj)?rf?(ej)n2?j/(1??2M??j?1n?j22(ej))

将上式代入式（6-14），最后得到：

zi??i?(ei)2[E(ri)?rf?i*2??M?j?1nE(rj)?rf?(ej)222?j/(1??M??j22j?1?(ej)n)] (6-15)

令Di?E(ri)?rf?i?i，C?[?2M?j?1n(E(rj)?rf)?j?(ej)]/[1??2M??j?1?j22(ej)]，则

zi??(ei)2(Di?C*) （6-16）

将上式（6-16）标准化，即可得标准化的权数xi。

因此，在允许卖空的条件下，寻求最优资产组合的步骤如下：

21

（1）按Di?E(ri)?rf?i2的值从大到小排列。

（2）计算C?[?M*?j?1n(E(rj)?rf)?j?(ej)22]/[1??M?n?j22j?1?(ej)]

（3）决定最优资产组合zi??i?2(ei)(Di?C*)

当Di?C*?0时，zi?0，表示第i种资产处于投资状态；当Di?C*?0时，zi?0表示第i种资产处于卖空状态；Di?C*?0，zi?0表示第i种资产不在投资者的最优组成组合中。

（4）当zi确定后，用下式确定投资比例：xi?zi?zj?1n

j例：有10种可选的资产，具体数据如表6-1所示。

2表6-1 确定最优资产资产需要的数据（rf=5%,?M?10）

1 A 证券(i) （1） 证券1 证券2 证券3 证券4 证券5 证券6 证券7 证券8 证券9 证券10 B 期望收益率 （2） 15 17 12 17 11 11 11 7 7 5.6 C 风险溢价 （3） 10 12 7 12 6 6 6 2 2 0.6 D E F ?i （4） 1 1.5 1 2 1 1.5 2 0.8 1 0.6 ?2(ei) （5） 50 40 20 10 40 30 40 16 20 6 Di （6） 10 8 7 6 6 4 3 2.5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 表6-1是投资分析者通过排序决定最优资产组合所必须掌握的数据，这些数据可以从单指数

模型中获得，也可以由分析者主观估计得到。表中第6栏数据按从小到大排列。 计算如下：

nC??*2M?j?1E(rj)?rf?(ej)22?j/(1??M?第（3）栏?第（4）栏?第（5）栏)=j?1=4.31242 210?(e)第（4）栏的平方j?1j1?10?第（5）栏j?1n2j10?10计算结果如表6-2所示。

22

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A C* B 4.31242 C 0.2 0.45 0.35 2.4 0.15 0.3 0.3 0.1 0.1 0.06 42.1 D 0.02 0.05625 0.05 0.4 0.025 0.075 0.1 0.04 0.05 0.06 9.7625 E z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10 F 0.11375 0.13828 0.13438 0.33752 0.04219 -0.0156 -0.0656 -0.0906 -0.1156 -0.3312 0.14739 G x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 H 0.771749989 0.938192243 0.911696999 2.289884029 0.286235504 -0.10598098 -0.44520697 -0.61481996 -0.78443296 -2.2473179 1 计算公式如表6-3所示。 13 14 A C* B =C23/D23 C =(C3*D3)/E3 =(C4*D4)/E4 D =D3^2/E3 =D4^2/E4 E z1 F =D3/E3*(F3 -$B$14) =D4/E4*(F4 -$B$14) =D5/E5*(F5 -$B$14) =D6/E6*(F6 -$B$14) =D7/E7*(F7 -$B$14) =D8/E8*(F8 -$B$14) =D9/E9*(F9 -$B$14) =D10/E10*(F10 -$B$14) =D11/E11*(F11 -$B$14) =D12/E12*(F12 -$B$14) =SUM(F14:F23) G x1 H =F14/$F$24 15 =(C5*D5)/E5 =D5^2/E5 z2 x2 =F15/$F$24 16 =(C6*D6)/E6 =D6^2/E6 z3 x3 =F16/$F$24 17 =(C7*D7)/E7 =D7^2/E7 z4 x4 =F17/$F$24 18 =(C8*D8)/E8 =D8^2/E8 z5 x5 =F18/$F$24 19 =(C9*D9)/E9 =D9^2/E9 z6 x6 =F19/$F$24 20 =(C10*D10)/E10 =D10^2/E10 z7 x7 =F2/$F$24 21 =(C11*D11)/E11 =D11^2/E11 z8 x8 =F21/$F$24 22 =(C12*D12)/E12 =D12^2/E12 =1+10* SUM(D13:D22) z9 x9 =F22/$F$24 23 24 =10*SUM(C14:C22) z10 x10 =F23/$F$24 =SUM(H14:H23)

2不允许卖空情况下的投资组合最优化

当不允许卖空时，一般说来，需采用二次规划方法以求得最优资产组合。但是，有了单指数模型的假设，就可以相对容易地找出最优资产组合。由于对i=1,…,n，有非负约束zi?0，其解应满足库恩-塔克条件，因此式（6-13）变为：

23

E(ri)?rf?zi?(ei)??i?22M?z?jj?1nj?ui （6-17）

ziui?0,zi?0,i?1,2,...,n

在这里ui是为了保证非负性而添加的虚拟变量。如果zi?0，必须有ui=0；如果ui>0，必有zi?0。

当不允许卖空时，并非所有风险资产包含在最优的资产组合中，假定我们重新排列风险资产，使得前n1种风险资产有zi?0，即包含在最优资产组合中；而其余资产的zi?0，即不包含在最优资产组合中，那么（6-17）式可重写成：

E(ri)?rf?zi?(ei)??i?22M?z?jj?1nj,i?1,...,n1

2n?i?M由此可见，虚拟变量消失。所以，对这n1种风险资产：zi??2zj?j ?2?(ei)?(ei)j?11E(ri)?rf对上n1个方程的两边同乘以?i，并求和，得：

?zj?1n1j?j??j?1n1E(rj)?rf?(ej)j2?j??j?1n12?j2?M?(ej2z?)j?1nj?j

E(rj)?rf2?j/(1??M?n1上式对

?z?jj?1n1进行求解，可得：

?zj?1n1j?j??j?1n1?j2?(ej)22j?1?(ej))

2n?i?M代入式zi??2zj?j中，最后得到： ?2?(ei)?(ei)j?11E(ri)?rfzi??i?(ei)2[E(ri)?rf?i*2??M?j?1n1E(rj)?rf?(ej)E(rj)?rf222?j/(1??M?n1?j2?j222j?1?(ej)n1)]

令Di?则

E(ri)?rf?i?i，C??2M?j?1n1?(ej)?j/(1??2M??j?1(ej))

zi??(ei)2(Di?C*)

因为很少能找出一种?i为负的股票，所以当Di?C*?0时，zi?0。这样，根据股票的Di可以对所有的股票进行排序，并计算每种股票的Ci值：

24

Ci??2M?j?1iE(rj)?rf?(ej)2?j/(1??2M??j?1i?j22(ej))

C*等于这样一个Ci使得用于计算该Ci的所有资产的Di?Ci，而不用计算该Ci的所有资

产的Di?Ci。另外，如果已知某个资产包含在最优资产组合中，那么，较高的Di值的资产必定以正数包含在该最优资产组合中。

这样，决定那些资产包含在最优资产组合中的步骤为：

因此，在允许卖空的条件下，寻求最优资产组合的步骤如下：

（1）把所有可选资产的Di计算出来，然后按Di的大小从大到小进行排序。若某一值的资产包括在最优资产组合中，则Di值较大者就包含在最优组合中；若某一Di值的资产不包括在最优资产组合中，则D小于Di值的资产也不包含在最优组合中。因此，一种资产是否包含在最优资产组合中，只取决于这种资产的值的大小。 （2）对每种资产i，计算Ci值：Ci??M2?j?1iE(rj)?rf?(ej)22?j/(1??M?i?j22j?1?(ej))

（3）比较Di和相应的Ci，寻找某Ci值，使得用于计算该Ci的所有资产的Di值大于Ci，而不用计算该Ci的所有资产的Di小于Ci，用C表示具有这种特性的Ci。

（4）所有满足Di?C*的资产包括在最优资产组合中，而Di?C*的资产不包括在最优组合中。也就是说，最优资产组合由Di?C*的所有资产组合而成。 （5）当Di?C*时，第i种风险资产的最优比例为：zi?*?i?2(ei)zin(Di?C*)

（4）当zi确定后，用下式确定标准化的最优投资比例：xi?

j?zj?1例：表6-4是根据表6-1中的数据计算得到的。

表6-4 计算分界值C* 证券(i) Di?E(ri)?rf?i（2） 10 8 7 (E(ri)?rf)?i?(ei)（3） 2/10 4.5/10 3.5/10 2 ?i2?(ei)（4） 2/100 2 ?j?1i(E(rj)?rf)?i?2(ej)（5） 2/10 6.5/10 10/10 ??j?1i?j22(ei) Ci （7） 1.67 3.69 4.42 （1） 证券1 证券2 证券3 （6） 2/100 7.625/100 12.625/100 5.625/100 5/100 25

证券4 证券5 证券6 证券7 证券8 证券9 证券10 6 6 4 3 2.5 2 1 24/10 1.5/10 3/10 3/10 1/10 1/10 0.6/10 40/100 2.5/100 7.5/100 10/100 4/100 5/100 6/100 34/10 35.5/10 38.5/10 41.5/10 42.5/10 43.5/10 44.1/10 52.625/100 55.125/100 62.625/100 72.625/100 76.625/100 81.625/100 87.625/100 5.43 5.45 5.30 5.02 4.97 4.75 4.52 求不允许卖空时，最优资产组合比例。

具体计算步骤如下：

（1）表6-4中第2栏已按Di值的大小从大到小排列。

（2）现在利用表6-4的计算过程来说明决定Ci的具体步骤。先求表6-4中第一个资产的值

Ci，当i=1时：

(E(r1)?rf)?1?(e1)?2?2/10

?j?111E(rj)?rf)?iE(r1)?rf)?1?(ej)?j222?(e1)2?2/10

??j?1(ej)1??12?(e1)2?1/50?2/100

2E(rj)?rf?2210?1.67 Ci??M??j/(1??M?2)?22j?1?(ej)j?1?(ej)1?10?10012j10?6.52E(r)?r2?jf2210同理，当i=2时：Ci??M??/(1??)??3.69 ?jM227.625j?1?(ej)j?1?(ej)1?10?1002j10?依此类推，可以计算出所有的Ci值。

（3）由表6-4的第2栏和第7栏，可知，黑体数据满足Di?Ci，其余不满足。所以临界值C?5.45，所以最优资产组合由编号为1,2,3,4,5的资产组成。 （4）第i（i=1,2,3,4,5）种风险资产的最优投资比例为：

*z1?23.75?(10?5.45)?0.091;z2??(8?5.45)?0.095625; 100100520z3??(7?5.45)?0.0775;z4??(6?5.45)?0.110;

1001002.5z5??(6?5.45)?0.01375

100 26

（5）当zi值确定后，再用xi?zi?zj?1n确定第i种风险资产的最优投资比例xi。

j?zi?15i ?0.3878755用zi除以

?zi，可得：x1?i?10.0910.095625?23.5%，x2??24.6%

0.3878750.387875x3?20%，x4?28.4%，x5?3.5%

思考题

1以下数据描绘了一个由三只股票组成的金融市场，而且该市场满足单指数模型。

平均超额收益

? 股票 资本化（元） 标准差%

率%

A 3000 1.0 10 40 B 1940 0.2 2 30 C 1360 1.7 17 50

市场指数组合的标准差为25%，请问：

（1） 市场指数投资组合的平均超额收益率为多少？ （2） 股票A与股票B之间的协方差为多大？ （3） 股票B与指数之间的协方差为多大？

（4） 将股票B的方差分解为市场和公司特有两部分。

2假设用指数模型估计的股票A和股票B的超额收益的结果如下：

RA?1.0%?0.9RM?eA RA??2.0%?1.1RM?eB

?M?20%,?(eA)?30%,?(eB)?10%

计算每只股票的标准差和它们之间的协方差。

3对股票A和股票B分析估计的指数模型结果如下：

RA?0.12?0.6RM?eA RB?0.04?1.4RM?eB

?M?0.26 ?(eA)?0.20 ?(eB)?0.10

（1） （2） （3） （4） （5）

股票A和股票B收益之间的协方差是多少？ 每只股票的方差是多少？

将每只股票的方差分类到系统风险和公司特有风险中 每只股票和市场指数的协方差是多少？ 两只股票的相关系数是多少？

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4在一个只有两种股票的资本市场上，股票 A的资本是股票B的两倍。A的超额收益的标准差为3 0%，B的超额收益的标准差为5 0%。两者超额收益的相关系数为 0 . 7。 a. 市场指数资产组合的标准差是多少？ b. 每种股票的贝塔值是多少？ c. 每种股票的残差标准差是多少？

d. 如果指数模型不变，股票A预期收益超过无风险收益率11%，市场资产组合投资的风险溢价是多少？

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