1-3 圆周运动

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§1-3 圆周运动[ 本节主要内容 ] 1. 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度。 2. 圆周运动的角量表示。 3. 角量与线量的关系。 [ 重点 ] * 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度。 * 描述圆周运动的物理量(角位置、角位移、角速度、角加速度) * 圆周运动角量与线量关系。

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上讲主要内容回顾质点运动学两类基本问题

1.由质点的运动方程，求质点在任一时刻的位矢、速度和加速度 2 dv d r dr a 2 v r r t dt dt dt 2.已知质点运动的加速度及初始条件(初始速度和初始位置),求质点速度及其运动方程 . t t v dv v v0 t0 adt dv adt dv adt , v a t 0 0 dt t r t dr dr vdt r r0 t vdt dr vdt , r v 0 t0 0 dt

r (t )

求导

积分

v(t )

求导

积分

a (t )

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预备知识：平面极坐标 以 (r, ) 为坐标的参考系 . 与直角坐标系之间的变换关系为

yB

ro

A

x r cos y r sin

y

角向

y

O

r

径向

x

P(r, )x x

极轴

1.角坐标： 位矢 r 与 x 轴正方向之间

一 、圆周运动的角量描述

的夹角 (t ) 规定:逆时针为正，顺时针为负 方向由右手螺旋法则确定 2. 角位移：位矢转过的角度 逆时针转向为正,顺时针转向为负. 右手握拳竖起大拇指,四指 3.角速度：角位移对时间的变化率 指向旋转方向,拇指指向就 是角速度方向。

平均角速度 t d (t ) 角速度 (t ) dt 单位：rad.s-1 可以把角速度看成是矢量

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4.角加速度：角速度对时间的变化率 (rad s 2 ) 平均角加速度:d d 角加速度: dt dt 2 5.角量与线量的关系 速率—线速度大小 定义: 物体单位时间转过的弧长 S dS v lim t 0 t dt S r dS d( r ) rd v r dt dt dt2

t

y

ro

B s

A

x

v r 速率与角速度之间的瞬时关系

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二、匀速率圆周运动 速度大小不变,方向不断改变

vBr

2 v v 点A加速度指向圆心 r 2 lim t 0 t t 0 t r r 向心加速度或法向加速度 dv v2 记作 an 2 a r 大小： dt n r 反映了速度方向变化的快慢程 度，它是由速度方向变化引起 方向：始终指向圆心 由三角形相似及 vA vB v得 匀速率圆周运动是一种变速曲线 运动，向心加速度只改变质点的速 v r v v r , , 度方向，不改变速度的大小。 t r t v r

ds v et vet r et dt v dv a lim t

0 t dt t 0时, 0, v vA

ro en

B

v A v v AA

et

vB r

an lim

v

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v vt vn

三、变速圆周运动 切向加速度和法向加速度 速度的大小和方向均在不断变化

a

v2

v v n v2 e t B v1 v v1 en t

o A vt vn v r lim lim a lim t 0 t t 0 t t 0 t v n v 2 角量与线量的关系 en anen an lim t 0 t s R , ds Rd , r dS d( r ) d v d v t v r r a lim a e e t t t dt dt dt t t 0 t dt 切向加速度(速度大小变化引起) dv at an atet anen a dv d( r ) d r at r dt dt dt dt 2 2 a a a 大小： n t 法向加速度(速度方向变化引起) 2 2 1 an v ( r ) 2 方向： tan an r at r r

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dv at an atet anen a dt讨论： (1)对于一般的曲线运动仍适用 dv v2 at , an

et

enan

ata

dt

其中： 为曲率半径 .

et 切向:指向运动方向 en 法向:指向曲线凹侧自然坐标系:在平面曲线 运动中,以轨迹上任一点 的切向和法向组成的平面 坐标系。

2 d a an en at et en et dt

an 2 at 2 an arctan at

a

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(2)切向速度与切向加速度的关系 an 0, 0

at

0, 0 π, v增大 2 0, π, v 常量 2 0, π π, v减小2

a

y en

v

et

o a x a

(3)利用自然坐标, 一切运动可以 根据切向、法向加速度来分类： an= 0,at= 0 匀速直线运动

an= 0, at 0

变速直线运动

an 0,at = 0 匀速曲线运动 an 0,at 0 变速曲线运动

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讨论

对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：(反例:匀速率圆周运动 at (A)切向加速度必不为零；

dv 0) dt

(法向加速度改变运动方向) (B)法向加速度必不为零(拐点处除外);

(C)由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加 速度必为零； (D)若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；

(E)若物体的加速度 a 为恒矢量，它一定作匀变速率运动 .切向加速度只改变速度的大小 法向加速度只改变速度的方向

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例2 质点作半径为 R 的变速圆周运动的加速度大小为：

dv (1) dtdv v 2 (3) dt R

v2 (2) Rdv 2 v 2 2 (4) ( ) ( ) dt R

解：对变速圆周运动，加速度为

dv v 2 a at et anen et endt R2 d v v 2 2 2 2 ( ) ( ) | a | (at )

( an ) dt R

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例3 设有一个质点作半径为 r 的圆周运动. 质点沿圆周运动所经 历的路程与时间的关系为 s = bt2/2, 并设b 为一常量, 求: (1)此质 点在某一时刻的速率; (2)法向加速度和切向加速度的大小;(3) 总加速度.

ds d 1 2 bt ( bt ) 解： (1) v d t dt 2 dv d(bt) b (2) at dt dt22

et

en

ata

an (bt) v an r r 2 4 b t 12 2 2 12 b( 2 1) (3) a (at an ) r 2 an bt t an r at

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dt2 v 2 r 法向加速度 an r 1.匀速率圆周运动

四、角加速度 匀变角加速圆周运动公式 d d 2 0 , 0 若t 0时， 角加速度 2 ω t dt dt dω dt 切向加速度 a dv r ω 0t

0 t 1 2 θ θ 0 0 t t2 2 ( 0 )2 2 0

0

v2 2 a an en en R en 与匀变速率直线运动公式类似 R v v0 at 0 t 1 2 s s0 v0t at 2.匀变速率圆周运动 2dω 常量 dt

at 0

v v 2a(s s0 )2 2 0

dω dt

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例2 如图一超音速歼击机在高空A时的水平速率为1940km/h, 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B,其速率为2192 km/h ,所经历的时间 为3s,设圆弧 AB 的半径约为3.5km,且飞机从A到B的俯冲过程可视 为匀变速率圆周运动,若不计重力加速度的影响, 求(1)飞机在点B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程. km h 1 , t 3s, AB 3.5km 已知： vA 1940 km h 1 , vB 2192 解(1)在点B作一自然坐标系，因飞 vA A 机作匀变速率运动,所以 和 为常量 .

r a n

B

o

a

at

vB

dv at dt t vB t 分离变量有 v dv 0 at dt at 0 dtA

飞机在点B的切向加速度为

at

即vB v A at t at

vB v A 23.3m s 2 t

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vB v A at 23.3m s 2 t在点 B 的法向加速度为 2 vB an 106m s 2 r 在点 B 的加速度为

A

vAB

r a n

at

o

a

vB

at arctan 12.4 an (2)在时间 t 内矢径 所转

与法向之间夹角 为 a r

2 a at2 an 109m s 2

飞机经过的路程为

过的角度 为

1 2 s r r ( At t ) 2 1 r A t r t 2 2 1 2 v At a t t 2代入数据得 s

1 2 At t 2

1722m

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小结 d (t ) ( t ) 角速度 dt d d 2 角加速度 dt dt 2 ds 速度 v et v e t r e t 圆周运动角量与线量的关系

法向加速度(速度方向变化引起) v2 ( r ) 2 an r 2 r r (方向：沿切线方向)圆周运动的加速度

dt

s R ,dS d( r ) d v r r dt dt dt 切向加速度(速度大小变化引

起)

dv d( r ) d r at r dt dt dt(方向：指向圆心)

匀变速率圆周运动计算公式 0 t 1 2 θ θ 0 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 )

2 d a an en at et en et dt a an 2 at 2 an arctan at

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