2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二

一、填空题（64分）

1．设集合A?{a1,a2,a3,a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B?{?1,3,5,8}，则集合A? ．

2．函数

f(x)?x?1x?12的值域为 ．

1a?1b?223．设a,b为正实数，4．如果cos?55，(a?b)32?4(ab)3，则logab? ． ，那么?的取值范围是 ．

?sin??7(sin??cos?)，??[0,2?)35．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答） 6．在四面体ABCD中，已知?ADB??BDC??CDA四面体ABCD的外接球的半径为 ．

7．直线x?2y?1?0与抛物线y2?60?，AD?BD?3，CD?2，则

?4x交于A,BC为抛物线上的一点，两点，?ACB?90?，

则点C的坐标为 ．

8．已知an?C

n200?36??200?n?1??(n?1,2,?,95)????2??n，则数列{an}中整数项的个数为 ．

二、解答题（56分）

9．（16分）设函数f(x)?|lg(x?1)|，实数a,b(a?b)满足

f(10a?6b?21)?4lg2，求a,bf(a)?f(?b?1b?2)，

的值．

10．（20分）已知数列{an}满足：a1?2t?3(t?R且t??1)，

an?1?(2tn?1?3)an?2(t?1)t?1an?2t?1nn(n?N)*．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）若t

?0，试比较an?1与an的大小．

11．（20分）作斜率为的直线l与椭圆C：

3P(32,2)在直线l1x236?y24?1交于A,B两点（如图所示），且

y P O A x B 的左上方．

（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若?APB?60?，求△PAB的面积．

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二

参考答案

1．{?3,0,2,6}. 提示：显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以

3(a1?a2?a3?a4)?(?1)?3?5?8?15，

故a1?a2?a3?a4?5，于是集合A的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合A?{?3,0,2,6}．

2．(??,?22]?(1,??). 提示：设x?tan?,?1f(x)?1cos???tan??1sin??cos?12sin(??1u?2????2，且???4，则

?4．

)22设u?2sin(???4)，则?2?u?1，且u?0，所以 f(x)??(??,?]?(1,??)．

3．-1. 提示：由

1a?1b?22，得a?b?222ab．又

33(a?b)2?4ab?(a?b)?4ab?4(ab)?4?2ab?(ab)?8(ab)2，

即

a?b?22ab． ①

于是

a?b?22ab． ②

??a??1．与②联立解得???b?2?1,2?1,再由不等式①中等号成立的条件，得ab故logab??1．

4．????4,5???4?或???a???b?2?1,2?1,

. 提示：不等式

cos??sin??7(sin??cos?)5533

等价于

sin??317sin??cos??5317cos?5. ，故

又

f(x)?x?317x5是(??,??)上的增函数，所以sin?2k???cos??4???2k??5?4(k?Z)．

因为??[0,2?)，所以?的取值范围是????4,5???4?．

5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有C37?5!?C5?5!?36001种方案；

2（2）有两个项目各有2人参加，共有所以满足题设要求的方案数为3600

12(C7?C5)?5!?C5?5!?1140022种方案；

?11400?15000．

6．3. 提示：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P,M分别为AB,CD的中点，则N在DP上，且ON?DP，OM?CD．

因为?CDA??CDB??ADB?60?，设CD与平面ABD所成角为?，可求得

cos??13,sin??2312232332．

在△DMN中，DM由余弦定理得

MN2?CD?1,DN??DP???3?3．

M C ?1?(3)?2?1?3?2213?2，

D

O N A

B P

故MN?2．四边形DMON的外接圆的直径

MNsin?223OD???3．

故球O的半径R?3． 7．(1,?2)或

2(9,?6)．提示： 设

A(x1,y1),B(x2,y2),C(t,2t)2，由

?x?2y?1?0,?2?y?4x,得

y?8y?4?0，则y1?y2?8，y1?y2??4．

，

又x1?2y1?1,x2?2y2?1，所以

x1?x2?2(y1?y2)?2?18x1?x2?4y1?y2?2(y1?y2)?1?1．

因为?ACB?90?，所以CA?CB?022，即有

，

(t?x1)(t?x2)?(2t?y1)(2t?y2)?0即

t?(x1?x2)t?x1?x2?4t?2(y1?y2)t?y1?y2?0，

422

即

t?14t?16t?3?042，

即

(t?4t?3)(t?4t?1)?0．

22显然t2?4t?1?0，否则t2?2?2t?1?0，则点C在直线x?2y?1?0上，从而点C与点A或点B重合．所以t2?4t?3?0，解得t1??1,t2??3．

故所求点C的坐标为(1,?2)或(9,?6)．

200?n400?5n8．15. 提示：an?C

n200?33?26．

200?n400?5n,36要使an(1?n?95) 为整数，必有

均为整数，从而6|n?4．

200?n3当n?2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，以an为整数，共有14个．

当n?86和

400?5n6均为非负整数，所

时，a86?C

86?320038?2?5，在C

86200?200!86!?114!中，200!中因数2的个数为

，

86200?200??200??200??200??200??200??200?????2???3???4???5???6???7??1972???2??2??2??2??2??2?同理可计算得86!中因数2的个数为82，114!中因数2的个数为110，所以C个数为197当n?82?110?5中因数2的

，故a86是整数．

92?92时，a92?C

?320036?2?10，在C

8620092200?200!92!?108!中，同样可求得92!中因数2的个数为

?88?105?488,108!中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为197，故a92不是整数．

因此，整数项的个数为14?1?15． 9．因为

f(a)?f(?b?1b?2)，所以

b?1b?2?1)|?|lg(?b|lg(a?1)|?|lg(?1b?2)|?|lg(b?2)|，

b?2所以a?1?b?2或(a?1)(b?2)?1，又因为a又由f(a)?|lg(a?1)|有意义知0?于是

，所以a?1?，

，所以(a?1)(b?2)?1．

a?1，从而 0?a?1?b?1?b?20?a?1?1?b?2．

10b?2所以

(10a?6b?21)?1?10(a?1)?6(b?2)?6(b?2)??1．

从而

f(10a?6b?21)?|lg[6(b?2)?10b?2]|?lg[6(b?2)?10b?2]．

又

f(10a?6b?21)?4lg2，

所以

lg[6(b?2)?10b?2]?4lg2，

故6(b?2)?把b10b?213?16 ．解得b??13或b． ??1（舍去）

??25??代入(a?1)(b?2)?1解得a25．

所以

a??，b??13．

10．（1）由原式变形得

an?1?2(tn?1?1)(an?1)nan?2t?1?1，

则

2(an?1)an?1?1tn?1?1?2(an?1)an?2t?1n?t?1an?1?2nt?1?2n．

记又

an?1t?11bn?1n?bn，则bn?1??1bn?1,1?122bnbn?2，b1?a1?1t?1?2t?2t?1．

2b1，从而有

1bn?1b1?(n?1)?12?n2，

故

an?1t?1n?2n，于是有

?an?2(tan?n?12(t?1)nnn?1．

（2）a??1)n?1n?1n?1?2(t?1)nn

n?12(t?1)n(n?1)2(t?1)n(n?1)2(t?1)2?n(1?t???t?nt?(tn?t)?(n?1)(1?t???t)??2(t?1)n(n?1)n?2)?

nnn?1??(1?t???tn?1?(tn?1)?(t?t)???(t?t)?

?n?1n(n?1)?tn?2???1)?t(t?tn?3???1)???tn?1?，

显然在t?0(t?1)时恒有an?1?an?0，故an?1?an．

11．（1）设直线l：y将y?13x?m?13y2x?m，A(x1,y1),B(x2,y2)．

代入

x236?4?1中，化简整理得

2x?6mx?9m?36?0．

22于是有x1?x2??3m,x1x2?9m?3622，kPA?y1?2x1?32,kPB?y2?2． 则

x2?32kPA?kPB?y1?2x1?32(y1??y2?2x2?322)(x1?32)，

?2)(x2?32)?(y2?(x1?32)(x2?32)13上式中，

分子?(?2313x1?m?2)(x2?32)?(x2?m?2)(x1?32)

x1x2?(m?22)(x1?x2)?62(m?22)

2)

29m?36???(m?22)(?3m)?62(m?32?3m?12?3m?62m?62m?12?022，

从而，kPA?kPB?0．

又P在直线l的左上方，因此，?APB的角平分线是平行于y轴的直线，所以△PAB的内切圆的圆心在直线x?3（2）若?APB2上．

3,kPB??3?60?时，结合（1）的结论可知kPA?2?3(x?32)，代入

．

得

直线PA的方程为：y?x236?y24?1中，消去y14x?96(1?33)x?18(13?33)?02．

?32(13?33)14它的两根分别是x1和32，所以x1?32?18(13?33)14，即x1．所以

|PA|?1?(3)?|x1?32|?232(33?1)7．

同理可求得|PB所以

|?32(33?1)7．

S?PAB???12?|PA|?|PB|?sin60?132(33?1)32(33?1)3． ???2772117349.

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