频域分析法

第五章 频域分析法

时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。

本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。

5.1 频率特性

对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号

u(t)?Usin? t (5—1)

则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即

y(t)?Ysin(? t?? ) (5—2)

u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。

不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式

G(s)?Y(s)U(s)?B(s)(s?p1)(s?p2)?(s?pn)?B(s)n?pj)B(s)A(s) (5—3)

?(s?j?1 式中B(s)——传递函数G(s)的m阶分子多项式，s为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n阶分母多项式 (n≥m)；

?p1,?p2,?,?pn—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。

由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)

U(s)?U?s??22?U?(s?j?)(s?j?) （5—4）

输出信号y(t)的拉氏变换为

Y(s)＝U(s)G(s)

将式(5—3)、式（5—4)代人上式得

Y(s)?U?(s?j?)(s?j?)?B(s)n

pj)?(s?j?1 上式可改写成(利用部分分式法)

Y(s)?a1s?j??a2s?j??b1s?p1?b2s?p2???bns?pn (5-5)

上式中 a1,a2,b1,b2,?,bn—待定系数，它们均可用留数定理求出。其中a1和a2 是共扼复数。 将式 (5—5)两边取拉氏反变换，可得

y(t)?a1e?j? t?a2ej? t?b1e?p1 t?b2e?p 2t???bne?pn t (t?0) (5—6)

对于稳定的系统，由于极点?p1,?p2,?,?pn都具有负实部，所以当t→∞时，

e?p1 t,e?p2 t,?,e?pn t都将衰减到零。这时输出信号y(t)只由式(5—6)中的第一项和第二项

决定，即稳态输出y (∞)为

y(?)?a1e?j? t?a2ej? t (5—7)

式(5—7)中的待定系数a1和a2可分别由留数定理求得

?G(?j?)s? ?j??(s?j?)(s?j?)2j?? （5—8）

U?U?a2?G(s)(s?j?)s?j??G(j?)?(s?j?)(s?j?)2j?a1?G(s)(s?j?)??U?U 上式中 G(jω)和G(-jω)都是复数，可以用极坐标形式表示为

G(j?)?G(j?)ej?G(j?)j G(?j?)G(?j?)?G(?j?)e??? （5—9） ?j?G(j?)?G(j?)e?? 将式(5—8)、式(5—9)代入式(5—7)得 y(?)??U2jG(j?)e12j?j?G(?j ?)e?j ? t?U2jG(j ?)ej?G(j ?)ej ? t ?UG(j ?)?ej(? t??G(J ?))?e?j(? t??G(j ?))? (5-10)

?UG(j ?)sin?? t??G(j ?)? ?Ysin(? t??) 式中 Y?UG(j ?) , ???G(j ?)

式(5-10)表明，线性定常系统在正弦输人信号u(t)?Usin? t的作用下，稳态输出信号y (∞)仍是与输入信号相同频率的正弦信号，只是振幅与相位不同，输出信号y (∞)的振幅Y是输入信号振幅U的G(j?)倍，相位移为???G(j ?)，且都是角频率ω的函数。相位移?为正时，表示输出信号y (∞)的相位超前输人信号u(t)的相位；相位移?为负时，表示输出信号y (∞)的相位迟后输入信号u(t)的相位。

如果改变输入信号u(t)的频率ω，则G(j?)和?G(j ?)也随之改变。线性定常系统在正弦输入时，稳态输出y (∞)与输入u(t)的振幅比

YU?G(j ?)和相位移???G(j ?)随频率ω而变化的函数关系，分别称为幅频特性和相频特性。并分别用M(ω)和? (ω)表示，即

M(?)?G(j ?)?(?)??G(j ?) M(?)和?(?)合起来称为系统的频率特性。

由式(5-9)可知，G(j?)和?G(j ?)可以由G(jω)来统一表示，即

G(j ?)?G(j ?)ej?G(j?)?M(?)ej?(?) (5-11)

G(j ?)还可以用直角坐标形式来表示

G(j ?)?R(?)?jI(?)

式中 R(?)—G(j ?)的实部，它也是ω的函数，称为实频特性；

I(?—G(j ?)的虚部，同样也是ω的函数，称为虚频特性。

从上分析可知，若将传递函数中的s以j ?代替，就得到频率特性。即：

G(j?)?G(s)s?j?，可以证明，这个结论对于结构稳定的线性定常系统(或环节)都是成立

的。所以，如已知系统(或环节)的传递函数，只要用j ?置换其中的s，就可以得到该系统(或环节)的频率特性。

反过来看，如果能用实验方法获得系统(或元部件)的频率特性，又给确定系统(或元部件)的传递函数提供了依据。

系统频率特性的表示方法很多，其本质上都是一样的，只是表示形式不同而已。工程上用频率法研究控制系统时，主要采用的是图解法。因为图解法可方便、迅速地获得问题的近似解。每一种图解法都是基于某一形式的坐标图表示法。频率特性图示方法是描述频率?从

0??变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线，由于采用的坐标系不同

可分为两类图示法或常用的三种曲线：即极坐标图示法和对数坐标图示法或幅相频率特性曲

线、对数频率特性曲线和对数幅相频率特性曲线。 一、幅相频率特性(奈氏图)

由以上的介绍可知，若已知系统的传递函数G(s)，那么令s?j ?，立即可得频率特性为G(j ?)。显然，G(j ?)是以频率ω为自变量的一个复变量，该复变量可用复平面[s]上的一个矢量来表示。矢量的长度为G(j ?)的幅值G(j?)；矢量与正实轴间夹角为那么当频率ω从0变化到∞时，系统或元件的频率特性的值也在G(j ?)的相角?G(j ?)。

不断变化，即G(j ?)这个矢量亦在[s]平面上变化，于是G(j ?)这个矢量的矢端在[s]平面上描绘出的曲线就称为系统的幅相频率特性，或称作奈奎斯特图(Nyquist)。 二、对数频率特性(伯德图)

由上面的介绍可知，幅相频率特性是一个以ω为参变量的图形，在定量分析时有一定的不便之处。因此，在工程上，常常将M(?)和?(?)分别表示在两个图上，且由于这两个图在刻度上的特点，被称作对数幅频特性图和对数相频特性图。 1．对数幅频特性

为研究问题方便起见，常常将幅频特性M(?)用增益L(?)来表示，其关系为：

L(?)?20lgM(?) (5—12)

在图形中，纵轴按线性刻度，标以增益值；横轴按对数刻度，标以频率ω值，称作对数幅频特性。

2．对数相频特性

该图纵轴按均匀刻度，标以?(?)值，单位为度；横轴刻度与对数幅频特性相同，按对数刻度，标以频率ω值，称作对数相频特性。

对数幅频特性和对数相频特性合称为对数频率特性，或称作伯德图（Bode） 三、对数幅相频率特性(尼柯尔斯图)

将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以?(?)（度）为线性分度的横轴，以L(?)?20lgM(?)（db）为线性分度的纵轴，以ω为参变量绘制的G(j?)曲线，称为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（Nichols）。本章只介绍奈奎斯特图和伯德图。

5.2 幅相频率特性（Nyquist图）

5.2.1 基本概念

由于频率特性G(jω)是复数，所以可以把它看成是复平面中的矢量。当频率ω为某一定值ωl时，频率特性G(jωl)可以用极坐标的形式表示为相角为?G(j?1)(相角?G(j ?)的符号定义为从正实轴开始，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负)，幅值为G(j?1)的矢量

OA，如图5—1(a)所示。与矢量OA对应的数学表达式为

G(j ?1)?G(j ?1)ej?G(j?1)

当频率ω从零连续变化至∞(或从-∞→0→∞)时，矢量端点A的位置也随之连续变化并形成轨迹曲线。如图5—1(a)中G(jω)曲线所示。由这条曲线形成的图像就是频率特性的极坐标图，又称为G(jω)的幅相频率特性。 如果G(jωl)以直角坐标形式表示，即

G(j ?1)?R(?1)?jI(?1)

如图5—1(b)所示的矢量OA。同样，在直角坐标图5—1(b)上也可以作出ω从0变化到∞的G(jω)轨迹曲线。

图5—1 频率特性G(jω)的图示法

（a）G(jω)的极坐标图示法；（b）G(jω)的直角坐标图示法

5.2.2 典型环节的幅相特性曲线

由第二章已知，一个控制系统可由若干个典型环节所组成。要用频率特性的极坐标图示

法分析控制系统的性能，首先要掌握典型环节的幅相特性曲线。 1．比例环节

比例环节的传递函数为

G(s)＝K

所以比例环节的频率特性为

G(jω)＝K十j0＝Kej0 (5—13)

其幅相频率特性曲线如图5-2所示。其中幅值M(ω) ＝K。相位移φ(ω)＝0。并且都与ω无关，它表示输出为输入的K倍，且相位相同。

0

图5—2 比例环节幅相频率特性曲线

2．积分环节

积分环节的传递函数为

G(s)＝

所以积分环节的频率特性为

G(j?)?1j??0?j1?1e?j1s

?2?? (5—14)

其幅相频率特性曲线如图5—3所示，它是整个负虚轴，且当ω→∞时，趋向原点0，显然积分环节是一个相位滞后环节[因为φ(ω)＝-900]，每当信号通过一个积分环节，相位将滞后90。

0

图5—3 积分环节幅相频率特性曲线

3．微分环节

微分环节的传递函数为

G(s)＝s

所以微分环节的频率特性为

G(j?)?j??0?j??? ej?2 (5—15)

其幅相频率特性曲线如图5—4所示。是整个正虚轴，恰好与积分环节的特性相反。其幅值变化与ω成正比：M(ω)＝ω，当ω＝0时， M(ω)也为零，当ω→∞时，M(ω)也→∞。微分环节是一个相位超前环节[φ(ω)＝+900]。系统中每增加一个微分环节将使相位超前900。

图5-4 微分环节幅相频率特性曲线

4．一阶惯性环节

一阶惯性环节的传递函数为

G(s)?1Ts?1

所以一阶惯性环节的频率特性为

G(j?)?11?jT??11?T?22?jT?1?T?22 （5—16）

幅频特性和相频特性为

M(?)??111?T?22

?(?)??tgT? 由式(5—16)直接可得实频特性和虚频特性为

R(?)?11?T?T?1?T?2222

I(?)?? 并满足下面的圆的方程

1???1?2R(?)??I(?)??? ??2???2?22 圆心为?1?,0?，半径为。

2?2??1 当ω从0→∞时，M(ω)从l→0；φ(ω)从00→-900，因此，一阶惯性环节的频率特性位于直角坐标图的第四象限，且为一半圆，如图5—5所示。

一阶惯性环节是一个相位滞后环节，其最大滞后相角为90。一阶惯性环节可视为一个低通滤波器，因为频率ω越高，则M(ω)越小，当ω＞

5T0

时，幅值M(ω)已趋近于零。

图5—5 惯性环节幅相频率特性曲线

5．二阶振荡环节

二阶振荡环节的传递函数为

G(s)?1Ts?2? Ts?122 (o＜ξ＜1)

二阶振荡环节的频率特性为

G(j?)?1T(j?)?2?T(j?)?11?T?22222222

?(1?T?)?(2? T?)?j2? T?(1?T?)?(2? T?)2222 (5—17)

相应的幅频特性和相频特性为

M(?)?1(1?T?)?(2? T?)2222 （5—18）

?(?)??tg?12? T?1?T?22 据上述表达式可以绘得二阶振荡环节频率特性的幅相频率特性曲线如图5-6所示。由式(5—18)及图5-6可知，当ω＝0时，M(ω)＝1，φ(ω)＝00；在0＜ξ＜1的欠阻尼情况下，当ω＝

1T时，M(?)?12?1T,?(?)??90，频率特性曲线与负虚轴相交，相交处的频

0率为无阻尼自然振荡频率ω＝曲线与实轴相切。

＝?n。当ω→∞时，M(ω)→0，φ(ω) →180。频率特性

0

图5—6 二阶振荡环节幅相频率特性曲线

图5—6的曲线族表明，二阶振荡环节的频率特性和阻尼比ξ有关，ξ大时，幅值M(ω)变化小；ξ小时，M(ω)变化大。此外，对于不同的ξ值的特性曲线都有一个最大幅值Mr存在，这个Mr被称为谐振峰值，对应的频率ωr称为谐振频率。

当ξ＞1时，幅相频率特性将近似为一个半圆。这是因为在过阻尼系统中，特征根全部为负实数，且其中一个根比另一个根小得多。所以当ξ值足够大时，数值大的特征根对动态响应的影响很小，因此这时的二阶振荡环节可以近似为一阶惯性环节。 6．延迟环节

延迟环节的传递函数为

G(s)?e其频率特性为

??s

G(j?)?e 相应的幅频特性和相频特性为

?j?? (5-19)

M(?)?1?(?)??? ?

图5—7 延迟环节频率特性极坐标图

当频率ω从0→∞变化时，延迟环节频率特性极坐标图如图5-7所示，它是一个半径为1，以原点为圆心的一个圆。也即ω从0→∞变化时，幅值M(ω)总是等于l，相角φ(ω)与ω成比例变化，当ω→∞时，φ(ω) →-∞。 5.2.3 开环系统的幅相特性曲线

在采用频域分析法分析自动控制系统时，一般有两种方法，一种是直接用系统的开环频率特性分析闭环系统的性能。另一种是根据开环频率特性和已有的标准线图求得闭环频率特性，再用闭环频率特性来分析闭环系统的性能。不论是前一种还是后一种方法，都必须首先绘制开环频率特性曲线。

已知反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)，将G(s)H(s)中的s用jω来代替，便可求得开环频率特性G(jω)H(jω)，在绘制开环幅相频率特性曲线时，可将G(jω)H(jω)写成直角坐标形式

G(j ?)H(j ?)?R(?)?jI(?)

或写成极坐标形式

G(j ?)H(j?)?G(j ?)H(j?) ej G(j?)H(j?)?M(?)ej?(?)

给出不同的ω，计算出相应的R(?)、I(?)或者M(?)和?(?)，当ω从0→∞变化时，即可求得系统的开环幅相频率特性图(奈奎斯持图，简称奈氏图)，图中的特性曲线简称为奈氏曲线。

例5-1 试绘制下列开环传递函数的极坐标图示的奈氏曲线

G(s)H(s)?10(1?s)(1?0.1s)

解 由题给出的开环传递函数G(s)H(s)可以看成是由一个比例环节Gl(s)＝K ＝10 ；两个一阶惯性环节G2(s)?分别为

G1(s)?K?10G2(s)?G3(s)?11?j?11?0.1s?11???211?s和G3(s)?11?0.1s串联而成。这三个环节的幅相频率特性

e?j tg?1?

?j tg?111?(0.1?)2e0.1? 所以系统的开环幅频特性为

M(?)?1??102?1?(0.1?)?12

开环相频特性为 ?(?)??tg??tg?10.1?

当取ω为若干具体数值时，就可由上两式计算出M(?)和?(?)的值，见表5-1。

表5-1 ω为不同数值时，M(?)和?(?)的值

ω M(?) 0 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 8.9 7.03 4.4 3.04 2.26 1.76 1.4 1.15 0.97 0.83 0.71 00 29.40 50.70 74.70 88.20 97.70 105.20 111.50 116.80 121.50 125.50 129.30 ?(?) 根据上表的数据就可绘出例5-1的奈氏图，如图5-8所示。

图5-8 例5-1的奈氏图

如第三章所述，根据开环系统传递函数中积分环节的数目v的不同(v＝0，l，2…)，控制系统可以分为0型系统、Ⅰ型系统、Ⅱ型系统、Ⅲ型系统……等等。下面将分别给出0

型系统、Ⅰ型系统和Ⅱ型系统的开环频率特性极坐标图。这些典型系统的奈氏图的特性将有助于以后用奈氏图方法分析和设计控制系统。 1．0型系统的开环奈氏曲线

0型系统的开环传递函数为

mK?(?is?1)G(s)H(s)?i?1n (m?n)

k?(Tk?1s?1) 其频率特性为

mK?(j??G(j?)H(j?)?i?1ni?1) ?M(?)ej?(?) (5-20)

?(j?Tk?1k?1) 式中

m?2K1?(??)?i?i?1?M(?)?n?2 (5—21) ?1?(Tk?)?k?1?mn??1?1??(?)??tg?i???tgTk?i?1k?1? 由式(5-21)，当ω＝0时，M(0)＝K，φ(0)＝00。当ω→∞时，由于m＜n，所以M(∞)

＝0，为坐标原点，为了确定奈氏曲线以什么角度进入坐标原点，就要确定ω→∞时的相角φ(∞)，由式(5—20)、式(5-21)可知，当ω→∞时，分子、分母中每一个因子的相角都是900，故φ(∞)为

?(?)?m?90?n?9000?(m?n)9000?(n?m)(?90)

例如，设0型系统的开环频率特性为

G(j?)H(j?)?K(j?T1?1)(j?T2?1)

式中：n＝2，m＝0，所以

00?(?)?(2?0)(?90)??180

即奈氏曲线将从-180进入坐标原点，也即奈氏曲线在原点处与负实轴相切。如图5—9所示的曲线a。又如，设0型系统的开环频率特性为

G(j?)H(j?)?K(j?T1?1)(j?T2?1)(j?T3?1)0

式中： n＝3，m＝0，所以

00?(?)?(3?0)(?90)??270

即奈氏曲线将从-2700进入坐标原点，也即奈氏曲线在原点处与正虚轴相切。如图5—9所示的曲线b。

图5-9 0型系统的奈氏图

2．Ⅰ型系统的开环奈氏曲线 l型系统的开环传递函数为

mK?(?is?1)G(s)H(s)?i?1n?1 (m?n)

s?(Tks?1)k?1其频率特性为

mK?(j??i?1) ?M(?)ej?(?) G(j?)H(j?)?i?1n?1 (5—22)

j??(j?Tk?1)k?1 式中

?2K1?(??)?i??M(?)??2?1?(Tk?)??m?1??(?)??900?tg?i????i?1? (5—23)

n?1?tgk?1?1Tk?0

由式(5—23)可知，当ω＝0时，M(0)＝∞，φ(0)＝—90，故Ⅰ型系统的奈氏曲线的

起点是在相角为—900的无限远处。当ω→∞时，因m ＜n，所以M(∞)＝0，也为坐标原点。由式(5—23)还可知，φ(∞)＝(n-m)(-90)，与0型系统类似。当n-m＝2时，φ(∞)＝-180，奈氏曲线从-180进入坐标原点，在原点处与负实轴相切，如图5—10所示曲线a。当n-m＝3时，φ(∞)＝—270，奈氏曲线从-270进入坐标原点，在原点处与正虚轴相切，如图

5-10所示曲线b。

0

0

0

0

0

图5-10 Ⅰ型系统的奈氏图

3．Ⅱ型系统的开环奈氏曲线 Ⅱ型系统的开环传递函数为

mK?(?is?1)G(s)H(s)?s2i?1n?2 (m?n)

k?(Tk?1s?1) 其频率特性为

mK?(j??G(j?)H(j?)?(j?)i?1n?22i?1)?M(?)ekj?(?) (5—24)

?(j?Tk?1?1) 式中

m?2K1?(??)?i?i?1?M(?)?n?2?22??1?(Tk?)?k?1?m?0?1??(?)??180??tg?i??i?1? （5-25）

n?2?tgk?1?1Tk?0

由式(5—25)可知，当ω＝0时，M(0)＝∞，φ(0)＝-180，故Ⅱ型系统的奈氏曲线的起

0

点在相角为-180的无限远处，如图5—11所示。当ω→∞时，因m＜n，所以M(∞)＝0，也为坐标原点。由式(5—25)可知，φ(∞)也等于(n-m) (-900)，与0型、Ⅰ型系统相类似。例如，设Ⅱ型系统的开环频率特性为

G(j?)H(j?)?K(j??21?1)(j?)(j?T1?1)

上式中，m＝1，n＝3，所以φ(∞)＝(3—1)(-900)＝-1800，即奈氏曲线在原点处与负实轴相切，如图5—11所示的曲线a。图5—11的曲线b是Ⅱ型系统开环频率特性为

G(j?)H(j?)?0

0

K(j?)(j?T1?1)2的奈氏曲线。这时n-m＝3-0＝3，所以φ(∞)＝（3-0）

(-90)＝-270，所以奈氏曲线b在原点处与正虚轴相切。

图5-11 Ⅱ型系统的奈氏图

5.3 对数频率特性（Bode图）

5.3.1 基本概念

频率特性极坐标图示的奈氏曲线，计算与绘制都比较麻烦。频率特性的对数坐标图是频率特性的另一种重要图示方式。与极坐标图相比，对数坐标图更为优越，用对数坐标图不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表现时间常数等参数变化对系统性能的影响。

频率特性对数坐标图是将开环幅相频率特性G(j?)H(j?)写成

G(j?)H(j?)?M(?)ej?(?) (5—26)

式中M(?)——幅频特性；?(?)——相频特性。

将幅频特性M(?)取以10为底的对数，并乘以20得L(?)，单位为分贝(dB)，即

L(?)?20lgM(?) (dB) (5—27)

在对数相频特性图中，以?(?)为纵坐标，以?为横坐标，横坐标也是以对数分度，纵坐标用等刻度分度。这样，与对数幅频特性一样，也形成一个半对数坐标系。将对数幅频特性L(?)一?和对数相频特性?(?)一?合称为对数频率特性图，又称为伯德图(Bode图)。

5.3.2 典型环节频率特性的伯德图

1. 比例环节 比例环节频率特性为

G(j?)?K

显然，它与频率无关，其对数幅频特性和对数相频特性分别为 L(?)?20lgK?(?)?0?

图5-12 比例环节Bode图 其Bode图如图5-12所示。

2. 微分环节j?

微分环节j?的对数幅频与对数相频特性为

L(?)?20lg? ?(?)?90?

对数幅频曲线在??1处通过0dB线，斜率为20dB/dec；对数相频特性为?90?直线。特性曲线如图5-13①所示。

3. 积分环节1j?

1j? 的对数幅频特性与对数相频特性为

图5-13 微分①、积分② 环节Bode图 积分环节

L(?)??20lg??(?)??90?

积分环节对数幅频曲线在??1处通过0dB线，斜率为?20dB/dec；对数相频特性为

?90直线。特性曲线如图5-13②所示。

?积分环节与微分环节成倒数关系，所以其Bode图关于频率轴对称。 4. 惯性环节(1?j?)

?1

惯性环节(1?j?T)?1的对数幅频与对数相频特性表达式为

L(?)??20lg??1?????1?? （5-28a） ??2?(?)??arctan??1 （5-28b）

式中：?1?1T;?T???1。

当????1时，略去式（5-28a）根号中的(??1)2项，则有L(?)??20lg1?0dB，表明L(?)的低频渐近线是0dB水平线。

当????1时，略去式（5-28a）根号中的1项，则有L(?)??20lg(??1)，表明L(?)高频部分的渐近线是斜率为?20dB/dec的直线，两条渐近线的交点频率?1?1T称为转折频率。图5-14中曲线①绘出惯

图5-14 (1?j?T)?1 的Bode图

性环节对数幅频特性的渐近线与精确曲线，以及对数相频曲线。由图可见，最大幅值误差发生在?1?1T处，其值近似等于?3dB，可用图5-15所示的误差曲线来进行修正。惯性环

?节的对数相频特性从0?变化到-90?，并且关于点(?1，?45)对称。

图5-15 惯性环节对数相频特性误差修正曲线

5. 一阶复合微分环节 1?j?

一阶复合微分环节的对数幅频与对数相频特性表达式为

L(?)?20lg??1?????1?? ??2?(?)?arctan??1

一阶复合微分环节的Bode图如图5-14②所示，它与惯性环节的Bode图关于频率轴对称。

6. 二阶振荡环节 1?2?Tj??(j?T)2振荡环节的频率特性

???1

G(j?)?1?(对数幅频特性

1??n)?j2?(2??n 其中?n?1T， 0???1。

)L(?)??20lg??2??2 1?()?(2?) （5-29a）????nn??2对数相频特性

?(?)??arctan2???n1?(??n)2 （5-29b）

当

??n??1时，略去式（5-48a）中的(??n)和2?2??n项，则有

L(?)??20lg1?0dB

表明L(?)的低频段渐近线是一条0dB的水平线。 当

??n??1时，略去式(5-29a)中的1和

2???n项，则有

L(?)??20lg(??n)??40lg2??n

表明L(?)的高频段渐近线是一条斜率为?40dB的直线。

显然，当??n?1，即???n是两条渐近线的相交点，所以，振荡环节的自然频率?n就是其转折频率。

振荡环节的对数幅频特性不仅与??n有关，而且与阻尼比?有关，因此在转折频率附近一般不能简单地用渐近线近似代替，否则可能引起较大的误差，图5-16给出当?取不同值时对数幅频特性的准确曲线和渐近线，由图可见，在??0.707时，曲线出现谐振峰值，?值越小，谐振峰值越大，它与渐近线之间的误差越大。必要时，可以用图5-17所示的误

差修正曲线进行修正。

图5-16 振荡环节的Bode图

图5-17 振荡环节的误差修正曲线

7. 二阶复合微分环节 1?2?Tj??(j?T) 二阶复合微分环节的频率特性

G(j?)?1?(2??n)?j2?(2??n)其中?n?21T， 0???1

对数幅频特性： L(?)?20lg??2??21?()?(2?) ???n??n?2???n对数相频特性： ?(?)?arctan 21?(??n)二阶复合微分环节与振荡环节成倒数关系，其Bode图与振荡环节Bode图关于频率轴对称。

8. 延迟环节 延迟环节的频率特性

G(j?)?e?j???A(?)ej?(?)

式中 A(?)?1,?(?)????

因此 L(?)?20lgG(j?)?0 （5-30a）

?(?)???? （5-30b）

上式表明，延迟环节的对数幅频特性与0dB线重合，对数相频特性值与?成正比，当???时，相角迟后量也??。延迟环节的Bode图如图5-18所示。

图5-18 延迟环节的Bode图

5.3.3 开环系统Bode图的绘制

设开环系统由n个环节串联组成，系统频率特性为

G(j?)?G1(j?)G2(j?)?Gn(j?)?A1(?)ej?1(?)?A2(?)ej?2(?)?An(?)ej?n(?)?A(?)ej?(?)式中 A(?)?A1(?)?A2(?)?An(?) 取对数后，有

L(?)?20lgA1(?)?20lgA2(?)???20lgAn(?)?L1(?)?L2(?)???L3(?) （5-30a）

?(?)??1(?)??2(?)???n(?) （5-30b）

Ai(?)(i?1,2,?,n)表示各典型环节的幅频特性，Li(?)和?i(?)分别表示各典型环节

的对数幅频特性和相频特性。式（5-30）表明，只要能作出G(j?)所包含的各典型环节的对数幅频和相频曲线，将它们分别进行代数相加，就可以求得开环系统的Bode图。实际上，在熟悉了对数幅频特性的性质后，可以采用更为简捷的办法直接画出开环系统的Bode图，具体步骤如下：

① 分析系统是由哪些典型环节串联组成的，将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。即各典型环节传递函数的常数项为1。

② 根据比例环节的K值，计算20lgK。

③ 在半对数坐标纸上，找到横坐标为?＝1、纵坐标为L(?)?20lgK的点，过

??1该点作斜率为—20VdB／dec的斜线，其中V为积分环节的数目。

④ 计算各典型环节的转角频率，将各转角频率按由低到高的顺序进行排列，并按下列

原则依次改变L(?)的斜率：

若过一阶惯性环节的转角频率，斜率减去20dB／dec；

若过比例微分环节的转角频率，斜率增加20dB／dec； 若过二阶振荡环节的转角频率，斜率减去40dB／dec。

⑤ 如果需要，可对渐近线进行修正，以获得较精确的对数幅频特性曲线。 例5—2 绘出开环传递函数为

G(s)?5(s?2)s(s?1)(0.05s?1)

的系统开环对数频率特性。

解：将G(s)中的各因式换成典型环节的标准形式，即

10(0.5s?1)s(s?1)(0.05s?1)G(s)?

如果直接绘制系统开环对数幅频特性渐近线，其步骤如下： (1)转折频率?1＝1，?2＝2，?3＝20。 (2)在?＝l处，L(?)??1?20lgK?20lg10?20dB。

(3)因第一个转折频率?1＝1，所以过(?1＝1，L(?)?20dB)点向左作一20dB／dec斜率的直线，再向右作一40dB／dec斜率的直线交至频率?2＝2时转为一20dB／dec，当交至?3＝20时再转为一40dB／dec斜率的直线，即得开环对数幅频特性渐近线，如图5—19所示。

图5—19 例5—2系统开环对数频率特性

5.3.4 最小相位系统和非最小相位系统

如果系统的开环传递函数在右半s平面上没有极点和零点，则称为最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。例如，具有下列开环传递函数的系统是最小相位系统

G1(s)? (K,T1,T2,T3均为正数)

(T1s?1)(T2s?1）K(T3s?1) 开环传递函数在右半s平面上有一个(或多个) 极点和零点，称为非最小相位传递函数(若开环传递函数有一个或多个极点位于右半s平面，这意味着开环不稳定)。具有非最小相位传递函数的系统称为非最小相位系统。例如，具有下列开环传递函数的系统为非最小相位系统

G2(s)? (K,T1,T2,T3均为正数)

(T1s?1)(T2s?1）e(T1s?1)(T2s?1）K??sK(T3s?1) G3(s)? (K,T1,T2,?均为正数)

G1(s)和G2(s)都具有相同的幅频特性，即幅频特性都是

M(?)?K1?T3?2222(1?T1?)(1?T?)222

但它们的相频特性却大大不同；设G1(s)和G2(s)的相频特性分别为?1(?)和?2(?)， 则

?1(?)?tg?2(?)?tg0?1(T3?)?tg(T3??1)?tg?1(T1?)?tg(T1?)?tg?1(T2?)(T2?)?1?1?1

当?＝0时 ?1(?)?0,?2(?)?180 当?→∞时

0?1(?)?90?90?90?2(?)?90?90?90000000??90??9000

对于最小相位系统G1(s)来说，当?从0→∞时的相角变化为

?1(?)??1(0)??90?000?90

0 对于非最小相位系统G2(s)来说，当?从0→∞时的相角变化为

?2(?)??2(0)??90?180显然，最小相位系统的相角变化为最小。

00?270

0对控制系统来说，相位纯滞后越大，对系统的稳定性越不利，因此要尽量减小延迟环节的影响和尽可能避免有非最小相位特性的元件。

5.4 奈奎斯特稳定判据及稳定裕度

5.4.1奈奎斯特稳定性判据的基本原理

奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环奈氏曲线，判断闭环系统稳定性的一个判别准则，简称奈氏判据。

奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定性，而且还能够指出闭环系统的相对稳定性，并可进一步提出改善闭环系统动态响应的方法。因此，奈氏稳定性判据在经典控制理论中占有十分重要的地位，在控制工程中得到了广泛的应用。奈氏判据的理论基础是复变函数理论中的幅角原理，下面介绍基于幅角原理建立起来的奈奎斯特稳定性判据的基本原理。 1．特征函数F(s)＝1+G(s)H(s)和F平面 设负反馈控制系统的闭环传递函数为

Y(s)U(s)?G(s)1?G(s)H(s) (5-31)

将上式等号右边的分母1+G(s)H(s)定义为特征函数F(s)，即令

F(s)?1?G(s)H(s) (5—32)

令F(s)＝0，即

F(s)?1?G(s)H(s)?0 (5—33)

上式即为闭环系统的特征方程。

式(5—31)、式(5—32)、式(5—33)中的G(s)H(s)是反馈控制系统的开环传递函数，设

G(s)H(s)?B(s)A(s) (5—34)

式中 A(s)——s的n阶多项式； B(s)——s的m阶多项式。 则特征函数F(s)可以写成

nF(s)?1?G(s)H(s)?1?B(s)A(s)?A(s)?B(s)A(s)K?(s?zi)?i?1n (5-35)

pj)?(s?j?1 上式中 ?pj——F(s)的极点(j＝1，2，…，n)； ?zi——F(s)的零点(i＝1，2，…，n)。

由式(5—35)可知，F(s)的分母和分子均为s的n阶多项式，也就是说，特征函数F(s)的零点和极点的个数是相等的。

对照式(5—31)、式(5—34)、式(5—35)三式可以看出，特征函数F(s)的极点就是系统开环传递函数的极点，特征函数F(s)的零点则是系统闭环传递函数的极点。因此根据前述闭环系统稳定的条件，要使闭环控制系统稳定，特征函数F(s)的全部零点都必须位于s平面的左半部分。

不同的s值对应不同的特征函数F(s)的值。特征函数F(s)的值是一个复数，可以用复平面上的点来表示。用来表示特征函数F(s)的复平面称为F平面，如图5—20(b)所示。从图5—20可以看出，在s平面上的点或曲线，只要不是或不通过F(s)的极点[如是，则F(s)为∞]，就可以根据式(5—35)求出对应的F(s)，并映射到F平面上去，所得的图形也是点或曲线。

图5—20 从s平面到F平面的映射关系(保角变换)

(a) s平面；(b)F平面

2．幅角原理和公式N＝P-Z

在图5—20(a)的s平面上任取一条封闭曲线C，并规定封闭曲线C不通过F(s)的任何零点和极点，但包围了F(s)的Z个零点和P个极点[如图5—15(a)的?zi(i＝1,2，…，Z) 和?pj (j＝1，2，…，P)，图5—20(a)中的?zi和?pj是不被封闭曲线C包围的F(s)的n-Z个零点和n-P个极点，则曲线C在F平面上的映射是一条不通过坐标原点的封闭曲线，我们用C?来表示，如图5—20(b)所示。

当s平面上的变点s(见图5—20(a))从封闭曲线C上的任一点(设为A点)出发，沿曲线

I按顺时针方向移动一圈时，矢量s?zi和s?pj的幅值和相角都要发生变化。F平面上对应

I????的映射点F(s)也将从某一B点出发[见图5—20(b)]按某种方向沿封闭曲线C?移动并最终又回到B点。F平面上的映射曲线——封闭曲线C?按什么方向(顺时针还是逆时针方向)包围坐标原点，以及包围原点的次数是多少?这是下面要研究的问题。

在F平面上，从原点到曲线C?上的点B作矢量F(s)，如图5—15(b)所示，则上述问题可根据幅角原理对下列F(s)的表达式进行计算而得到解答

ZK?(s?zi)?(s?zi)F(s)?i?1Pi?Z?1?n?n? (5—36)

??j?1(s?pj)?(s?pj)j?P?1由上式可求得矢量F(s)的幅角是

Z /F(s)??/s?zi?1?in??/s?zi?Z?1?iP??/s?j?1pj??n?j?P?1/s?pj? (5—37)

当变点s在s平面上沿封闭曲线C顺时针方向移动一圈时，被曲线C包围的每个零点

?zi和每个极点?pj到变点s的矢量s?zi和s?pj的幅角改变量均为360(顺时针改变

I?II0

的角度为正)，而所有其他不被曲线c包围的零点?zi和极点?pj的矢量s?zis?pj????和

的幅角改变量均为00，所以矢量F(s)的幅角改变量为

Z?/F(s)??i?1/s?zi??P?j?1/s?pj?Z(360)?P(360)?(Z?P)?360 (5—38)

?000式中 P——被封闭曲线C包围的特征函数F(s)的极点数； Z——被封闭曲线C包围的特征函数F(s)的零点数。

矢量F(s)的幅角每改变3600(或-3600)，表示矢量F(s)的端点沿封闭曲线C?按顺时针方向(或逆时针方向)环绕坐标原点一圈。而式(5—38)表明，当s平面上的变点s沿符合前述条件的封闭曲线C按顺时针方向绕行一圈时，F平面上对应的封闭曲线C?将按顺时针方向包围原点(Z-P)次。这就是上面提到的要研究的问题的解答，这一重要性质可概括为如下的公式

N＝Z—P (5—39)

式中 N——F平面上封闭曲线C?包围原点的次数；

P——s平面上被封闭曲线C包围的F(s)的极点数； Z——s平面上被封闭曲线C包围的F(s)的零点数。 当N＞0时，表示F(s)端点按顺时针方向包围坐标原点； 当N＜0时，表示F(s)端点按逆时针方向包围坐标原点；

当N＝0时，是F(s)端点的轨迹不包围坐标原点的情况。

例如图5—21表示了F平面上的一些封闭曲线。其中图5—21(a)的N＝-2，即F(s)的端点轨迹包围了原点两次，图5—21(b)和图5—21(c)的N都是零。表示F(s)的端点轨迹没有包围坐标原点。

式(5—39)也可改写成

Z＝P+N (5—40)

上式表明，当已知特征函数F(s)的极点[也即已知开环传递函数G(s)H(s)的极点]在s 平面上被封闭曲线C包围的个数P及已知矢量F(s)在F平面上包围坐标原点的次数N，即可求得特征函数F(s)的零点(也即闭环传递函数的极点)在s平面被封闭曲线C包围的个数。式(5—40)是奈氏判据的重要理论基础。

图5—21 F平面上F(s)端点形成的封闭曲线

(a)N＝-2；(b)N＝0 ;(c)N＝0

3．奈氏轨迹及其映射

为了使特征函数F(s)在s平面上的零、极点分布及在F平面上的映射情况与控制系统稳定性分析联系起来，必须适当选择s平面上的封闭曲线C。为此，我们选择这样的封闭曲线C：使封闭曲线C包围整个右半s平面。因此式(5—40)中的P值就是位于右半s平面上的开环传递函数的极点个数，而由式(5—40)计算得到的Z值就是位于右半s平面上的闭环传递函数的极点个数，对于稳定的控制系统来说，显然Z值应等于零。

包围整个右半s平面的封闭曲线如图5—17所示，它是由整个虚轴和半径为∞的右半圆组成。变点s按顺时针方向移动一圈，这样的封闭曲线称为奈奎斯特轨迹。

奈奎斯特轨迹在F平面上的映射也是一条封闭曲线，如图5—23所示。对图5—22的整个虚轴，因为s＝jω，所以变点在整个虚轴上的移动相当于频率ω从-∞变化到+∞，它在F平面上的映射就是曲线F(jω)( ω从-∞→+∞)。对于不同的开环传递函数G(s)H(s)及其开环频率特性G(jω)H(jω)，就有不同的 F(jω)曲线[F(jω)＝l十G(jω)H(jω)]。在图5—23中，对应ω＝0→∞的曲线用实线表示，对应于ω＝-∞→0的曲线以虚线表示，它们对实轴是对称的。对于图5—22 s平面上半径为∞的右半圆，映射到F平面上的特征函数F(s)为

F(∞)＝l十G(∞)H(∞) (5—41)

图5—22 s平面的奈奎斯特轨迹 图5—23 F平面的奈奎斯特曲线[F(jω)曲线]

因为一般开环传递函数G(s)H(s)的分子阶数m小于分母阶数n(即m?n)，所以 G(∞)H(∞)常为零或常数,所以F(∞)＝1或常数。这表明，s平面上半径为∞的右半圆，包括虚轴上坐标为j∞和-j∞的点，它们在F平面上的映射都是同一个点，即如图5—23上的点D。

综上所述，判别闭环系统是否稳定的方法可以这样来描述：s平面上的奈氏轨迹在F平 面上的映射F(jω)，当ω从-∞变到+∞时，若逆时针包围坐标原点的次数N等于位于右半s

平面上的开环极点个数P，即Z＝P+N＝0[见式(5—40)]，则闭环系统是稳定的，因为Z＝0意味着闭环系统的极点没有被封闭曲线(奈氏轨迹)包围，也即在右半s平面没有闭环极点，所以闭环系统是稳定的。

上述判别闭环系统稳定性的方法可以进一步简化。由于特征函数F(s)定义为

F(s)＝l十G(s)H(s)

将s＝jω，代入上式得

F(jω)＝1十G(jω)H(jω)

将上式改写成

G(jω)H(jω)＝F(jω)-l

上式表明，F平面上的曲线F(jω)如果整个地向左平移1个单位，便可得到GH平面上的G(jω)H(jω)曲线，这就是系统的奈氏曲线图，如图5—24所示。

由于F(jω)的F平面坐标中的原点在GH平面的坐标中移到了(-l，j0)点，所以判别稳定性方法中的矢量F(jω)包围坐标原点次数N，应改为矢量G(jω)H(jω)包围(-1，j0)点的次数N，因此式(5—40)中的N就是GH平面中矢量G(jω)H(jω)对(-1，j0)点的包围次数。 前面已经说明，为了使闭环系统稳定，特征函数F(s)＝1十G(s)H(s)的零点都应位于s平面的左半部分，也就是说，式(5-40)中的Z应等于零，因此式(5-40)应改变为

-N＝P (5-42)

上式是奈奎斯特稳定性判据的基本出发点。

图5—24 GH平面的奈氏曲线

5.4.2 奈奎斯特稳定性判据

1.奈奎斯特稳定性判据(一)

当系统的开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时(例如0型系统)，奈奎斯特稳定性判据可表述为：

(1)当开环系统稳定时，表示开环系统传递函数G(s)H(s)没有极点位于右半s平面，所以式(5-40)中的P＝0，如果相应于ω从-∞→+∞变化时的奈氏曲线G(jω)H((jω)不包围(-1，j0)点，即式(5-40)中的N也等于零，则由式(5—40)可得Z＝0，因此闭环系统是稳定的，否则就是不稳定的。

(2)当开环系统不稳定时，说明系统的开环传递函数G(s)H(s)有一个或一个以上的极点位于s平面的右半部分，所以式(5—40)中的P≠0，如果相应于ω从—∞→+∞变化时的奈氏曲线G(jω)H(jω)逆时针包围(-1，j0)点的次数N，等于开环传递函数G(s)H(s)位于右半s平面上的极点数P，即-N＝P，则由式(5—40)或式(5-42)可知，闭环系统也是稳定的，否则(即N≠p)，闭环系统就是不稳定的。

如果奈奎斯特曲线正好通过(-1，j0)点，这表明特征函数F(s)＝1十G(s)H(s)在s平

面的虚轴上有零点，也即闭环系统有极点在s平面的虚轴上(确切地说，有闭环极点为s平面的坐标原点)，则闭环系统处于稳定的边界，这种情况一般也认为是不稳定的。

为简单起见，奈氏曲线G(jω)H(jω)通常只画ω从0→+∞变化的曲线的正半部分，另外一半曲线以实轴为对称轴。

应用奈奎斯特稳定性判据判别闭环系统稳定性的一般步骤如下： (1)绘制开环频率特性G(jω)H(jω)的奈氏图，作图时可先绘出对应于ω从0→+∞的 —段曲线，然后以实轴为对称轴，画出对应于—∞→0的另外一半。

(2)计算奈氏曲线G(jω)H(jω)对点(-1，j0)的包围次数N。为此可从(-l，j0)点向奈 氏曲线G(jω)H(jω)上的点作一矢量，并计算这个矢量当ω从-∞→0→+∞时转过的净角度，并按每转过360°为一次的方法计算N值。

(3)由给定的开环传递函数G(s)H(s)确定位于s平面右半部分的开环极点数P。 (4)应用奈奎斯特判据判别闭环系统的稳定性。 例5—3 设控制系统的开环传递函数为

G(s)?52(s?2)(s?2s?5)2

试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。

解 绘出系统的开环幅相特性曲线如图5-25所示。当??0时，曲线起点在实轴上P(?)?5.2。当???时，终点在原点。当??2.5时曲线和负虚轴相交，交点为?j5.06。当??3时，曲线和负实轴相交，交点为?2.0。见图中实线部分。

在右半s平面上，系统的开环极点数为0。开环频率特性G(j?)随着?从0变化到??时，顺时针方向围绕（?1,j0）点一圈，即N?1,则闭环系统在右半s平面的极点数为

Z?P?2N?0?2?1?2

图5-25 幅相特性曲线

所以闭环系统不稳定。

利用奈氏判据还可以讨论开环增益K对闭环系统稳定性的影响。当K值变化时，幅频特性成比例变化，而相频特性不受影响。因此，就图5-25而论，当频率??3时，曲线与负实轴正好相交在（?2,j0）点，若K缩小一半，取K?26时，曲线恰好通过（?1,j0）点，这是临界稳定状态；当K?26时，幅相曲线G(j?)将从（?1,j0）点的右方穿过负实轴，不再包围（?1,j0）点，这时闭环系统是稳定的。 2．奈奎斯特稳定性判据(二)

如果开环传递函数G(s)在虚轴上有极点，则不能直接应用图5-22所示的奈氏路径，因为幅角定理要求奈氏轨线不能经过F(s)的奇点，为了在这种情况下应用奈氏判据，可以对奈氏路径略作修改。使其沿着半径为无穷小（r?0）的右半圆绕过虚轴上的极点。例如当开环传递函数中有纯积分环节时，s平面原点有极点，相应的奈氏路径可以修改如图5-26

所示。图中的小半圆绕过了位于坐标原点的极点，使奈氏路径避开了极点，又包围了整个右半s平面，前述的奈氏判据结论仍然适用，只是在画幅相曲线时，s取值需要先从j0绕半径无限小的圆弧逆时针转90?到j0?，然后再沿虚轴到j?。这样需要补充s?j0?j0?小圆弧所对应的G(j?)特性曲线。

设系统开环传递函数为

mK?(Tis?1)G(s)?s?i?1n?? (5-43)

j?(Tj?1s?1)式中?为系统型别。当沿着无穷小半圆逆时针方向移动时，位于无限小半圆上的变点s可表示为

s?r ej? (5-44) 映射到G平面的曲线可以按下式求得

mK?(Tis?1)G(s)s?limrer?0j??s?i?1n???limjKr??(Tj?1s?1)s?limrer?0j?r?0e?j????e?j?? (5-45)

由上述分析可见，当s沿小半圆从??0变化到??0?时，?角沿逆时针方向从0变化到?2，这时G平面上的映射曲线将从?G(j0)位置沿半径无穷大的圆弧按顺时针方向转过???2角度。在确定G(j?)绕(?1，j0)点圈数N的值时，要考虑大圆弧的影响。

例5—4 设控制系统的开环传递函数为

G(s)H(s)?10s(s?1)(s?2)

试用奈氏判据二判别其闭环系统的稳定性。

解 该系统为Ⅰ型系统，其增补开环奈氏曲线如图5—26所示，由图可以看出，当ω从-∞→+∞变化时，G(jω)H(jω)增补奈氏曲线顺时针包围(-1，j0)点两次，即N＝2。而开环传递函数没有位于右半s平面上的极点，即P＝0，所以N≠-P，因此，闭环系统是不稳定的。

图5-26 例5—4的增补奈氏曲线

5.4.3 频域法分析系统的相对稳定性

控制系统稳定与否是绝对稳定性的概念。而对一个稳定的系统而言，还有一个稳定的程度，即相对稳定性的概念。相对稳定性与系统的动态性能指标有着密切的关系。在设计一个控制系统时，不仅要求它必须是绝对稳定的，而且还应保证系统具有一定的稳定程度。只有这样，才能不致因系统参数变化而导致系统性能变差甚至不稳定。

对于一个最小相角系统而言，G(j?)曲线越靠近（?1,j0）点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。因此，可用G(j?)曲线对（?1,j0）点的接近程度来表示系统的相对稳定性。通常，这种接近程度是以相位裕量和增益裕量来表示的。

（1） 相位裕量(PhaseMagin——常简写为PM)

设一稳定系统的奈氏曲线[G(j?)H(j?)曲线]与负实轴相交于G点，与单位圆相交于C点，如图5—27所示。C点处的频率?c称为增益穿越频率，又称为剪切频率。?c处的相角?(?c)与-1800(负实轴)的相角差?称为相位裕量PM，即

PM????(?c)?(?180)?18000??(?c) （5-46）

注意，上式中?(?c)本身是负的。

当?＞0时，表示相位裕量是正的；?＜0时，表示相位裕量是负的。为了使闭环系统稳定，要求相位裕量是正的，如图5—27所示。图5—28描述了不稳定系统的奈氏曲线图。从图中可以看出，?(?c)大于1800而本身又为负，所以相位裕量PM(?)为负数，即?＜0，所以闭环系统是不稳定的。

（2）．增益裕量(GainMargin——常简写为GM)

当奈氏曲线与负实轴相交于G点时，如图5—27所示，G点的频率?g称为相位穿越频率，又称为相位交界频率。这时?g处的相角?(?g)??180，幅值为G(j?g)H(j?g)。定义G(j?g)H(j?g) 的倒数为增益裕量GM，并用Kg表示，即

Kg?1G(j?g)H(j?g)0 (5-47)

上式中，?g满足下式

/G(j?g)H(j?g)??180 (5-48)

0当G(j?g)H(j?g)＜1，也即Kg＞1时，闭环系统是稳定的，用Kg(+)表示，如图5—27所示。当G(j?g)H(j?g)＞l，也即Kg＜l，如图5—28所示，闭环系统是不稳

定的，用Kg(-)代表。

图5—27 稳定系统的奈氏曲线 图5-28 不稳定系统的奈氏曲线

5.5 开环频率特性分析系统性能

在频域中对系统进行分析、设计时，通常是以频域指标作为依据，不如时域指标来得直接、准确。因此，需进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。考虑到对数频率特性在控制工程中应用的广泛性，本节将以伯德图为基点，首先讨论开环对数幅频特性L(?)的形状与性能指标的关系，然后根据频域指标与时域指标的关系估算出系统的时域响应性能。

实际系统的开环对数幅频特性L(?)一般都符合如图5-29所示的特征：左端（频率较低的部分）高；右端（频率较高的部分）低。将L(?)人为地分为三个频段：低频段、中频段和高频段。低频段主要指第一个转折点以前的频段；中频段是指截止频率?c附近的频段；高频段指频率远大于?c的频段。低频段反映了系统的稳态性能，中频段反映了系统的动态性

图5-29 对数频率特性三频段的划分 能，控制系统的动态性能是我们最关心的问题，下面将详细介绍中频段与时域性能的关系，高频段则反映了系统抗高频干扰的能力，对系统的动态性能影响不大，将不作深入分析。

需要指出，开环对数频率特性三频段的划分是相对的，各频段之间没有严格的界限。一般控制系统的频段范围在0.01~100Hz之间。

5.5.1 L(?)低频渐近线与系统稳态误差的关系

系统开环传递函数中含积分环节的数目（系统型别）确定了开环对数幅频特性低频渐近

线的斜率，而低频渐近线的高度则取决于开环增益的大小。因此，L(?)低频段渐近线集中反映了系统跟踪控制信号的稳态精度信息。根据L(?)低频段可以确定系统型别?和开环增益K，利用第三章中介绍的静态误差系数法可以确定系统在给定输入下的稳态误差。

5.5.2 L(?)中频段特性与系统动态性能的关系

开环对数幅频特性的中频段是指截止频率?c附近的频段。设开环部分纯粹由积分环节构成，图5-30（a）的对数幅频特性对应一个积分环节，斜率为?20dB/dec，相角

???(?)??90，因而相角裕度??90；图5-30（b）的对数幅频特性对应两个积分环节，

斜率为?40dB/dec，相角?(?)??180?，因而相角裕度??0?。

图5-49 L(?)中频段对稳定性的影响

一般情况下，系统开环对数幅频特性的斜率在整个频率范围内是变化的，故截止频率?c处的相角裕度?应由整个对数幅频特性中各段的斜率所共同确定。在?c处，L(?)曲线的斜率对相角裕度?的影响最大，远离?c的对数幅频特性，其斜率对?的影响就很小。为了保证系统有满意的动态性能，希望L(?)曲线以?20dB/dec的斜率穿过0dB线，并保持较宽的频段。截止频率?c和相角裕度?是系统开环频域指标，主要由中频段决定，它与系统动态性能指标之间存在着密切关系，因而频域指标是表征系统动态性能的间接指标。 1 二阶系统

典型二阶系统的结构图可用图5-31表示。其中开环传递函数为

G(s)??n2s(s?2??n)(0???1)

相应的闭环传递函数为

?(s)??n222s?2??ns??n

（1）?和?%的关系 系统开环频率特性为

图5-31 典型二阶系统结构图

G(j?)??n2j?(j??2??n) （5-49）

开环幅频和相频特性分别为

A(?)??n22???(2??n)?(?)??90?arctan在???c处，A(?)?1，即

A(?c)??2

?2??n

?n22?1

2?c?c?(2??n)亦即

?c?4??n?c??n?0

解之，得

42224?c?当???c时，有

4??1?2???n （5-50）

42?(?c)??90?arctan由此可得系统的相角裕度为

??c2??n

??180??(?c)?90?arctan将式（5-50）代入式（5-51）得

???c2??n?arctan2??n?c （5-51）

??arctan4?42??1?2?2 （5-52）

根据式（5-55），可以画出?和?的函数关系曲线如图5-32所示。

另一方面，典型二阶系统超调量

2?%?e???/1?? ?100% （5-53）

为便于比较，将式（5-53）的函数关系也一并绘于图5-32中。

从图5-32所示曲线可以看出：?越小（即?小），?%就越大；反之，?越大，?%就越小。通常希望30???60。

??

图5-32二阶系统?%、MP

、?与?的关系曲线 图5-33二阶系统ts?c与?的关系曲线

（2）?、?c与ts的关系

由时域分析法可知，典型二阶系统调节时间（取??0.05时）为

ts?3.5??n （5-54）

将式（5-54）与式（5-50）相乘得

ts?c?3.5?4?4?1?2?2 （5-55）

再由式（5-52）和式（5-55）可得

ts?c?7tan? （5-56）

将式（5-56）的函数关系绘成曲线，如图5-33所示。可见，调节时间ts与相角裕度?和截止频率?c都有关。当?确定时，ts与?c成反比。换言之，如果两个典型二阶系统的相角裕度?相同，那么它们的超调量也相同（见图5-32），这样，?c较大的系统，其调节时间ts必然较短（见图5-33）。

例5-5 二阶系统结构图如图5-34所示。试分析系统开环频域指标与时域指标的关系。 解 系统的开环传递函数为

G(s)?K1K2?Tis(Tas?1)?Ks(Tas?1)

式中，K?K1K2?Ti，转折频率为?2?1Ta。若取

?c?12Ta??22 （5-57）

图5-34 系统的结构图 图5-35 系统的对数幅频特性

则开环对数幅频特性如图5-35所示。系统的相角裕度为

??180??(?c)?180?(?90?arctan?cTa)?180?????1????90?arctan?Ta?2Ta????63.4???

根据所求得的?值，查图5-32可得??0.707，?%?4.3%。由图5-33查得ts?c?3.5。再由式（5-54）得

ts?3.5?c?7?2?7Ta

若增加开环增益，则图5-35的L(?)向上平移，?c右移。当?c移至更靠近?2时，相角裕度变得较小，超调量自然变大。例如，若选?c??2?1Ta时，则相角裕度??45?，从上述曲线查得??0.42，?%?23%。若K值进一步加大，则?c将落在斜率为

?40dB/dec的高频渐近线段上，相角裕度将变得更小，超调量就更大。

2. 高阶系统

对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间没有准确的关系式。但是大多数实际系统，开环频域指标?和?c能反映暂态过程的基本性能。为了说明开环频域指标与时域指标的近似关系，介绍如下两个关系式

?P?0.16?0.4(K?1sin??1),(350???90) (5—58)

0ts??c1sin?(s) (5—59)

式中： K?2?1.5(?1)?2.5(1sin??1) (352 0???90) (5—60)

0将式(5—58)和(5—59)表示的关系，绘成曲线，如图5—36所示。可以看出，超调量?P％随相角裕度?的减小而增大；调节时间ts随?的减小而增大，但随?c的增大而减小。

图5—36 ?P

、ts与?的关系曲线

由上面对二阶系统和高阶系统的分析可知，系统的开环频率特性反映了系统的闭环响应性能。对于最小相位系统，由于开环幅频特性与相频特性有确定的关系。因此，相角裕度?取决于系统开环对数幅频特性的形式，但开环对数幅频特性中频段(?c附近的区段)的形状，对相角裕度影响最大，所以闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。

5.5.3L(?)高频段对系统性能的影响

L(?)的高频段特性是由小时间常数的环节构成的，其转折频率均远离截止频率?c，所以对系统的动态响应影响不大。但是，从系统抗干扰的角度出发，研究高频段的特性是具有实际意义的，现说明如下：

对于单位反馈系统，开环频率特性G(j?)和闭环频率特性?(j?)的关系为

?(j?)?G(j?)1?G(j?)

在高频段，一般有20lgG(j?)??0，即G(j?)??1。故由上式可得

?(j?)?G(j?)1?G(j?)?G(j?)

即在高频段，闭环幅频特性近似等于开环幅频特性。

因此，L(?)特性高频段的幅值，直接反映出系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段的分贝值越低，说明系统对高频信号的衰减作用越大，即系统的抗高频干扰能力越强。 综上所述，我们所希望的开环对数幅频特性应具有如下的性质：

(1)如果要求具有一阶或二阶无静差特性，则开环对数幅频特性的低频段应有—20dB／dec或一40dB／dec的斜率。为保证系统的稳态精度，低频段应有较高的增益。

(2)开环对数幅频特性以一20dB／dec斜率穿过odB线，且具有一定的中频宽度，这样系统就有一定的稳定裕度，以保证闭环系统具有一定的平稳性。

(3)具有尽可能大的剪切频率?c，以提高闭环系统的快速性。

(4)为了提高系统抗高频干扰的能力，开环对数幅频特性高频段应有较大的斜率。

5.6 闭环频率特性分析系统性能

5.6.1闭环频率特性

对单位反馈系统，开环与闭环频率特性的关系为

G闭(j?)?G开(j?)1?G开(j?)

若已知开环频率特性，可求得环节的闭环频率特性。 图5—37示出了闭环幅频特性的典型形状。由图可见，闭环幅频特性的低频部分变化缓慢，较为平滑，随着?增大，幅频特性出现最大值，继而以较大的陡度衰减至零，这种典型的闭环幅频特性可用下面几个特征量来描述。

图5—37 典型闭环幅频特性

(1)零频幅值M0：?＝0时的闭环幅频特性值。

(2)谐振峰值Mr：幅频特性极大值与零频幅值之比，即M上系统，M0＝1，则谐振峰值是幅频特性极大值。

(3)谐振频率?r：出现谐振峰值时的频率。

(4)系统频带宽?b：闭环频率特性的幅值减小到0．707M0时的频率，称为频带宽，用?b表示。频带越宽，表明系统能通过较高频率的输入信号。因此?b高的系统，一方面重现

?MMm0r。在Ⅰ型和Ⅰ型以

输入信号的能力强，另一方面，抑制输入端高频噪声的能力弱。

5.6.2 闭环频域指标与时域指标的关系

用闭环频率特性分析系统的动态性能，一般用谐振峰值Mr和频带宽?b (或谐振频率?r)作为闭环频域指标。

(1)二阶系统

由上节可知，典型二阶系统闭环传递函数为

G闭(s)??n222s?2??ns??n ( 0???1) (5—61)

对应式(5—85)写出二阶典型系统的闭环频率特性为：

G闭(j?)??n222(j?)?2??n(j?)??n??n222(?n??)?j2??n? (5—62)

上式也是振荡环节的频率特性。 1) Mr与?P％的关系

典型二阶系统的闭环幅频特性为

M(?)?(??n2n2222 (5—63)

??)?(2??n?)在?较小时，幅频特性M(?)出现峰值。其谐振峰值Mr和谐振频率?r可用极值条件求得，即令

dM(?)d??0

则谐振频率为：

?r??n1?2? (0???0.707) (5—64)

将式(5—64)代入式(5—63)中，可求得幅频特性峰值。因?＝0时的幅频值M0＝1，则求得幅频特性峰值即是谐振峰值，即

Mr2?12?1??2 (0???0.707) (5—65)

当??0.707时，说明不存在谐振蜂值，幅频特性单调衰减。?r为虚数，??0.707时，?r＝0，Mr＝1。??0.707时，?r＞0，Mr＞l。??0时，?r??n,Mr??。

将式(5—65)所表示的Mr与?的关系也绘于图5—32中。由图明显看出，Mr越小，系统阻尼性能越好。如果谐振峰值较高，系统动态过程超调大，收敛慢，平稳性及快速性都差。从图5—32知，Mr＝1．2—1．5对应?P％＝20％一30％，这时可获得适度的振荡性能。若出现Mr＞2，则与此对应的超调量可高达40％以上。

2) Mr、?b与ts的关系

在频率?b处，典型二阶系统闭环频率特性的幅值为

M(?b)??n(?2n222

2??b)?(2??n?b)解出?b与?n、?的关系为

?b??n1?2?2?2?4?2?4?4 (5—66)

由ts?3??求得?n，代入式(5—90)中，得

n?bts?3?1?2?2?2?4?2?4? 4（5—67）

将式(5—67)与式(5—65)联系起来，可求得?bts与Mr的关系，绘成曲线如图5—38所示。由图可看出Mr、?b与ts的关系。对于给定的谐振峰值Mr，调节时间与频带宽成反比。如果系统有较宽的频带，则说明系统自身的惯性很小，动作过程迅速，系统的快速性好。

图5-38 二阶系统?bts与Mr的关系曲线

(2)高阶系统 对于高阶系统，难以找出闭环频域指标和时域指标之间的确切关系。但如果高阶系统存在一对共扼复数闭环主导极点，可针对二阶系统建立的关系近似采用。为了估计高阶系统时域指标和频域指标的关系，可以采用如下近似经验公式：

?P?0.16?0.4(Mr?1) (1?Mr?1.8) (5—68)

和 ts?K?(s) (5—69)

?c式中 K?2?1.5(Mr?1)?2.5(Mr?1) (1?M2r?1.8) (5—70)

式(5—68)表明，高阶系统的?P％随Mr增大而增大。式(5—69)则表明，调节时间ts随Mr增大而增大，且随?c增大而减小。式(5—68)和式(5—69)的图示关系，如图5—39所示。

图5-39 高阶系统?%、ts与Mr的关系曲线 第五章小结

频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系。频率特性是传递函数的一种特殊形式，将系统(或环节)传递函数中的复数s换成纯虚数j?，即可得出系统(或环节)的频率特性。

频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅相特性(Nyquist图)、对数频率特性(Bode图)和对数幅相特性(Nicols图)等形式。各种形式之间是互通的，每种形式有其特定的适用场合。开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观，理论分析时经常采用；伯德图在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便，实际工程应用最广泛；由开环频率特性获取闭环频率指标时，则用对数幅相特性最直接。

奈奎斯特稳定判据是频率法的重要理论基础。利用奈氏稳定判据，除了可判断系统的稳定性外，还可引出相角裕度和幅值裕度的概念，对于多数工程系统而言，可以利用相角裕度和幅值裕度衡量系统的相对稳定性。

开环对数频率特性曲线(伯德图)是控制系统工程设计的重要工具。开环对数幅频特性

L(?)低频段的斜率表征了系统的型别(v)，其高度则表征了开环增益的大小，因而低频段全

面表征系统稳态性能；L(?)中频段的斜率、宽度以及截止频率，表征着系统的动态性能；高频段则表征了系统抗高频干扰的能力。

利用开环频率特性或闭环频率特性的某些特征量，均可对系统的时域性能指标作出间 接的评估。其中开环频域指标主要是相角裕度?、截止频率?c。闭环频域指标则主要是谐振峰值Mr,谐振频率?r以及带宽频率?b，这些特征量和时域指标?％、ts之间有密切的关系。这种关系对于二阶系统是确切的，而对于高阶系统则是近似的，然而在工程设计中精度完全可以满足要求。

习题

5-1已知系统开环传递函数

G(s)H(s)?10s(2s?1)(s?0.5s?1)2

试分别计算 ??0.5 和??2 时开环频率特性的幅值A(?)和相角?(?)。

5-2 绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。

(1) G(s)? (2) G(s)?

5-3 三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频曲线分别如题5-3图(a)、(b)和(c)所示。要求：

（1）写出对应的传递函数；

（2）概略绘制对应的对数幅频和对数相频曲线。

2(2s?1)(8s?1)2002； 。

s(s?1)(10s?1)

题5-3 图

5-4 系统中

G(s)?10s(s?1),H(s)?1?Khs

试确定闭环系统临界稳定时的Ｋh。 5-5 已知系统开环传递函数

G(s)?10s(0.2s?0.8s?1)2

试根据奈氏判据确定闭环系统的稳定性。

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