大学物理 1-5章作业参考解

1-2章作业

1-4．一质点的运动学方程为x?t2，y??t?1?2(SI)。试求：(1)质点的轨迹方程；(2)在t?2s时，质点的速度和加速度。

[解] （1） 由质点的运动方程 x?t2

（1）

y??t?1?2 （2）

消去参数t，可得质点的轨迹方程 y??x?1

?2 （2） 由（1）、（2）对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度

vx?dxdy?2t vy??2?t?1? dtdt所以 v?vxi?vyj?2ti?2?t?1?j

（3）

d2xd2y ax?2?2 ay?2?2

dtdt 所以 a?2i?2j （4）

把t?2s代入式（3）、（4），可得该时刻质点的速度和加速度．

v?4i?2j a?2i?2j

1-8．质点沿x轴运动，已知v?8?2t2，当t?8s时，质点在原点左边52m处(向右为x轴正向)。试求：

(1)质点的加速度和运动学方程； (2)质点的初速度和初位置； (3)分析质点的运动性质。

[解] (1) 质点的加速度 a?dv/dt?4t

又 v?dx/dt 所以 dx?vdt 对上式两边积分，得

2dx?vdt?(8?2t)dt ???所以 x?8t?(2/3)t3?c 由题知 xt?8?8?8??83?c??52m

23所以 c= 457m

因而质点的运动方程为 x??457?8t?t3 (2) v0?8?2?02?8m/s

1x0??457m

31323131(3) 质点沿x轴正方向作变加速直线运动，初速度为8m?s-1，初位置为-457m.

31-9．一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a?2?6x。物体在x?0处的速度为10m?s-1，求物体的速度与位置的关系。

[解] 根据链式法则 a?dvdvdxdv ??vdtdxdtdxvdv?adx??2?6x?dx

对上式两边积分并考虑到初始条件，得 故物体的速度与位置的关系为

?v10vdv???2?6x?dx

0xv?6x2?4x?100 ms

1-10．在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为a?g?Bv，其中g为

重力加速度，B为与物体的质量、形状及媒质有关的常数，并设t?0时物体的初速度为零。试求：

(1)物体的速度随时间变化的关系式；

(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值。 [解] (1) 由a?dv/dt得

dv?dt g?Bv两边积分，得

?dv??dt g?Bv即 ln(g?Bv)??Bt?lnc 由t=0时v=0 得

c=g

所以，物体的速率随时间变化的关系为：

v?g(1?e?Bt) B(2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0 （或以t??代入） 由此得收尾速率

v=g/B

1-16．在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路程随时间的变化规律为s?v0t?1bt2，其中v0和b都是正常量。求t时刻齿尖P的速度及

2加速度的大小。

[解] 设时刻t齿尖P的速率为v，切向加速度at，法向加速度an，则

v?ds?v0?btdtdvat??b

dtv2(v0?bt)2an??RR

所以，t时刻齿尖P的加速度为

(v0?bt)4a?a?a?b?

R22t2n2

1-18．一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置??2?4t3。(1)在t?2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，?值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?

d??12t2 dt质点的线速度 v?R??0.10?12t2?1.2t2

[解] 质点的角速度 ??质点的法向加速度an，切向加速度at为

an??2R??12t2??0.10?14.4t4 （1）

2 at?dv?2.4t （2） dtan?14.4?24?2.3?102m/s2at?2.4?2?4.8m/s2（1）把t?2s代入（1）式和（2）式，得此时

（2）质点的总加速度

2a?an?at2?2.4t36t6?1

由 at?a 得 2.4t?0.5?2.4t36t6?1 解得 t?0.66 s所以 ??2?4t3?3.15rad （3）当an?at即14.4t4?2.4t时

有 t?0.55 s

2-3．质量为m的子弹以速率v水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，

012大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；

(2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力 f= - kv

dv dtdv 即 ?kv??m

dtdvk 所以 ??dt

vmvdvkt对等式两边积分 ????dt

v0vm0(1) 由牛顿第二定律 f?ma?m 得 lnvk??t v0mk?tem 因此 v?v0

dvdvdxdv?m?mv dtdxdtdxdv 即 ?kv?mv

dxk 所以 ?dx?dv

m0ks 对上式两边积分 ??dx??dv

v0m0k 得到 ?s??v0

mmv 即 s?0

k(2) 由牛顿第二定律 f?ma?m2-5．跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即F?kv2。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率vT。

[解] 设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为vT，当运动员受的空气阻

力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

2此时 mg?kvT

即 vT?mg k有牛顿第二定律 mg?kv2?m 整理得

vdv dtdvdt ?mg?kv2m对上式两边积分

?0tdtdv1?

mg?kv2?0m2mgk 得 ln2tmg?kvmg?kv?2tt m?1?1整理得 v?eemkg2tmkg?1mge?k?1emkg2tmkgvT

3-4章作业

3-5．在光滑的水平桌面上平放有如图3-5所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度障内，滑摩擦系数块从屏障擦力所作

习题3-5图

W?v0v0沿切线方向进入屏

x=0处块与屏障间的为?，试证明：当滑的另一端滑出时，摩的功为

12mv0e2

[证明] 物体受力：屏障对它的压力N，方向指向圆心，摩擦力f方向与运动方向相反，大小为 f??N (1)

另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。 由牛顿运动定律 切向 ?f?mat (2) 习题3-4图

v2 法向 N?m (3)

R??2???1?

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