从一道高考题解法谈研究问题的视角价值

从一道高考题解法谈看问题视角的价值

浙江景宁中学 张魏岳

【摘要】：本文通过对系列数学问题的分析，阐述研究数学问题时视角和观点的重要作用及其价值体现。

【关键词】：数学问题 研究 视角 观点 价值

问题1. 已知t为常数，函数y?x2?2x?t在区间[0，3]上的最大值为2，则t=_______

本题为浙江08年高考卷第15小题，主要考查二次函数在给定闭区间上的取值范围和绝对值的几何意义，参考答案给出的解法简单明了。

解析：设m?x2?2x，函数m在区间[0，3]上的取值范围是[-1，3]， 由

2y?x?2x?t?m?t,(m???1,3?)的最大值为2，则有t?1.

但很多学生，包括部分数学教师，一看到题目，立即对本题展开讨论分析，进而去求满足条件的t的值，花了较多的时间和精力；没能从问题的本质处着手分析，完全陷入了问题表征生成的误区。

解题策略出现如此大的偏差的主要原因，就是看问题视角不同，对问题的本质认识的程度不一样。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。看风景如此，看数学问题亦如此。 在平常的数学教学和解题中，我们常会习惯性的见题拆题，见招拆招，问题也许能解决，不过有时往往就此陷入了数学问题生成的误区，并未能真正的领略数学问题的精彩之所在。俗话说，横看成岭侧成峰，远近高低各不同，从不同的视角研究问题，能获得不同的解法；站得高才能看得远，用高观点高视角去看数学问题，更能看清数学问题真面目，识别数学问题真本质。

数学大师菲利克斯.克莱因早就倡导“高观点下的初等数学意识”，他认为一个基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得简单而明了，在讲解很多初等数学问题时，才能心中有数，当学生提出疑问时，才能正确回答，应付自如，才能引导学生绕过悬崖，度过险滩。

下面试从平常的教学点滴中举几个例子，以窥一隅。

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问题2. 甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲10件，乙10件，丙1件，共需4.20元；问：购甲、乙、丙各一件共需几元？ 本题是一道初中数学竞赛题，我曾在竞赛辅导中将其选为例题，主要功能是培养学生解题时的整体思考意识以及降维转化意识。

解析：设甲、乙、丙每一件各需x,y,z元，问题要求出x+y+z的值；根据题意，有：

?3x?7y?z?3.15 ?4x?10y?z?4.20?三个未知数，只有两个方程，一般情况下想解出x,y,z是不可能的；但并不意味着不能就求不出x+y+z；常规求法有如下三种：

方法一：把x+y+z当作一个整体，则原方程组可化为：

?2x?6y?(x?y?z)?3.15，则容易解出?3x?9y?(x?y?z)?4.20?x+y+z=1.05；

方法二：把x或y或z其中任何一个看作常数，解关于另两个未知量的方程，如方程组可化为：??3x?z?3.15?7y?4x?z?4.20?10y，解得???x?1.05?3yz?2y，

则有x+y+z=1.05-3y+y+2y=1.05

方法三：基于方法一的基础上，也可令x,y,z中的任意一个为特殊值，如令y=0,解出x=1.05,z=0, 则也能求出x+y+z=1.05；

上三种解法从解题目的这个角度看，都算是不错的，能根据题设的特征进行见题拆题，见招拆招。

本问题若从更高的视角去看，是一个三维线性方程组的特例，可以用向量空间和矩阵的理论进行更一般性的分析，进而生成更一般性的新问题。

考虑方程组的增广矩阵：??3?471013.15??14.20?，

3??101.05???3713.15?2对矩阵进行初等行变换：?? ???41014.201???01?0????2? 2

求出方程组的解空间：(x,y,z)?k.(?,,1)?(1.05,0,0)

2231则有x+y+z=?32k?12k?k?1.05?0?0?1.05

从上述结论中，我们可以生成更一般的问题：购甲a件，乙b件，丙c件,a,b,c满足什么条件，总花费是可求的？

设总花费为m元，则m=ax+by+cz=(?只要满足?32a?12b?c32a?12b?c)k?1.05a,

=0，a,b,c是非负整数，总花费就可求。

问题3. 求解两圆交点的思考

高中新教材人教A版数学必修2第140页例题： 例

22 已知圆

C1:x?y?2x?8y?8?0,22圆

C2:x?y?4x?4y?2?0,试判断两圆的位置关系。

教材分析中的解法一的思路是：联立两方程，两式相减得一一次方程，再重新联立新得得方程和原任一方程求解，根据求解的情况判断两圆的位置关系。本解法思路明了，

操作简单，但问题在于教师是如何来看待这种思路，如何引导学生去思考？如果仅仅从方程降次这个层次去分析，应该说是有缺陷的，新的知识生成和思维生成就还是未能实现；

视角一：不妨先假设两圆有两个交点；两圆的方程相减可得一个一次方程

x?2y?1?0，显然两交点的坐标满足这个一次方程，因此这个一次方程就是两圆公

共弦所在的直线方程，如此就把圆与圆的交点问题转化为直线和圆的交点问题，与

?x2?y2?2x?8y?8?0?x2?y2?2x?8y?8?0将解方程组?2转化为解方程组?遥相呼2x?2y?1?0??x?y?4x?4y?2?0应，从而也渗透了数与形结合的思想。

视角二：也假设两圆有两个交点，求此两交点坐标可通过解两圆联立的方程组或这两个圆方程生成的圆系方程组，圆系方程?(x2?y2?2x?8y?8)?

?(x?y?4x?4y?2)?0中的极端情况是两参数互为相反数，此时圆的半径为?，

22圆心在无穷远处；此种处理方式，如果需要，进而为圆系的引入，甚至为以后向量的基底而做铺垫；同时还可以对学生的动态想象力进行训练，感受无穷远；而解题

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过程中采取临界极端值来处理也是解题的一种重要策略。

上两种分析不仅可以可以提高、拓广学生的视眼，还可以生成新的知识点。

问题4. 复合函数的求导问题的思考

人教A版 教材中对于复合函数的求导只是一笔带过，对学生的要求也只是会用给定的公式法则进行求导即可；现在在这里探讨的是教师能否给出一个让学生易于接受的法则解释或说明。对于函数y?f(x)，导数y'由lim用符号用

dydxdydxdydx?y?x给出，在数学中也可

x?x0来表示（将它看作dy除以dx），复合函数y?f(u),u?g(x)的导数yx'可

dydu表示，y?f(u)的导数可用

dydu表示，u?g(x)的导数可用

dudx，则很容易看出

=.

dudx；如此，则复合函数的求导法则就比较容易理解了。

有时用高观点去解释初等数学中的一些结论，更能让学生易于理解接受。

问题5. 用不动点解常系数一阶线性递推数列问题的思考

对于形如Un = aUn?1 + b(a?0,1,b?0)的线性递归关系，求数列的通项；中学里介绍的求解方法常选择待定系数法，但也有选择用递归关系的不动点来求解的，其中不动点是用极限来定义的。在上述递推关系中，若limUn的极限存在，记其为x，

n??则递推式中的Un和Un?1可用x带入并求出x，x称此递推数列的不动点。另Vn=Un-x，则Vn=a. Vn?1，如此即可求解?Un?的通项。但对于现行教材下的高中学生来说，此解释很难让学生明白和理解。

现从递推数列的本质重新去分析不动点的求解过程；递推数列其实就是函数

f(x)?ax?b的迭代，此函数的不动点即方程x=ax+b

的

10解，把方程的解看作是函数f(x)?ax?b和函数y=x的交点的横坐标。另等比数列：Un = aUn?1的递推函数可

-5101520表示为y=ax,其本质是函数过过原点，而Un = aUn?1 + b(a?0,1,b?0)得递推函数f(x)?ax?b可以通过坐标

-2-4-6系平移成经过原点的直线；平移之后要保持递推关系不变，则要求平移的横纵两个方向的分量一致；因此只需将原坐标系的原点平移到函数f(x)?ax?b和函数y=x的交点得到新的坐标系即可；在新坐标系下数列的递推函数就经过原点了，从而实现

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了把满足递推关系：Un = aUn?1 + b(a?0,1,b?0)的数列转化成一个等比数列。 问题6 .已知a,b,c?R?,a?b?c?1;求a2?b2?c2的范围；

这是一道IB模块中不等式的求解题，考查柯西不等式的应用； 解析：由(a?b?c)2?(1.a?1.b?1.c)2?(12?12?12)(a2?b2?c2)得 a2?b2?c2?a?b?c22213

的上确界还需另求，且学生很还容易求错值。

我们从题目的特征也可从另外一个角度去分析： a?b?c?1?(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc?1 又2ab?2ac?2bc?(a2?b2)?(a2?c2)?(b2?c2)?2(a2?b2?c2) 所以，a2?b2?c2?13，“=”当且仅当a=b=c=;

31而当b,c无限接近于0时，2ab?2ac?2bc无限接近于0，所以

a?b?c?1；

222综上，?a2?b2?c2?1

31A我们甚至可以再换个视角去重新审视这个问题；条件“a,b,c?R?,a?b?c?1,”其实就表示一个不含边界的空间三角形区域，而a2?b2?c2即为此三角形区域上的点到原点的距离的平方，则很快就能获得a2?b2?c2的取值范围。

象本文所列举的这些例子，在我们日常的教学和解题中，经常能遇到，有时我们换个视角，用不同的观点去观察和分析，就能发现不同的风景。

看问题的视角不但需要多角度，有时还需要多层次的，如文中问题1的解法、问题2的3种常规解法以及问题3的分析方法等，属于同一层次上多角度的看问题，着眼的是解决问题时不同方法、策略和思想的应用；但如例2中线性代数观点、问题4微分观点，是从更高层次去看待数学问题。着眼于中学数学的多角度去研究问题，总体上可以说是见题拆题，见招拆招，尚属登堂这一层次；我们如想再进一层，达入室之境界，则需从高等数学的层次去看待中学数学问题，站在更高的视角，用更高的观点去观察和分析，这样更能看清问题的本质和全貌，且对教师的自身成长

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CB是有促进的，对学生的数学学习以及思维发展是非常有利的。

诚然，一个中学数学教师能在研究数学问题上达到登堂这个层次，已经很不容易了，至少需要解大量数学问题和研读不少的解题理论才有可能实现的，就好比武林中众多习武者，有几个能在武学上登堂呢？能入室的，只能是少部分的佼佼者，不过这却是每一个中学数学教师的共同的追求。入室的门在哪？事物是相对的，中学数学的“室”，可能只是大学数学里的一个“堂”而已，研习高等数学，用高观点去看初等数学，登高鸟瞰，也许一切会在掌握中。

参考文献

1 戴再平·《数学习题理论》·上海教育出版社 2 单遵·《解题研究》·上海教育出版社

3 菲利克斯.克莱因·《高观点下的初等数学》·复旦大学出版社

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ix1v.html