天津市南开区高三一模考试数学（理）试卷 docx

高中数学学习材料

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2016届天津市南开区高三一模考试数学（理）试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．

祝各位考生考试顺利！

第 Ⅰ 卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）i是虚数单位，满足(1+2i)z=–3+4i的复数z=（ ）．

（A）1–2i （B）–

11+2i 5（C）1+2i （D）–4+2i

（2）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“A?B”是“a=3”的（ ）．

（A）充分不必要条件 （C）充要条件

（B）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

（3）以下茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩（单位：分）．

甲组 乙组 5 x 2 8 9 10 6 y 9 已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为105.4，则x，y的值分别为（ ）．

（A）5，7 （C）6，9

（B）6，8

（D）8，8

7 4 11 5

（4）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为（ ）．

（A）4 （B）6 （C）7 （D）11

?x?2y?6，?（5）已知实数x，y满足约束条件?2x?y?6，则x–3y＞0的概率是（ ）．

?x?0，y?0，?11 （B） 4333（C） （D）

45（A）

x2y2（6）已知双曲线2–2=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4cx（其中c=a2?b2）交于A，B两

ab点，若|AB|=4c，则双曲线的离心率为（ ）．

（A）3 （B）2 （C）5 （D）2+1

（7）如图，已知AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连结CF交AB于点E．若AB=6，ED=4，则EF=（ ）．

（A）2 （B）5

C（C）

45410 （D） 35AEOBD（8）在△ABC中，D为边BC上一点，tan∠BAD=

11，tan∠CAD=，AB=2AC，32FBC=3，则AD=（ ）．

（A）

357 （B）

22（C）23 （D）10

南开区2015～2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）

答 题 纸（理工类）

三 题 号 得 分 二 (15) (16) (17) (18) (19) (20) 总分 第 Ⅱ 卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分． 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请 将答案填在题中横线上。

主视图左视图俯视图（9）设f(x)为定义在R上的奇函数，若当x＞0时，f(x)=3x+1，则f(log3

1)= ． 2（10）一个棱长为36的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为 ．

?（11）若a=

??(2?21??sinx)dx，则(x–

a6

)的二项展开式中的常数项为 （用数字作答）． x?x?1???（12）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：??y?2???2t，2（t为参数），以Ox2t，2为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：?=2cos?，则圆C上的点到直线l距离的最小值为 ．

（13）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AC与BD交于点M，AB=2CD=4．若AC?BD=–1，则cos∠BMC= ．

?log2(?x)，x?0，（14）已知函数f(x)=?若函数g(x)=a–|f(x)|有四个零点x1，x2，x3，x4，且x1＜

x?2，x?0，?x2＜x3＜x4，则x1+x2x3+x2x4的取值范围是 ．

三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得 分 评卷人 （15）（本小题满分13分）

已知函数f(x)=23cos?xcos(?x+

?)+2sin2?x（?＞0）的最小正周期为?． 2（Ⅰ）求?的值和函数f(x)的单调增区间； （Ⅱ）求函数f(x)在区间?，??上的取值范围．

3

????? 得 分 评卷人 （16）（本小题满分13分）

某家电商场开展购物抽奖促销活动，顾客购物满500元即可获得一次抽奖机会，若每10张券中有一等奖券1张，可获价值100元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值50元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张券中任抽2张，求： （Ⅰ）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值?（元）的概率分布列和期望E?．

得 分 评卷人 （17）（本小题满分13分）

已知在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，且AA1=2AB=2BC=2，E，M分别是CC1，AB1的中点．

（Ⅰ）证明：EM∥平面ABC；

（Ⅱ）求直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角B?EM ?B1的余弦值．

A M B A1 B1 C E C1 得 分 评卷人 （18）（本小题满分13分）

设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n2，数列{bn}为等比数列．已知+anbn=(n–1)?3n+1+3．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设(an+1)?log3bn+2?cn=1，求证：数列{cn}的前n项和T3n＜8．

a1b1+a2b2+a3b3+…

得 分 评卷人 （19）（本小题满分14分）

x2y2椭圆C：2?2?1（a＞b＞0）的两焦点为F1(–c，0)，F2(c，0)，椭圆的上顶点M满足

abF1M?F2M=0．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；

（Ⅱ）若以点N(0，2)为圆心，且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为26．

（ⅰ）求此时椭圆C的方程；

（ⅱ）椭圆C上是否存在两点A，B关于直线l：y=kx–1（k≠0）对称，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

得 分 评卷人 （20）（本小题满分14分）

已知函数f(x)=xlnx–x+1．

（Ⅰ）求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若函数g(x)=af(x)–

12

x（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点，求a的取值范围； 2（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．若不等式a＜mx1+(1–m)x2（m＞0）恒成立，求m的取值范围．

南开区高三一模

数学试卷（理工类）参考答案

一、选择题：

题 号 答 案 二、填空题：

（9）–6； （10）5； （11）15；

（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） C B B C A D D B

（12）2–1； （13）

1； （14）[–5，–4] 17三、解答题：（其他正确解法请比照给分）

（15）解：（Ⅰ）f(x)=–23sin?xcos?x+1–cos2?x …………2分

=–3sin2?x–cos2?x+1

?)+1 …………4分 62?∵函数f(x)的最小正周期为T==?，

2?=–2sin(2?x+

∴?=1． …………5分

?)+1． 6??3?由2k?+≤2x+≤2k?+，

226?2?得k?+≤x≤k?+，

36?2? ∴函数f(x)的单调增区间为[k?+，k?+]，k∈Z． …………8分

36?（Ⅱ）∵≤x≤?， ?3?2?2?∴f(x)在区间[，]单调递增，在区间[，?]单调递减，…………10分

333??5?2?3?f()=–2sin+1=0，f()=–2sin+1=3，f(?)=–2sin+1=0，

63236因此f(x)的取值范围为[0，3]． …………13分?∴f(x)=–2sin(2x+

1522C62（16）解：（Ⅰ）P=1–2=1–=，即该顾客中奖的概率为． …………4分

4533C10（Ⅱ）?的所有可能值为：0，50，100，150（元）． ………… 5分

11C62151C6C182P(?=0)=2==， P(?=50)=23==，

455C10C10453111231C6C1?C3291C1C3P(?=100)===，P(?=150)===， 224554515C10C10所以?的分布列为

??????????????? P 0 1 350 2 5100 1 5150 1 15????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????…………11分??的数学期望E(?)=0×+50×+100×+150×

（17）解：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1⊥AB，BB1⊥BC，

又∵AB⊥BC，

∴AB⊥平面BCC1B1． …………1分 如图，以点B为原点，BC，BB1，BA分别为x轴、y轴、z轴正方向， 建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C(1，0，0)，B1(0，2，0)，

1325151=50． …………13分 15A(0，0，1)，C1(1，2，0)，A1(0，2，1)． …………3分

（Ⅰ）∵E，M分别是CC1，AB1的中点， ∴E(1，1，0)，M(0，1，∴EM=(–1，0，

1)， 21)． 2易知平面ABC的法向量为m=(0，2，0)， ∵EM·m=0，∴EM⊥m．

又∵EM?平面ABC，∴EM∥平面ABC． …………6分 （Ⅱ）AB1=(0，2，–1)，EB1=(–1，1，0)，EA1=(–1，1，1)． 设n1=(x1，y1，z1)为面AEB1的法向量，则n1·AB1=n1·EB1=0， 即??2y1?z1?0，取y1=1，则x1=1，z1=2，从而n1=(1，1，2)，

??x1?y1?0，设直线A1E与平面AEB1所成角为?， 则sin?=|cos|=2|EA21?n1|==， 36?3|EA1|?|n1|即直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值为（Ⅲ）BE=(1，1，0)，BM=(0，1，

2． …………10分 31)． 2设n2=(x2，y2，z2)为面BEM的法向量，则n2·BE=n2·BM=0，

?x2?y2?0，?即?取z2=2，则x2=1，y2=–1，从而n2=(1，–1，2)， 1y?z?0，22?2?∴cos=n1?n22=，

|n1|?|n2|3由图形可知所求二面角的平面角为钝角， ∴二面角B?EM ?B1的余弦值为–

（18）解：（Ⅰ）当n≥2时，∵an=Sn–Sn–1=n2–(n–1)2=2n–1， n=1时，a1=S1=1，满足上式，

∴an=2n–1． ………… 3分 ∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n–1)?3n+1+3， ∴a1b1=3，a1b1+a2b2 =30， 解得b1=3，b2 =9．

∴{bn}的通项公式为bn=3n． …………6分 （Ⅱ）∴(an+1)?log3bn+2?cn=2n(n+2) ?cn =1，

∴cn=

2． …………13分 31111=(–) …………9分

2n(n?2)4nn?2∴Tn=

11111111111(1–)+(–)+(–)+(–) 43424435446111111+…+(–)+(–)

4n?1n?14nn?2111131113=(1+––)=–(+)＜．…………13分 42n?1n?284n?1n?28

（19）解：（Ⅰ）∵F1M?F2M=(c，b) ?(–c，b)=–c2+b2=0，

∴b=c，从而a=2c， ∴椭圆C的离心率e=

2c=． …………3分 2ax2y2（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得椭圆C的方程为2?2?1．

2bb设P(x，y)是椭圆上任一点，依题意，|PN|的最大值为26，

则|PN|2=x2+(y–2)2=(2b2–2y2)+(y–2)2=–(y+2)2+2b2+8（–b≤y≤b）． （ⅰ）若b≥2，则y=–2时，|PN|max=2b2?8=26，

x2y2??1． ………………7分 ∴b=3，此时椭圆方程为

189（ⅱ）若0＜b＜2，则y=–b时，|PN|max=b+2=26，

∴b=26–2＞2，矛盾．

x2y2??1． ………………9分 综上得椭圆方程为

189②设直线AB的方程为x=–ky+m，

?x2?2y2?18，联立方程组?

?x??ky?m化简得：(k2+2)y2–2kmy+m2–18=0，

由△=4k2m2–4(k2+2)(m2–18)＞0，解得：9k2–m2+18＞0．

2km， 2k?22mkm可求得AB的中点坐标为(2，2)，

k?2k?2由韦达定理得：yA+yB=

k2?2km2km代入直线y=kx–1得2=–1，求得m=，

kk?2k2?22222?k?2?代入9k–m+18＞0得9k–??k??+18＞0，

??2解得k∈(–∞，–

11)∪(，+∞)． ………………14分 22（20）解：（Ⅰ）f(1)=0，f?(x)=lnx，∴切线斜率f?(1)=0，

曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=0． …………………3分 （Ⅱ）g(x)=a(xlnx–x+1)–

12

x，g?(x)=alnx–x， 2设h(x)=alnx–x，从而转化为函数h(x)在(0，+∞)有两个不同零点，

而h?(x)=

aa?x–1=， xx①若a≤0，则h?(x)＜0在(0，+∞)上恒成立，所以h(x)在(0，+∞)单调递减， 此时h(x)不可能有两个不同零点． …………………5分 ②若a＞0，在0＜x＜a时，h?(x)＞0，在x＞a时，h?(x)＜0， 所以h(x)在(0，a)上单调递增，在(a，+∞)上单调递减， 从而h(x)极大值=h(a)=alna–a，

又因为在x→0时，h(x)→–∞，在x→+∞时，h(x)→–∞，于是只须：

h(x)极大值＞0，即alna–a＞0，所以a＞e．

综上所述，a＞e． …………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知x1，x2分别是方程alnx–x=0的两个根， 即alnx1=x1，alnx2=x2，

两式相减得a(lnx2–lnx1)=x2–x1（0＜x1＜x2），

∴a=

x2?x1． x2lnx1x2?x1＜mx1+(1–m)x2， x2lnx1∴不等式a＜mx1+(1–m)x2??不等式

令t=

x2＞1， x1∴不等式

x2?x1t?1＜mx1+(1–m)x2?不等式＜m+(1–m)t， x2lntlnx1∴原不等式恒成立，?不等式

t?1＜m+(1–m)t在t∈(1，+∞)上恒成立． lnt∵t∈(1，+∞)时，m+(1–m)t＞0，lnt＞0， 则不等式

t?1lnt＜m+(1–m)t在t∈(1，+∞)上恒成立 ?不等式

t?1m?(1?m)t＜lnt在t∈(1，+∞)上恒成立

?不等式lnt–

t?1m?(1?m)t＞0在t∈(1，+∞)上恒成立．令?(x)=lnt–

t?1m?(1?m)t，

(t?1)[(1?m)2又??(x)=1t–1t?m2][m?(1?m)t]2=[m?(1?m)t]2， ①当0＜m≤

12时，??(x)＞0在(1，+∞)上恒成立， ∴?(x)在(1，+∞)上单调递增，又?(1)=0，

?(x)＞0在t∈(1，+∞)上恒成立，符合题意．

m2②当m＞12时，(1?m)2＞1， m2∴t∈(1，(1?m)2)时，??(x)＜0，

?(x)在(1，m2∴(1?m)2)单调递减，又?(1)=0， (1，m2∴在(1?m)2)上?(x)＜?(1)=0，不符合题意．

综上，若a＜mx1+(1–m)x2恒成立，则m∈(0，

12]． …………10分

…………14分

∴不等式

x2?x1t?1＜mx1+(1–m)x2?不等式＜m+(1–m)t， x2lntlnx1∴原不等式恒成立，?不等式

t?1＜m+(1–m)t在t∈(1，+∞)上恒成立． lnt∵t∈(1，+∞)时，m+(1–m)t＞0，lnt＞0， 则不等式

t?1lnt＜m+(1–m)t在t∈(1，+∞)上恒成立 ?不等式

t?1m?(1?m)t＜lnt在t∈(1，+∞)上恒成立

?不等式lnt–

t?1m?(1?m)t＞0在t∈(1，+∞)上恒成立．令?(x)=lnt–

t?1m?(1?m)t，

(t?1)[(1?m)2又??(x)=1t–1t?m2][m?(1?m)t]2=[m?(1?m)t]2， ①当0＜m≤

12时，??(x)＞0在(1，+∞)上恒成立， ∴?(x)在(1，+∞)上单调递增，又?(1)=0，

?(x)＞0在t∈(1，+∞)上恒成立，符合题意．

m2②当m＞12时，(1?m)2＞1， m2∴t∈(1，(1?m)2)时，??(x)＜0，

?(x)在(1，m2∴(1?m)2)单调递减，又?(1)=0， (1，m2∴在(1?m)2)上?(x)＜?(1)=0，不符合题意．

综上，若a＜mx1+(1–m)x2恒成立，则m∈(0，

12]． …………10分

…………14分

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