概率论与数理统计期末考试之计算题、解答题(经典含答案)

概率论与数理统计期末考试之计算题、解答题（含答案）

1.设A，B是两个事件，P(A) P(B) 解：P(A|B)

11

,P(A|B) ，求P(A|B)。 36

P(AB)1 P(A B)1 P(A) P(B) P(AB)7

1 P(B)1 P(B)12P(B)

2.有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为0.2,0.3,0.5,求（1）至少有一门火炮命中目标的概率；（2）恰有一门火炮命中目标的概率。 解：设事件A,B,C分别表示甲、乙、丙火炮命中目标

（1）P(A B C) 1 P(ABC) 1 P(A)P(B)P(C) 1 0.8 0.7 0.5 0.72

（2）

P(A B ) P(A) P() P() P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) 0.47

3.盒中有10个合格品，3个次品，从盒中一件一件的抽取产品检验，每件检验后不再放回盒中，以X表示直到取到第一件合格品为止所需检验次数，求： （1） X的分布律；

（2） 求概率P{X 3}。 解：X的全部可能取值为1，2，3，4 (1)

P{X 1}

1013

，

P{X 2}

310 1312

，

P{X 3}

3210 131211

，

P{X 4} 1 P{X 1} P{X 2} P{X 3}

X的分布律为:

(2)P{X 3} P{X 1} P{X 2}

26

2

4.某汽车加油站的油库每周需油量X(kg)服从N（500，50）分布.为使该站无油可售的概率

) 0.99） 小于0.01，这个站的油库容量起码应多大？（注： (2.325

解：设这个站油库容量为h（kg）时能满足题目要求，则

P(X h) 0.01

即P(X h) (

h 500h 500

) 0.99， 2.325，则h 616.25(kg). 5050

5.从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:

甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙厂135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140 设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%置信区间。

2

（注：X 140.5,Y 138.5,S12 7.5,S2 7.1,t0.025(10) 2.2281）

__

__

解 1 0.95, 0.05,

__

2

0.025

__

2

1

22

2

2

S12 S2

7.3可得 由已知可得X 140.5,Y 138.5,S 7.5,S 7.1,S

2

S 2.7，两工厂生产的蓄电池的容量均值差的0.95的置信区间为 [X Y t0.025(6 6 2)S

__

__

113

] [140.5 138.5 2.2281 2.7 ] [2 3.47]=663

[-1.47，5.47]

6.某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,得子样观察值为：

甲：25，28，23，26，29，22； 乙：28，23，30，25，21，27。

假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著水平α=0.05，）？ （注s1 2.74;s2 3.33,t0.025(10) 2.228） 解：H0: 1 2

H1: 1 2

检验统计量为t

sw

11

n1n2

，H0的拒绝域为W {|t| t 2(n1 n2 2)}

由已知得：n1 6, 25.5,s1 2.74;

于是

n2 6, 25.67,s2 3.33.

sw

2

(n1 1)s12 (n2 1)s2

3.049

n1 n2 2

t

sw

11 n1n2

25.5 25.673.11 66

0.097.

对a 0.05,自由度n1 n2 2 10,由已知得ta(n1 n2 2) t0.025(10) 2.228.

t 0.097 2.228,所以不拒绝H0,即可以认为两种香烟的尼古丁含量没有显著差异.

要求：

①计算产品销售额与利润额之间的相关系数。 ②确定利润额对产品销售额的直线回归方程。

③确定产品销售额为1200万元时利润额的估计值。 解答：（1）r=0.9934

（2）b=0.0742， a=-7.273

（3）x=1200时，y=-7.273+0.0742×1200=81.77（万元）

8.在其他条件不变的情况下，某种商品的需求量（y）与该商品的价格（x）有关，现对给定

要求：①计算价格与需求量之间的简单相关系数。

②拟合需求量对价格的回归直线。

③确定当价格为15元时，需求量的估计值

解答：（1）r=-0.8538

（2）b=-3.1209 a=89.74

（3）x=15 时，y=89.74-3.1209×15=42.93（吨）

计算相关系数，并判断其相关程度。 解：r

n xy x y

nx (x) ny (y)

2

2

2

2

6 1300 21 3506 83 21 6 21316 350

2

2

0.81

说明使用年限与维修费用间存在高度相关。

10.设A、B为两个事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问： （1）在什么条件下P(AB)取最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取最小值，最小值是多少？

解：（1） 0.7 P(B) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(S) 1，

即：0.3 P(AB) 0.6，所以（1）当A B时，P(AB)最大，且P(AB) P(A) 0.6， （2）当A B S时，P(AB)最小，且P(AB) P(A) P(B)-P(A B) 0.3。

11.袋中有3个白球和一个红球，逐次从袋中摸球，每次摸出一球，如是红球则把它放回，并再放入一只红球，如是白球，则不放回，求第3次摸球时摸到红球的概率？ 解:设Ai:第i次摸球时摸到红球(i 1,2,3)

P(A3) P(A1A2A3) P(A1A2A3) P(A1A2A3) P(A1A2A3)3213121321231 4324344544562

12.从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X服从正态分布.已知均方差 40小时,在置信度0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间。（注：z0.025=1.96）

解：这批显像管平均寿命的置信区间为

( z /2

n

) (10000 z0.025

40

) (10000 1.96 4) (9992.16,10007.84)

13.为检验两架光测高温计所确定的温度读数之间有无显著差异，设计了一个试验，用两架仪器同时对一组10只热炽灯丝作观察，得数据如下：

其中X和Y分别表示用第一架和第二架高温计观察的结果，假设X和Y都从正态分布，且方差相同，试根据这些数据来确定这两只高温计所确定得温度读数之间有无显著差异（α

22

=0.05）?（注：t0.05(18) 2.1009.2, 1178,Sx 51975.21,SY 50517.33） . 1169

解：根据条件X~N( 1, 1),Y~N( 2 2),且 1 2.这里的问题归结为假设

2222

H0: 1 2,对H1: 1 2检验问题。

由于两个总体X和Y的方差未知，但根据条件DX=DY，所以用t检验. 检验统计量为

t sw

11

nm

.

根据条件n 10,m 10,v m n 2 18,a 0.05.由已知得

t (v) t0.05(18) 2.1.于是，由知假设H0的否定域为

2

W {t 2.1}.

22

由已知得 1169.2, 1178,Sx 51975.21,SY 50517.33.

22

(n 1)Sx (m 1)Sy

S

2w

m n 2

9 51975.21 9 50517.33

51246.42.

18

t

Sw

11 nm

1169.2 11781151246.42( )

1010

0.09.

由于t 0.09 2.10,所以不能否定假设H0.因此可以认为两架高温计所确定的温度读数之间无显著差异.

11

，P(B) 。在下列三种情况下求P(BA)的值： 32

1

（1）AB ；（2）A B；（3）P(AB) 。

8

14.设P(A)

解：（1）由AB ，得B A，所以BA B。 P(B) P(B)

1

； 2

1； 6

（2）当A B时， P(BA) P(B A) P(B) P(AB) P(B) P(A)

（3）P(BA) P(B) P(AB)

3。 8

15.设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？ 解：设事件A=“从甲袋放入乙袋的是白球”， 事件B=“从乙袋中取出两白球”。

22

C3C2311

已知P(A) ,P(B|A) 2 ,P(B|A) 2

5C65C615

P(B)= P(B)P()+P(BA)P(A)=

121311

1555575

16.从某大学到火车站途中有六个路口，假设在各路口遇到红灯的事件相互独立，且概率都是

1

，求： 3

（1）以X表示途中遇到的红灯次数，求X的分布律；

（2）以Y表示汽车行驶途中在停止前所通过的路口数，求Y的分布律； （3）求从该大学到火车站途中至少遇到一次红灯的概率。 解：（1）X~B(6,)

1

3

P{X k}

k 1 C6

2

3 3

k6 k

,k 0,1,2,...,6

（2）P{Y 0}

121

，P{Y 1} ， , 333212

P{Y k} ()k ,k 0,1,2,...,5;p{Y 6} ()6

333

(3)P{X 1} 1 P{X 0) 0.9122

17.产品的某一指标X~N( , 2)，已知 0.04， 未知.现从这批产品中抽取n只对该指标进行测定,问n需要多大,才能以95%的可靠性保证 的置信区间长度不大于0.01?（注：z0.025 1.96）

解： 的置信度为0.95的置信区间为：

( z /2

n

) ( z0.025

0.04n

) ( 1.96 0.04/n)，

则2 1.96 0.04/n 0.01，即n 16。

18.某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，均方差为1.60根。现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平α=0.05）？ （注：z0.025 1.96）

解：H0： 0 9.73， H1： 检验统计量为U

0

0

n

，H0的拒绝域为W {|u| z }。

计算得 9.89，u

0

2

n

9.89 9.731.200

1.41

对a 0.05，由已知得za

1.96.因为u 1.41 1.96，所以不拒绝H0，即可以认为上

浆率降低后对断头率没有显著影响。

19.将一枚骰子重复掷n次，试求掷出的最大点数为5的概率。

5}, 解：设A {最大点数为n次掷出的点数 5，有5种不同结果，而n次掷出的点数 4，

有4种不同结果。所以n次掷出的最大点数为5，有5 4种不同结果。故所求概率为

5n 4n

p(A) 。

6n

20.掷3颗骰子，若已知出现的点数没有两个相同，求至少有一颗骰子是一点的概率。 解：设A:出现的点数没有两个相同,B:至少有一个出现一点

P(B|A)

P(AB)3 5 41

P(A)6 5 42

21.某种疾病的发病率为0.01,求下列概率的近似值。 (1)100个人中恰有一人发病的概率为多少？ (2) 100个人中至少有一人发病的概率为多少？ 解： 设X---100人中发病的人数，则X~B(100,0.01),

100 0.01 1

(1)P{X 1}

100 99 1

0.01 0.99 e 1

(2)P(X 1) 1 P(X 0) 1 0.99100 1 e 1

22.设X N(0,1).求b使：（1）P{|X|<b}=0.05；(2)P{X>b}=0.05； (3)P{X<b}=0.05。 （注： (0.065) 0.525, (1.645) 0.95）

解：（1）由P(X b) 0.05，则P( b X b) 0.05，即

(b) ( b) 0.05, 2 (b) 1 0.05，则 (b) 0.525,由已知得b 0.065

（2）由P(X b) 0.05，则P(X b) 0.95， (b) 0.95，由已知得：b 1.645 （3）由P(X b) 0.05，即 (b) 0.05， ( b) 0.95，由已知得 b 1.645，则

b 1.645

23.生产一个零件所需时间(单位：秒)X~N( , ),观察25个零件的生产时间得

2

5.5,s 1.73。试求 和 2的置信区间（ 0.05）。

22（注： 0, 0,t0.025(24) 2.064,t0.025(25) 2.060） .025(24) 39.645.025(25) 12.401

解： 的置信度为0.95的置信区间为：

( t /2(n 1)

s1.731.73

) (5.5 t0.025(24) ) (5.5 2.064 ) (4.79,6.21).

5n25

2的置信度为0.95的置信区间为

(n 1)s2(n 1)s224S224S224 1.73224 1.732(2,2) (2,2) (,) (1.812,7.792)

39.64512.401 /2(n 1) 1 /2(n 1) 0.025(24) 0.975(24)

2

24.由累积资料知道甲、乙两煤矿的含灰率分别服从N( 1, 12)及N( 2, 2)。现从两矿各

抽几个试件，分析其含灰率为：

甲矿：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4（%）； 乙矿：18.2，16.9，20.2，16.7（%）。

问甲、乙两矿所采煤的平均含灰率是否有显著差异（α=0.05）？

（注:F0.025(4,3) 15.10,F0.975(4,3) 0.1002,t0.025(7) 2.365,t0.025(8) 2.306,S1 2.74,S2 1.61） 解：首先检验两矿含灰率的方差是否相等。

22 H0: 1 2

2

H1: 12 2

S12

检验统计量为F 2，H0的拒绝域为：

S2

W {[F F 2(n1 1,n2 1)] [F F1 (n1 1,n2 1)]} s122.742

经计算：s1 2.74;s2 1.61;F 2 2.896; 2

s21.61

对a 0.05,第一自由度n1 1 4,第二自由度n2 1 3,得：

F (n1 1,n2 1) F0.025(4,3) 15.10,F

2

1

2

(n1 1,n2 1) F0.975(4,3) 0.1002

2

2

因为0.1002<2.986<15.10,所以不拒绝H0，即可以认为 1 2. 然后检验两矿的平均含灰率是否相等。 H0: 1 2

检验统计量为t

H1: 1 2

sw

11

n1n2

，H0的拒绝域为W {|t| t (n1 n2 2)}

由a 0.05,n1 5,n2 4,由已知得t2(n1 n2 2) t0.025(7) 2.365。

经计算： 21.5,s1 2.74;

18,s2 1.61.

2

(n1 1)s12 (n2 1)s2

sw 2.324

n1 n2 2

t

sw

11 n1n2

21.5 182.11 54

2.245.

t 2.245 2.3646,接受H0,认为两矿平均含灰率没有显著差异。

25.一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、 、10的球.今从袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求： （1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率；

（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。 解：A2 {最大号码为5}

A1 {最小号码为5}，

A3 {一个号码为5，一个大于5，一个小于5}，

1212

C1C5C1C411

(1) 所求概率p(A1) ;（2）所求概率； （3）所求概 p(A) 233

1220C10C10111

C1C5C41

率p(A3) 3

6C10

26.袋中装有5枚正品硬币、3枚次品硬币（次品硬币两面均印有国徽）。从袋中任取一枚硬币，将它投掷3次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少？ 解：设事件A=“所取硬币为正品”，事件B =“所取硬币掷3次均出现国徽”。 所求概率为 P(A |B)=

P(BA)P(A)P(BA)P(A) P(B)P()

53

，P(B |A) = (1/2)3，P() = ，P(B)=1。 88

15 5所以 P(A | B)=。 15329 1 828

P(A) =

27.袋中装有编上号码1,2, ,9的九个性质相同的球，从袋中任取5个球，以X表示所取的5个球中偶数号球的个数，求： （1） X的分布律；

（2） 其中至少有两个偶数号球的概率。

解：X的全部可能取值为0，1，2，3，4

14k5 k

1C4C5C4C5

（1）P{X 0} 5，P{X 1} ， , P{X k} ,k 0,1,2,3,4 55

C9C9C9

14

C551C4

（2）P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 5 5

6C9C9

28.从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X服从正态分布.已知均方差 40小时,在置信度0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间。（注：z0.025 1.96）

解：这批显像管平均寿命的置信区间为

( z /2

n

) (10000 z0.025

40) (10000 1.96 4) (9992.16,10007.84)

29.某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的均方差为0.048。某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44。问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著水平α=0.1）？

22

（注： 0, 0,S 0.0882） .05(4) 9.488.95(4) 0.77

22解：H0： 2 0 122， H1： 2 0

检验统计量为

2

(n 1)S2

2

，

2

H0的拒绝域为: W {[ 2 (n 1)] [ 2 2 (n 1)]}

2

1 2

计算得，S 0.0882，

2

(n 1)S2

2

0

4 0.08822 13.507 2

0.048

对a 0.1,，自由度n-1=4，得

22 (n 1) 0,.05(4) 9.4882

2

2

2 (n 1) 0.95(4) 0.77 1 2

因为 13.507 9.488，所以拒绝H0，即可以认为该日的方差与往常的方差有显著差异。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ixb1.html