梁彬灿电磁学第二章习题解答

2．1．1 解答：

建立球坐标系，如图2.1.1(a)所示，球表面带阴影的小面元面积为

dS?R2sin?d?d? （1）

面元上的电荷量为

dq??dS??0R2cos?sin?d?d? （2）

导体上一面元dS所受的电场力等于

?2?2cos2?dF???dS?E'?dSen?dSen （3）

2?02?0式中：E'为除了面元dS外其他电荷在dS所在处的场强。

以z=0平面为界，导体右半球的电荷为正，导体左半球的电荷为负。根据对称性，面元所受力垂直于z轴的分量将被抵消，因而，只需计算面元dS所受的电场力的z分量，即

?02cos2?dFz?cos?dSk

2?0将（1）式代入（4）式，对右半球积分，注意积分上下限，得

??/2?022?2???02R23F右???Rcos?sin?d??d??k?k

0?02?0?4?0??左半球所受的力为

??02R2F左??k

4?02．1．2 解答：

如图2.1.2所示，设A、B两块板的4个表面的电荷面密度分别为?1、?2、?3、?4，两板间的电场强度为

E?代入数据求得两板间的电场强度的大小

U dE?105V/m

?2???3??0E?8.9?10?7C/m2

?1??4?0

A和B板上电荷量为

qA??qB??2S??0ES?3.2?10?10?C

2．1．3

解答：

（1）设各板表面的面密度由左至右电荷为?1,?2,?3,?4,?5,?6，即有?2???3,?4???5。由于B、C板接地，故两板的外侧电荷面密度?1??6?0。设A、B板的距离为x，则A、C间的距离为d?x，因UAB?UAC，故有

EIIx?EIII(d?x)

式中：

EII?得

?3??2??,EIII?4 ?0?0?0??2d?x x?4因

??4?联合解得

QQ??3???2 SS?2?从而知?5??x?dxQ,?4?Q SdSdxQ SdqB?q2?x?dQ dxQ d求得B板的电荷

C板的电荷

qC?q5??（2）各区的场强分别为

EI?EIV?0,EII?d?xxQeAB,EIII?QeAC ?0Sd?0Sd设r为A到场点的距离，则各区的电势分别为

VI?VIV?0,VII?2．1．4

解答：

d?xxQ(x?r),VIII?Q(d?x?r) ?0Sd?0Sd由左至右各板表面的电荷密度为?1、?2、?3、?4，因qB?0，所以

?1??4?两板之间的电场强度大小为

qA?qBqAq?qBqA?,?2???3?A? 2S2S2S2SE?两板之间的电压为

?2q?A ?02?0SqAd 2?0SU?Ed?B接地后，各板表面的电荷密度为?1',?2',?3',?4'，有

?1'??4'?0,?2'???3'?两板之间的电场强度大小为

qA SE'?两板之间的电压为

?2'qA ??0?0SqAd ?0SU'?E'd?2．1．5 解答：

金属球内为等势区，电势值为U，面上各点的感应电荷面密度?'分布不均匀，设球上电荷的总电荷量为q’，取球心为O，该点的电势为所有电荷在该点电势的总贡献，按电势叠原理

U?U0?解得

q4??0?2R?????'dSqq' ??4??0R4??0?2R?4??0Rq 2q'?4??0RU?2．1．6 解答：

（1） 仿照教材2.1.4例6的分析

En?B??E1n?B??E2n?B??E3n?B?

并知E3n?O??0。半无限长带电直线在紧邻O点的导体板内产生的场强为

E1n?O??ELn?O?

ELn?O????d?dl?i?i

4??0x24??0d而与O点紧邻的面元电荷对板内产生的场强为

E2n???O?i 2?0所有电荷在导体板内紧邻O点的合场强为0，即

ELn?O??E2n?O??0

解得垂足O点的电何密度

??O???? 2?d（2）同理，P是导体面距O点r处的一点，先求半无限长带电直线在导体板内紧邻P处激发的场强法线分量

ELn?P????ldld?l2?d23/2???4??01r?d22

ELn?P??E2n?P??0

因E2n?P????P? 2?0?2?1r?d22解得距O为r的点P的感应电荷面密度

??P???

2．2．1 解答：

由于电荷q放在空腔的中心，在导体壳内壁的感应电荷?q及壳外壁的电荷q在球壳内、外壁上均匀分布，这些感应电荷在球腔内产生的合场强为0；壳内电荷与球壳内壁在壳外产生的合场强为0，因此，壳内、壳外的电场表达式相同，距球心为r处的场强均表示为

E?r??q4??0r2er ?r?R1或r?R2?

距球心为r?0?r?R1?处电势为

V内??E内?dr??E外?dr?rR2R1?q?111????? ?0?r?R1? 4??0?rR1R2?在导体球壳内场强和电势分别为

E壳(r)?0 (R1?r?R2)

V壳?q4??0R2 (R1?r?R2)

球壳外的电场由壳外壁电荷激发，壳外的电势为

V外??E外?dr?r?q4??0r ?R2?r?

场强大小E和电势V的分布如图2.2.1(a)和(b)中E?r曲线和V?r曲线所示。 2．2．2 解答：

球形金属腔内壁感应电荷的电荷量为?q，由于点电荷q位于偏心位置，所以腔内壁电荷面密度分布?内不均匀，球形金属腔外壁的电荷量为Q?q，腔外壁电荷面密度?外均匀分布。根据电势叠加原理，O点的电势为

?内dSQ?qq?111?Q VO???????????4??0r4??0a4??0b4??0?rab?4??0bq2．2．3

解答：

（1）A的表面S1及B的内外表面S2、S3的电荷量q1,q2,q3分别为

q1?QA,q2??QA,q3?QA?QB

（2） A的电势VA可用不同的方法求得：

(a)用电势叠加原理求A的电势VA，即将金属球B分为内外壁讨论，因A为金属球，球内电势处处相等，球心处电势叠加的结果为

VA?1?QAQB????

4??0?RARB?（b）用场强E积分求A的电势VA，即

VA??Q?Q1?RBQA1?QAQB??ABdr?dr???? ??RA2?2?RB4??0?rr?4??0?RARB?球壳B的电势VB可用球壳场强E外?QA?QBer，沿径向积分求得 24??0rVB?QA?QB1?QA?QB?dr??? 2?RB4??0r4??0?RB?1?（3）将球壳B接地后，导体A的表面S1及B的内、外表面S2、S3的电荷量q1,q2,q3分别为

q1?QA,q2??QA,q3?0

可求得导体A的电势为

QA?11?VA??? ?4??0?RARB?因导体壳B接地，有

VB?0

（4）在（2）问之后将导体球A接地后，球A的表面S1及B的内外表面S2、S3的电荷量

q1,q2,q3分别为

q1?QA',q2??QA',q3?QA'?QB

根据电势叠加原理，有

?QA'QA'QA'?QB??QA'QB?VA?0?k??????k??

RB??RARB?RARB?解得

q1?QA'??B的内外表面S2、S3的电荷量分别为

RAQB RBq2?RAQB RBQB?RB?RA? RBq3?QB?q1?A的电势为

VA?0

B的电势为

VB?q34??0RB?QBR?RA? 2?B4??0RB（5）在（2）问之后在B外再罩一个很薄的同心金属壳C（半径为RC）后，A的表面S1及B的内外表面S2、S3的电荷量q1,q2,q3不变。由于同心金属壳C的存在，球壳C的内、外壁的电荷量分别为?q3和q3。因此按电势叠加原理，金属球壳C的存在对A和B的电势的贡献为0，VA和VB分别为

1?QAQB?VA????

4??0?RARB?VB?1?QA?QB??? 4??0?RB?球壳C的外壁的电荷量为q3?QA?QB，故球壳C的电势为

VC?2．2．4 解答：

（1）内球壳电势为零，有

1?QA?QB??? 4??0?RC??Q?QQ?Q2?V1?0?k?1?1?1?

bb??a解得

Q2??Q1b a（2）因被内球壳包围的电场为0，故距球心r??a?的电势与内球壳电势相等，即

Vr?V1?0

距球心a?r?b的电势为

?Q?QQ1?11?Q1?b?1Q1?11?1?bQ1?12Vr?dr?dr???1????????? ??r2?2?b4??0?rr?4??0?rb?4??0?a?b4??0?ra?距球心r?b的电势为

Vr?2．2．5 解答：

在离轴为r处?a?r?b?的电场为

Q1?Q2Q1?b???1??

4??0r4??0r?a?E?r??其中?为电荷线密度

由此得出内、外柱面的电势差

?er 2??0rV1?V2??ba??bdr?ln 2??0r2??0a离轴为r处与内柱面的电势差

V1?Vr??离轴为r处?a?r?b?的电势

ra??rdr?ln 2??0r2??0aVr?V1?可表示为

?rln 2??0arVr?V1??V1?V2?a

blnaln2．3．1 解答：

孤立导体球的电容为

C=4??0R

代入数据得

C?7.1?10?4F

2．3．2 解答：

（1）平行放置一厚度为x的中性金属板后，在金属板上、下将出现等值异号的感应电荷，电场仅在电容器极板与金属板之间，设电荷密度为?0，电场为E?A、B间电压为

?0 ?0UAB?A、 B间电容C为

?0Q?d?x??0?d?x? ?0?0SQ0?S?0 UABd?xC?（2） 金属板离极板的远近对电容C没有影响 （3） 设未放金属板时电容器的电容为

C0?放金属板后，板间空气厚度为

?0Sd

d?x?d?此时电容器的电容为

d3d? 44C??0S4?C0?800?F 3d34由于A、B不与外电路连接，电荷量Q0不变，此时A、B间电压为

UAB'?2．3．3 证明：

Q0C?UAB0?7.5V CC设球的电荷量为q1，则球壳内外壁的电荷量分别为?q1和q2，按电势叠加原理，这些电荷对球心的电势为0，即

?q?qq?k?1?1?2??0 ?R1R2R2?解得

q2?R1q1

R2?R1壳内壁与内球构成一个电容器C1，球壳外壁也与大地构成一个电容器C2，如图2.3.3所示。

C1?4??0R1R2,C2?4??0R2

R2?R1总电容可看作两个电容器的并联，其电容值为

4??0R22 C?C1?C2?R2?R12．3．4 解答：

（1）该装置的等效电容可视为如图2.3.4(a)所示，其中

CAB?A'B'间总电容为

?0SdAB,CAK??0SdAK?2?0SdAB,CKB?CAK?2?0SdAB

CA'B''?CAB??SCAKCKB?2CAB?20

CAK?CKBdAB（3） 盒中电容器的极板B与盒连接后，等效电容图如图2.3.4(b)所示。

A'B'间总电容为

CA'B'''?CAB?CAK?3CAB?3?0SdAB

2．3．5 解答：

（1） 按附图中各电容器电容值，知C、D间电容为

CCD??2?33??F?3?F

其等效电路如图2.3.5(a)所示，E、F间电容为

CEF??2?33??F?3?F

同理，其等效电路如图2.3.5(b)所示，A、B间电容为

CAB??33??F?1?F

（2）A、B间的电势差为900V，等效电容CAB上的电荷量为

QAB?CABUAB?9?10?4C

由图2.3.5(b)可见，与A、B相接的两个电容器的电荷量与QAB相同，亦为9?10C （3）由图2.3.5(b)可见，因3个电容器的电容值相等，故E、F间电压为

?41UEF??900V?300V

32．3．6 解答：

由于电容C6与C5串联，故二者的电荷量相等

q6?q5?10?4C

且有

UBE?U5?U6

因C5?C6?1.0?F，故

UBE?由附图可见

q5q6??200V C5C6?CC?q3?UBE?34??6.7?10?5C

?C3?C4?q2?q3?q5?1.7?10?4C

CAB?C1C2?0.33?10?6C

C1?C2

UAB?求得

q2?500V CABUAE?UAB?UBE?700V

2．3．7 解答：

各个电容器的标号如图2.3.7所示。设U?UAB,C?CAB，则有

Q?CU

在A、B、D、E4个连接点列出独立的3个电荷量的方程

Q?q1?q4 ?q1?q2?q5 Q?q3?q5 3个电压的方程

U?UAD?Uq4DB?4?F?q34?F U?UAE?U1EB?q4?F?q54?F U?Uq1AE?UED?UDB??q2qF10?F?34?4?F由（1）、（3）两式得

q1?q4?q3?q5 由（4）、（5）两式得

q3?q4?q1?q5 由（7）、（8）两式得

q4?q5,q1?q3 将（1）、（9）两式代入（5）式，得

U?114?F??q1??Q?q1????4?FQ 按电容器定义，有

1）2）3）4）5）6）7）8）9） （ （ （

（ （ （ （

（

（

C?Q?4?F U2．5．1 解答：

串联时，两电容器的电荷量相同，电能之比为

Q2W12C1C22??? QW2C1122C2并联时，两电容哭的电压相同，电能之比为

C1U2W1C1?22?1? W2C2UC2222．5．2 解答：

将3个电荷分别编号为1、2、3，如图2.5.2所示。 （1）按定义

q?qV21?k,V12?k

aa?q?qV31?k,V13?k

2a2aq?qV23?k,V32?k

aa电荷1与电荷2之间的相互作用能为

1?q2 W12??qV121?q2V12??24??0a电荷1与电荷3之间的相互作用能为

1q2 W13??qV131?q3V13??28??0a电荷2与电荷3之间的相互作用能为

1?q2 W23??q2V32?q3V23??24??0a（2）电荷系统的相互作用能为

W123?3q2 ?W12?W23?W13?8??0a2．5．3 解答：

电荷量为Q的带电导体球的电荷面密度为

??Q 4?R2半径为R、电荷量为Q的带电导体球的电势为

V?带电导体球的静电能为

Q4??0R

1Q2 W????VdS?28??0R2．5．4

解答：

均匀带电球体的电荷体密度??Q，距球心r处的电势为 4?R33R3??R?r?22 dr??dr??r?3R??2R3?03?0r6?0V?r???E内?dr??E外?dr??rRR?r均匀带电球的静电能为

11???4?R523Q2222 W?????VdV?????????3R?r?rsin?drd?d??22?6?0?15?020??0R

思考题选答 2．3 解答：

（1） 不正确。小球的电势应大于零。因为小球为中性导体球，放在带电大球旁边，由于

静电感应，应出现异号电荷，大球不可能出现异号电荷（见思考题2.5）。大球面上的正电荷发出的电场线将终止在小球的负电荷上或终止在无限远处。假如小球的电势小于零，则小球面上的负电荷必终止来自无限远的电场线，这将导致小球面上的正电荷发出的电场线没有“归宿”的悖论。

（2） 不正确。因为大球的电荷已不是均匀分布 （3） 正确。 2．4 解答： （1）（a）；（2）（e）；（3）（e）；（4）（b）。 (1)因为E表示总电场，导体球的电荷密度的分布取决于所有电荷产生的电场的影响和制约，

在A点的电荷密度??A?的数值就反映了总电场E的影响。因总电场在导体球内的电场为0，因此，以C点作一柱面底面上一点，作一穿入导体表面进入导体的短柱体，根据高斯定理可证E?C????A?en?0。而答案（b）却是球面上位于A的面元?S（对C而言可看作无

限大平面）的电荷在C点产生的电场（方向垂直导体表面），或是除?S外所有电荷（包括2上的电荷）激发的场强。

（2）因2是金属长方块，题目没有指明导体块是无限大，板的右侧有可能存在感应电荷，而金属长方块上的电荷难以掌握，因而长方块上全部电荷在D点产生的电场E2?D?就难于确定，所以应选取答案（e）。 答案（a）是所有电荷在D点产生的电场（方向垂直导体表面）；答案（b）却是金属长方块2上位于B的面元?S'（对D而言可看作无限大平面）上的电荷在D点产生的电场，但不是长方块上全部电荷在D点产生的电场E2?D?（也E'2?S'?D?（方向垂直导体表面）

不是E2n?D?），如果长方金属块可视为无限大，感应电荷都在板的左侧，就可以选择答案（b），因为金属板2左侧的感应电荷犹如一无限大带电平面，虽然电荷分布不均匀，但是对

于过球心垂直于方块的垂线，板2上电荷分布具有对称性，除位于B的面元?S外板2上其他电荷在垂线各点激发的电场均沿此垂线，即只有垂直导体板表面方向的分量，当D点距板2很近时，除位于B的面元?S'外板2上其他电荷在D点产生的电场E2''在垂直导体板表面方向的分量E2n''?D??0，因此，无限大导体板2的全部电荷在D点激发的场强E2?D?的法线分量就等于位于B的面元?S'在D点激发的场强的大小，即E'2?S'?D??E2n??。 2?0（3）因导体球1上的电荷分布难以掌握，因此1上全部电荷在C点产生的电场E1?C?就难于确定，所以应选取答案（e）。 答案（a）是所有电荷在C点产生的电场；答案（b）是在球面上位于A的面元?S（对C而言可看作无限大平面）上的电荷在C点产生的场强（方向垂直导体表面），或是除?S外所有电荷（包括2上的电荷）激发的场强。

（4）根扰前几题的分析，只有答案（b）是正确的，即E1'?C?是除?S外所有电荷（包括2上的电荷）激发的场强（方向垂直导体表面）,也是1上位于A的面元?S在C点激发的电场。 2．5 解答：

不可能，用反证法证明。假定出现图中所示的情况，设?SM?是M表面上某个??0的面元，则由它发出的电场线只有两种可能的“归宿”：一是终止于N的负电荷；二是终止于无穷远处。

先评论第一种情况：若电场线终止于N的负电荷处，说明VM?VN，这时，由N上的

正电荷发出的电场线就不能终止于N自身的负电荷，也不能M上的负电荷，只可能终止于无穷远，于是有VN?0。但假设前提是M还有负电荷存在，这些负电荷必定要终止电场线，终止于这些负电荷的电场线既然不能来自于N（已知VM?VN），只能来自无穷远，于是

VM?0。这就与上面的结论（VM?VN?0）矛盾，参看图2.5(a)。

第二种情况是M上的正电荷发出的电场线终止于无穷远，说明VM?0。设?SM?是M

表面上某个??0的面元，则它终止的电场线只能来自于N，于是有VN?VM?0。但是按假设前提N上还应有负电荷，它必须终止电场线，终止于它的电场线不能来自于M的正电荷，就只能来自无限远，于是VN?0。但这与上面的结论VN?VM?0矛盾，参看图2.5(b)。 因而说明图2.5上所示的情况是不可能存在的。我们可以断言带正电荷M周围置入一中性导体，M的电荷分布会发生变化，但其表面决不可能出现负电荷。 可以通过类似的方法证明：空间上若有n个导体，这n个导体中决不能出现每个导体自身都有异种电荷的分布。换句话说，至少有一个导体的电荷面密度均为同号。这个结论，我们可以用下述反证法加以证明：假定n个导体自身都有异号电荷，那么每个导体上的正电荷必发出电场线，其上的负电荷必终止电场线，这就说明每一个导体的电势都是既非电势最高者，亦非电势最低者，这就必须除了n个导体外，还有一个电势最高者和一个电势最低者，而剩下的无限远处（或称为地）可称为第n+1个导体，它只能占有一个电势值，若第n+1个导体占有了电势的最高值，就无法充当电势最低值，反之亦然，因而说明假设前提是错误的。 2．7 解答：

用反证法，假定A带正电而又不是电势最高者，则说明导体A上有的地方电荷面密度为负，从而有电场线终止于导体A上，这些电场线或来自于壳M，或来自于导体B上的正电荷，我们分别加以讨论。

（1）如果来自于B的正电荷，则说明VB?VA，但因为导体B为中性导体，所以在它

上面必有负电荷，终止于这些负电荷上的电场线，显然不能来自导体B自身，只可能来自壳M上的正电荷，因而有VM?VB?VA。但由于导体A所带的电荷量为正，所以A上的正电荷必发出电场线，但是这些电场线却没有去处：既不能终止于导体B，又不能终止于壳上，参看图2.7(a)。

（2）若来自于壳M的正电荷，则说明VM?VA，而因A带正电，A的正电荷发出的电

场线只能终止于B，即有VM?VA?VB。但B是中性导体，它面上的正电荷发出的电场线将没有归宿。因此说明导体A上不可能有负电荷，或者说不可能有任何电场线终止于A上。从而证明带正电的导体A必发出电场线终止于导体B或壳M上，所以导体A为电势最高者。 同理，若导体A有负电荷，但又不是电势的最低者，意味着A上有的地方面电荷密度为正。从A发出的电场线终止于导体B或终止于壳M上的负电荷，我们分别加以讨论。

（1）如果终止于B的负电荷，则说明VB?VA，但因为导体B为中性导体，所以在它

上面必有正电荷，从这些正电荷发出的电场线，显然不能来自导体B自身，只可能终止于壳M上的负电荷，因而有VM?VB?VA。但由于导体A的带的电荷为负，所以A上的负电荷必定要终止电场线，但是这些电场线却没有来源：既不能来自于导体B，亦不能来自于壳上，参看图2.7(b)。

（2）如果终止于M的负电荷，则说明VA?VM，而因A带负电，终止于A上负电荷

电场线只能来自于B的正电荷，即有VB?VA?VM，但B是中性导体，终止于它面上的负电荷的电场线将没有来源。因此说明导体A上不可能有正电荷，或者说不可能有任何电场线发自A上。从而证明带负电的导体A必终止电场线来自于导体B或壳M上，所以导体A必为电势最低者。 2．10 解答： 不能。把一个带电体系分解为若干个子系的目的和基本要求是每个子系的自能保持不变，从功能关系考虑问题时就只需考虑体系中互能的改变量，从而使计算变得简单。两个导体A、B构成的带电体系的静电能写成W?11qAVA?qBVB是我们将每个导体上的每一无限小面22元选为一个子系，（整个体系分成无限多个子系），这时第个子系的自能为零。当我们移动导

体A和导体B的相对位置，电场力所做的功的代价是整个带电体系的静电能的变化，在此期间每个子系（无限小带电面元）的自能保持不变，变化的是每个子系间互能的变化。如果说将导体A和导体B划成一个子系统，将

11qAVA和qBVB分别看成A和B的自能，当我22们移动导体A和导体B的相对位置时，虽然导体A 和B的电势VA和VB均要随之变化，换句话说，作为子系统导体A和子系统导体B的“自能”发生变化。当我们从功能关系去考

虑时，由于A和B的相对位置的改变而引起的系统静电能的变化就不能仅归结为A和B之间的“互能”。因此，如此划分子系统就没有任何意义，除非我们不考虑A和B上电荷分布的变化，认为A和B的自能不变，譬如说，将A和B看作点电荷，VA和VB就是点电荷A和B的电势，就又回到式?2?26?表示的点电荷系的静电能了。

2．11 解答：

答案应是（c）。

将两金属平板A、B看成一个平行板导体组，两个导体组成的导体组的静电能为

W?当答案为（c）时，qA??qB，有

11qAUA?qBUB 22W?11qA?UA?UB??qAU 22此时，两板的电荷面密度等值异号地集中在两导体板相对的壁上，其电荷面密度依次为?1、

?2、?3、?4，且?2???3，?1??4。设qA?0，平行板电容器的电容的电荷量可表示

为

qA?CU

因而得

1W?CU2

2

当答案为(b)时，qA?qB，有

W?1qA?UA?UB? 2此时，两板的电荷面密度等值同号地集中在两导体板相背的壁上，即?1??4?0，相对的壁上电荷面密度?2???3?0，因而两板的电压U?0，即

UA?UB?0

平板电容器储能为0，导体组的静电能储存在两个板与地之间，导体组的静电能W不能表示为

1CU2。 2当qA?qB时，则在两导体板相对的壁上的电荷密度等值异号，此时?2???3?0，而

两板间的电压U?0。两导体板相对的2与3壁上的电荷量的绝对值均小于qA?1??4?0。

与qB绝对值，组成的电容器储存的静电能可以表示为W23?1CU2，但两导体板相对的12与4壁还有电荷，因此板外仍存在电场，储存有电能，导体组的静电能W应大于电容器储存的静电能W23，故此时导体组的静电能W不能用

1CU2表示。 2

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