2011届高三数学下册第二次统练测试题1

顺义区2011届高三第二次统练

数学（理科）测试

一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的） 1.设集合M?x|x2?1?0，N??x|lgx?0?，则M?N等于

A ?x|?1?x?1? B ?x|0?x?1? C ?x|?1?x?0? D ?x|x?0?

2.已知e1,e2是不共线向量，a?2e1?e2，b??e1?e2，当a∥b时，实数?等于

A ?1 B 0 C ???1 D ?2 23.设m,n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，则下列命题正确的是

A 若m?n,n??，则m?? B 若m??,n//m，则n?? C 若m//?,n//?，则m//n D 若???,???，则?//? 4.已知等比数列?an?中，各项都是正数，且a1,a?a71a3,2a2成等差数列，则6等于 2a8?a9 A 1?2 B 1?2 C 3?22 D 3?22

25.设抛物线y??8x的焦点为F,准线为l，P为抛物线上一点，PA?l，A为垂足，如果

直线AF的斜率为3，那么PF?

A 43 B 83 C 8 D 16 6.极坐标方程??2sin?和参数方程??x?2?3t（t为参数）所表示的图形分别为

y??1?t? A 圆，圆 B 圆，直线 C 直线，直线 D 直线，圆

x?1??y?x7.已知点P(x,y)的坐标满足条件?，那么点P到直线3x?4y?9?0的距离?x?2y?3?0?的最小值为 A

146 B C 2 D 1 553?3??3??x?x?y?f(x)上的函数的图像关于直线对称，当时，?44?2?8.已知定义在区间?0,为 f(x)?cosx，如果关于x的方程f(x)?a有解，记所有解的和为S, 则S不可能．．． A

539? B ? C ? D 3? 4241?2i对应的点的坐标为________________________. 1?i5二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.在复平面内，复数

1??410.在二项式?x2??的展开式中，含x项的系数为______________________. (用数字作

x??答）

11.如图，AB,CD是半径a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，CP?9a，8?AOP?60?,则

PD?________________.

a ADoP

正视图23侧视图

俯视图 12.如图

BC是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是83，则

a?____________________.

13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量

频率组距0.06a0.040.030.020.01o长度（mm)

的重要指标）。所得数据均在区间?5,40?中，其频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a?_______，

在抽测的100根中，棉花纤维的长度在?20,30?内的有__________根。

14.给定集合A，若对于任意a,b?A，有a?b?A，且a?b?A,则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合A???4,?2,0,2,4?为闭集合； ②集合A??n|n?3k,k?Z?为闭集合； ③若集合A1,A2为闭集合，则A1?A2为闭集合；

④若集合A1,A2为闭集合，且A1?R,A2?R,则存在c?R,使得c??A1?A2?. 其中正确结论的序号是________________________.

三．解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15. （本小题满分13分）

已知函数f(x)?2?sin?2x?????2??2sinx，x?R 6?(1) 求函数f(x)的最小正周期；

BC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c，若f()?1,b?1,c?（2）记?A的值。

16. （本小题满分14分）

已知三棱锥P-ABC中，PA?平面ABC,

B23，求aAB?AC,PA?AC?1AB,N为AB 2_ M_ N _ P上一点，AB= 4AN, M ,D ,S分别为PB,AB,

BC的中点。

（1）求证： PA//平面CDM; （2）求证： SN?平面CDM;

(3 ) 求二面角D?MC?N的大小。

_ A_ C

_ D _ S _ B17. （本小题满分13分）

为振兴旅游业，某省2009年面向国内发行了总量为2000万张的优惠卡，其中向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中游客中有

31是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内432持银卡。 3（1）在该团中随机采访3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人 持银卡的概率；

(2 ) 在该团的省外游客中随机采访3名游客，设其中持金卡人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX。

18. （本小题满分13分）

设函数f(x)?ax?a?0?。 x2?b（1） 若函数f(x)在x??1处取得极值?2，求a,b的值； （2） 若函数f(x)在区间??1,1?内单调递增，求b的取值范围； （3） 在（1）的条件下，若P?x0,y0?为函数f(x)?

19. （本小题满分14分）

已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为F1?3,0,F2ax图像上任意一点，直线l与f(x)x2?b的图像切于点P，求直线l的斜率的取值范围。

???3,0?,离心率是

3。椭圆C的2左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线

l:x??10分别交于M,N两点。 3（1） 求椭圆C的方程；

（2） 求线段MN长度的最小值；

（3） 当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：?TSA的面积为

的个数。

20. （本小题满分13分）

对于定义域分别为M,N的函数y?f(x),y?g(x)，规定：

1。试确定点T5?f(x)?g(x),当x?M且x?N,?f(x),当x?M且x?N, 函数h(x)???g(x),当x?M且x?N,?(1) 若函数f(x)?1,g(x)?x2?2x?2,x?R,求函数h(x)的取值集合； x?12(2) 若f(x)?1,g(x)?x?2x?2，设bn为曲线y?h(x)在点?an,h?an??处切线的斜率；

而?an?是等差数列，公差为1n?N点Pn的坐标为?an,bn?。求证：

???，点P为直线l:2x?y?2?0与x轴的交点，

11P1P22?1P1P32???1P1Pn2?2； 5(3) 若g(x)?f(x??)，其中?是常数，且???0,2??，请问，是否存在一个定义域为R的函数y?f(x)及一个?的值，使得h(x)?cosx，若存在请写出一个f(x)的解析式及一个?的值，若不存在请说明理由。

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数学（理科）参考答案

一．ADBD CBCA 二．9.?2?31?,? 10. 10 11.a 12. 2 13. 0.05,55

3?22?14. ②④

三．

15.解（1）f(x)?2?sin(2x??6)?2sin2x

?2?(sin2xcox??cos2xsin)?(1?cos2x) 66? ?1?cos2x?(31sin2x?cos2x) 22 ?

13cos2x?sin2x?1 22?cos(2x??3)?1 …………………………………………………………5分

所以函数f(x)的最小正周期为?。 ………………………………………………… 6分

（2）由f()?1得cos(B? 又因为0?B??,所以

B2?3)?1?1,即cos(B??B??3)?0

?3?3?4? 3

所以

B??3??2,即

B??6. ………………………………………………………….9分

因为b?1,c?3

bc3?,得sinC? sinBsinC2 所以由正弦定理 故

C??2或? ……………………………………………………………….11分 33当C??322???时，A?，又B?，从而a?b?1 当C?366故a的值为1或2. …………………………………………………………….13分

16.（1）证明：在三棱锥P?ABC中

因为M,D,分别为PB,AB的中点， 所以MD//PA

因为MD?平面CMD,PA?平面CMD

所以PA//平面CMD ……………………………………………….3分

（2）证明：因为M,D,分别为PB,AB的中点 所以MD//PA 因为PA?平面ABC 所以MD?平面ABC 又SN?平面ABC

所以MD?SN ……………………………………………………6分

设PA?1,以A为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。

如图所示，则

_ P时，A??，从而a?b2?c2?2

P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0)

_ M_ N_ D_ A_ C_ S_ B111M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)

222111所以CM?(1,?1,),SN?(?,?,0)

22211因为CM?SN????0?0

22所以CM?SN ………………………………..9分 又CM?MD?M

所以SN?平面CMD……………………….10分

(3)解由（2）知，SN?(?11,?,0)是平面CMD的一个法向量 22 设平面MCN的法向量n?(x,y,z)，则n?CM?0,n?CN?0

?1????x,y,z?1,?1,???0??2?? 即?

1???x,y,z????,?1,0??0??2??z??x??1 所以?y??z?2? 令z?1,则x??1,y?? 所以n?(?1,?1 21,1) 2 从而cosn,SN?n?SNnSN?2 2 因为二面角D?MC?N为锐角 所以二面角D?MC?N的大小为

?。………………………………………………..144分

17.解：（1）由题意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省内游客有9人，其中6人持有银卡。

记事件B为“采访该团3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡，” 记事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡,1人持银卡，” 记事件A2为“采访该团3人中，2人持金卡,1人持银卡，”

1111C9C6C21C92C645 则P(B)?P(A1)?P(A2)? ??33238C36C36 所以在该团中随机采访3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率为

45。 238 ………………………………………………….6分

（2）X的可能取值为0,1,2,3

3C18272 因为P(X?0)?3?

C2797512C9C18153 P(X?1)? ?3325C271C92C1872 P(X?2)? ?3325C273C928 P(X?3)?3?

C27975 所以X的分布列为

X 0 1 2 3

P 272 975153 32572 32528 975

……………………………

…………………10分 故

EX?0?

2721537228?1??2??3??1 ……………………13分 97532532597518.解（1）

a(b?x2) f(x)?22(x?b)' 由题意得

?f(?1)?0??f(?1)??2'，即

?a(b?1)?0??(1?b)2???a??2??1?b，所以

?a?4 ……………………………3分 ?b?1?a(x2?b) （2）f(x)??2(a?0) 2(x?b)' 当b?0时，f'(x)?0，函数f(x)在区间??1,1?内不可能单调递增 ………….4分

当b?0时，f'(x)??a(x?b)(x?b) 22(x?b)??b?1?b?1 则当x?(?b,b)时，f'(x)?0，函数f(x)单调递增，故当且仅当?时，

函数f(x)在区间??1,1?内单调递增，即b?1时，函数f(x)在??1,1?内单调递增。 故

所

求

b的取值范围是

?1,??? ………………………………………………8分

（3）直线l在点P处的切线斜率

k?f'(x0)?分 令t?4?4x0222(x0?1)1??42x0?1(x0?1)?822 …………………………………….10

x0?122,则0?t?1

1 212411 故当t?时，kmin??；t24l 所以直线

所以k?8t?4t?8(t?)??1时，kmax?4

的

斜

率

的

取

值

范

围

是

?1???2,4? ………………………………………13分 ??19.解（1）因为 所

c3，且c?3，所以a?2,b?a2?c2?1 ?a2以

椭

圆

C

的

方

程

为

x2?y2?1 …………………………………………….3分 4 (2 ) 易知椭圆C的左，右顶点坐标为A(?2,0),B(2,0),直线AS的斜率k显然存在，且k?0

故可设直线AS的方程为y?k(x?2)，从而M(?104,?k) 33? 由??y?k(x?2)2222得(1?4k)x?16kx?16k?4?0 x22?y?1416k2?42?8k2 设S(x1,y1)，则(?2)x1?，得x1? 221?4k1?4k4k2?8k24kS(,) 从而y1?，即2221?4k1?4k1?4k 又B(2,0),故直线BS的方程为y??1(x?2) 4k110??y??(x?2)x????4k3，所以N(?10,4) 由?得?10433k??y??x??33k?? 故MN?4k4 ?33k 又k?0，所以MN? 当且仅当

4k44k48??2?? 33k33k34k4?时，即k?1时等号成立 33k8 所以k?1时，线段MN的长度取最小值 ………………………………..9

3分

（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，k?1

此时AS的方程为x?y?2?0，S(?64,), 55_y 所以AS?142,要使?TSA的面积为，

55 只需点T到直线AS的距离等于

2， 4_N _A_S _D _B _O_x 2' 所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线l上

4 设l:x?y?t?0，则由

'_M t?22?352，解得t?或t?

224

?x2?y2?1① 当t?3?22时，由?4得5x?12x?5?0

??x?y?32?0 由于??44?0，故直线l'与椭圆C有两个不同交点

?x2?2 ②t?5?2时，由?4y?1得5x2?20x?21?0

??x?y?52?0由于???20?0，故直线l'与椭圆C没有交点

综上所求点T的

个数2. ……………………………………………..14分

20.解（1）由函数f(x)?1,g(x)?x2x?1?2x?2,x?R 可得M??x|x??1?,N?R

? 从而h(x)??x2?2x?2?,x??1

?x?1?1,x??1 当x??1时，h(x)?x2?2x?2x?1?(x?1)2?1x?1?x?1?1x?1?2 当x??1时，h(x)?x2?2x?2x?1?(x?1)2?1x?1??(?x?1?1?x?1)??2 所

以

h(x)的取值集合?y|y??2,或y?2或y?1? …………………………….5分

（2）易知h(x)?x2?2x?2,所以h'(x)?2x?2 所以bn?g'(an)?2an?2

显然点Pn(an,bn)在直线l上，且a1??1 又?an?是等差数列，公差为1 所以an?n?2,bn?2n?2

故Pn(n?2,2n?2)，又P1(?1,0)

是

为

所以P1Pn?所以

5(n?1)(n?2)

?1P1P321P1P22???1P1Pn2?1?111?1??????? 5?2232(n?1)2? ?

?1?1111?????? 5?1?22?3(n?2)(n?1)???1?1?21?1?? ……………………………………………..8分 ??5?n?1?5（3）由函数y?f(x)的定义域为R，得g(x)?f(x?a)的定义域为R 所以，对于任意x?R,都有h(x)?f(x)?g(x) 即对于任意x?R,都有cosx?f(x)?f(x?a)

所以，我们考虑将cosx分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化

xxxxx2x?sin?(cos?sin)(cos?sin) 222222x?x? ?2cos(?)?2cos(?)

2424x?f(x)?2co?s)(，且 所以，令

24 cosx?cos2???，即

可 ………………………………..13分

xxx?(1?2sin)(1?2sin) 222x 所以，令f(x)?1?2sin，且??2?，即可（答案不唯一）

2 又cosx?1?2sin2

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