2010年上海市浦东新区高考预测（数学文含答案）

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上海市浦东新区2010年高考预测数学（文科）试卷

编辑：刘彦利 2010．4

注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写

结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．若cos??2．不等式

3，则tan2?? . 32x?1?0的解是 . x?11n? .

2?n3nn3. 若自然数n满足P7?42，则行列式

24．已知集合A?yy?sinx,x?R，集合B?xx?x?0,x?R，则A?B? .

????5．已知点A(2,?1),B(k?1,k)，O是坐标原点，若OA//OB，则实数k? . 6. (3x2?25)的二项展开式中，常数项的值是 . x3开始7．已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是 .

8．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是．

a?1,s?1a?4?否是输出s?2x?y?1?x?y?2?9．满足条件?的目标函数P?x2?y2的最大值是 . ?x?0??y?010．在等比数列?an?中，an?0，且a1?a2???a7?a8?16，则a4?a5

的最小值为 .

11．设点A(1,1)、B(1,?1)，O是坐标原点，将?OAB绕y轴旋转一周，

所得几何体的体积为 .

s?s?9结束a?a?112．关于x的不等式|x?4x?m|?x?4的解集为A，且0?A,2?A，则实数m的取值范

围是 .

2x2y2??1的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程13．以双曲线

416为 .

14．设函数y?f(x)由方程x|x|?y|y|?1确定，下列结论正确的是 .（请将

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你认为正确的序号都填上）（１）f(x)是R上的单调递减函数；（２）对于任意x?R，f(x)?x?0恒成立；

（３）对于任意a?R，关于x的方程f(x)?a都有解；（４）f(x)存在反函数f?1(x)，且对于任意x?R，总有f(x)?f?1(x)成立.

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答

题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 15．“直线a与直线b没有公共点”是“直线a与直线b平行”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

C．充要条件

16．若直线l的法向量n?(1,2)，且经过点M(0,1)，则直线l的方程为（）

A．2x?y?1?0

C．x?2y?2?0

B．2x?y?2?0 D．x?2y?1?0

17．设O为坐标原点，复数z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q，则下列结论中不一定正．．．．

确的是（）．

A．|z1?z2|?|OP?OQ| B．|z1?z2|?|OP?OQ|

y C．|z1|?|z2|?|OP|?|OQ|

D．|z1?z2|?|OP?OQ|

F O M A B C x E N D L 18．如图，在直角坐标平面内有一个边长为a，中心在原点O的

正六边形ABCDEF，AB//Ox. 直线L:y?kx?t(k为常数）与正六边形交于M、N两点，记?OMN的面积为S，则函数

S?f(t)的奇偶性为（）

A．奇函数

B．偶函数

D．奇偶性与k有关

C．不是奇函数，也不是偶函数

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

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在?ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a?6,b?53,B?（1）求sinA；

（2）求cos(B?C)?cos2A的值.

2?. 320.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

设函数f(x)?x2?2a|x|(a?0).

（1）判断函数f(x)的奇偶性，并写出x?0时f(x)的单调增区间；（2）若方程f(x)??1有解，求实数a的取值范围.

21．（本大题满分16分）本大题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满8分.

2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即n?1；9点20分作为第二个计算人数的时间，即n?2；依此类推??，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.

对第n个时刻进入园区的人数f(n)和时间n（n?N）满足以下关系（如图1）：

?3600?n?24??3600?312f(n)????300n?21600?0?(1?n?24)(37?n?72)(73?n?90)(25?n?36)，n?N?

f(n)f(n) 10800 108003600 36001 1对第n个时刻离开园区的人数g(n)和时间： n（n?N?）满足以下关系（如图2）

241 24 36 72 90 n g(n)24000 O1367290n（图1）

0(1?n?24)??g(n)??500n?12000(25?n?72),n?N??5000(73?n?90)?（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）

时，世博园区内共有多少游客？（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多

的时刻.

12000 6000 5000 O 24 36 72 90 n（图2）

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22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分.

设复数??x?yi(x,y?R)与复平面上点P(x,y)对应. （1）在复数范围内解方程: t2?4t?6?0.

（2）设复数?满足条件|??3|?(?1)n|??3|?3a?(?1)na（其中n?N、常数

?3，当n为奇数时，动点P(x、y)的轨迹为C1. 当n为偶数时，动点P(x、y)的轨迹a?(,3)）2为C2. 且两条曲线都经过点D(2,2)，求轨迹C1与C2的方程；

（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B?x0,0?(x0?0)的最小距离不小于

23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分.

已知函数f(x)?log2x.

（1）若函数y?g(x)是函数y?f(x)的反函数，解方程：g(2x)?3g(x)?4；（2）当x?(3m,3m?3](m?N)时，定义h(x)?f(x?3m). 设an?n?h(n)，数列{an}的前n项和为Sn，求a1、a2、a3、a4和S2010；

（3）对于任意a、b、c?[M,??)，且a?b?c. 当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f(a)、f(b)、f(c)也总能作为某个三角形的三边长，试探究M的最小值.

浦东新区2010年高考预测

数学（文科）试卷 2010．4

注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写

结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．若cos??23，求实数x0的取值范围. 33，则tan2?? 2 . 3欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com

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2．不等式

2x?11?0的解是 (?1,) . x?121n? 6 .

2?n3nn3. 若自然数n满足P7?42，则行列式

4．已知集合A?yy?sinx,x?R，集合B?xx2?x?0,x?R，则A?B?(0,1). 5．已知点A(2,?1),B(k?1,k)，O是坐标原点，若OA//OB，则实数k? ?6. (3x2?????1 . 3开始25)的二项展开式中，常数项的值是 1080 . x37．已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是 8 .

8．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是 729 ．

a?1,s?1a?4?否是输出s?2x?y?1?x?y?2?9．满足条件?的目标函数P?x2?y2的最大值是 4 . ?x?0??y?010．在等比数列?an?中，an?0，且a1?a2???a7?a8?16，则a4?a5

的最小值为 22 . 11．设点A(1,1)、B(1,?1)，O是坐标原点，将?OAB绕y轴旋转一周，

所得几何体的体积为

s?s?9结束a?a?14? . 312．关于x的不等式|x2?4x?m|?x?4的解集为A，且0?A,2?A，则实数m的取值范

围是 [?4,?2) .

x2y2??1的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程为 13．以双曲线

416(x?25)2?y2?25.

14．设函数y?f(x)由方程x|x|?y|y|?1确定，下列结论正确的是（１）（２）（３）（４）.

（请将你认为正确的序号都填上）（１）f(x)是R上的单调递减函数；（２）对于任意x?R，f(x)?x?0恒成立；

（３）对于任意a?R，关于x的方程f(x)?a都有解；（４）f(x)存在反函数f?1(x)，且对于任意x?R，总有f(x)?f?1(x)成立.

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二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答

题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.

15．“直线a与直线b没有公共点”是“直线a与直线b平行”的（ B ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

C．充要条件

16．若直线l的法向量n?(1,2)，且经过点M(0,1)，则直线l的方程为（ C ）

A．2x?y?1?0

C．x?2y?2?0

B．2x?y?2?0 D．x?2y?1?0

17．设O为坐标原点，复数z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q，则下列结论中不一定正．．．．确的是（ D ）．

A．|z1?z2|?|OP?OQ| B．|z1?z2|?|OP?OQ| C．|z1|?|z2|?|OP|?|OQ|

D．|z1?z2|?|OP?OQ|

F O 正六边形ABCDEF，AB//Ox. 直线L:y?kx?t(k为常数）与正六边形交于M、N两点，记?OMN的面积为S，则函数

M A B C x E y N D L 18．如图，在直角坐标平面内有一个边长为a，中心在原点O的

S?f(t)的奇偶性为 ( B )

A．奇函数

B．偶函数

D．奇偶性与k有关

C．不是奇函数，也不是偶函数

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

在?ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a?6,b?53,B?（1）求sinA；

（2）求cos(B?C)?cos2A的值.

2?. 3欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com

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解：（1）在?ABC中，由正弦定理得分

将a?6,b?53,B?ab?????????????????2?sinAsinB6532?代入上式得，???????????2?2?3sinAsin3分

解得sinA?3；?????????????????????????2分 5（2）?ABC中，A?B?C??,且B为钝角，所以cosA?分

4??????????254cos(B?C)??cosA?????????????????????????2

5分

cos2A?1?2sin2A?7???????????????????????2分 254713????????????????2分 52525所以cos(B?C)?cos2A??

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

设函数f(x)?x2?2a|x|(a?0).

（1）判断函数f(x)的奇偶性，并写出x?0时f(x)的单调增区间；（2）若方程f(x)??1有解，求实数a的取值范围.

解：（1）由题意，函数f(x)?x2?2a|x|(a?0)的定义域D?R，对于任意的x?D,恒有

f(?x)?x2?2ax?f(x)，所以函数f(x)是偶函数.??????????3分

当x?0时，函数f(x)?x2?2ax（a?0）

且[a,??)?(0,??)，所以此时函数f(x)的单调递增区间是[a,??).??3分（2）由于函数f(x)?(x?a)2?a2??????????????????2分

f(x)min??a2??????????????????????????2分

只须?a2??1，即a?1或a??1?????????????????2分由于a?0，所以a?1时，方程f(x)??1有解.???????????2分

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21．（本大题满分16分）本大题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满8分.

对第n个时刻进入园区的人数f(n)和时间n（n?N）满足以下关系（如图1）：

?3600?n?24??3600?312f(n)????300n?21600?0?(1?n?24)(37?n?72)(73?n?90)(25?n?36)，n?N?

f(n)f(n) 10800 108003600 36001 11 24 36 72 90 O172n 3624对第n个时刻离开园区的人数g(n)和时间： n（n?N?）满足以下关系（如图2）

90ng(n)24000 （图1） 0(1?n?24)??g(n)??500n?12000(25?n?72),n?N??5000(73?n?90)?（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）

时，世博园区内共有多少游客？（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多

的时刻.

解：（1）当0?n?24且n?N时，f(n)?3600，

当25?n?36且n?N时，f(n)?3600?3?? 12000 6000 5000 O 24 36 72 90 n（图2）

n?2412，????????????2分

所以S36??f(1)?f(2)?f(3)???f(24)?????f(25)?f(26)???f(36)?

?12312312?1??3600×24?3600×?123?1??????? ???86400?82299.59?168700；???????????????2分

另一方面，已经离开的游客总人数是：

T12?g(25)?g(26)???g(36)?12×500?12?11?500?39000；??2分 2欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com

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所以S?S36?T12?168700?39000?129700（人）

故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有129700位游客. ????2分（2）当f(n)?g(n)?0时园内游客人数递增；当f(n)?g(n)?0时园内游客人数递减.

(i)当1?n?24时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；?????????2分

(ii)当25?n?36时，令500n?12000?3600，得出n?31，

即当25?n?31时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；???????2分

当32?n?36时，3600?3n?2412?500n?12000，进入园区人数多于离开人数，总人

数越来越多；????????????????????????????2分 (iii)当37?n?72时，令?300n?21600?500n?12000时，n?42，即在下午4点整时，园区人数达到最多.

此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ?????2分 22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分.

设复数??x?yi(x,y?R)与复平面上点P(x,y)对应. （1）在复数范围内解方程: t2?4t?6?0.

（2）设复数?满足条件|??3|?(?1)n|??3|?3a?(?1)na（其中n?N、常数

?3y)的轨迹为C1. 当n为偶数时，动点P(x、y)的轨迹，当n为奇数时，动点P(x、a?(,3)）

2为C2. 且两条曲线都经过点D(2,2)，求轨迹C1与C2的方程；

（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B?x0,0?(x0?0)的最小距离不小于

23，求实数x0的取值范围. 3解：（1）t?4?22i????????????????????????2分 2化简得t?2?2i???????????????????????2分（2）方法1：①当n为奇数时，??3???3?2a，常数a?(,3)），

32x2y2?1；????????????2分轨迹C1为双曲线，其方程为2?2a9?a欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com

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②当n为偶数时，??3???3?4a，常数a?(,3)），

32x2y2?1；???????????????2分轨迹C2为椭圆，其方程为2?4a4a2?92?4??122??4a4?45a2?99?0?4a4a?92a?3，依题意得方程组?解得??42?a?15a?36?0?4?2?1??a29?a2因为

3?a?3，所以a?3， 2x2y2x2y2??1，??1.????????2分此时轨迹为C1与C2的方程分别是：

36123?|??3|?|??3|?4a?|??3|?3a方法2：依题意得? ?????????????2??|??3|?|??3|?2a|??3|?a??分

轨迹为C1与C2都经过点D(2,2)，且点D(2,2)对应的复数??2?2i，

代入上式得a?3????????????????????????????2分

x2y2??1；即|??3|?|??3|?23对应的轨迹C1是双曲线，方程为

36x2y2??1.???????2分 |??3|?|??3|?43对应的轨迹C2是椭圆，方程为

123x2y2??1，设点A的坐标为?x,y?，（3）由（2）知，轨迹C2：

123则|AB|?(x?x0)?y?(x?x0)?3?222212x 4?分

3234122，x?[?23,23]????????2x?2x0x?x0?3?(x?x0)2?3?x04433当0?当

334124时，|AB|2min?3?x0x0?23即0?x0???0?x0?5 23333323834?x0?时，|AB|min?|x0?23|?，?????2分 x0?23即x0?233383.?????????????????????2分 3综上 0?x0?5或x0?23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分.

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已知函数f(x)?log2x.

（3）对于任意a、b、c?[M,??)，且a?b?c. 当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f(a)、f(b)、f(c)也总能作为某个三角形的三边长，试探究M的最小值.

x解：（1）?函数y?g(x)是函数y?f(x)的反函数，f(x)?log2x,?g(x)?2(x?R)

而g(2x)?3g(x)?4,?2分

2x?3?2x?4?????????????????2

(2x?1)?(2x?4)?0,?2x?4

故：原方程的解为x?2????????????????????2分 (2) 若1?(3m,3m?3]，?m?0，??(1)?f(1)?0，?a1?1?0?0

若2?(3m,3m?3]，?m?0，??(2)?f(2)?1，?a2?2?1?2 若3?(3m,3m?3]，?m?0，??(3)?f(3)?log23，?a3?3log23 若4?(3m,3m?3]，?m?1，??(4)?f(1)?0，?a4?4?0?0????2分

当n?3m?1(m?N)时，?(n)?f(n?3m)?f(1)?0，?an?n?0?0 当n?3m?2(m?N)时，?(n)?f(n?3m)?f(2)?1，?an?n?1?n 当n?3m?3(m?N)时，?(n)?f(n?3m)?f(3)?log，?an?nlog23?223分