第预测与决策教程答案 李华

第10章 单目标决策分析

思考与练习（参考答案）

1.试述处理单目标非确定型决策问题的几种决策准则及其特点。

答：（1）最小最大准则（悲观准则）：这种准则是指决策者对方案的选择持保守态度，决策者设想采取任何一个方案都是收益最小的状态发生，然后再从这些最小收益值中选出最大者，与这个最后选出的最大收益值相对应的方案便是决策者选定的方案。“悲观准则”决策方法主要用于那些比较保守稳妥并害怕承担较大风险的决策者所采用。

（2）最大最大准则（乐观准则）： 这种准则是指决策者决不放弃任何一个可获得最好结果的机会，以争取好中之好的乐观态度来选择他的决策方案。决策者设想采取任何一个方案都是收益最大的状态发生，然后再从这些最大收益值中选出最大者，与这个最后选出的最大收益值相对应的方案便是决策者选定的方案。“乐观准则”决策方法主要用于那些对有利情况的估计比较有信心的决策者所采用，

（3）赫威兹准则（?准则）：赫威兹准则采用一种折中的态度。该准则指定一个用于表征决策者乐观程度的乐观系数?，决策者对状态的估计越乐观，越悲观就越接近于0。 ?就越接近于1；

“?法准则”主要用于那些对形势判断既不过于乐观也不太悲观的决策者所采用，

（4）沙万奇准则（后悔值准则）沙万奇（Savage）准则是通过计算各种方案的后悔值来选择决策方案的一种方法。该准则先计算出各备选方案在不同自然状态下的后悔值，然后分别找出各备选方案对应不同自然状态中那组后悔值中的最大者，最后将各备选方案的最大后悔值进行比较，它们之中最小值对应的方案即为最优方案。“后悔值准则”决策方案主要用于那些对决策失误的后果看得较重的决策者所采用，

（5）等概率准则：等概率准则假定各自然状态发生的概率都彼此相等，然后再求各方案的期望收益值。“等概率准则”主要用于决策者对未来出现的自然状态的发生概率信息掌握较少的时候采用。

2.风险型决策、非确定型决策、概率排序型决策有什么不同？

答：风险型决策指各种自然状态出现的可能性（概率）已知（即可以通过某种方法确定下来）；非确定型决策指决策者面临的可能出现的自然状态有多种，但各种自然状态出现的概率不能确定。非确定型决策与风险型决策相比较，两者都面临着两种或两种以上的自然状态，所不同的是，前者对即将出现的自然状态概率一无所知，后者则掌握了它们的出现概率。由于非确定型决策所掌握的信息比确定型决策所掌握的信息要少，所以分析非确定型决策要比分析确定型决策困难得多。概率排序型决策是介于风险型决策和非确定型决策之间的信息不完全型决策问题中的一种，它是指：决策者只知道各自然状态出现概率的相对大小，即n个自然状态出现概率的大小顺序，如

p1?p2???pn，或pj?pj?1?Mj,j?1,2,?,n?1，但不知各个pj的具体数值。

3*. 双风险决策问题中，我们以各方案的期望收益值大小来比较方案的优劣。如果同时还要考虑各方案的方差，则方差越小，方案越好。试问同时考虑方案的期望和方差时，如何选择最优方案？试举例说明。

答：可采用变异系数来比较选择，变异系数定义为：?=E(A),其中E(A)表示方案A的期D(A)望收益值，D(A)表示方案的A方差；变异系数大着为优。例如有两种方案A,B，其中

EA?EB??,而

D(A)?8.06，D(B)?8.541?,()2,则有：

?A=E(A)?D(A)23EB8?B.10?8.0D6B1 ,=故认为方案B优。

8()8.95.45814.某杂志零售商店，对《汽车》杂志每月的销售量根据历史资料估计如下表所示。

每月销售量/千本 概率 2 3 0.30 4 0.25 5 0.20 0.10 0.15 这种杂志每本零售价为2.6元，每本批进价为2.0元。试问： (1) 若卖不出去的杂志可以按批进价退回，该店每月应订购多少本《汽车》？ (2) 若卖不出去的杂志不能退回，但下月可以按零售价对折即按每本1.3元出售，这样，该店每月应订购多少本《汽车》？

解：（1）易知订购5000本最好。

（2）若订购1千本，则期望收益值为：E(A1)?(2.6?2)?1000?600(元) 若订购2千本，则可能卖完，也可能剩余1千本，不同状态下的收益值为：

自然状态 收益值 00 卖2千本 12本 -100 卖1千-100）?0.1=1070(元) 则期望收益值为：E(A2)?1200?0.9+（-800）?0.1=1345(元) 同理可得：E(A3)?1800?0.75+500?0.15+（E(A4)?2400?0.45+1100?0.3+（-200）?0.15+（-1500）?0.1=1230(元) E(A5)?3000?0.2+1700?0.25+400?0.3+(-900)?015.+(-2200)?01=790(.元)

从而订购3000本的期望收益最大，即应进3000本杂志。

5. 某工程队承担一座桥梁的施工任务。由于施工地区夏季多雨，需停工三个月。在停工期间该工程队可将施工机械搬走或留在原处。如搬走，需搬运费1800元。如留原处，一种方案是花5000元筑一护堤，防止河水上涨发生高水位的侵袭。若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失10000元。如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护堤，施工机械留在原处都将受到60000元的损失。根据历史资料，该地区夏季出现洪水的概率为2%，出现高水位的概率为25%，出现正常水位的概率为73%，试用决策树法为该施工

队做出最优决策。

解：绘制决策树如下：

60000元2%筑堤25%0元73%决策0元留原处决策不筑堤2`000元25000元73%0元搬走1800元 从决策树可以计算得出：

搬走的期望费用为1800元；

留原处筑堤的期望费用为：5000+2%*60000+25%*0+73%*0=6200元 留原处不筑堤的期望费用为： 2%*60000+25%*10000+73%*0=3700元 由以上比较可知搬走是最好的选择。

6. 某企业从事石油钻探工作。企业准备与某石油公司签订合同，钻探一片可能产油的勘探点。该企业可供选择的方案有两种：一是先做地震试验，看试验结果如何，再决定是否要钻井；二是不做地震试验，只凭经验决定是否要钻井。做试验要花3千元，钻井要花1万元。如钻出石油可获得5万元（即公司付给企业5万元）；若钻不出石油，则企业没有收入。

根据历史资料的分析估计：做地震试验其结果良好的概率为0.6，不好的概率为0.4；经地震试验为良好时，钻井出油的概率为0.85，钻井不出油的概率为0.15；经地震试验为不好时，钻井出油的概率为0.1，钻井不出油的概率为0.9；不经地震试验而钻井时，出油的概率为0.55，不出油的概率为0.45。试用决策树法为该企业做出最优方案。

解：绘制决策树如下：

出油0.855万元钻井结果良好0.6不出油0.15决策0元做实验不钻井0元出油0.1决策结果不好0.4钻井不出油0.95万元决策0元不钻井不做实验出油0.55不出油0.450元5万元0元

由决策树可以得出如下期望收益值：

不做实验的期望收益为：0.55*50000=17500元

做实验期望收益值为：-3000+[(0.85*50000+0.15*0-10000）*0.6=16500元 即不做实验钻井。

7*．某厂因某项工艺不够先进，生产成本较高，现计划将该项工艺加以改进。取得新工艺有两种途径：一种是自行研究，投资额270万元，估计成功的可能性是0.6；一种是购买专利引进技术，投资额300万元，估计成功的可能性是0.8。无论自行研究还是引进技术成功，其主要设备寿命期均为5年，生产规模都考虑两种方案：其一是生产量不变；其二是增加产量。如果自行研究和购买专利都失败，则仍采用原工艺进行生产，并保持原产量不变。根据市场预测，估计今后5年内这种产品降价的可能性是0.1，保持原价的可能性是0.5，涨价的可能性是0.4，各状态下的损益值如表10-13。试确定最佳方案。

价格低落(0.1) 价格中等(0.5) 价格高涨(0.4) 表10-13 某厂工艺改进损益表 单位：万元 购买专利成功(0.8) 自行研究成功(0.6) 按原工艺生产 产量不变 增加产量 产量不变 增加产量 -100 0 100 -200 50 150 -300 50 250 -200 0 200 -300 -250 600 解：按原工艺期望收益值： -100*0.1+100*0.4=30

购买专利期望收益值：

0.8*（max[（-200*0.1+50*0.5+150*0.4），（-300*0.1+50*0.5+250*0.4）]）=76 自行研究期望收益值：

0.6*（max[（-200*0.1+0*0.5+200*0.4），（-300*0.1-250*0.5+6000*0.4）]）=51 从而可以得出：应该选择购买专利产品，并且增加产量。

8．我国某机器厂与美国一家公司签署明年生产经营合同。如果该厂承担Q型机床的生产，则在该年度可稳获利润800万元；如果承担另一种J型采掘机，所获利润就有三种可能性：如果国外某公司在澳洲开采铁矿完全成功，急需J型采掘机，便可大大获利2500万元；如只开采出澳洲南部的二个分矿，可推销出大部分J型机，能获利900万元；但若铁矿开采失败，就要因该采掘机滞销积压而亏损500万元。我厂方据各方面获悉的情报，预测出澳洲铁矿完全开采成功的可能性为0.3，南部二分厂开采成功的可能性为0.4，完全开采失败的可能性为0.3。尽管前两种可能性加起来可达0.7，厂方领导人还是认为：鉴于工厂经不起亏损，应当避开亏损500万元的风险，故打算放弃生产J型机。这时美方又提出，如生产另一种最新型号的S型采矿机，即使澳洲矿完全开采失败，也可稍加改制后当作其它机器售出而获利120万元，而在前两种情况下却可获利1500万元(完全开采成功)或850万元(部分开采成功)。在上述三种方案中，除了第一个方案外，后两种方案都有可能获得较大的利润，尤其是第三个方案又不承担亏损的风险。所以工厂有可能接受S型采矿机的生产。

试利用决策分析方法进行抉择。假定其效用函数为

u(?)??0.168?1.1920.02?*??2500,?*??500?其中为后果值，

???*. *???*解：由题意可求得：

u(?500)?0，u(120)?0.3995，u(800)?0.6346，u(850)?0.6491，u(900)?0.6635，

u(1500)?0.8197，u(2500)?1。

E(Q)?0.6346， E(J)?1*0.3?0.4*0.6635?0.5654

E(S)?0.8197*0.3?0.6491*0.4?0.3995*0.3?0.6247

从而：E(Q)?E(S)?E(J)

故因选择生产Q型机器。

9．某建筑安装公司对当前形势进行分析之后，提出了三种生产方案A，B，C。

预计有三种自然状态?1，?2，?3会出现，其出现的概率无法确定。通过估算对应的费用（单位：万元）情况如下表10-14所示。该公司决策者对前途充满自信，持乐观态度，决定采用最大最大准则决策，那么，应选择哪一种方案？

费 方案 表10-14 三种生产方案在三种自然状态下的费用情况 状 态 ?1 ?2 ?3 用 A B C 解：选择方案B.

32 21 38 40 28 42 29 45 27 10．国内某生产企业产品全部销往东南亚等地。最近，该企业拟定了今后5年内

的三种扩大再生产方案。（1）建设一个新厂；（2）对所属各厂进行技术改造；（3）扩建部分工厂。经过分析认为今后5年之内可能遇到四种市场需求状况：高需求，中需求，低需求，无需求。并估算了5年之内三种方案在不同的需求状况下的损益值的估计如下表10-15所示。

表10-15 某企业扩大生产损益矩阵表 单位：万元

损 方 益 案 值 状 态 高需求 中需求 低需求 无需求 建设新厂 技术改造 扩建原厂 160 100 125 70 45 60 -65 -5 -50 -130 -40 -95 若采用悲观准则，乐观准则，??0.60为乐观系数的赫尔威兹准则分别进行决策，最优方案分别是何种方案？

悲观准则：最优方案是A，进行技术改造。乐观准则：最优方案是A1，建设新厂。

2?准则： E(A1)?0.6?160?(1?0.6)?(?130)?44

E(A2)?0.6?100?(1?0.6)?(?40)?44E(A3)?0.6?125?(1?0.6)?(?95)?37A1、A2均为最优方案。

11．在上题中，如果四种需求状态出现的机会均等，采用等概率准则进行决策，那么该企业应选择哪一方案？

解：如果四种需求状态出现的机会均等，采用等概率准则进行决策，则有：

1E(A1)?(160?70?65?130)?8.7541 E(A2)?(100?45?5?40)?2541E(A3)?(125?60?50?95)?104故选择方案2，即对所属各厂进行技术改造。

12．某企业为了扩大生产经营业务、准备生产一种新产品，生产这种新产品有三个可行方案：

A3A1—改造本企业原有的生产线；

A2—从国外引进一条高效自动生产线；

—是按专业化协作组织生产。对未来几年内市场需求状况只能大致估计有高需求、

中等需求和低需求三种可能，每个方案在各需求状况下的收益估计值如下表10-16所示。

表10-16 某企业产品开发收益估计表 单位：万元 方案 高需求 180 240 120

需求状况 中等需求 115 140 90 低需求 50 35 70 A1 A2 A3 （1）试用乐观准则进行决策；

乐观准则：maxmax(Aj)?240，从而A2为最优方案；即，该公司应从国外引进一条高效自

j动生产线。

（2）试用悲观准则进行决策；

悲观准则： maxmin(Aj)?70，从而A3为最优方案；即，该公司应按专业化协作组织生产。

j（3）试用折衷决策准则进行决策 取?=0.6，根据折衷准则，有：

E(A1)?0.6?180?0.4?50?128E(A2)?0.6?240?0.4?35?158 E(A3)?0.6?120?0.4?70?100因此根据折衷准则，A2为最优方案；即，该公司应从国外引进一条高效自动生产线。

（4）试用后悔准则进行决策；

首先根据收益值表得到如下的后悔值表：

方案 60 后悔值 高需求 中等需求 低需求 20 60 25 max A1 A2 0 120 0 50 35 0 35 120 A3 然后从三个最大后悔值{60,35,120}中选择最小的一个，由于35对应的方案为A2，故A2为最优方案。

（5）试用等可能性准则进行决策。

1E(A1)?(180?115+50)?11531E(A2)?(240+140+35)?138.3

31E(A3)?(120+90+70)?93.33从而A2为最优方案。

13.有一个n个自然状态的决策问题，这n个自然状态出现的概率分别为

p1,p2,?,pn，假如已知p1,p2的值，而关于p3,p4,?,pn的值我们只知道

pj?pj?1?Mj(j?3,?,n)，其中Mj 为非负常数，pn?1?0。现有一方案S，它对应于

n个自然状态的收益分别为X1,X2,?,Xn。试求S的期望获得的极值。

解：E(S)?p1X1?p2X2?n?pXjj?3nj

令：E(A)??pXjj?3j，满足

pj?pj?1?Mj(j?3,?,n)，?pj?1?p1?p2，Mj?0。

j?3n所以A服从概率严排序，则E(A)的值为：

E(A)?(1?D)(1?P1?P2)?j?C

nn其中：C??Mjxj,D??（j-2）Mj，?j?j?3j?3?xii?3jj?2,

因此可得：

maxE(A)?(1?D)(1?P1?P2)max?j?C

??minE(A)?(1?D)(1?P1?P2)min?j?C

??maxE(S)?P1X1?P2X2?(1?D)(1?P1?P2)max?j?C minE(S)?P1X1?P2X2?(1?D)(1?P1?P2)min?j?C

????14. 对于案例10-1的数据

方案 A1 A2 A3 市场需求情况 畅销 85 54 24 偏好 40 37 24 稍差 -2 11 12 滞销 -43 -14 0 试就以下情况确定最佳方案。

1） 各市场需求状况下的概率均未知，试用不同的决策准则确定方案；

乐观准则：maxmax(Aj)?85，从而A1为最优方案；

j悲观准则： maxmin(Aj)?0，从而A3为最优方案；

j后悔值准则：首先根据收益值得到如下后悔值表 方案 A1 A2 A3 j后悔值 畅销 0 31 61 偏好 0 3 16 稍差 14 1 0 滞销 43 14 0 由minmax(Rj)=31，从而A2为最优方案；

折衷准则：取?=0.6，则有：

E(A1)?0.6?85?0.4?（43）-?33.8E(A2)?0.6?54?0.4?（-14）?26.8 E(A3)?0.6?24?0.4?0?14.4从而A1为最优方案；

等概率准则：

1E(A1)?（85?40?2?43)?2041E(A2)?(54?37+11?14)?22

41E(A3)?(24+24+12+0)?154从而A2为最优方案；

2） 由于是开发新产品，无过去销售经验可谈，因此市场需求情况无法预先作出判断。但根据各方面情况的综合研究以及市场需求分布的一般规律，可以认为需求偏好的可能性最大，其次是畅销，第三是需求稍差，可能性最小的是滞销。

令：D1?A1?A2，D2?A1?A3,D3?A2?A3,这三个方案的后果值以及在弱排序下的期望值之极值见表1。

表1 Di的局部平均数和期望值极值 后果值 局部平均数 弱排序 p2 p1 p3 p4 ?i2 ?i1 17 38.5 21.5 ?i3 ?i4 maxE(Di) minE(Di) 7 21 14 -2 5 7 17 38.5 21.5 -2 5 7 D1 D2 D3

3 31 -13 -29 3 16 61 -14 -43 16 13 30 -1 -14 13 可见，A1和A2均对A3具有严优势，因此先淘汰方案A3。之后根据优势程度对A1和A2进行评价：

max E(A1－A2)＝17 ， max E(A2－A1)＝2， max E(A1－A3)＝38.5， max E(A3－A1)＝-5， max E(A2－A3)＝21.5， max E(A3－A2)＝-7，

A1和A2的优势程度可算得分别为：58.5，13.5，所以最优方案为A1。

3） 根据各方面情况的综合研究以及市场需求分布的一般规律，已知畅销的概率是0.2，而在其它三者中需求偏好的概率最大，其次是需求稍差，可能性最小的是滞销。

解：

结合习题13，令：D1?A1?A2，D2?A1?A3,D3?A2?A3

后果值 局部平均数 弱排序 maxE(Di) minE(Di) 3 16 13 -13 -13.667 -0.667 p2 p3 p4 ?2 ?3 -5 1 6 ?4 -13 -13.667 -0.667 D1‘ D2‘ D3‘ 3 -13 -29 3 16 -14 -43 16 13 -1 -14 13 maxE(D1)?P1X1?(1?P1)max?j??

maxE(D1)?maxE(A1?A2)?P1(X11?X21)?(1?P1)max?j?0.2*31?0.8*3?8.7同理可得：maxE(D2)?25

??

maxE(D3)?16.4

根据严优势条件，可见A1对A2和A3均具有严优势，因此最优方案为A1。

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