高数理工类习题册答案

习题一

一、判断题 (1) √；(2) × 二、单项选择题 C ; A 三、填空题

1 导数,常; 2 阶 ; 3初始; 4、xy或ln(xy)

四、计算题： 1、

2x1?x2dx?1y?y2dydyy1?y?1?x2x2dx??1y?y2 ?ln1?x2?c??lny(1?x)1?y2

?c2故通解为：y(1?x)?c(1?y) （c为任意常数）2、

?x1?x2dx?1ydy;y?0??x1?x122dx??1ydy (1?x)2?c?lny,y?0

11y?ce(1?x22)x??1,y?2,c?21故特解为：y?2e(1?x22)3 、

1xdx?11ylnydy,y?1dy?xdx??1ylny lnx?c1?lnlny,y?1lny?cx,cx

故通解为：y?e（c为任意常数）

习题二

一 C; C; B 二 1

P(x)?2x,Q(x)?e?x22?2xdx2xdx?xy?e?(?ee?dx?c)

2

3

4、

一、判断题 (1) √；二 、 C

?e?x2(x?c)P(x)?tanx,Q(x)?sin2xy?e??tanxdx(?sin2xe?tanxdxdx?c)?elncosx(?sin2xcosxdx?c)??2(cosx)2?ccosxy?e??2xdx(?8xe?2xdxdx?c)?e?x2(?8xex2dx?c)?e?x2(4ex2?c),x?0,y?2,c??2特解为：y?e?x2(4ex2?2)z?y?1,dzdx??y?2dydy2dx,dx??ydzdx?y2dz?y2dxx?2ylnxdzdx?1xz??2lnx1z?e?xdx(??2lnxe??1xdxdx?c)?x[?(lnx)2?c]??x(lnx)2?cx故通解为：（?x(lnx)2?cx）y?1习题三

√

(2) 三、 1、

u?yx,y?ux,dudxdydx?u?xdudxu?x?u?tanu1dx,?cotudu? cotudu??dx

12、

3、

4、

xxlnsinu?lnx?c1sinu?cx,通解为：sin(yx)?cxy?ux,dydx?u?xdudxu?xdudx?ulnu1u(lnu?1)du?1xdx,?1u(lnu?1)du??1xdxlnlnu?1?lnx?c1lnu?1?cx,通解为：lnyx?1?cxy?ux,dydx?u?xdudxu?xdu?2,udu?2dx?uuxdx1u22?lnx2?c1

y2?2x2lnx2?cx2,x?1,y?6,c?36特解为：y2?2x2lnx2?36x2u?xdxy,x?uy,dy?u?ydudyu?ydudy?u?1,?udu?1uydy

??udu??112ydy ，则 ?2u?lny?c1于是通解为：x2?y2lny2?c?0

习题四

1、

y???(x?sinx)dx??(1212x?cosx?c113x?sinx?c1x?c2

2 通解为：y?x?cosx?c1)dx?2、

3、

2y??p,y???dpdxdp1dx?xp??1??1p?exdx(??e?1xdxdx?c1)

?1(?12?c1x2x?c1)?1x?2x通解为：y??124x?c1lnx?c2y??p,y???dpdxdpdx?xp,pdp?xdxp2?x2?c1y???x2?c1,y?(1)?1,c1?0

y??xy?122x?c2,y(1)??1,c32??2特解为：y?132x2?26 4、

y??p,y???yp1pdpdy2dpdydydx?pdpdy?p?0,p?0y?01ydy,lnp?lny?lnc1,p?0

dydx?c1y,''

dp?p?c1y,则y??这样lny?c1x?c2故通解为：y?c2ec1x习题五

一

D; D; 二

1 y?c1ex?c2xex; 2 y?c1e?c2e三 1

r?r?6?0,r1??2,r2?3通解为：y?c1e?2x2xx222?x?2?xelnx

x?c2e3x

2

r?12r?36?0r1?r2??6通解为：y?(c1?c2x)e?6x2

3

r?r?5?0r1??2?i,r2??2?i通解为：y?e?2x2

(c1cosx?c2sinx)四、

r?4r?4?0,r1??2,r2??2通解为：y?(c1?c2x)e?2x2, x?0时,y??1,y??4,于是c1??1,c2?2故特解为：y?(2x?1)e?2x

习题六

一、 1 x(ax3?bx2?cx?d); 2 e3x(c1cosx?c2sinx); 3 x(ax?b)?cxe?x 二 1

r?2r?3?0,r1??1,r2?3令y?x(ax?b)e,可解得a?y?c1e?x*3x218,b?3x31618x?2

316x)e3x?c2e?(2

r?6r?9?0,r1?3,r2?32*23x 令y?axe,得a?3y?(c1?c2x)e3x

3x?3xe23 、

r?4?0,r1?2i,r2??2i令y?x(acos2x?bsin2x),可解得a??18,b?018xcos2x*2

y?(c1cos2x?c2sin2x)?4

??(x)?e?x?(x)?xx?x0?(t)dt?x?(x)???(x)?e??(x),?(0)?1,??(0)?1r?1?0,r1?i,r2??i令y*?c1e,可解得c1?x2

12故?(x)?c2cosx?c3sinx?12ex又由于?(0)?1，??(0)?1，可得c2?12，c2?1212，12sinx?12ex

故?(x)?cosx?复习题

一、判断题 (1) ×；(2) √ 二

C; A; C 三

1 y?c1ex?c2xex; 2 y?3 y*?x(ax?b)?cxe四 1

11?y22212c1x?c2x?e2?x?c3;

?4x

dy?2x1?x2dx,arctany?ln(1?x)?c2y?0,x?1,c??ln2特解：arctany?ln1?x22

2

y?ux,u?xdydx?u?xdudx3xdxdudx?u?3tanu,cotudu?3lnsinu?lnx?lncsinu?cx,通解为：sinyx?cx33

3

z?y,dydxdzdx??y?1dzdx2??y?2dydxdzdx ?2xz??2x

2222xdx?2xdxx?xxz?e?(??2xe?dx?c)?e(??2xedx?c)?1?ce通解为：y?11?cex24

r?3r?2?0,r1?1,r2?22*x y?e(a1sinx?a2cosx),a1??1,a2??1

通解为：y?c1e?c2ex2x?e(sinx?cosx)x

习题七

一．??? √√√√

二．A D C

?????三．xoy面 (-2,3,0) -2a a?b a?b 23 yoz坐标面

四．cos???12,cos???22,cos??12 （

12,22,?12）

五． （1）（－1，3，3） （2）23 （3）cos???33,cos??33,cos??33

习题八

一．????√ 二．C D

三．1．（－4，2，－4） 2. －10, 2

?3. 7 4. 5. 22

4四．S?152

五．?193（5，－8，2）

习题九

一．DCC

二．1. 3x?7y?5z?14?0 2.（1，－1,3） 3.

103 4. －4, 3

三．x?7y?8z?12?0 四．9x?y?3z?16?0

五．面方程：y?3x　　或　　x?3y?0

习题十

一． D B A C 二．1． 2. 3．－1 三．直线方程：

x?19?y?12?z?1?5x?10?y?21y?11?z?30z?13

，参数方程：

x??ty??tz??t

x?1?2??

四．x?5y?z?1?0

习题十一

一．?√? 二．CDDCC

三．1．?2 2. x2?y2?z2?3 3. y2?z2?5x 4. 四．1．由xoz面上的曲线z?2x2绕z轴旋转得到的

x2?3

2．由xoy面上的曲线

9?y24?1绕x轴旋转得到的

习题十二

一．?√? 二．BD 三．1．点（?43,?17343173），过点（?,?,0）平行于z轴的直线

?x2?y2?1,　　　(0,0,3),　　1　2．?

z?3??y?(x?1)23． ?

?z?2x?13?x?cos??2?3?四．?y?cos?

2??z?3sin????x2?y2?x?y?1五．在xoy平面的投影曲线?

?z?0?x2?(1?y?z)2?z 在yoz平面的投影曲线?

?x?0?x2?(1?x?z)2?z在xoz平面的投影曲线?

y?0?

第五章 复习题

一．?√√??

二．BBB

三．1． 0 2. (x?3)?(y?1)?(z?1)?21 3. (x?y)?(z?1)?3/2

4. 2 5. x?z?y,z?x?y

2242222222

6．

x?212?y?320?z?123

5665x?1 n?arc si1133y?6?3z?32四． (?1,6,3) ??arcsin五．(2,9,6) 六．

19?35?

(x?1)?(y?2)?(z?1)?49

习题十三

一．

? √ ?

二、D C 三、 1、

f(x,y?) yx2、 0 3、 {(x,y)四、 1、 13 2、 6 3、

12sin(x?y)?1?0}

22

xyx?yxyx?y4224五、由于(x,ylim)?(0,0)y?x242?limx1?xx444x?02?0，

(x,y)?(0,0)2y?xlim?limx?0x?x?12所以极限不存在

习题十四

一．

? ?

二、D B 三、1、

?8

2、 0 四、 1、2、4、

?z?x?2xy3cotxy23; ?z?y??3xy24cotxy23

332?z?x?u?x?15x2ln(x?y)323322(x?y)22y22; ?z?yy22?5yln(x?y)x?y?u?z32 y22?yzxz?1; ?u?y?2ylnxz2xz; ??2ylnxz32xz

五、 1、2、

?z?x?z?x?ylny; x?z?x?y2?yx?1(1?xlny )

?2xln(x?y)?22x23x?y; ?z?x?y2?2xy(x?y)22

习题十五

一．

? ?

dzdt?6t?12t2232二、D C 三、1、2、du?3、

dzdx? yz1?(3t?4t?2)yz?1yzxdx?zx2xyzlnxdy?yxlnxdz

3x?2e1?(x?e322x)2

四、 1、

?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)??dz??0.125542;

2、?z3、

?z?x?1y2f1??yf2?; ?z?y?z2??xy2f1??2xyf2?

?x?2xf??yg?; ?x?y2?6xyf???g??yg??

4、令u?2x?y, v?3x?2y则

?z?x??z?u?u?x??z?v?v?x?2vuv?1?3ulnu?3(2x?y)3x?2yv

ln(2x?y) ?2(3x?2y)(2x?y)3x?2y?1五、证明：

x?z?x?y?z?y?x[y?F(u)?yxF?(u)]?y[x?F?(u)] ?xy?xF(u)?yF?(u)?xy?yF?(u) ?z?xy

习题十六

一、 1.×2. × 二、 D B C 三、 1. 3 2.

6xy?3e223xy1?eu

四、 1.

cosy?4xyyx3

a) zx?? zy?2xze?xyz

b) zx??

2z?2ye2x?ye2?2xy?z zy?e?z?4xye?z?2xy22x?ye

习题十七

一、 × × 二、 C C 三、 1．?255 2．(3,?12.?6) 3．?118(1,2,3)

四、 1．

7550 2．22(?6e?4?1)

3．

3?222 4．0

习题十八

一、 × × 二、 B A

三、 1．x?2y?3z?14?0

2．x?6y?10z?17?0 四、 1．x?3?42?y4?z?1?12 x?4y?12z?112?0

2．x??2?1?y?1?z?22 x?y?2z??22?43．12x?18y?z?30?0 x?1?y?1?z12181

习题十九

一、 × ?

二、 B A D

三、 1．36 2．18 四、 1．(1,3)为极大值点，极大值为10 2．?e?1?4 3． 极大值6, 极大小值?2

五、 x?6,y?6,z?3

复习题

一、 ? × 二、 D C

三、 1．xy 2．sin(x2?y2)?1?0 3．?(x,y)1?x2?y2?6且x2?y2?5? 4．0

?0

四、 1．

?u?x3?2xyzf1??yf2??2xf3?

2．dz?13xz?4yz222322[(2x?2xz)dz?(4yz?3y)dy

3．2(5e?5?16)

习题二十

一、 1．

23?R 2．0 3．6?

3二、 A B 三、 1．0?I??2 2．36??I?100?

习题二十一

一、 1.

234020 2．

2916 3. ?24320 4．(1?cos1)

38二、 1．?dy?f(x,y)dx

y

习题二十二

一、 1．?(1?e) 2．二、 1．14a4 2．三、 ?(1?cos1) 四、

习题二十三

一、 1．2?a 2．0

R0R?x022?123R(33?2?323)

2?3(b?a)

332?a

42二、 1．

?dx?dy?R?x?y0222f(x,y,z)dz

2． 三、 1．

1?21?1dx?1?x2?1?x2dy?2?x22x?2y2f(x,y,z)dz

(ln2?58) 2．

1445

四、 64?

习题二十四

一、1、?2?0d??d??(?cos???sin?)?dz 2、

011??22?0?20d??d??rsin?dr

0a3?二、1、原式=???z?d?d?dz??2?2??2d??2cos?0d??z?dz?01169

2、原式=????d?d?dz?3??2?0d??d??10222?2?dz?316?3

8?a54三、原式=???rsin?drd?d???3?32?0?d??4d??02?02acos?0rsin?dr?3(1?28)

?四、1、原式=???rsin?drd?d????d??20d??cos?0rsin?dr?3?10

2、原式=???z?d?d?dz???2?0d??d??1028??22?2z?dz?28?3

习题二十五

一、A???D??z???z?1?????dxdy???x?y????1022??D1?x?ydxdy?22??D1???d?d?2

?=?2d??01???d??2?6(22?1)

二、

?M???Dxydxdy?2??xydxdy?2???cos?sin?d?d??2?d??30D1D132cos?1?cos?sin?d??398三、将扇形顶点放在坐标原点，取y轴为中心轴，则质心为(0,y)

y?1A??Dydxdy,A?12a?2???a22???Dydxdy????sin?d?d??D2????z?d?d?dz? )

???2????d???sin?d??0a22a33

sin?2y?2asin?3?， 质心为(0,22asin?3?四、Iy???xDdxdy????D23cos?d?d??2?2??2d??2Rcos?0?cos?d??325?R44

五、（1）V???(xD2?y)dxdy??a?adx?(x?y)dy??aa228a324

7a2（2）x?0,y?0,z?21V???zdv?V??1a?adx?a?ady?x?y02zdz?15

质心为(0,0,7a152 )

（3）Iz????(x?y)?dv???2a?adx?a?ady?x?y022(x?y)?dz?2211245a?6

第七章 复习题

一、 1、?dy?011?1?y2?y2f(x,y)dx 2、e?e?2 3、?14?R1553 4、4?R

二、BCA

?3三、原式=???d?d?D??40d??1?d???216

45四、原式=????d?d?dz??3?2?0d??d??10482?2?dz?33?

五、A???D??z???z?1?????dxdy???x?y????4222??D1?ca?22?cb?4022dxdy?124ab?bc?ac222222

415六、原式=???rsin?cos?sin?drd?d???d??d??0?20rsin?cos?sin?dr?2

习题二十六

一、1、?a3t(1?t2)dt 2、2

02?二、BA

三、1、原式=2?1?1?2?2 2、 原式=?20t21(ecost)?(esint)?(e)t2t2(x?)?(y?)?(z?)dt?1222?203e2e2ttdt?32(1?1e2)

3、原式=?(x?y)ds??(x?y)ds??(x?y)ds??xdx?2??ydy?1?2

OAABOB002n2n2n?14、原式=? Rds?R?s?2?R?L15、AB的方程为

x0?y0?z1，即参数方程为x?0,y?0,z?t

同理可得BC,CD的参数方程分别为

x?t,y?0,z?2 I? x?1,y?t,z? 2xyzds?2?ABxyzds?2?BC?CDxyzds?0?0?2?302tdt?9

习题二十七

一、1、?1394

3232、?(10t3?5t2?9t?2)dt，

0

二、BC

1122三、1、（1）原式=?2xdx?1 （2）原式=??(x?x)?(x?x)?2x???dx?1

00（3）原式=?(0?y)dy??(x?1)dx?1

00112、圆弧的参数方程为：x?cost,y?sint

22costsintcost?costsint(?sint)?原式=????dt?0??4

3、圆的参数方程为：x?a?acost,y?asint 原式=??

2?0a(1?cost)asint(?asint)dt??a3

习题二十八

一、1、??L(3x?y)dx?(2y?x)dy2、x?F?y?F?x???2dxdyD?4?

?y

二、DD

三、1、P?x2y,Q?y2x

I???(D?Q?x??P?y)d????(yD2?x)d??2???D3(sin??cos?)d?d?22

???2??2d??2cos?0?(sin??cos?)d????

3222、I?1R2??Lxdy?ydx?1R2??2d??D2R2??R?2?2

3、P?2x?y?4,Q?3x?5y?6

I???(D?Q?x??P?y)d????4d?D?4??12

四、P?2xcosy?y2sinx,Q?2ycosx?x2siny

?P?y??2xsiny?2ysinx,?Q?x??2ysinx?2xsiny

??P?y??Q?x2，?积分与路径无关

3原式=?2xdx??(2ycos2?4siny)dy?9cos2?4cos3

00习题二十九

三、1、

2、?的方程为：z?4?x2?y2

ds???z???z?1?????dxdy????x???y?221?4x?4ydxdy22

原式=??(2?x2?y2)1?4x2?4y2dxdy?Dxy37?10

3、?的方程为：z?3(x2?y2) ds???z?2??z?1???dxdy?dxdy ????x?y3????22原式=??(x2?y2)Dxy23dxdy?23??Dxy?d?d??323?2?0d??303?d??33?

3、?:z??a2?x2?y2 ds???z???z?1?????dxdy????x???y?aa?x?yaya?x?y22222222aa?x?y222dxdy

原式=

??(x?y?a?x?y)?Dxy222dxdy???Dxyaxa?x?y3222dxdy???Dxydxdy???adxdyDxy

??a????a

习题三十

一、1、??(Pcos??Qcos??Rcosr)ds 2、0

?二、1、C 2、C

三、1、原式=2??(2?x?y)dxdy?2?dx?0Dxy22?x0(2?x?y)dy?83

2、?:z??a2?x2?y2 原式=???x2y2(?a2?x2?y2)dxdy?Dxy???Dxy5cos?sin?22a??d?d?22

??2?0d???cos?sin?0a522a??d??222?a1057

3、 原式=

81?四、（1）n?(3,2,23)?n3223???en?(,,)?(cos?,cos?,cos?) ?n555

原式=?????23?5?R?P?Q?ds55?32

?（2）n??(?2x,?2y,?1)?外侧法向量n?(2x,2y,1)

?n2x2y1???en?(,,)?(cos?,cos?,cos?) ?222222n1?4x?4y1?4x?4y1?4x?4y?R?原式=???22???1?4x?4y2xP1?4x?4y22???ds

221?4x?4y??2yQ习题三十一

一、1、108? 2、yexy?xsinxy?2zcos(xz2) 3、(2,4,6)

222二、1、原式=???(z?x?y)dv?????rsin?drd?d?

?4 =?2?0?0d??2d??rsin?dr?0a42?a55

2、原式=???(1?1?1)dv?3V?81?

?3、原式=???(4z?2y?y)dv???10dx?dy?(4z?y)dz?001132

三、1、?20?

2、0 3、9?

第八章 复习题

一、 1、

32 2、?? 3、

????xdv 4、

V?P4?a33

二、 B

三、 1、 ? 2、 ?3?ab 3、 288? 四、I?五、I?

3?R 1522

习题 三十二 常数项级数的概念与性质

一、× × √ × 二 D B A 三1、 1

2、u1?un?1 u1; 3、

1(2n?1)(2n?1)

4、 2

四 发散; 发散; 发散; 发散; 发散

?五 ?级数?(n?1)(un?1?un)收敛

n?1 ?

limsn?2(u2?u1)?3(u3?u2)???(n?1)(un?1?un)n??存在

??(u1?u2?u3???un)?(n?1)un?1?u1?而limnun?0,得到级数?un的部分和收敛,得到此级数收敛.

n??n?1习题三十三 正项级数及审敛法

一 × √ √ 二 1、p<-2; 2、?? 3、??12

1?n231?n三 1、 limn??1n?1,此级数发散;

sin?2nn2 、limn???2tan?1,此级数收敛;

?n?n?133、 limn??3?n?n?1?1,此级数收敛;

4、 ??1时收敛, ??1时发散 四、 1 发散; 2 收敛; 3 收敛 五、 收敛

?六 、级数?n?12n!nnn,limun?1unn???lim2(n?1)n(n?1)nn??n?1?lim2[(1?n??1n?1)?(n?1)](1??11n?1)?1?2e

此级数收敛,得lim2n!nnnn???0

习题 三十四 交错级数,绝对收敛与条件收敛

一 C D C C

二 1 绝对收敛; 2 发散; 3 a?1时绝对收敛,a?1发散; 4 绝对收敛; 5 条件收敛; 6 条件收敛

三 unvn?un?vn222,(un?vn)?2(un?vn),即可得到级数收敛.

222习题三十五 幂级数

一B D D A B 二1、 [?3,3); 2 、(?2,2); 3、 [4,6)

x22(x)?三 1 (?1,1),s(1?x);

2 、

(?1,1), s(x)?2212212lnx?1x?1,

x?, ln2?12?1习题三十六 函数展开成泰勒级数

?一 1、

?(n?1)!xn?1n?1;

2、 an??(?1)2n2n?2;

3 、?(?1)n?0?nx4n?1(4n?1)(2n)!nn;

4、

?n?0?(lna)n!nxn?1x

5 、?n?1(n?1)!1? ，1

二 1、

?(?1)2n?1?n?14nx2n(2n)!1,x?R;

2、 x??n?0(?1)n(n?1)(n?2)?xn?2,x?(?1,1]

三 、

1x?3(1?1x?33)??n?0(?1)n13n?1(x?3),x?(?10,6)

n四 、

1x?3x?2?2?11?x1?12?x??3(1?1x?43)?2(1?1x?42)

??n?0(12n?1?3)(x?4),x?(?6,?2)n?1?n?nn五

(lnx)n!(n)?(?1)x?2n?11n2,lnx?ln2??n?1(?1)n?11n2(x?2),x?1,ln2?n?n2n?11n

习题三十七 傅里叶级数

一、 B B A 二 、s(?三、

32?)?1??2,s(?)?1,s(2?)?1,s(1972?)?1??2

x?2k?,f(x)?bn?1012,x?(2k?1)?,f(x)?122??[?xsinnxdx?????0(x?1)sinnxdx]???0xsinnxdx?1???0sinnxdx??2??nxcosnx0?2?2?n?sinnx0?1cosnx???n0?2??2,n?1,3...??n?????2,n?2,4...??na0?an??21?1[?xdx???00?0(x?1)dx]?1??0dx?12

?[?xcosnxdx?????0(x?1)cosnxdx]?????0xcosnxdx?n1???0cosnxdx??nxsinnx0?2?n2cosnx0?4n?21sinnx??n?(?1)04n?2,f(x)?12?(2??2?cosx?sinx)??(x?R,x?k?)四、

an?1?n??x??2cosnxdx?2???02sinnx?4xcosnxdx?[]0??nn?2??0xsinnxdx?(?1)4n?2

a0?1???x?2dx?2?32

bn?0f(x)??2?3?2?n?1(?1)n4n2cosnx,x?[??,?]f(x)??2?3??n?1(?1)n4n2cosnx,x?[??,?]

x?0,??132?4?(?1?4(1??1222???)20 x??,?1223??)??

?(2n?1)n?1?28复习题

一 √ √ × × ×

二C C D 三 1、 [?1,1); 2 、a>1;

3 、 2; 4、 1 2; 5、 x???2?4?x(cosx?132cos3x??),x?[0,?];

6、

?2n?012n?22n?1

四、 1 发散; 2 收敛; 3 收敛; 4 发散 五、 1 条件收敛;2 条件收敛 六、 limun?1un?lim3n?1n?5n?1nnn?1n??n??3?5?5,R?15,[?11,) 55七、 s(x)?arctanx,x?(?1,1] 八、 2e

3 、 2; 4、 1 2; 5、 x???2?4?x(cosx?132cos3x??),x?[0,?];

6、

?2n?012n?22n?1

四、 1 发散; 2 收敛; 3 收敛; 4 发散 五、 1 条件收敛;2 条件收敛 六、 limun?1un?lim3n?1n?5n?1nnn?1n??n??3?5?5,R?15,[?11,) 55七、 s(x)?arctanx,x?(?1,1] 八、 2e

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