四川省绵阳市2014届高三第二次诊断性考试数学(理)试题 Word版含答案

保密 ★ 启用前 【考试时间：2014年1月16日15:00—17:00】

绵阳市高中2011级第二次诊断性考试

数 学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名．考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸．试题卷上答题无效．

3．考试结束后，将答题卡收回．

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x+2>0}，集合B={-3，-2，0，2}，那么(RA)∩B=

A． B．{-3，-2}

C．{-3} D．{-2，0，2} 2．设i是虚数单位，复数

10

的虚部为 3 i

A．-i B．-1 C．i D．1

3．执行右图的程序，若输出结果为2，则输入的实数x的

A．3

B．

14

值是

C．4 D．2

4．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是

A．l α，m β，且l⊥m B．l α，m β，n β，且l⊥m，l⊥n C．m α，n β，m//n，且l⊥m D．l α，l//m，且m⊥β 5．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆 内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为

π38π

C．8+

3

A．8+

2π 316πD．8+

3

B．8+

正视图 侧视图

6．圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2

则圆C的方程为

A．x2+(y-1)2=1

B．x2+(y-)2=3

2

俯视图

y

1的渐近线截得的弦长为，3

C．x2

+(y-

23)= 24

D．x2+(y-2)2=4

2x y 2 0，

7．已知O是坐标原点，点A( 1，上的一个动点，则1)，若点M(x，y)为平面区域 x 2y 4 0，

3x y 3 0

|AM|的最小值是 A

B． C． D

8．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8

名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，

且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为

A．1860 B．1320 C．1140 D．1020

9．已知O是锐角△ABC的外心，若OC=xOA yOB(x，y∈R)，则

A．x+y≤-2

B．-2≤x+y<-1 C．x+y<-1 D．-1<x+y<0

10．设a，b，x∈N*，a≤b，已知关于x的不等式lgb-lga<lgx<lgb+lga的解集X的元素个数为

50个，当ab= A．21 B．6 C．

D．4

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．tan300º=_______．

12．已知直线l1：x+(1+k)y=2-k与l2：kx+2y+8=0平行，则k的值是_______． 13．若(x6展开式的常数项是60，则常数a的值为．

x2y2

14．已知P是以F1

，F2为焦点的椭圆2 2 1(a b 0)上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，

ab3且cosα，sin(α+β)=，则此椭圆的离心率为 ．

5

15．f(x)是定义在D上的函数，若存在区间[m，n] D，使函数f(x)在[m，n]上的值域恰为

[km，kn]，则称函数f(x)是k

型函数．给出下列说法：

4

①f(x) 3 不可能是k型函数；

x

(a2 a)x 1②若函数y 是1型函数，则 (a 0)n m

a2x

1

③若函数y x2 x是3型函数，则m 4，n 0；

2

4

④设函数f(x) x3 2x2 x(x≤0)是k型函数，则k的最小值为．

9

其中正确的说法为 ．（填入所有正确说法的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）

已知向量a =(sinx，2cosx)，b=(2sinx，sinx)，设函数f(x)=a b． （Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若将f(x)的图象向左平移

π7π

[]上的最大值和最小值． 1212

π

个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间6

17．（本题满分12分）

已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn an log2an，数列{bn}的前n项和Tn，求满足不等式

Tn 21

≥的最大n值． 16n 2

1

2

18

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360

人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望． 19．（本题满分12分）

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，

∠ADC=90º，AE⊥平面ABCD，EF//CD，

BC=CD=AE=EF=AD=1．

（Ⅰ）求证：CE//平面ABF； （Ⅱ）求证：BE⊥AF；

（Ⅲ）在直线BC上是否存在点M，使二面

π6

12

角E-MD-A

的大小为？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分13分）

已知椭圆C的两个焦点是(0，和(0，并且经过点1)，抛物线的顶点E在坐标2

原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．

（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求AG HB的最小值． 21．（本题满分14分）

a

2

（Ⅰ）若f(x)是[0， )上是增函数，求实数a的取值范围；

已知函数f(x) ex x2ex．

（Ⅱ）证明：当a≥1时，证明不等式f(x)≤x+1对x∈R恒成立；

（Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x0>0，使得f(x0)>x0+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x0；如果不存在，请说明理由．

绵阳市高2011级第二次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

BDCDA AACCB

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11

． 12．1

13．4

14

15．②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f(x)=a b=2sin2x+2sinxcosx =2

1 cos2x

+sin2x

2

)+1， 3分 4

3

由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

82428

3

∴ f(x)的递增区间是[-+kπ，+kπ]( k∈Z)． 6分

88

（II）由题意

)-)+1， 9分

6412

7 5

由≤x≤

得≤2x+≤，

412412

∴ 0≤g(x)，即 g(x)+1，g(x)的最小值为0． 12分

1

17．解：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知 a1= 2，

又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列， ∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，

变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3， 311

∴ 22 +q2，解得q=1或q=2 ， 4分

1

又由{an}为递减数列，于是q=2，

1n

n 1

∴ an=a1q=( 2 )． 6分

1

（Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n ( 2 )n，

1121n 11n

∴ Tn [1 +2 ）+ + n 1 ） n ）]，

2222

1121n1n 1

于是Tn [1（ ）+ + n 1 （ ） n（ ]，

2222

11

[1 ()n]

11111 n (1)n 1，两式相减得：Tn [+()2+ +()n n ()n 1]=

2222221 2

1

∴ Tn n 2 ()n 2．

2

T 21n1∴ n ()≥，解得n≤4，

n 2216

∴ n的最大值为4． 12分

18．解：（I）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，

∴

120 x

=0.05，解得x=60． 2分 3600

∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． 4分

360

∴ 应在“无所谓”态度抽取720×3600 =72人． 6分 （Ⅱ）由（I）知持“应该保留”态度的一共有180人， ∴ 在所抽取的6人中，在校学生为

12060

6=4人，社会人士为 6=2人， 180180

于是第一组在校学生人数ξ=1，2，3， 8分

122130

C4C21C4C23C4C1

P(ξ=1)=3 ，P(ξ=2)=3 ，P(ξ=3)=32 ，

C65C65C65

即ξ

15

10分

∴ Eξ=1×+2×+3×=2． 12分 19．（I）证明：如图，作 FG∥EA，AG∥

交AF于H，连结BH，BG， ∵ EF∥CD且EF=CD， ∴ AG∥CD，

即点G在平面ABCD内．

由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG， ∴ 四边形AEFG为正方形， CDAG为平行四边

1535

EF，连结EG

形， 2分

∴ H为EG的中点，B为CG中点， ∴ BH∥CE，

∴ CE∥面ABF． 4分 （Ⅱ）证明：∵ 在平行四边形CDAG中，∠ADC=90º， ∴ BG⊥AG．

又由AE⊥平面ABCD知AE⊥BG， ∴ BG⊥面AEFG，

∴ BG⊥AF． 6分 又∵ AF⊥EG， ∴ AF⊥平面BGE，

∴ AF⊥BE． 8分

（Ⅲ）解：如图，以A为原点，AG为x轴，AE为y轴，AD为z轴建立空间直角坐标系A-xyz．

则A(0，0，0)，G(1，0，0)，E(0，0，1)，D(0，2，0)，设M(1，y0，0)，

2， 1)，DM (1

，y0 2，0)， ∴ ED (0，

设面EMD的一个法向量n (x，y，z)，

n ED 2y z 0，

则 令y=1，得z 2，x 2 y0， n DM x (y0 2)y 0，∴ n (2 y0，，12)． 10分

又∵ AE 面AMD，

∴ AE (0，0，1)为面AMD的法向量，

cos ∴

|cos<n，AE>| ，

6解得y0 2， ． 12分 故在BC上存在点M，且

|CM|=|2 (2

y2x2

20．解：（I）设椭圆的标准方程为2

2 1(a>b>0)，焦距为2c，

则由题意得

c=3，2a 4，

∴ a=2，b2 a2 c2=1，

y2

∴ 椭圆C的标准方程为 x2 1． 4分

4

∴ 右顶点F的坐标为(1，0)．

设抛物线E的标准方程为y2 2px(p 0)， ∴

p

1，2p 4， 2

1k

∴ 抛物线E的标准方程为y2 4x． 6分 （Ⅱ）设l1的方程：y k(x 1)，l2的方程y (x 1)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)， y k(x 1)，

消去y得：k2x2 (2k2 4)x k2 0， 2

y 4x，

由

∴ x1+x2=2+

4

，x1x2=1． k

1

y (x 1)，由 消去y得：x2-(4k2+2)x+1=0， k

2 y 4x，

∴ x3+x4=4k2+2，x3x4=1， 9分 ∴ AG HB (AF FG) (HF FB)

= =||·||+||·|| =|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1| =(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)

4

4k2 k

4

≥8+22 4k2

k

=8+

=16．

4

4k2即k=±1时， 有最小值16． 13分 2k

a

21．解：（I）∵x [0， )时，f(x) ex(1 x2)，

2

a

∴ f (x) ex( x2 ax 1)．

2

由题意，f (x)≥0在[0， )上恒成立，

当a=0时，f (x) ex>0恒成立，即满足条件．

当且仅当

当a≠0时，要使f (x)≥0，而ex>0恒成立， 故只需 x2 ax 1≥0在[0， )上恒成立，即

a

0， 2

解得a<0．

a 02 a 0 1 0， 2

a

2

综上，a的取值范围为a≤0． 4分 （Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为ex-x2ex≤x+1． ①在x≥0时，要证明ex-x2ex≤x+1成立，

ax 1

， ① x

2ex

1 e (x 1)exxa2x 1

令g(x) x x，得g (x) ax ， ax

(ex)2ex2e

a

2

a2

只需证ex≤x2ex x 1，即证1≤x2

a2

整理得g (x) x(a ∵ x≥0时，

1

)， ex

1

≤1，结合a≥1，得g (x)≥0， xe

∴ g(x)为在[0， )上是增函数，故g(x)≥g(0)=1，从而①式得证．

a

②在x≤0时，要使ex-x2ex≤x+1成立，

2

aa

只需证ex≤x2e x x 1，即证1≤x2e 2x (x 1)e x， ②

222

ax 2x

令m(x) e (x 1)e x，得m (x) xe 2x[ex a(x 1)]，

2

而 (x) ex a(x 1)在x≤0时为增函数，

故 (x)≤ (0) 1 a≤0，从而m (x)≤0，

∴ m(x)在x≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证．

综上所述，原不等式ex-x2ex≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1时恒成立． 10分 （Ⅲ）要使f(x0)>x0+1成立，即ex0 x02ex0 x0 1，

2ax0x 1

变形为 0x0 1 0， ③

2e

a

2

a2

ax2x 1

要找一个x0>0使③式成立，只需找到函数t(x) x 1的最小值，满足t(x)min 0即

2e

可．

1

)， xe1

令t (x) 0得ex ，则x=-lna，取x0=-lna，

a

在0< x <-lna时，t (x) 0，在x >-lna时，t (x) 0，

∵ t (x) x(a

即t(x)在(0，-lna)上是减函数，在(-lna，+∞)上是增函数， ∴ 当x=-lna时，t(x)取得最小值t(x0) (lna)2 a( lna 1) 1 下面只需证明：(lna)2 alna a 1 0在0 a 1时成立即可． 又令p(a) (lna)2 alna a 1，

则p (a) (lna)2≥0，从而p(a)在(0，1)上是增函数，

a2

于是t(x)的最小值t( lna) 0，

a2

a2

a2

12

则p(a) p(1) 0，从而(lna)2 alna a 1 0，得证．

因此可找到一个常数x0 lna(0 a 1)，使得③式成立． 14分

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