高中数学解题思想方法（数学归纳法）

五、数学归纳法

数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识。

Ⅰ、再现性题组： 1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。

A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. 2. 用数学归纳法证明1＋

n2k?1 D. 2k?3 k?1k?11＋1＋…＋11)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1

232n?1kkk时，左边应增加的代数式的个数是_____。

A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1

3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)

A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立 C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立

4. 数列{a}中，已知a1＝1，当n≥2时an＝an?1＋2n－1，依次计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是_____。

A. 3n－2 B. n C. 3

4n?22n?1k?1n2n?1 D. 4n－3

4(k?1)?22(k?1)?15. 用数学归纳法证明3＋5 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________。

6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。 Ⅱ、示范性题组：

例1. 已知数列8·1，得，…，

1·3228·n，…。Sn为其前n项和，求S1、S2、S3、S4，22(2n?1)·(2n?1)推测Sn公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理） 【解】 计算得S1＝，S2＝当n＝1时，…

【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明）

【另解】 用裂项相消法求和：

例2. 设an＝1×2＋2×3＋…＋n(n?1) (n∈N),证明：【解】 当n＝1时，an＝2，

8924，S＝48，S＝80 ， 猜测S＝(2n?1)2?1 (n∈N)

34n254981(2n?1)21n(n＋1)

n221n(n+1)＝1，1(n+1)2＝2 ， ∴ n＝1时不等式成立。

222211假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)

22当n＝k＋1时，…

21k(k＋1)＋1(k?1)(k?2)

22【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。

【另解】 也可采用放缩法直接证明。（抓住对n(n?1)的分析，注意与目标比较）

例3. 设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn＝差数列。 （94年全国文）

【分析】 要证等差数列，即证：an＝a1＋(n－1)d 【解】 设a2－a1＝d，猜测an＝a1＋(n－1)d 当n＝1时，an＝a1， ∴ 当n＝1时猜测正确。 假设当n＝k时，猜测正确，即：ak＝a1＋(k－1)d ， 当n＝k＋1时，ak?1＝Sk?1－Sk＝…

【注】 注意问题转化成数学式及ak?1的得出。 【另解】 可证an?1 －an＝ an－ an?1而得：

Ⅲ、巩固性题组： 1. 用数学归纳法证明：6

n2n?1n(a1?an)，证明{an}是等2(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)－， 解得ak?1＝…

22＋1 (n∈N)能被7整除。

222. 用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。 3. n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。 4. 用数学归纳法证明等式：cos

x·cosx·cosx·…·cosx＝

2222n23sinx2n·sinx2n (81年全国高考)

5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考） 6. 数列{an}的通项公式an＝

1 (n∈N)，设f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试求f(1)、

(n?1)2f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。

7. 已知数列{an}满足a1＝1，an＝an?1cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。 ①．求a2和a3； ②.猜测an，并用数学归纳法证明你的猜测。

28. 设f(logax)＝a(x?1) , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，

x(a2?1)使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)

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