大学数学课后习题答案

习题1

1. （1）不能（2）不能（3）能（4）不能

2. （1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．

（2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的．

（3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合． 3. ?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 4. （1）{0,1,2,3,4} （2）{3,4} （3）{(?1,?1),(0,0),(1,1)}

235. （1）{x|x?2?3,x?Z} （2）{x|x?x?12?0} （3）{(x,y)|y?x,y?x}

6. （1）{1,3} （2）{1,2,3,5} （3）? （4）{1,2,3,4,5,6} （5）{2} （6）? （7）{4,5,6} （8）{1,3,4,5,6} （9）{1,2,3,4,5,6} （10）{4,6} 7.

A?A?B?B?A?(A?B)?B?((A?A)?(A?B))?B?(??(A?B))?B?(A?B)?B?(A?B)?(B?B)?(A?B)?U?A?B8. （1）(?5,5) （2）(?2,0) （3）(??,?3]?[1,??) （4）(1,2] （5）[4,??) （6）(??,4)

9. （1）A?B?{1}；A?B?[0,3]；A?B?[0,1)． （2）A?B?[2,4]；A?B?[?1,4]；A?B?[?1,2)． 10. （1）(,) （2）(,2)?(2,)．

11. （1）不是．定义域不同 （2）不是．定义域不同 （3）不是．定义域不同 （4）是．在公共的定义域[?1,1]上，y?1?x?1?x?y?1?x2 12. （1）(??,?2)?(?2,2)?(2,??) （2）(??,?1]?[1,??) （3）(?1,1]

35223252 （4）(??,??) （5）(?2,2) （6）[1,5] （7）(?2?2k?,?2?2(k?1)?)，k?0,?1,?2,? （8）(?2,?1)?(?1,1)?(1,??)

（9）(??,?2)?(3,??) （10）[2,4]

13（1）f(0)?0?3?0?5??5；f(1)?1?3?1?5??1；

f(?1)?(?1)?3?(?1)?5??7；f(?x)?(?x)?3?(?x)?5?x?3x?5； f()?()?3?222221x1x2113?5?2??5． xxx2214. f(x)?f(x?1?1)?(x?1)?2(x?1)?3?x?4； f(x?1)?(x?1)?4?x?2x?3．

22sin(?)?2?2，f(0)?0?1?1，f(?)???1??． 15. f(?)??2222??2?x2x2x2?116. ?x?D?(??,??)，有f(x)?1???1??1??2． 2221?x1?x1?x17. （1）单调递减 （2）(??,2]上单调递增；[2,??)上单调递减 （3）(??,1]单调递减；[1,??)上单调递增 （4）单调递增 （5）(??2?k?,?2?k?)（k?0,?1,?2,?）上

单调递增； （6）单调递增

18. （1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）偶函数 （4）奇函数 （5）非奇非偶函数 （6）偶函数 （7）非奇非偶函数 （8）奇函数 （9）偶函数 （10）奇函数 19. （1）对定义域内的任意x，因为F(?x)?函数；

（2）对定义域内的任意x，因G(?x)?所以G(x)是偶函数．

20. （1）? （2）2? （3）? （4）2?

21. （1）因为?x?(??,??)，有f(x?2)?f(x)?f(2)成立，令x??1，则有

1[f(?x)?f(x)]?F(x)，所以F(x)是偶211[f(?x)?f(x)]??[f(x)?f(?x)]??G(x)，22f(1)?f(?1)?f(2)，又因为f(x)是(??,??)内的奇函数，所以f(?1)??f(1)，所以f(2)?2f(1)?2a，又f(5)?f(3)?f(2)?(f(1)?f(2))?f(2)?f(1)?2f(2)，所以

f(5)?5a．

（2）因为f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(x?2)?f(x)，又已知

f(x?2)?f(x)?f(2)，所以f(2)?0，由（1）知f(2)?2a，所以a?0．

22. （1）y?arcsinu，u?1?x （2）y?u，u?lnv，v?2u2x

w，

（3）y?u，u?2?v，v?cosx （4）y?e，u?arctanv，v? w?1?x 23. （1）y?1?x1b（x??1） x? （2）y?ex?1 （3）y?3x?2 （4）y?1?xkk24. （1）是 （2）是 （3）是 （4）不是

习题2

1. (1) 0 (2) 1 (3) 0 (4) 0 2．(1)3 (2)2 (3)0 (4) ?? (5) ?

3.两个无穷小的商是不一定是无穷小，例如：

1limn??nn21??? n2limnn??

4. 根据定义证明：

1(1)y?xcos当x?0时为无穷小；

x证明：???0,????,当x??,xcos(2)y?1?x当x??1时为无穷大. xx?111??1??1?M?1?1?M xxx1?x?? x证明：?M?0,???M?1,当x??,5. 求下列极限：

（1）1 （2）0 6. 计算下列极限： （1）0 （2）

1 2（3）

2 （4）1 27. 计算下列极限：

（1）4 （2）?

1（3）2 （4）

31（5）? （6）

4（7）-1 （8）6

?x?1,x?0?x?0，讨论函数在点x?0时的极限情况？ 8. 设f(x)??0,?x?1,x?0?解：limf(x)??1,lim-f(x)?1,f(0)?0，所以f(x)在x?0不存在极限。 -x?0x?0x2?ax?b?5，求a，b 9. 已知limx?11?xx2?ax?b?5得解：由已知可知：a?b?1?0,得到a??b?1,代入limx?11?xx2?(b?1)x?b(x?b)(x?1)lim?lim?1?b?5，得b?6,a??7 x?1x?11?x1?x10. 计算下列极限：

lim?x1?cosx?lim?x?0x12x2（1）

x?0?2

tanx?sinx1?cosxx21?lim?lim?（2）lim

x?0x?0x2?cosxx?02x2?cosx2x3tan2x22x2?lim2?2 （3）lim2x?0x?0xx（4）limx?02?1?cosx1?cosxsinx2?lim?lim?x?08 sin2x(2?1?cosx)sin2xx?022?2sinxcosxxx?1?11??x?2??（5）lim??lim1????x??x?1x?????x?1??e

1?x?（6）lim?? ?x??x?1e??1??3?x??（7）lim??lim?1???x??2?xx??x?2????x??（8）lim?1??x?0?2?x?1xxx?(x?2)?21? e?e

?12?x2???e （9）lim?x???x2?1???x（10）limsinx?sin1cosx?lim?cos1

x?1x?1x?111?cosxx2?lim?0 （11）limx?0x?02sinxsinxlim(1?x)tan?x2（12）

x?1?lim(1?x)x?1?122?lim??xx?1??x? cos?sin222sin?xsin3x?2sinx3? （13）lim2?54?sinxx?2（14） limx?cotxx??2?2??1

111存在极限。 ????1?21?221?2n111111提示： ?????????2n2n1?21?2221?2211. 证明：数列xn?11??1?2???212. 求极限limn?2?。 n??n??n?2?n?n???提示：

n?n11?1?n?????22n2??n2?n??n??n?2?n?n?? ?2?n?n?2n13. 求lim。

n??n!2n2? 提示：n足够大时n!n

1c14. 设xn?1?(xn?)（n?1,2,?），已知常数c?0且x1?0，证明limxn?c．

n??2xn提示：首先证明数列{xn}收敛．

因为c?0，x1?0，所以xn?0（n?1,2,?），则对任意的n，有

1ccxn?1?(xn?)?xn??c

2xnxn这说明数列{xn}有下界；

1c1c?xn又xn?1?xn?(xn?)?xn???0，即数列{xn}单调递减，从而数列{xn}2xn2xn收敛．

设limxn?a，对等式xn?1?n??21c1c(xn?)两边同时取极限，得a?(a?)，解之得

2a2xnn??a??c．因为xn?0（n?1,2,?），所以由保号性知a?0，所以limxn?c．

15. 求下列函数的间断点，并判断类型：

1（1）f(x)?2 x??1第二类间断点

x?1（2）f(x)?e x?0第二类间断点

1（3）f(x)?arctan x?0 第一类间断点

x1（4）（4）f(x)?xcos2 x?0为可去间断点

x16. 讨论下列函数在分段点处的连续性：

1x?x?1,x?1（1）f(x)?? 不连续

?3?x,x?1?x2?1,x??1?（2）f(x)??x?1 不连续

?3,limf(x)?0?f(?1)x??1?x??1?sinx,x?0?（3）f(x)??x 不连续

?x?0?2,?x2?1,x?0（4）f(x)?? 连续

?2x?1,x?0?2x,0?x?117. 讨论函数f(x)??在[0,2]上的连续性。

3?x,1?x?2?解：

x??1?limf(x)?2?lim?f(x)?f(1)x??1，所以f(x)在x?1连续，又f(x)在[0,1)?(1,2]连续，所以f(x)在[0,2]连续。

18.证明方程x5?3x?1在1与2之间至少有一个实根。

证明:令f(x)?x5?3x?1,则f(1)?0,f(2)?0,f(x)为连续函数，由介值定理可得，

f(x)?x5?3x?1在1到2之间至少有一个实根。

19. 证明曲线y?x4?3x2?7x?10在x?1与x?2之间与x轴至少有一个交点。 提示：介值定理

20.设f(x)?ex?2，证明：存在??(0,2)，使得e??2??成立。 提示：f(2)?0，f(0)?0,介值定理

21.已知函数f(x)在(a,b)内连续，且f(a?)、f(b?)存在，证明：f(x)在(a,b)有界。

?f(a?),x?a?提示：令F(x)??f(x),x??a,b?,F(x)在?a,b?连续，所以f(x)在?a,b?连续

???f(b),x?b习题3

1.用导数定义求下列函数的导数：

（1）f(x)?2x2?x （2）f(x)?lnx

1答案：(1) 4x?1 （2）

x2.已知某一物体的运动方程为s?3t2，求该物体在t?1到t?1??t这段时间内的平均速度，并求出当?t分别取0.1，0.01时的平均速度及t?1时的瞬时速度．

s(1??t)?s(1)3(1??t)2?3??3?t?6 解：v??t?t?t?0.1时，v=6.3?t?0.01时，v=6.03t?1时，瞬时速度为limv?6?t?0

3.讨论下列函数在x?0处的可到性与连续性

2??x,x?0（1）f(x)?sinx （2）f(x)??x

??xe,x?0解：（1）limf(x)?0?f(0),f(x)在x?0连续

x?0limx?0sinxf(x)-f(0)?lim极限不存在，f(x)在x?0不可导 x?0xxx?0（2）limf(x)?0?f(0),f(x)在x?0连续

f(x)-f(0)xexf(x)-f(0)x2lim?lim=1 lim?lim=0 ???x?0?x?0x?0x?0xxxx极限不存在，f(x)在x?0不可导

1?xsin,x?0?4.讨论函数f(x)??，在x?0处的连续性与可导性． x?x?0?0,解：limf(x)?0?f(0),f(x)在x?0连续

x?0limx?0f(x)-f(0)?limx?0xxsinx1x 极限不存在，f(x)在x?0不可导

?1?sin2x,x?05.试确定常数a，b，使函数f(x)??，在x?0处可导．

a?bx,x?0?解：由已知得limf(x)?0?f(0)，故a?1

x?0f(x)-f(0)f(x)-f(0)?lim ?x?0x?0xxbxsin2x故lim= lim x?0?xx?0?xx?0可导，lim? 从而 b?2

6.求曲线y?3x2在点(8,4)处的切线方程和法线方程．

212333解：y??3,x?3时切线斜率为3，法线斜率为 3x2337.求下列函数的导数：

1（1）y?2x3?x?1? （2）y?3x2

x（3）y?ax?xa （4）y?exlnx （5）y?tanx?secx （6）y?sinxtanx （7）y?1?sinx （8）y?ln(x?1?x2)

1?sinx（9）y?x2lnxcosx （10）y?tan2x （11）y?lnx2?(lnx)2 （12）y?sinnx?cosnx

12?11答案：?1?6x?1?2(2)x3(3)ln???x?x?????x?x??1(4)exlnx?ex

x3x(5)sec2x?secxtanx(6)sinx(1?sec2x)(7)1x2?1?2cosx 2(1?sinx)(8)(9)2xlnxcosx?xcosx?x2lnxsinx

2(10)2tanxsec2x(11)(1?lnx)(12)nsinn?1xcosx?nsinnx

x8.求下列函数的导数：

（1）y?arcsinx?arccosx （2）y?xarcsinx （3）y?1arcsinx （4）y?

2x1?x（5）y?loga(x2?3x?2) （6）y?1?x 1?x（7）y?sin2xcos2x （8）y?ln(secx?tanx)

1?x2（9）y?ln （10）y?(sinx)cosx 21?x（）10（2）arcsinx?答案：

x1?x2(3)1x1?x2?arcsinxx2

(4)x(1?x)2?322x?3(5)2(x?3x?2)lna(6)?(1?x)(1?x)?32?12

4x(7)2cos4x(8)secx(9)1?x4(10)(sinx)cosxcos2x(?sinxlnsinx?)

sinx9.求下列函数的高阶导数： （1）y?ln(1?x2)，求y?? （2）y?sin3x?e2x，求y?? （3）y?x2cosx，求y(30) （4）y?1，求y(n) 1?x(2)12cos3x?e2x?5sin3x?e2x(3)870cosx?60xsinx?x2cosx

2(1?x2)（）1答案：

(1?x2)2(4)n! n(1?x)10.求下列函数的微分：

1（1）y??3x （2）y?xcos2x

x（3）y?xx2?1 （4）y?ln2(1?x)

（5）y?arcsin1?x2 （6）y?tan2(2x2?1)

1?x222xy?xe （7）y?arctan （8）21?x（9）y?ln2(1?sin2x) （10）y?e1?3xtan2x 答案：(1)dy?(?1(1?x)32213?)dx(2)dy?(cos2x?2xsin2x)dx x22x(3)dy?dx(4)dy?(2ln(1?x))dx x?1(5)dy?(?xx1?x2)dx(6)dy?8xtan(2x2?1)sec2(2x2?1)dx

?2x(7)dy?()dx?8?dy?(2xe2x(1?x))dx 41?x4cos2x(9)dy?(ln(1?sin2x))dx(10)dy?(e1?3x(2sec22x?3tan2x))dx

1?sin2x11.计算下列各题的近似值：

（1）cos29? （2）25.04 （3）tan136? （4）e1.01

12.设扇形的圆心角??60?，半径r?100cm，如果r不变，?减少0.5?，问扇形的面积约改变多少？如果?不变，r增加1cm，问扇形的面积改变多少？

习题4

1.证明方程5x?4x?1?0在0与1之间至少有一个实根.

4111解：令f(x)?5x4?4x?1，f(0)?1?0,f()???0216

1故???(0,)使得f(?)?0，从而结论成立。22.不求导数，判断函数f(x)??x?1??x?2??x?3?的导数有几个根，并确定其范围。 答案：由于f(1)?f(2)?f(3)?0，故f(x)在?1,2?，?2,3?上满足罗尔中值定理的条件。因此，在?1,2?内至少存在一点?1，使得f?(?1)?0；在?2,3?内至少存在一点?2，使得

f?(?2)?0。又f(x)是三次多项式，故f?(x)为二次多项式，只能有两个实根，分别在区

间?1,2?和?2,3?内。

3.证明方程16x?64x?31?0在?0,1?内不可能有两个不相等的实根。

4解：假设16x4?64x?31?0在(0,1)内有两个不相等的实根x1,x2则???(x1,x2)使得f?(?)?0,而f?(x)?64x?64?0,x?(0,1)矛盾从而假设不成立16x4?64x?31?0在(0,1)内不可能两个不相等的实根x1,x2。4.设f(x)在(a,b)内有二阶导数，且

f(x1)?f(x2)?f(x3)

其中，a?x1?x2?x3?b，证明：在(x1,x3)内至少有一点?，使得f??(?)?0。

解：由于f(x1)?f(x2)?f(x3)由罗尔中值定理可知??1?(x1,x2),?2?(x2,x3),f?(?1)?f?(?2)?0 再由罗尔中值定理可得???(?1，?2)5.利用洛必答法则求下列极限： （1）limf??(?)?0lnlnxsin5x （2）lim

x?0tan3x（3）limex?1x?0sinx （5）limtanx?xx?0x2sinx （7）limsinx?sinax?ax?a （9）lim?2x?0??x2?1?1?x?1?? （11）?2xxlim??????arctanx??? x（13）xlimln(1?e)???5x （15）limtan??tanx?2x x?4x???x（4）limx?ln(1?x)x??x2 6）limn?0?xlnx（n?0） x（8）limx?ln(1?x)x?0x2 1（10）lim??arcsinx??x2x?0?x?

tanx （12）lim?1?x?0??x??

1（14）lime?(1?x)xx?0x

（16）lim??secx?tanx?

x??2 （ 答案:(1) (7)cos?53(2)0(3)1(4)0(5)11(9)?1(10)e42(8)1(6)032(11)??(12)1(13)1(14)0(15)?1(16)051tlnarcsinxsintlimln令x=arcsinxlimx?0x2t?0sin2tx1arcsinxx2 )?eex?0xt1costln?t?limtsint?limsint?t?costlimsint?0sin2tt?02sintcostt?02tsin2tcostsint?t?cost1cost?cost?tsint1?limlim?lim?32t?0t?0t?02tcost6t6(10)lim(arcsinxx21lim()?x?0x6ln(1?x)?(ax?bx2)?2。 6.确定常数a，b，使得lim2x?0x11?(a?2bx)ln(1?x)?(ax?bx)1?x解：lim?lim2x?0x?0x2x由上式可知1?a?0,a?12 11??2b?(a?2bx)?1?2b(1?x)21?xlim?lim??2x?0x?02x225b??27.讨论下列函数的单调性：

3x（1）y?x （2）y?e?x?1

32答案：（1）函数y?x的定义域为???,???。因此，y??3x?0，当x?0时，y??0；3当x?0时，y??0。故函数y?x在定义域???,???上单调增加。

（2）函数y?e?x?1的定义域为???,???。由y??e?1，因为在?0,???内，y??0，

xx所以函数y?e?x?1在?0,???上单调增加；又因为在???,0?内，y??0，所以函数

xy?ex?x?1在???,0?上单调减小。

8.确定函数f(x)?2x?9x?12x?3的增减区间.

32答案：函数的定义域为???,???，求函数的导数，有

f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)

解方程f?(x)?0，得x1?1，x2?2。

在区间???,1?内，f?(x)?0，因此函数f(x)在???,1?上单调增加； 在区间?1,2?内，f?(x)?0，因此函数f(x)在?1,2?上单调减小； 在区间?2,???内，f?(x)?0，因此函数f(x)在?2,???上单调增加。 9.证明不等式：sinx?siny?x?y。

提示：?sinx??=cosx,由拉格朗日中值定理sinx?siny?cos??1,??(x,y)x?y从而sinx?siny?x?y310.求函数f(x)?x?x3的单调区间与极值。

2答案：x?0时，函数不可导；

2

x?0时，f?(x)?1?x值情况见表： 13?133?x?1，令f?(x)?0，的驻点x?1，则函数的单调区间与极3x(??,0) ?(0,1) 1 0 (1,??) ? 增大 f?(x)?1?x ? 增大 ? 减小 极大值f(0)?01

极小值f(1)??211.求函数f(x)?(x?2)(x?1)极值点.

23答案：f?(x)=2(x+2)(x-1)3?3(x+2)2(x-1)2?(x+2)(x-1)2(2x?2?3x?6)?(5x?4)(x+2)(x-1)2极大值f(-2)?0462?93极小值f(?)??555

12.求函数f(x)?x?3x?3在区间[?3,]上的最大值、最小值.

332答案：f?(x)?3x2?3极值点端点为x??3,?1,1,32

315f(?3)??15,f(?1)?5,f(1)?1,f()?28最大值为f(?1)?5，最小值为f(?3)??154213.设f(x)?x?4x，x???3,3?，求其单调区间、极值和最值.

答案：f?(x)?4x(x2?2)???2,3?单调减区间??3,?2??0,2?单调增区间?2,0极大值f(0)?0极小值f(?2)?0,f(2)?0最大值f(?3)?f(3)?45最小值f(0)?f(?2)=f(2)=014.用薄钢板做一体积为V的无盖圆柱形桶，假定不计裁剪时的损耗，为了使得用去的材料最省，桶底直径与桶高的比例应为多少？

答案：设桶底半径为r,高为h,表面积为SV=?r2h,S??r2?2?rh消去h得2V,(0?r???)r2VS??2?r?2r令S??0，得到r?3V?S??r2?r?3V?,h?3V?此时2r:h?2:1用料最省

习题5

1.已知h(x)是g(x)的一个原函数，则下面表达式中哪一个是正确的？ (A) ?h(x)dx?g(x)?c (B) ?g(x)dx?h(x)?c (C) ?h?(x)dx?g(x)?c (D) ?g?(x)dx?h(x)?c

答案：（B）是正确的

2.已知sinx是f(x)的一个原函数，求?f?(x)dx．

sinx是f(x)的一个原函数，则(sinx)?=f(x),答案：

?f(x)?f(x)?C?cosx?C?3.求下列不定积分：

（1）?x?3xdx （2）?1dx 4（3）??tdt （5）?4tdt （7）?sin3xdx （9） ?cosx1?sinxdx （11）?1a2?x2dx （13）?1?2x?x2x(1?x2)dx （15）?dxx(4?x) （17）?(1?x)lnxdx （19）?exsinxdx 答案：

x（4）?1?x3x4dx

（6）?e2xdx （8）?sin3x?cosxdx10）?lnx1?xdx （12）?11?xxxdx （14）? x x2?2dx （16）?5t?tdt

（18）?x2cosxdx （20）?2xcosxdx （35(1)x3?C(2)5(6)43x4?C(3)3221?t?C(4)?x?3?lnx?C(5)3334t?Cln4x?1?1+Cx?1?112x1sin4xe?C(7)?cos3x?C(8)?C(9)ln(1?sinx)?C(10)2(lnxx?1?1?x)?ln234x111(11)arctan?C(12)?2?1?ln(?1?1)?ln(?1?1)?Caxxx1(13）lnx?2arctanx?C(14)ln(x2?2)?C2x?21t1（15）arcsin?C(16)5(t?)?C2ln5ln5x2x2(17)(?x)lnx??x?C(18)(x2?2)sinx?2xcosx?C24xe(sinx?cosx)2xsinx?ln2cosx2x(19)?C(20)?C21?(ln2)25?4

4.估计积分值??(1?sin2x)dx的范围．

4答案：sinx?(0,1),1?sinx?(1,2),故??(1?sin2x)dx?(?,2?)

425?45.已知

sinx是f(x)的一个原函数，求?xf?(x)dx． xf(x)?(答案：

sinx)?xsinxsinx=cosx?2?Cxx

?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx?xf(x)?6.已知e?x是f(x)的一个原函数，求不定积分?xf??(x)dx． 答案：

(e?x)??f(x),则f?(x)?e?x?xf??(x)dx??xdf?(x)?xf?(x)??f?(x)dx?xe1320?x?e?C?x

7.求下列定积分： （1）?0xdx （2）?(1?2x2)dx

11?x3dx （4）?3tdt （3）?210x3（5）?42dx （6）??cos?xdx

0xlnx221??20（7）?cosxsinxdx （8）?x?3x2dx

1x1?2x?x2（9） ? （10）dx?0x2?3dx 1x(1?x2)2（11）?xlnxdx （12）?xsinxdx

102?（13）??0excosxdx （14）?x2e?xdx

1 e322142(2)(3)(4)(5)ln2(6)0433ln3137?(7)(8)(23?1)(9)ln2?2arctan2?372答案：

141(10)ln(11)2ln2?(12)?232ee??1(13)?(14)?e?x(x2?2x?2)12(1)

8.证明：如果函数f(x)是奇函数，即f(?x)??f(x)，则?f(x)dx?0

?aa答案：

?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(?x)dx??f(x)dx?0

?a0000aaa?1?x?9.假设lim??x???x?ax??tetdt，求常数a．

??aataa由分步积分法得：tedt=ae?e???a?1?x???tetdt得ea?aea?ea 答案：lim????x???x?a?2ax10.设f(x)为连续函数，且f(x)?sinx?? ? 0f(x) dx， 求f(x)．

设c??f(x) dx，f(x)?sinx?c 0 ?答案：

? ? 0f(x) dx??(sinx?c) dx?2??c?c

0 ?c?21??ba11.设f(x)在[a,b]上有连续导数，且f(a)?f(b)?0，，求?xf(x)f?(x)dx． 12.计算定积分?1x?exdx． ?121答案：

?1?1111x112x?edx=?（-x）exdx+?（x?）exdx1?1222212

11分步积分法=e?1?2e?e2213.求广义积分： （1）???2?111xdxcosdx （2） 2?022xx(3?x)1?x答案：（1）?2?1??????11111cosdx=??2cosd=?sin2?1 2xxxxx??d1?x2?0(3?x2)1?x2??2?0(3?x2)xdx12d1?x1（2）???3?x20

11?x2?211?ln?ln320221?x?214.求由抛物线y?3?x2及直线y?2x所围平面图形的面积．

答案：

?1-3(3?x2?2x)dx

习题6

1. 求下列微分方程的通解： (1) xy??1?y；

(2) (1?x2)y??2xy2?0； (3) (1?ex)yy??ex；

y?y?0． x2.求下列微分方程的通解：

(4) xy??xsin(1) y??xy?4； (2) y??cosx?y?(3) y??1sin2x； 22y?(x?1)3； x?1(4) y??xxy?．

22(1?x2)3.求下列微分方程满足约束条件的特解： (1) xy??y?0,y(1)?1； (2) (x?1)y??y?x(x?1)(x?2)． 4.求下列微分方程的通解： (1) y???3y??2y?0； (2) y???3y??0； (3) y???2y??y?0； (4) y???y??y?0． 5.求下列微分方程的通解： (1) y???6y??9y?2x2?x?3； (2) y???y??2y?e?x； (3) y???2y??3y?(x?2)e3x； (4) y???4y??4y?e2xsin5x； (5) y\?6y'?9y?(x2?1)e3x； (6) y\?2y'?2y?ex(4cosx?sinx)． 6.求解下列初值问题：

?dyx?2y??e(1) ?dx

?y?x?0?01???y???x2(2) ?

?y?2,y??3x?1?x?1??xy???2y??0(3) ?

?y?1,y?2?x?1?x?1

7.求解微分方程y???4y?ex．

8.求微分方程y???2y??y?2ex的通解． 9.求微分方程y???y?xcosx的一个特解．

1. 求下列微分方程的通解： (1) xy??1?y；

(2) (1?x)y??2xy?0； (3) (1?e)yy??e； (4) xy??xsinxx22y?y?0． x2.求下列微分方程的通解： (1) y??xy?4； (2) y??cosx?y?(3) y??(4) y??1sin2x； 22y?(x?1)3； x?1xxy?．

22(1?x2)3.求下列微分方程满足约束条件的特解： (1) xy??y?0,y(1)?1；

(2) (x?1)y??y?x(x?1)(x?2)． 4.求下列微分方程的通解： (1) y???3y??2y?0； (2) y???3y??0； (3) y???2y??y?0； (4) y???y??y?0． 5.求下列微分方程的通解： (1) y???6y??9y?2x?x?3； (2) y???y??2y?e?x2；

(3) y???2y??3y?(x?2)e； (4) y???4y??4y?e\'3x2xsin5x；

3x(5) y?6y?9y?(x?1)e； (6) y?2y?2y?e(4cosx?sinx)． 6.求解下列初值问题：

\'x2?dyx?2y??e(1) ?dx

?y?x?0?01???y???x2(2) ?

?y?2,y??3x?1?x?1??xy???2y??0(3) ?

?y?1,y?2?x?1?x?17.求解微分方程y???4y?e．

8.求微分方程y???2y??y?2e的通解． 9.求微分方程y???y?xcosx的一个特解．

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