2013高考数学(理)一轮复习教案：第七篇 不等式第2讲 一元二次不等式及其解法

第2讲 一元二次不等式及其解法

【2013年高考会这样考】

1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．

2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题． 3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题． 【复习指导】

1．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．

2．熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法．

基础梳理

1．一元二次不等式的解法

(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根．

(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表：

一个技巧

一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x，x，(x＜x2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集． 两个防范

数是否为零的情况；

若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)不等式x2－3x＋2＜0的解集为( )． A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞)

解析 ∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2. 故原不等式的解集为(1,2)． 答案 D

2．(2011·广东)不等式2x2－x－1＞0的解集是( )． 1

A. －，1 2

C．(－∞，1)∪(2，＋∞)

B．(1，＋∞)

1

D. －∞，－∪(1，＋∞)

2B．(－2，－1) D．(1,2)

解析 ∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0， 1

∴x＞1或x.

2

1

故原不等式的解集为 －∞，－ ∪(1，＋∞)．

2 答案 D

3．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )．

1

A.x|x 3

1

B. － 3

11 C.x|≤x 33

D．R

解析 ∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0， ∴9x＋6x＋1≤0答案 B

1 4．(2012·许昌模拟)若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为 x|－2＜x ，则ab＝( )．

4

2

1

的解集为 x|x.

3

A．－28 B．－26 C．28 D．26

－211

－2 ×＝－， a421

∵x＝－2是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴ 4b7

－ a4解析

∴a＝4，b＝7.∴ab＝28. 答案 C

5．不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析 当a＝0时，不等式为1≥0恒成立； a＞0， a＞0，

当a≠0时，须 即 2

Δ≤0， 4a－4a≤0.∴0＜a≤1，综上0≤a≤1. 答案 [0,1]

考向一 一元二次不等式的解法

x2＋2x，x≥0，

【例1】 已知函数f(x)＝ 2解不等式f(x)＞3.

－x＋2x，x＜0，

[审题视点] 对x分x≥0、x＜0进行讨论从而把f(x)＞3变成两个不等式组． x≥0， x＜0，

解 由题意知 2或 2解得：x＞1.

x＋2x＞3 －x＋2x＞3，故原不等式的解集为{x|x＞1}．

解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的

符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集． 【训练1】 函数f(x)2x2＋x－3＋log3(3＋2x－x2)的定义域为________． 2x2＋x－3≥0，

解析 依题意知

3＋2x－x2＞0，3 x≤或x≥1，2解得 －1＜x＜3.∴1≤x＜3.

故函数f(x)的定义域为[1,3)． 答案 [1,3)

考向二 含参数的一元二次不等式的解法

【例2】 求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．

[审题视点] 先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 解 ∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， aa得：x1x2＝43

aaaa

①a＞0时，－x|x或x ； 4343

②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；

aaaa

③a＜0时，－ x|xx .

4334

aa

综上所述：当a＞0时，不等式的解集为 x|x＜－x＞ ；

43

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＜0

aa

时，不等式的解集为x|xx . 34

解含参数的一元二次不等式的一般步骤：

(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．

(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．

(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

【训练2】 解关于x的不等式(1－ax)2＜1.

解 由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0， 当a＝0时，x∈ .

2当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得a2x

xa ＜0， 2

即0＜x＜a

2

当a＜0时，＜x＜0.

a

综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0当a＜0

2

时，不等式解集为 x a

2

时，不等式解集为 x 0＜x a

；

＜x＜0 .

考向三 不等式恒成立问题

【例3】 已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．

[审题视点] 化为标准形式ax2＋bx＋c＞0后分a＝0与a≠0讨论．当a≠0时，有 a＞0，

2Δ＝b－4ac＜0.

解 原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，

a＋2＞0，

从而有

Δ＝42－4 a＋2 a－1 ＜0，

a＞－2， a＞－2，

整理，得 所以

a－2 a＋3 ＞0，a＜－3或a＞2， 所以a＞2.

故a的取值范围是(2，＋∞)．

不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b

a＞0，

＝0，c＞0；当a≠0时， 不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成

Δ＜0； a＜0，

立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，

Δ＜0.

【训练3】 已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

解 法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a. ①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立， 只需f(x)min≥a，

即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；

②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.

综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．

法二 令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，

Δ＞0，

即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或 a＜－1，

g －1 ≥0.解得－3≤a≤1. 所求a的取值范围是[－3,1]．

规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题

【问题研究】 含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于新课标对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：分离参数法和函数性质法.

【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.

【示例】 (本题满分14分)(2011·浙江)设函数f(x)＝(x－a)2ln x，a∈R. (1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a；

(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立． 注：e为自然对数的底数．

本题对于(1)问的解答要注意对于结果的检验，因为f′(x0)＝0，x0不一定

是极值点；对于(2)问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破，这样问题就转化为单边求最值，相对分类讨论求解要简单的多．

x－a 2a[解答示范] (1)求导得f′(x)＝2(x－a)ln x＋＝(x－a)(2ln x＋1－)．(2分)

xx a因为x＝e是f(x)的极值点，所以f′(e)＝(e－a) 解得a＝e或a＝3e.经检 3－e ＝0，验，符合题意，所以a＝e或a＝3e.(4分)

(2)①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f(x)≤0＜4e2成立．(5分) ②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f(3e)＝(3e－a)2ln(3e)≤4e2， 解得3e－

2eln 3e

≤a≤3e2e 3e

(6分)

a

.(8分) 由(1)知f′(x)＝x－a 2ln x＋1－

x

a

令h(x)＝2ln x＋1－，则h(1)＝1－a＜0，h(a)＝2ln a＞0，

xa

且h(3e)＝2ln(3e)＋1－2 ln(3e)＋13e

3e2e

3e ln 3e－1＝2 ＞0.(9分)

3e 3

又h(x)在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h(x)在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零

点为x0，则1＜x0＜3e,1＜x0＜a.

从而，当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0.即f(x)在(0，x0)内单调递增，在(x0，a)内单调递减，在(a，＋∞)内单调递增．

所以要使f(x)≤4e2对x∈(1,3e]恒成立，只要 f x0 ＝ x0－a 2ln x0≤4e2， 1 成立．(11分) 22

f 3e ＝ 3e－a ln 3e ≤4e， 2

a

由h(x0)＝2ln x0＋1－＝0，知a＝2x0ln x0＋x0.(3)

x0

23

将(3)代入(1)得4x0lnx0≤4e2.又x0＞1，注意到函数x2ln3x在(1，＋∞)内单调递增，

故1＜x0≤e.

再由(3)以及函数2xln x＋x在(1，＋∞)内单调递增，可得1＜a≤3e. 由(2)解得，3e－所以3e－

2eln 3e

2eln 3e

≤a≤3e＋

2e 3e

.

≤a≤3e.(13分)

2e 3e

a≤3e.(14分)．

综上，a的取值范围为3e－

本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基

础知识，考查学生推理论证能力．分析问题，解决问题的能力．难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进行恰当地转化，化难为易，化陌生为熟悉．

【试一试】 设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．

[尝试解答] (1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)＝1＞0恒成立．

3131(2)若x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a.设g(x)＝xxxx则g′(x)＝

3 1－2x

， x 1 1 1

∴g(x)在区间 0，上单调递增，在区间 ，1 上单调递减．∴g(x)max＝g ＝4，

2 2 2 从而a≥4.

31

(3)若x＜0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a.

xx313 1－2x

设h(x)＝，则h′(x)，

xxx∴h(x)在[－1,0)上单调递增． ∴h(x)min＝h(－1)＝4，从而a≤4. 综上所述，实数a的值为4.

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