数学建模作业题

数学建模第二次作业

1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明：

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（1） 若??0>??,则?? ?? 先增加，在s>??处最大，然后减小并趋于0；s（t）单调减小至s∞。

（2） 若s0≤1，则?? ?? 单调减小并趋于0，?? ?? 单调减小至s∞。 （3） 对于传染病模型的SIR模型证明下列式子。

s(t)?s0e??r(t)（1） dr??(1?r?s0e-?r)（2） dt1??tr(t)?[(s??1)??tanh(??)]（3） 02s0?2

2. 在一个足够大的水缸中，滴下一滴蓝色的墨水。从水缸上方向下看，发现滴下的墨水以滴下的墨水滴为中心向周围扩散，蓝色区域逐渐增大，然后逐渐缩小，最后完全消失。建立模型描述观察到的墨水扩散过程（不考虑墨水本身的重力作用，假设向x, y, z轴方向上的扩散是均匀的）。如果过了85s之后，水缸里已经看不出墨水的痕迹，那么初始时刻滴入水缸的墨水总量有多少？蓝色区域的最大半径有多大？

假设光强系数α=0.2m2/kg、扩散系数??=8×10?5m2/??、仪器敏感系数μ=0.02。

3. 某种群最高年龄为30岁，按间隔10岁将此种群分为三组并以10年为一时段。

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各组的繁殖率为b1=0,??2=4,??3=3，存活率为s1=6，s2=4，开始时三组各有1000只。

求：（1）10年、20年、30年后该种群按年龄分布的种群量； （2）此种群的固有增长率及相应的稳定年龄分布；

4. 求下列系统的平衡点，并判断其稳定性 （1） ?? =??2+3???10；

（2）?? =5??2+4??+3????, ?? =2??2+4???6????；

5. 哈雷彗星。

哈雷彗星在1986年2月9日到达了近日点（最接近太阳的点，取太阳为原点），那时它的位置和速度分别为

P0?(0.325514,?0.459460,0.166229)v0?(?9.096111,?6.916686,?1.305721)位置单位为AU(天文单位，取地球轨道的长半轴为单位距离)，时间单位为年。彗星的三维运动方程为

d2x?xd2y?yd2z?z??,??,?? dt2r3dt2r3dt2r3其中参数??4?2，r?x2?y2?z2。求微分方程的数值解，作出彗星三维轨道和彗星轨道在yz平面的射影。由r与t的关系，计算彗星的远日点距太阳的距离，预测下一次彗星到达近日点的时间。

6. 在研究化学动力学反应过程中，建立了一个反应速度和反应物

?1x2?x3

含量的数学模型，形式为y??51??2x1??3x2??4x3

其中?1,?,?5是未知参数，x1,x2,x3是三种反应物（氢，n戊烷， 异构戊烷）的含量，y是反应速度。今测得一组数据如表4，试由 此确定参数?1,?,?5，并给出置信区间.?1,?,?5的参考值为 （1，0.05，0.02，0.1，2）

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

反应速度y

8.55 3.79 4.82 0.02 2.75 14.39 2.54 4.35 13.00 8.50 0.05 11.32 3.13

氢x1 470 285 470 470 470 100 100 470 100 100 100 285 285

n戊烷x2

300 80 300 80 80 190 80 190 300 300 80 300 190

异构戊烷x3

10 10 120 120 10 10 65 65 54 120 120 10 120

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