河北省2018年中考数学一模试卷()

2018年河北省中考数学一模试卷

一、选择题：本大题共16小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．下列计算正确的是（ ）

A．﹣2+|﹣2|=0 B．2÷3=0 C．4=8 D．2÷3×=2 3．有一种圆柱体茶叶筒如图所示，则它的主视图是（ ）

0

2

A．B． C． D．

4．已知点P（x+3，x﹣4）在x轴上，则x的值为（ ） A．3

B．﹣3 C．﹣4 D．4

5．如图，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE的长为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

6．2018年4月6日22：20某市某个观察站测得：空气中PM2.5含量为每立方米23μg，1g=1000000μg，则将23μg用科学记数法表示为（ ） A．2.3×10﹣7g

B．23×10﹣6g C．2.3×10﹣5g

D．2.3×10﹣4g

7．在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生

成绩的（ ）

A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差

8．如果代数式﹣2a+3b+8的值为18，那么代数式9b﹣6a+2的值等于（ ） A．28 B．﹣28 C．32 D．﹣32

9．父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（ ） A．

B．

C．10．已知a=

D．

，则

2

=（ ）

2

，b=

A．2a B．ab C．ab D．ab

11．如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（ ）

A．11 B．16 C．19 D．22

12．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）

A．勾股定理

B．直径所对的圆周角是直角

C．勾股定理的逆定理

D．90°的圆周角所对的弦是直径

13．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C．

D．

14．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（ ）

A．12 B．8 C．4 D．3

=，那么

等于（ ）

15．如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果

A． B． C． D．

16．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线

（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平

移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（ ）

A．1

B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共3小题，共10分，17-18题各3分，19小题有2个空，每空2分． 17．函数y=

的自变量x的取值范围是 ．

18．如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β= ．

19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB上中线CD，得到第1个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第2个三角形DEF；依次作下去…则第1个三角形的面积等于 ，第n个三角形的面积等于 ．

三、解答题：本大题共7小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．” 操作步骤如下：

第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方； 第二步：把第一步得到的数乘以25；

第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．

（1）若小明同学心里想的是数9．请帮他计算出最后结果． [（9+1）2﹣（9﹣1）2]×25÷9

（2）老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a（a≠0）．请你帮小明完成这个验证过程．

21．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AB=CD，请你再添加个条件，使得AE=DF，并说明理．

22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．

23．阅读对话，解答问题：

（1）分别用a、b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a，b）的所有取值；

（2）求在（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b=0有实数根的概率．

24．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2

，求BC的长．

25．某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元． （1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？

（2）该商店计划一次购进两种型号的手机共110部，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍．设购进B型手机n部，这110部手机的销售总利润为y元． ①求y关于n的函数关系式；

②该手机店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？

（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元，且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．

26．如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

2018年河北省中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共16小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．

【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误； B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误； C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误． 故选：C．

2．下列计算正确的是（ ）

A．﹣2+|﹣2|=0 B．20÷3=0 C．42=8 D．2÷3×=2 【考点】零指数幂．

【分析】根据绝对值的规律，及实数的四则运算、乘法运算． 【解答】解：A、﹣2+|﹣2|=﹣2+2=0，故A正确； B、2÷3=，故B错误； C、42=16，故C错误； D、2÷3×=，故D错误． 故选A．

0

3．有一种圆柱体茶叶筒如图所示，则它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：主视图是从正面看，茶叶盒可以看作是一个圆柱体，圆柱从正面看是长方形． 故选：D．

4．已知点P（x+3，x﹣4）在x轴上，则x的值为（ ） A．3

B．﹣3 C．﹣4 D．4

【考点】点的坐标．

【分析】直接利用x轴上点的纵坐标为0，进而得出答案． 【解答】解：∵点P（x+3，x﹣4）在x轴上， ∴x﹣4=0， 解得：x=4， 故选：D．

5．如图，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE的长为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【考点】三角形中位线定理．

【分析】已知DE是△ABC的中位线，BC=8，根据中位线定理即可求得DE的长．

【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8， ∴DE=BC=4， 故选B．

6．2018年4月6日22：20某市某个观察站测得：空气中PM2.5含量为每立方米23μg，1g=1000000μg，则将23μg用科学记数法表示为（ ） A．2.3×10﹣7g

B．23×10﹣6g C．2.3×10﹣5g

D．2.3×10﹣4g

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：23μg=23÷1000000g=0.000 023g=2.3×10﹣5g． 故选：C．

7．在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）

A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【考点】统计量的选择．

【分析】由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义分析． 【解答】解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的， 而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数， 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了， 故选：A．

8．如果代数式﹣2a+3b+8的值为18，那么代数式9b﹣6a+2的值等于（ ） A．28 B．﹣28 C．32 D．﹣32 【考点】代数式求值．

【分析】先求得代数式﹣2a+3b的值，然后将所求代数式变形为3（﹣2a+3b）+2，最后将﹣

﹣n

2a+3b的值整体代入求解即可． 【解答】解：∵﹣2a+3b+8=18， ∴﹣2a+3b=10．

原式=3（﹣2a+3b）+2=3×10+2=32． 故选：C．

9．父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（ ） A．

B．

C． D．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】根据题意可得两个等量关系：①爸爸的身高+儿子的身高=3.2米；②父亲在水中的身高（1﹣）x=儿子在水中的身高（1﹣）y，根据等量关系可列出方程组． 【解答】解：设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，由题意得：

，

故选：D． 10．已知a=

，b=

，则

2

=（ ）

2

A．2a B．ab C．ab D．ab 【考点】算术平方根．

【分析】将18写成2×3×3，然后根据算术平方根的定义解答即可． 【解答】解：故选D．

11．如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交

=

=

×

×

=a?b?b=ab2．

于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（ ）

A．11 B．16 C．19 D．22

【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．

【分析】首先由四边形ABCD为矩形及折叠的特性，得到B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，∠B′EC=∠DEA，得到△AED≌△CEB′，得出EA=EC，再由阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，即矩形的周长解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90° ∵∠B′EC=∠DEA， 在△AED和△CEB′中，

，

∴△AED≌△CEB′（AAS）； ∴EA=EC，

∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC， =AD+DE+EC+EA+EB′+B′C， =AD+DC+AB′+B′C， =3+8+8+3， =22， 故选D．

12．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）

A．勾股定理

B．直径所对的圆周角是直角 C．勾股定理的逆定理

D．90°的圆周角所对的弦是直径

【考点】作图—复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理．

【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断． 【解答】解：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径画弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角． 故选：B．

13．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C．

D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．

【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，

由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴，

∴∠DAO+∠AOD=180°， ∴∠DAO=90°，

∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠OAB=∠DAC， 在△OAB和△DAC中，

，

∴△OAB≌△DAC（AAS）， ∴OB=CD， ∴CD=x，

∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1， ∴y=x+1（x＞0）． 故选A．

14．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，

若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（ ）

A．12 B．8 C．4 D．3

【考点】等边三角形的性质．

【分析】过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．

【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H， 则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得， 四边形PGBD，EPHC是平行四边形， ∴PG=BD，PE=HC， 又△ABC是等边三角形，

又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形， ∴PF=PG=BD，PD=DH， 又△ABC的周长为12，

∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4， 故选：C．

15．如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果

=，那么

等于（ ）

A． B． C． D．

【考点】平行线分线段成比例． 【分析】由平行线分线段成比例定理得出【解答】解：∵DE∥AB， ∴

=，

=，再由角平分线性质即可得出结论．

∵AD为△ABC的角平分线， ∴

=；

故选：B．

16．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线

（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平

移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】反比例函数综合题．

【分析】作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F，易证△OAB≌△FDA≌△BEC，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得G的坐标，则a的值即可求解． 【解答】解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F． 在y=﹣3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B的坐标是（0，3）． 令y=0，解得：x=1，即A的坐标是（1，0）． 则OB=3，OA=1． ∵∠BAD=90°， ∴∠BAO+∠DAF=90°，

又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°， ∴∠DAF=∠OBA， ∵在△OAB和△FDA中，

，

∴△OAB≌△FDA（AAS）， 同理，△OAB≌△FDA≌△BEC， ∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，

故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4）．代入y=得：k=4，则函数的解析式是：y=． ∴OE=4，

则C的纵坐标是4，把y=4代入y=得：x=1．即G的坐标是（1，4）， ∴CG=2． 故选：B．

二、填空题：本大题共3小题，共10分，17-18题各3分，19小题有2个空，每空2分． 17．函数y=

的自变量x的取值范围是 x≤0.5且x≠﹣1 ．

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，让被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，1+x≠0， 解得：x≤0.5且x≠﹣1． 故答案为：x≤0.5且x≠﹣1．

18．如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形

成的锐角分别为α、β，则α+β= 90° ．

【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：过C作CE∥m， ∵m∥n， ∴CE∥n，

∴∠1=∠α，∠2=∠β， ∵∠1+∠2=90°， ∴∠α+∠β=90°， 故答案为：90°．

19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB上中线CD，得到第1个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第2个三角形DEF；依次作下去…则第1个三角形的面积等于

a2 ，第n个三角形的面积等于

．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD，然后判定出△ACD是等边三角形，同理可得被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，再根据后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形的边长的一半求出第n个三角形的边长，然后根据等边三角形的面积公式求解即可．

【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD=AD， ∵∠A=60°，

∴△ACD是等边三角形，

同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形， ∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…， ∴第一个等边三角形的边长CD=DB=AB=AC=a， ∴第一个三角形的面积为

a2，

第二个等边三角形的边长EF=DB=a， …

第n个等边三角形的边长为

a，

所以，第n个三角形的面积=×a×（?a）=．

故答案为

a，

2

．

三、解答题：本大题共7小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．” 操作步骤如下：

第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方； 第二步：把第一步得到的数乘以25；

第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．

（1）若小明同学心里想的是数9．请帮他计算出最后结果．

[（9+1）﹣（9﹣1）]×25÷9

（2）老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a（a≠0）．请你帮小明完成这个验证过程． 【考点】整式的混合运算．

【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果； （2）根据题意列出关系式，化简得到结果，验证即可． 【解答】解：（1）[（9+1）2﹣（9﹣1）2]×25÷9 =18×2×25÷9 =100；

（2）[（a+1）﹣（a﹣1）]×25÷a =4a×25÷a =100．

21．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AB=CD，请你再添加个条件，使得AE=DF，并说明理．

2

2

22

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】根据AB∥CD，得到∠B=∠C，推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：添加条件为：∠A=∠D， 理由：∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， 在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF， ∴AE=DF．

，

22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）首先求得AB与x轴的交点，设交点是C，然后根据S△ABP=S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的横坐标．

【解答】解：（1）∵反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（3，1）， ∴3= ∴m=3．

∴反比例函数的表达式为y=．

∵一次函数y=kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2）． ∴解得：

， ，

∴一次函数的表达式为y=x﹣2； （2）令y=0，∴x﹣2=0，x=2，

∴一次函数y=x﹣2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）． ∵S△ABP=3，

PC×1+PC×2=3． ∴PC=2，

∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）．

23．阅读对话，解答问题：

（1）分别用a、b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a，b）的所有取值；

（2）求在（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b=0有实数根的概率． 【考点】列表法与树状图法；根的判别式． 【分析】（1）用列表法易得（a，b）所有情况；

（2）看使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b=0有实数根的情况占总情况的多少即可． 【解答】解：（1）（a，b）对应的表格为： a b 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （2）∵方程x2﹣ax+2b=0有实数根， ∴△=a2﹣8b≥0．

1 2 3

∴使a﹣8b≥0的（a，b）有（3，1），（4，1），（4，2）， ∴

24．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2

，求BC的长．

．

2

【考点】切线的判定．

【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论； （2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长． 【解答】（1）证明：连接OB，如图所示： ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠C+∠BAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠BAC=∠OBA， ∵∠PBA=∠C， ∴∠PBA+∠OBA=90°， 即PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切线； （2）解：∵⊙O的半径为2∴OB=2

，AC=4

，

，

∵OP∥BC， ∴∠C=∠BOP，

又∵∠ABC=∠PBO=90°，

∴△ABC∽△PBO， ∴即∴BC=2．

，

，

25．某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元． （1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？

（2）该商店计划一次购进两种型号的手机共110部，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍．设购进B型手机n部，这110部手机的销售总利润为y元． ①求y关于n的函数关系式；

②该手机店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？

（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元，且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．

【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，根据题意列出方程组求解；

（2）①据题意得，y=﹣50n+16500，

②利用不等式求出n的范围，又因为y=﹣50x+16500是减函数，所以n取37，y取最大值； （3）据题意得，y=150+n，即y=（m﹣50）n+16500，分三种情况讨论，①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，②m=50时，m﹣50=0，y=16500，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．

【解答】解：（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，

根据题意，得：，

解得：，

答：每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元；

（2）①设购进B型手机n部，则购进A型手机部， 则y=150+100n=﹣50n+16500， 其中，110﹣n≤2n，即n≥36，

∴y关于n的函数关系式为y=﹣50n+16500 （n≥36）； ②∵﹣50＜0，

∴y随n的增大而减小， ∵n≥36，且n为整数，

∴当n=37时，y取得最大值，最大值为﹣50×37+16500=14650（元）， 答：购进A型手机73部、B型手机37部时，才能使销售总利润最大；

（3）根据题意，得：y=150+n=（m﹣50）n+16500， 其中，36≤n≤80，

①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小， ∴当n=37时，y取得最大值，

即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大； ②当m=50时，m﹣50=0，y=16500，

即商店购进B型电脑数量满足36≤n≤80的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m＜100时，y随n的增大而增大， ∴当n=80时，y取得最大值，

即购进A型手机30部、B型手机80部时销售总利润最大．

26．如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与

y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值； （2）求出B、C、E点的坐标，进而求得△BCE的面积；

（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点，如答图1所示； （4）本问需分两种情况进行讨论：

①当△BEC∽△BCF时，如答图2所示．此时可求得m=

+2；

②当△BEC∽△FCB时，如答图3所示．此时可以得到矛盾的等式，故此种情形不存在． 【解答】解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得： 2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．

（2）令y=0，即

（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，

∴B（﹣2，0），C（4，0） 在C1中，令x=0，得y=2， ∴E（0，2）． ∴S△BCE=BC?OE=6．

（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．

如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）． 设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=当x=1时，y=，∴H（1，）．

（4）分两种情形讨论：

①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示． 则

，

x+2，

∴BC2=BE?BF．

由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°， ∴∠CBF=45°，

作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°， ∴BT=TF．

∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上， ∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m）， ∵x+2＞0， ∵x＞0，

∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）． 此时BF=又∵BC=BE?BF， ∴（m+2）2=∴m=2±∵m＞0， ∴m=

+2． ，

?

（m+1），

2

=2（m+1），BE=，BC=m+2，

②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示． 则

，

∴BC2=EC?BF． ∵△BEC∽△FCB

∴∠CBF=∠ECO， ∵∠EOC=∠FTB=90°， ∴△BTF∽△COE， ∴

∴可令F（x，

，

（x+2））（x＞0）

又∵点F在抛物线上， ∴

（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），

∵x＞0， ∴x+2＞0， ∴x=m+2， ∴F（m+2，

2

（m+4）），EC=，BC=m+2，

又BC=EC?BF， ∴（m+2）=

2

?

整理得：0=16，显然不成立．

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=

+2．

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