09级概率论与数理统计习题册

第六章 样本及抽样分布

一、选择题

1. 设X1,X2,?,Xn是来自总体X的简单随机样本,则X1,X2,?,Xn必然满足( ) A.独立但分布不同; B.分布相同但不相互独立; C独立同分布; D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）.

A．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数

C. 统计量表达式中不含有参数 D. 估计量是统计量

3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）.

A. 若F~F(n1,n2),则

21~F(n2,n1) F B．若T~t(n),则T~F(1,n) C．若X~N(0,1),则Xn2~x2(1)

2(X??)?i D．在正态总体下

i?1?2~x2(n?1)

2

4． 设Xi,Si2表示来自总体N(?i,?i)的容量为ni的样本均值和样本方差(i?1,2)，且

两总体相互独立，则下列不正确的是（ ）.

22?2S(X1?X2)?(?1??2)~N(0,1) A. 212~F(n1?1,n2?1) B.

22?1S2?1?2n1

C.

?n2X1??1S1/n1~t(n1) D.

2(n2?1)S2?22~x2(n2?1)

1n(Xi?X)2是( ). 5. 设X1,X2,?,Xn是来自总体的样本,则?n?1i?1

A.样本矩 B. 二阶原点矩 C. 二阶中心矩 D.统计量 6X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(0,1)的样本,X,S分别为样本均值与样本方差,则( ).

2 1

A. X~N(0,1) B. nX~N(0,1) C.

9?Xi2~x2(n) D.

i?1nX~t(n?1) S7. 给定一组样本观测值X1,X2,?,X9且得的观测值为 ( ).

?Xi?1i?45,?Xi2?285,则样本方差S2i?196520 D. 328设X服从t(n)分布, P{|X|??}?a，则P{X???}为( ).

A. 7.5 B.60 C.

A.

12a B. 2a C.

122?a D. 1?12a

9设x1,x2,?,xn是来自正态总体N(0,2)的简单随机样本，若

Y?a(X1?2X2)2?b(X3?X4?X5)2?c(X6?X7?X8?X9)2服从x2分布，则

a,b,c的值分别为（ ）.

A.

111111111111,, B. ,, C. ,, D. ,, 81216201216333234

210设随机变量X和Y相互独立,且都服从正态分布N(0,3),设X1,X2,?,X9和

Y1,Y2,?,Y9分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量U??Xi?19i?19i服从分布是( ).

2i?Y

A. t(9) B. t(8) C. N(0,81) D. N(0,9)

二、填空题

1．在数理统计中， 称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .

3．设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立且服从相同的分布，EX??,DX??2，令1nX??Xi，则EX?ni?1；DX?.

4.(X1,X2,?,X10)是来自总体

X~N(0,0.32)的一个样本，则

2

?10?2P??Xi?1.44?? . ?i?1?

5．已知样本X1,X2,?,X16取自正态分布总体N(2,1)，X为样本均值，已知P{X??}?0.5，则?? .

210．6设总体X~N(?,?2)，X是样本均值，Sn是样本方差，n为样本容量，则常用的随

机变量

2(n?1)Sn?2服从 分布.

第六章 样本及抽样分布答案

一、选择题

1. ( C )

2.（C） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数

3.（D）

对于答案D,由于

Xi???~N(0,1),i?1,2,?,n，且相互独立，根据?2分布的定义有

?(Xi?1ni??)22?4.(C) 注： 5.(D)

6C) 注：X~N(0,)，

~x2(n)

X1??1S1/n1~t(n1?1)才是正确的.

1nXSn~t(n?1)才是正确的

PX?12?1?2P?X?12?1??1

???2PX?122??5?12??5???1?2?(5)?1 2 3

7.(A) S?2??Xi?19i?X?29?1??Xi?192i?9?X2?9?1285?9?25?7.5

88.(A) 9.(B) 解：由题意可知

X1?2X2~N(0,20)，X3?X4?X5~N(0,12)，

X6?X7?X8?X9~N(0,16)，且相互独立，因此

?X1?2X2?20即a?10(A) 解：

2?X?X4?X5??3122?X?X7?X8?X9??6162~?2?3?，

111,b?,c? 201216~N(0,9)??Xi9~N?0,1?，?Yi29~?2?9?

2i?19?Xi?199ii?1 由t分布的定义有?Xi?199i9～t?9? 81?Yi?12i二、填空题

1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量

2.代表性和独立性

?23.?，

n4. 0.1 5.2 6.?(n?1)

2

4

第七章 参数估计

一、选择题

1n21. 设总体X~N(?,?)，X1,?,Xn为抽取样本，则?(Xi?X)是（ ）.

ni?12(A)?的无偏估计 (B)?2的无偏估计 (C)?的矩估计 (D) ?2的矩估计

2 设X在[0，a]上服从均匀分布，a?0是未知参数，对于容量为n的样本X1,?,Xn，a的最大似然估计为（ ）

1n（A）max{X1,X2,?,Xn} （B）?Xi

ni?11n（C）max{X1,X2,?,Xn}?min{X1,X2,?,Xn} （D）1??Xi；

ni?13 设总体分布为N(?,?)，?,?为未知参数，则?的最大似然估计量为（ ）.

2221n1n2（A）?(Xi?X) （B）(Xi?X)2 ?ni?1n?1i?11n1n2(Xi??)2 （C）?(Xi??) （D）?n?1i?1ni?14 设总体分布为N(?,?)，?已知，则?的最大似然估计量为（ ）. （A）S （B）

222n?12S n1n1n2(Xi??)2 （C）?(Xi??) （D）?n?1i?1ni?15 X1,X2,X3设为来自总体X的样本，下列关于E(X)的无偏估计中，最有效的为（ ）.

5

11(X1?X2) （B）(X1?X2?X3) 231221（C）(X1?X2?X3) （D）X1?X2?X3)

4333（A）

6 设X1,X2,?,Xn(n?2)是正态分布N(?,?)的一个样本，若统计量

2K?(Xi?1?Xi)2为?2的无偏估计，则K的值应该为（ ）

i?1n?1（A）

1111 （B） （C） （D） 2n2n?12n?2n?17. 设?为总体X的未知参数，?1,?2是统计量，??1,?2?为?的置信度为1?a(0?a?1)的置信区间，则下式中不能恒成的是（ ）.

A. P{?1????2}?1?a B. P{???2}?P{???1}?a C. P{???2}?1?a

2

D. P{???2}?P{???1}?a 28 设X~N(?,?)且?未知，若样本容量为n，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则?的95%的置信区间为（ ）

A. (X?2?nSn2u0.025)

B. (X?SnSnt0.05(n?1))

C. (X?t0.025(n)) D. (X?2t0.025(n?1))

29 设X~N(?,?),?,?均未知，当样本容量为n时，?的95%的置信区间为（ ）

(n?1)S2(n?1)S2(n?1)S2(n?1)S2,2) B. (2,2) A. (2x0.975(n?1)x0.025(n?1)x0.025(n?1)x0.975(n?1)(n?1)S2(n?1)S2S,2) D. (X?C. (2t0.025(n?1))

t0.025(n?1)t0.975(n?1)n二、填空题

1. 点估计常用的两种方法是： 和 .

2. 若X是离散型随机变量，分布律是P{X?x}?P(x;?)，（?是待估计参数），则似然函数是 ，X是连续型随机变量，概率密度是f(x;?)，则似然函数是 . 3. 设总体X的概率分布列为：

X 0 1 2 3

6

P p2 2 p(1-p) p2 1-2p

其中p (0?p?1/2) 是未知参数. 利用总体X的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 则p的矩估计值为__ ___，极大似然估计值为 . 4. 设总体X的一个样本如下：

1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 则该样本的数学期望E(X)和方差D(X)的矩估计值分别_ ___.

?(??1)x?0?x?15. 设总体X的密度函数为：f(x)?? ，设X1,?,Xn是X的样本，

其他0?则?的矩估计量为 ，最大似然估计量为 .

1n6. 假设总体X~N(?,?)，且X??Xi，X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，

ni?12则X是 的无偏估计.

2

7 设总体X~N(?,?)，X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，则常数k= , 使

k?Xi?X为? 的无偏估计量.

i?1n8 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为

S?40.设电子管寿命分布未知，以置信度为0.95，则整批电子管平均寿命?的置信区间

为（给定Z0.05?1.6452,Z0.025?1.96） . 29设总体X~N(?,?)，?,?为未知参数，则?的置信度为1－?的置信区间为

. 10 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定??0.05?2?0.04，

则滚珠的平均直径的区间估计为 .(Z0.05?1.645,Z0.025?1.96)

11. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：

14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1

已知原来直径服从N(?,0.06)，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 ，（??0.05，Z0.05?1.645，Z0.025?1.96）.

12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得

7

2(11)?19.68，?2?(11)?4.57）. S?0.2，则?的置信区间为 （??0.1，??21?2

第七章 参数估计

一、选择题

1.答案： D.

1n21n2?? [解] 因为??E(X)?E(X)，E(X)?A2??Xi，E(X)?A1??Xi， 222ni?1所以，??2?E?(X2)?E?2(X)?1n?n(Xi?X)2. i?12.答案： A.

[解]因为似然函数L(a)?1an?1(max，当a?maxXiX)ni时，L(a)最大，ii所以，a的最大似然估计为max{X1,X2,?,Xn}. 3 答案 A .

[解]似然函数L(?,?2)??n1?1i?12??exp???2?2?2(xi??)??， 由???lnL?0,??2??2lnL?0，得??A2. 4. 答案 C.

[解]在上面第5题中用?取代X即可.

5答案 B.

6.答案 C. 7答案 D. 8.答案 D. 9.答案 B.

二、填空题：

1. 矩估计和最大似然估计； 2.

?p(xi;?)，

(xi;?)；

i?fi.

8

ni?1 3

1, 0.2828； 4[解] （1） p的矩估计值X??Xi?18i?16/8?2，令E(X)?3?4p?X，

??(3?X)/4?1/4. 得p的矩估计为 p （2）似然函数为

L(p)??P(X?xi)?P(X?0)[P(X?1)]2P(X?2)[P(X?3)]4

i?18?4p(1?p)2(1?2p)4

lnL(p)?ln4?6lnp?2ln(1?p)?4ln(1?2p)

令 [lnL(p)]??628???0， ?12p2?14p?3?0 p1?p1?2p?p?(7?13)/12. 由 0?p?1/2，故p?(7?13)/12舍去 ??(7?13)/12?0.2828. 所以p的极大似然估计值为 p4、 1.71，0.00138；

?(X)?X,E?(X2)? [解] 由矩估计有：E?Xi2in?(X)?X?1.7?1.75?1.7?1.65?1.75?1.71 所以E51n2?且D(X)??(Xi?X)?0.00138. ni?1，又因为D(X)?E(X)?[E(X)]，

22??5、?2X?1???, ?1?Xn??lnXii?1n?lnXi?1n；

i[解] （1）?的矩估计为：

1E(X)??x?(??1)x?dx?0??1??21??1x?

0??2??21n样本的一阶原点矩为：X??xi

ni?1 9

所以有：

??1??2X?1 ?X????21?Xnn（2）?的最大似然估计为：

L(X1,?,Xn；?)??(??1)Xi?(??1)(?Xi)?

?ni?1i?1lnL?nln(??1)??ln?Xi

i?1ndlnLn???lnXi?0 d???1i?1nn???得：?n??lnXii?1?lnXi?1n.

i6、

?；

1nn? [解]E(X)??E(Xi)???.

ni?1n7、

?2n(n?1)；

[解]注意到X1,X2,?,Xn的相互独立性，

1??X1?X2??(n?1)Xi???Xn? nn?12E(Xi?X)?0,D(Xi?X)??

nn?12所以，Xi?X~N(0,?)，

nXi?X?E(|Xi?X|)??|z|????12?n?1?n?ez2n?122?ndz

?2???0z1en?12??n?z2n?122?ndz?22?n?1? n 10

2?n??n?因为：E?k?|Xi?X|??k??E|Xi?X|??kn2??i?1??i?1?所以，k?n?1??? n?2n(n?1).

8、. [992.16，1007.84]；

[解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：

X?1000,S?40,??0.05，Z0.025?1.96

?的95%的置信区间是：

[X?SSZ0.025,X?Z0.025]?[992.16,1007.84]. nnSSt?(n?1),X?t?(n?1))； n2n229、 (X? [解]这是?为未知的情形，所以

X??S/n~t(n?1).

10、 [14.869，15.131]；

[解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：[x???Z?,x?Z?] n2n2由题意得：x?15?2?0.04??0.05n?9，代入计算可得：

[15?0.20.2?1.96,15??1.96]， 化间得：[14.869,15.131]. 9911、 [14.754，15.146]；

[解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：

置信区间为：[X???Z?,X?Z?] 2nn2由题得：X? ??0.051(14.6?15.1?14.9?14.8?15.2?15.1)?14.95 6Z0.025?1.96n?6

0.060.06?1.96,14.95??1.96] 66代入即得：[14.95?所以为：[14.754,15.146] 12、. [0.15，0.31]；

11

[解] 由?21??2?(n?1)S2?22???得：

2??2(n?1)S2??22，?2?(n?1)S2?21?

?2(n?1)S2(n?1)S2所以?的置信区间为：[，] ， 22??(11)??(11)21?2将n?12，S?0.2代入得 [0.15，0.31].

第八章 假设检验

一、选择题

1. 关于检验的拒绝域W,置信水平?,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是( ). A. ?的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述 B．事件{(X1,X2,?,Xn)?W|H0为真}即为一个小概率事件

C．设W是样本空间的某个子集，指的是事件{(X1,X2,?,Xn)|H0为真} D．确定恰当的W是任何检验的本质问题

2. 设总体X~N(?,?),?未知,通过样本X1,X2,?,Xn检验假设H0:???0,要采用

检验估计量( ).

A.

22X??0?/n B.

X??0S/n C.

2X??S/n D.

X???/n

3. 样本X1,X2,?,Xn来自总体N(?,12),检验H0:??100,采用统计量( ). A.

X??12/n B.

22X?10012/n C.

X?100S/n?1 D.

X??S/n

4设总体X~N(?,?),?未知,通过样本X1,X2,?,Xn检验假设H0:???0,此问题 拒绝域形式为 . A.{X?100S/10?C} B. {X?100S/n?C} C. {2X?100S/10?C} D. {X?C}

5．设X1,X2,?,Xn为来自总体N(?,3)的样本，对于H0:??100检验的拒绝域可以形

12

如（ ）.

A．{X???C} B. {X?100?C} C. {2X?100S/n2?C} D. {X?100?C}

6、 样本来自正态总体N(?,?),?未知,要检验H0:??100,则采用统计量为( ).

A.

(n?1)S2?2(n?1)S2X??nS2 B. C. n D.

100100100227、设总体分布为N(?,?),若?已知,则要检验H0:?n?100,应采用统计量( ).

2i A.

X??S/n B.

(n?1)S2?(X C.

i?1??) D.

?(Xi?1n2i?X)

?2100100二、填空题

1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进

行称量,得如下结果:

99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.3

99.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,H0为 .

2．设样本X1,X2,?,X25来自总体N(?,9),?未知.对于检验H0:???0，H1:???0， 取拒绝域形如X??0?k，若取a?0.05，则k值为 . 第八章 假设检验

一、选择题

1.C、2.B、3.B、4.C、5.B、6.B、7.C、8.B 二、填空题 1.??100 2. 1.176

13

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